（计算数学专业论文）基于分水岭变换和contourlet变换的图像分割方法研究.pdf

摘要 图像分割技术在数字图像处理领域占有非常重要的地位，分水岭变换是一种 常用有效的图像分割方法。但直接的分水岭变换会产生严重的过分割现象，在实 际应用中往往使用标记分水岭变换来减少过分割现象。本文提出基于非下采样 c o n t o w l e t 变换及分水岭变换的图像分割方法，有效地将非下采样c o n t o u r l e t 变换 与数学形态学中的分水岭变换相结合。先基于非下采样c o l l t o u r l e t 变换修正图像 的梯度图，再对修正后的梯度图做标记分水岭变换，最终得到图像的分割图。实 验结果表明此方法是可行的，既减少了分水岭变换的过分割现象，又较好地保持 了图像中的边缘信息，能得到良好的分割效果。最后，在图像分割的基础上，本 文提出基于梯度密度的区域提取方法，能够进一步判别分割后的子区域为边缘区、 平滑区还是纹理区。 关键词：图像分割非下采样c 蚰t o u r l e t 变换分水岭变换 ab s 垂r a e 垂 i i l l a g es e g m e n t a t i o np l a y sav e 拶i m p o r t a n tr o l ei i ld i g i t a ji m a g ep r o c e s s i n g t h e w a t e r s h e d 仃 m s f o r mi so n eo fm ec o m m o l l l y u s e di m a g es e g m e n t a t i o nm e t h o d s f o r 掰蔗m e 羹t a 秽w 蹴f s 魏e d 攀9 d u e e se x e e s s i v eo v e 扣s e g 秘e n 越i o 藏， a掇撵耋e 卜融v e n w a t e r s h e di su s u 【a l l ye m p l o y e dt od e a lw i mt h ep r o b l e m an o v e li m a g es e g m e n t a t i o n m e m o db a s e do n 廿l en o n s u b s 跚n p l e dc o n t o u r l e t 饥m s 向ma n dw a t e r s h e dt r ：a n s f o m li s p 恻) o s 醺，讲蛙曲e 篓e i e 藏l l y 搬菠n e s 氇e 藏s 西湖麓p l e dc 醯幻谢武墩陵s 甄臌鞠d w a t e f s h e d 地m s f o 潮i nm a t h e m a t i c a lm o r p h o l o g mf i r s t l y ，w em o d i 匆t 1 1 ei i n a g e 黟a d i e n tb yt 1 1 en o n s u b s 锄p l e dc o n t o 谢e t 仇m s f o n l l s e c o n d l y ，am a r k e 卜d r i v c n w 舔e f s 量l 积翻n s 勤凇i s 毽s 髭o l l 缘e 掇。蠢蠡甜鲈藤i o 魅i 璎a g e 髓e 以p 商m e n 蕊瓣s u l t s s h o wt h a tm ep 嘲l p o s e dm e m o di sf e a s i b l ea n dc a 王l 西v eb e 毫t e ri m a g es e g m e n t a t i o n i t d o e sn o to i l i ya v o i dt h eo v e r - s e 黟n e n t a t i o n ，b u ta l s op 岭s e n ，e st h ee d g ei 删f o m a t i o n a t l a s t ，a c e o 斑i n gt o 像es o g m e n t a _ t i o nf e s u l t ，w ep f o p o s ear e g i o ne x 缘粥l i o nm e 壤o dv 主a t 1 1 ed e n s 姆o fn 撼g r a d i e n ti m a g e 。