（运筹学与控制论专业论文）半线性热方程的反馈零能控性.pdf

摘 要、 本文考虑具有l i p s c h i t z 非线性项的半线性热方程t fg t ( z ，t ) 一a y ( x ，t ) + ，( z ，( z ，t ) ) = m ( x ) u ( x ，t ) ( 卫，t ) = 0 i ( 岳，0 ) ；y o ( x ) 在q = qx ( 0 ，t ) 内 在= o f t ( 0 ，t ) 上 在n 内 ( 1 1 ) 的最优控制问题我们将运用观测不等式，证明值函数妒作为相应h a m i l t o n j a c o b i 方程的唯一粘性正解是局部l i p s c h i t z 连续的最后，运用动态规划方 法，得到系统最优的反馈控制。 全文共分三章，第一章简单介绍了研究思路及相关的研究成果。第二章我 们将运用观测不等式，证明值函数妒作为相应h a m i l t o n j a c o b i 方程的唯一粘 性正解是局部l i p s c h i t z 连续的，其主要结果为： 定理2 1 对于每个0s t t ，妒( t ，) 是局部l i p s c h i t z 连续的并且，如 果( u + ，y + ) 是使值函数妒： 0 ，t ) xh _ r 如下： ，r1 妒( t ，。) = i n “( ；i 趾1 2 + g ( ) ) 打：y 7 + a y + f y = b u ，y ( t ) = z ，( 丁) = 0 ) j t ( 1 , 5 ) 达到下确界的对，那么 + ( s ) 一b + a p ( s ，圹0 ) ) ，a e s 【t ，t ) 第三章我们将妒作为( 1 6 ) ，( 1 7 ) 的粘性解，运用动态规划方法，进行刻 划，得到系统最优的反馈控制。主要结果如下： 定理3 1 ( i ) 若( 3 , 1 ) 存在满足条件( 3 7 ) ，( 3 8 ) ，( 3 9 ) 的粘性正上解妒 g ( o ，卵h ) ，那么系统( 1 2 ) 是零能控的且有妒2 妒 ( i i ) 若系统( 1 2 ) 是零能控的，妒( t ，) 对每个t 玉t 是局部 l i p s c h i t z 连续的，那么妒是( 3 1 ) ，( 3 7 ) ，( 3 8 ) ，( 3 9 ) 的唯一正粘性解且当 s - - + t 时， 妒( s ，( s ) ) 0( 3 1 2 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 这里，对某个让l 2 ( t ，t ；日) ，有： v y l ( t + ) ：a y z + ，f ，( y t = ) ：b u 。在忙t 】j 二 关键词：最优控制；零能控性；反馈控制；值函数；h a m i l t o n j a c o b i 方程 l l a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw ec o n s i d e rt h eq u a d r a t i cc o n t r o lp r o b l e mf o rt h es e m i l i n e a r h e a te q u a t i o nw i t hl i p s c h i t zn o n l i n e a r i t y fy t ( z ，t ) 一a y ( z ，t ) + ，( 茁，( z ，t ) ) = r n ( 。) u ( z ，t ) i nq = q ( 0 ，t ) y ( x ，t ) = 0 o i l = 锄( 0 ，t ) 【( z ，0 ) = y o ( x ) i n q ( 1 1 ) a n da s s o c i a t e dc o s tf u n c t i o n w ep r o v et h a tt h ev a l u ef u n c t i o ni sl o c a l l yl i p - s c h i t zu s i n go b s e r v a b i l i t yi n e q u a l i t i e sa n da l s oc h a r a c t e r i z ei ta st h eu n i q u e p o s i t i v ev i s c o s i t ys o l u t i o no ft h ec o r r e s p o n d i n gh a m i l t o n j a c o b ie q u a t i o n c o n s e q u e n t l yw eo b t a i nt h ee x p e c t e do p t i m a lf e e d b a c kl a w t h ep a p e ri so r g a n i z e di n t ot h r e ec h a p t e r s f i r s t ，t h em e t h o dw eu s ea n d t h er e l a t i v er e c e n tr e s e a r c hr e s u l t sa r ei n t r o d u c e db r i e f l yi nc h a p t e r1i nc h a p t e r 2 ，w ep r o v et h a tf o rf i x e d0 t t ，妒( - ，z ) i sl o c a l l yl i p s c h i t za n dc o n s e q u e n t l y w eo b t a i nt h ee x p e c t e do p t i m a lf e e d b a c kl a w t h em a i nr e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： t h e o r e m2 1f o re a c h0st t ，妒( t ，) i sl o c a l l yl i p s c h i t z m o r e o v e r ， i f ( u + ，y + ) i ss u c hap a i rt h a tt h ei n f i m u mi sa t t a i n e di nt h ev a l u ef u n c t i o n q o ： 0 ，t ) h _ rb y 妒( t ，。) = i n “z r ( ；iui s + g ( 可) ) d r ：f + 4 f + f = 日札，可( t ) = ，( t ) = o ) ( 1 5 ) ， t h e n u 4s ) 一b + a 妒( s ，+