弧通sm e t h o dc a 薹l 知瞄e rj u d g e 畦l e 勺巾e s ( e d g e ， s m o o t l lo rt e x t u r er e g i o n ) o f t h es e g m e n t e ds u b r e g i o n s k 锣w o r d s ：薹m a g es e g 磁e n l a t i o 矬n o 魏s u b s a m p l e dc o n 协珏一e tt r a n s f o | m w a t e r s h e dt r a n s f b l m 西安电子科技大学 学位论文独创性( 或创新性) 声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标 注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说 明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切的法律责任。 本人签名：益扭兰 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。学校有权保 留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。同时本人保证，毕业后 结合学位论文研究课题再攥写的文章一律署名单位为西安电子科技大学。 ( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密，在年解密后适用本授权书。 本人签名： 聊魏梓日期芈 日期兰豳! ! l 第一章绪论 第一章绪论 1 1 论文研究背景 我们生活在一个信息时代，科学研究和统计结果表明，人类从外界获得的全 部信息中约有7 5 来自视觉系统，即从图像中获得。在对图像的研究和应用过程 中，人们往往仅对各幅图像中的某些部分感兴趣。这些部分常称为目标或前景( 其 它部分称为背景) ，它们一般对应图像中特定的、具有独特性质的区域。为了辨识 和分析目标，需要将这些有关区域分离提取出来，在此基础上才有可能对目标进 一步利用。图像分割就是指把图像分成各具特性的区域并提取出感兴趣目标的技 术和过程。这里特性可以是灰度、颜色、纹理等，目标可以对应单个区域，也可 以对于多个区域。图像分割是一种重要的图像技术，图像技术在广义上是各种与 图像有关的技术的总称。图像技术近年来得到极大的重视和长足的进展，出现了 许多新理论、新方法、新算法和新手段，我们将其规划到一个整体的框架图 像工程【1 j 。图像工程的内容非常丰富，根据抽象程度和研究方法等方面的不同可 以将其分为既有联系又有区别的三个层次：图像处理、图像分析和图像理解。 图像工程是图像处理、图像分析和图像理解三者的有机结合，另外还包括对 它们的工程应用。图像处理着重强调在图像之间进行变换以改善图像的视觉效果。 图像分析则主要是对图像中感兴趣的目标进行监测和测量，以获得它们的客观信 息从而建立对图像的描述。如果说图像处理是一个从图像到图像的过程，则图像 分析是一个从图像到数据的过程，这些数据描述了图像中目标的特点和性质。图 像理解的重点是在图像分析的基础上，进一步研究图像中各目标的性质和它们之 间的相互联系，并得出对图像内容含义的理解以及对原来客观场景的解释，从而 指导和规划行动。 图像处理、图像分析和图像理解在抽象程度和数据量方面处于不同的三个层 次。图像处理是比较低层的操作，它主要在像素级上进行处理，处理的数据量非 常大。图像分析则进入了中层，分割和特征提取把原来以像素描述的图像转变成 比较简洁的非图形式的描述。图像理解主要是高层操作，基本上是对从描述中抽 象出来的数据符号进行运算推理，其处理过程和方法与人类的思维推理有许多类 似之处。 图像分割是由图像处理到图像分析的关键步骤，也是一种基本的计算机视觉 技术。一方面它是目标表述的基础，对特征测量有重要的影响。另一方面，图像 的分割以及基于分割的目标分离、特征的提取和参数的测量将原始图像转化为更 2 基于分水岭变换和非下采样c o n t o u r l e t 变换的图像分割方法研究 抽象更紧凑的形式，使得更高层的分析和理解成为可能。 图像分割在实际应用中已得到了广泛地应用，如计算机视觉、图像编码、模 式识别、位移估计、目标跟踪、大气图像、军用图像、遥感图像以及生物医学图 像分析等领域。概括地说，只要需要对图像目标进行提取、测量等都离不开图像 分割。 1 2 国内外研究现状 图像分割的研究最早可以追溯到2 0 世纪6 0 年代，经过近四十年的研究，国 内外学者已经提出了各种算法上千种，特别是近2 0 年来出现的各种分割方法，不 仅包括对原有方法的继承和改进，还出现了一些新思路和新方法，如基于马尔科 夫随机场模型的图像分割【2 3 8 】、基于小波的图像分割【4 卅、基于数学形态学的分 割算法【1 、6 、7 1 们、基于模糊数学的分割算法【1 、1 0 】、基于神经网络的分割算法【8 、9 l 等等。 事实上，现有的方法通常是针对具体问题的。对不同类型的图像和不同的应 用要求，需要提取的特征及其提取方法都是不同的。因此，为了得到好的效果， 要根据实际问题选择或设计算法，而至今尚无一种适用于所有图像的通用的分割 算法。目前，人们仍在努力发展新的和更有潜力的方法，期待更通用、更完美的 分割结果。 无论采用什么方法对图像( 本文主要讨论灰度图像) 进行分割，一般都是基于 像素灰度值的两个性质：不连续性和相似性。区域内部的像素一般具有灰度相似 性，而在区域之间的边界上一般具有灰度不连续性。按照该特性可以将已有的分 割方法归为三类：基于阈值的分割方法、基于边缘的分割方法和基于区域的分割 方法。基于区域的分割方法，与前两类图像分割方案相比较，由于同时考虑到了 图像像素之间的相似性和连通性而得到广泛地应用。 分水岭分割( w - a t e r s h e dt r a l l s f o m ) 是一种借鉴了形态学理论的分割方法，可以 归为基于区域的分割方法。它将边缘检测与区域生长的优点相结合，能够得到单 像素宽的、连通的、封闭的且位置准确的轮廓，直是人们研究的热点之一。然 而直接的分水岭变换并不能得到良好的分割效果，严重的过分割现象是分水岭变 换固有的缺点。如何改进分水岭变换以减轻过分割现象是分水岭变换的研究重点 及难点。 小波分析是半个世纪以来傅立叶分析发展史上里程碑式的进展。小波变换因 其具有良好的时频特性，被广泛应用于信号处理和图像处理等方面。但是它本身 也有固有的缺陷，难以表示具有线奇异和曲线奇异等更高维的几何特征。为了能 更好地表示图像中的线奇异特性，人们提出了一类带有方向性的图像稀疏表示工 具多尺度几何分析( m l u t i s c a l eg e o m e t r i ca n a l y s i s ，m g a ) ，其目的就是为具有 第一章绪论 线奇异或者面奇异的高维函数找到最优的或最稀疏的表示方法。目前，已有的多 尺度几何表示方法主要有：越d g e l e t 变换、c u r v e l e t 变换、b a n d l e t 变换、b e 锄l e t 变换和c o m o u r l e t 变换等等。近几年来，多尺度几何分析成为人们研究的热点之 一，被广泛应用于图像处理中。 1 3 本文工作及安排 本文学习了图像分割的各种方法以及各种多尺度凡何分析工具，重点研究了 分水岭变换和c o n t o l l r l e t 变换。本文提如基于分水岭变换和非下采样c o 咖u d e 变换的图像分割方法：先对图像做非下采样c o n t o u r l e t 变换，得到图像的奇异特 性，再进行中值滤波等操作褥到匿像的纹理梯度，并与罂像原始的梯度图相结合， 得到修正的梯度图，最后对修正后的梯度图进行标记分水岭分割，达到既能减少 分水岭交换的过分割现象，又能有效地保持图像中边缘信息的目的。本文对凡幅 常用测试图像用文章中提出的方法进行分割，实验结果表明此方法是可行的，能 得到良好的分割效果。最后，利用图像分割得到的结果，本文提出基于梯度密度 的区域提取方法。该方法能进一步判断分割得到的各子区域为边缘区、平滑区还 是纹理区。本文各章具体安排如下： 第二章介绍了数字图像分割的概念及各种方法，分析比较了不同分割方法的 优缺点。 第三章详细论述了基予区域的一种常堵图像分割方法一分水岭变换，对其 定义、数学模型、实现算法及其优点有明确认识，并指出该算法存在的不足，为 下文改进分水岭变换打下基础。 第醒章分绍了小波分析理论、多分辨分析的摆关知识，以及小波变换在图像 处理中的应用，并分析指出小波变换理论在图像处理应用中的局限性，为下一章 弓| 入c 鳓t o t 趣e t 变换打下基础。 第五章介绍了各种多尺度几何分析工具，重点研究了c o n t o u d e t 变换，深入 研究了离散c o n t o u r l e t 变换以及菲下采样c o n t o 训e t 交换的构造，分析了其相对 于传统小波变换的优势所在。 第六章提出基于分水岭变换和非下采样c o n t o w l e t 变换的图像分割方法，并 用本文提出的方法对图像进行实验和分析。在委像分割的基础上，本文还提出基 于梯度密度的区域提取方法，并对提出的方法进行了验证与分析。 第七章本文的总结及其展望。 第二章数字图像分割方法综述 5 第二章数字图像分割方法综述 2 1 图像分割的概念及其分类 图像分割就是指把图像分成备具特性的区域并提取出感兴趣目标的技术和 过程。这里特性可以是灰度、颜色、纹理等，嚣标可以对应于单个区域，也可以 对应于多个区域。图像分割是图像处理技术的经典难题之一，也是图像分析和模 式识别等高级图像处理操作流程中的关键步骤，图像分割的结果直接决定了后期 图像处理的效果和质量。图像分割可以借助集合的概念用如下比较正式的方法定 义雒l ： 集合震代表整个图像区域，对发的分割可看做将冀分为若干个满足以下5 个 条件的非空子集( 子区域) 墨，憋，r ： 嚣 ( 1 ) u 置= 发； f ；l ( 2 ) 对所有的琊j ，f 歹，有墨0 畏，= 彩； ( 3 ) 对i = l ，2 ，嚣，有尹( 琏) = 豫u e ； 卿对i 歹，有p ( 置u 发，) = f a l s e ； ( 5 ) 对f = l ，2 ，材，r 是连通的区域。 其中，p ( 姹) 是对所有在集合r 中元素的逻辑谓词，a 是空集。 条件( 1 ) 指穗分割所得到的全部子区域的总和( 并集) 应能包括图像中的所有像 素，即每个像素必须属于一个子区域；条件( 2 ) 说明各个分割区域之间相互不重叠， 或者说一个像索不能同时属于两个区域；条件( 3 ) 说明同一个分割区域中的像素具 有摆同的属性( 如具有相同的灰度值) ；条件( 4 ) 说明分割后得茔q 的属于不同区域中 的像素具有一些不同的特性；条件( 5 ) 要求同一个子区域内的像素应当是连通的。 对图像的分割总是根据一些分割的准则进行的。条件( 1 ) 与( 2 ) 说臻分割准则应可适 用于所有区域和所有像素，而条件( 3 ) 与( 4 ) 说明分割准则应能帮助确定各区域像素 有代表性的特征。 2 2 基于阂值的图像分割方法 阈值图像分割又称门限图像分割，其原理简单、易于实现，是类被广泛应 6 基予分水岭变换和非下采样c o n t o u r le t 变换的图像分割方法研究 用的图像分割方法。利用取闽值方法来分割灰度图像是基于一定的图像模型的， 最常用的模型可描述如下1 1 、1 1 j ：假设图像意具有单峰灰度分布的目标和背景组成， 在目标或背景内部的相邻像素间的灰度值是高度相关的，但在目标和背景交界处 两边的像素在灰度值上有很大的差别。则此匿像的灰度直方墅基本上可看作是由 分别对应目标和背景的2 个单峰直方图混合而成。若此时这2 个分布大小( 数量) 接近且蚜值褶距足够远，而髓均方差也足够小，则直方图应是双峰的。对这类銎 像常可用取阈值方法来较好地分割。 最简单的阙值分割方法步骤如下。首先对一幅灰度值在嚣m ；。和缸之间的图 像确定一个灰度阙值联g 矗。 歹( 魏) 。 极小值是一个连通的、有同等强度的区域，区域中的像素点的灰度值严格比 邻域的像素点的灰度值小，这样的极小值通常指区域局部的极小值。 定义3 - 6 ：集水盆地、分水岭( ea _ c h m e 越b a s 虹硼鹏r s h e d ) ：设，是一幅灰度图 像，q 为其定义域，与极小值m 相对应的集水盆地c ( m ) 是这样一个像素点的集 合，当水滴落在该集合孛的任一点矽仞辞) ，并沿着地形顺着一定的下降路径下 落，最终一定到达极小值肘。分割不同集水盆地的线就称为图像，的分水岭。 3 。2 3 浸没法分永蛉变换 设，是一幅数字灰度图像，d 为其定义域，八p ) 代表图像中像素点p 的灰度 值，m 和k 分别代表这幅图像中的最小和最大灰度值，毛( d ) 代表图像d 中等 级为是的阈值点集，即 瓦( d ) = p d i ( p ) 而 ( 3 - 5 ) c ( 肘) 为与极小点膨相对应的集水盆地，g ( m ) 是该盆地的一个子集，它是 由这个盆地中所有灰度值小于等予玉的点组成的，即 g ( 肼) = p c ( m ) ，( p ) 净c ( m ) n 瓦( d ) ( 3 6 ) 我们用瓦代表在等级力计算得到的盆地集合，则k 就代表在等级；。计算 褥到酶盆地集合，霹 工= p 毯d i 厂( p ) = k j = 吃。( d ) ( 3 7 ) 下面我们来考虑在等级j n + 1 时的阑值点集气+ 。( 功，显然kc k 十，( d ) 。 假设y 是k + 。( d ) 的一个连通部佟，那么y 与y n k 的关系有如下三静可能情 况：( 如图3 5 所示) ( 1 ) j ，n 五= 彩：在这种情况下，y 显然是图像的一个新的局部极小点。事 实上，由前定义： 砌“ ? 赋是豪+ 1 ； p 8 ， 所以 第三章分水岭变换图像分割方法 1 7 】，= p d l 厂( p ) = k i 。+ l ( 3 - 9 ) 即】，是一个等级为。+ l 的高地。 ( 2 ) 】，n k 囝，且是连通的：在这种情况下，】，对应着灰度值为k 面+ 1 的 点，且这些点在与】，n k 相对应的集水盆内，即 j ，= c ( j 厂n 义乙) ( 3 一l o ) ( 3 ) y n k 彩，但是非连通的：在这种情况下，】，包含图像的多个局部极 小点，我们用z 1 ，z 2 ，乙表示这些极小点，互是其中任意一点，则在这一点处的 集水盆气+ 。( 互) 就是互在j ，中的测地影响区，即 + t ( 互) = 喀( z f ) ( 3 一1 1 ) 总结以上三种情况，我们得到等级h + 1 上的盆地集合，即 k 一2 觚n + u + l ( d ) ( k ) ( 3 - 1 2 ) 其中1 1 1 i n 。表示在等级厅的所有局部极小点。 相邻两级盆地递归关系如图3 6 所示。 ( a )( b )( 厂、 、- - ， y y 图3 5 】，与j ，n 五关系的三种可能情况 1 m 图3 6 相邻两级盆地递归关系 有了上面的基础，我们可以用以下迭代公式表示这种分水岭变换： ik = p d l ( p ) = ) = k ( d ) l v 办【k 。，k 一1 】，也+ - = m i n u 嘎+ 阮) 那么，这幅图像的分水岭就可以定义为： w s h e l n = d | x h ( 3 - 1 3 ) ( 3 - 1 4 ) 1 8 基于分水岭变换和非下采样c o n t o u r l e t 变换的图像分割方法研究 根据递归式( 3 1 3 ) ，在灰度级矗+ l 时，所有的非集水盆地像素( 如所有在瓦+ ，中 而不在溉中的像素) 就有可熊在步骤蠹+ l 时被标记为集水盆地。因此，该定义允 许那些灰度值忍厅并且在处理灰度级州瑟尚未分割到集水盆地的像素点，在处理 更高一级灰度蠹+ l 时被并入到某些集水盆地中。当某像素裂至少嚣个最近盆地 的距离相等时，就被赋予标签w ( 这样的像素被称作w 一像素) 而暂时被标记为 “分水岭像素 。然而，在接下来的递归操作中，这些标签可能被修改，最终标记 为分水岭的像素只能发生在所有的灰度级都被处理过之后。文献【1 8 】中给出了一 个依据上述递归式的分水岭变换的一个例子，如图3 7 所示。 ( 鑫) 蒹始图像 322 3wb awb 3bb 3bb awb 3b8 wbb awb 0 ) 办= l ( 妨蟊= 2 蟊= 3 圈3 7 浸没法分水岭变换标记分水岭像素的过程( 4 - 连通) 对于一个3 x 3 的用方格表示的离散图像，以4 一连通性应用分水岭变换。图中有两 个局部极小值( 两个零) ，因此就有两个集水盆地分别被赋予标签a 和b 。根据公 式( 3 一1 3 ) 进行的贴标签的过程如图中( b ) ( e ) 所示。该图显示了重复标记w 一像素 的现象：在第二行第二列的像素首先被标记为w ，悉后又被重新标记为8 。 3 3 分水岭变换的不足及改进 因为图像中梯度较大的地方往往对应图像中的边缘，所戳对一幅图像的梯度 图做分水岭变换可以达到分割图像的目的。但由于待分割图像中存在噪声和一些 微小的灰度值起伏波动( 尤其对于图像中的纹理部分) ，在梯度图像中可能会存在 许多缓的局部极小值，姻果点接对梯度圈进行分水岭变换分割，则会产生严重的 过分割现象，如图3 8 所示： 第三章分承岭变换崮像分割方法 ( a ) l a 图像( b ) h n a 图像的直接分水峙变换分割图 图38 直接分水螗变换所产生的过分割现象 即生成过多区域而导致感兴趣的目标难以识别。即使在分水蛉变换之前对梯度图 进行滤波，存在的极小值点也往往多于原始图像中目标的数目，因此必须加以改 进。 近期研究思路主要有两种”。一种是预处理，即在分水岭变换之前对图像进 行滤波、标记提取等操作，抑制噪声引起的过分割。其中一种常用的预处理手段 就是基于标记的分水蛉变换，它根据标识的区域而非图像的原始梯度图进行分水 岭变换，从而抑制过分割现象，得到一个有意义的分割结果。这种方法首先确定 图像中目标的标记或种子，然后再进行生长，并且在生长过程中仅对具有不同标 记的标记点建筑防止溢流汇合的堤坝，产生分水岭线。基于标记的分水岭变换大 体可分为三个步骤岬】： ( 1 ) 对原图进行梯度变换，得到图像的梯度图； ( 2 1 用合适的标记函数把图像中相关的目标及背景标记出来，得到标记图： ( 3 ) 将标记图中的相应标记作为种子点，对梯度图进行分水岭变换，产生分 水线。 这种方法在一定程度上能有效地去除图像中的噪声和细小的纹理，但同时容 易带来边界模糊的问题，降低了分割精度。因此，此类方法研究的重点是如何在 去除噪声和细小纹理的同时能有效地保持边界。 第二种思路是后处理，即在分水岭变换之后通过一定的合并准则将相似的区 域台并。但在合并的实现过程中，合并没有固定的准则，而且由于分水岭变换产 生了大量的小区域，需要不断重新分配和释放大量内存计算量大很耗时。因此 广泛采用的是第一类改进方法。 第四章小波理论及多分辨分析 2 l 第四章小波理论及多分辨分析 小波分析( w a v e l e ta n 鑫l y s i s ) 是半个世纪以来傅立时分桥( f o 谢e ra n a l y s s ) 发展 史上里程碑式的进展，是建立在泛函分析、f o u r i e r 分析、样条分析和调和分析基 础上的分析处理工具。小波变换最早是由法国科学家m o r l e t 于1 9 8 0 年在进行地 震数据分析时提出的，随后他和法国国家科学研究中心的理论物理学家 o s s m a n n 共同提出了连续小波变换的几何体系，它能够将个信号分解成对空 闻和尺度( 即时间和频率) 的独立贡献，弱时又不失原有信号所包含的信息。小波 分析相当于一个数学显微镜，具有放大、缩小和平移等功能，通过检查不同放大 倍数下的变化来研究信号的动态特性。1 9 8 6 年，j a 盏耐，e m 黼e 和m e y e r 与从事 信号处理的m a l l a t 提出了多分辨分析的思想。这个具有突破性进展的m m l a t 提出 的多分辨分析的概念，统一了在此之前提出的各种具体小波的构造方法，给出了 构造正交小波基的一般方法和与f f t 相对应的快速小波算法m a l l a 芝算法，并 将它用于图像分解和煎构。 小波变换由于具有良磐的时频特性，近些年来被广泛应用在信号处理、语音 分析、模式识别、数据压缩、图像处理、数字水印等方面。然而它本身也有固有 的缺陷，难以表示具有线奇异和益线奇异等更高维的几何特征。 4 1 小波变换 小波( 、俐e l e t ) ，即小区域的波，是一种特殊的长度有限、平均值为o 的波形。 定义4 重：设缈) 为一平方可积函数，郄矽( ) r ( 彤，若其傅里叶变换( 国) 满足： q = 孵似。o ( 4 - 1 ) 则称沙( ，) 为一个基本小波或小波母函数，并称上式为小波函数的可容许条件呻1 。 由小波的定义，我们知道其具有两个特点： ( 1 ) “小 ，即在时域都具有紧支集或近似紧支集( 具有时域的局部性) ； ( 2 ) 正负交替的“波动性”：由于小波满足可容许条件，因此必有( 国) i 掰枷= o ， 即直流分量为零，固小波具有正负交替的波动性。 将小波母爱数y ( f ) 进行伸缩和平移，就可以得到医数瓯。，( f ) ： 基于分水蛉变换和非下采祥c o n t o u r l e t 变换的豳像分割方法研究 虬，( ，) ：( 三二! j 口，f 尺；口o( 4 2 ) 仅 n 其中，口为伸缩因子，f 为平移因子，我们称。，( ，) 为依赖于参数口，f 的小波基函 数。由于尺度因子露和平移因子f 是连续变化的值，因此我们称，( f ) 为连续小 波函数基。它们是由同一母函数( f ) 经伸缩和平移褥到的一组函数序列。 4 1 1 连续小波变换 定义4 - 2 ：将任意磐夏) 空间中的函数在小波基下展开，称这种展开为蘧 数( r ) 的连续小波变换( c o n t h l u ew a v e l e tt r a i l s f o r n l ，简称c w t ) ，其表达式为： 暇) = ( m ( ，) ) 2 击p ( 等渺 ( 4 3 ) 我们可以证明，若采用的小波满足容许条件，则连续小波变换存在逆变换， 逆变换公式为( 也称为反演公式) ： ， 2 古f 拳e 眄( 口力致f ) 办 = 专r 亨e 啊( m f ) 去y 办 。 其中，q = ，学彩 嘿( 撑，等) ，则，( 停暇( 缎，玎) ； ( 4 ) 能量守恒：e i ( d 1 2 前= 恚fe f 啊( 啦f ) 1 2 竽； ( 5 ) 冗余度：连续小波变换中存在信息表述的冗余度。 第四章小波理论及多分辨分析 与标准的傅里时变换相比，小波分析中用到的小波函数具有不唯一性，即小 波函数缈( d 具有多样性。在工程应用中，要根据具体情况选择最优的小波基，常 用的小波有：h a r r 小波、d a u b e c l l i e s 小波、m e x i c a l lh a t ( m e x l l ) 小波、m o r l e t 小波、 m e y e 刊 、波、s 潍l e 耄小波、琰。如。弦蛰越小波等。 4 1 2 离散小波变换 在实际应用中，为了方便用计算机进行分析、处理，信号厂( f ) 都要离散化为 离敖数列，露和f 也必须离散化，成为离散小波变换，记为d w t ( 璜s e f e l ew 氛e l 醮 n a n s f o m ) 。为了减小小波变换系数的冗余度，我们将小波基函数 ，) = 夕名( 等) 的口和f 限定在一些离散的点上取值。 ( 1 ) 尺度的离散化。目前通用的方法是对尺度进行幂数级离散化，即令口取 一歹 口一簖， o ，掰z ，此时对应的小波函数为：2 【一歹一r ) 】，歹一0 ，l ，2 ，。 0 ) 位移的离散化。通常对f 进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴。为防 止信息的丢失，我们要求采样间隔f 满足n y q u i s t 采样定理。这样，虬，( f ) 就改为： 一lj 2 缈【蛎7 (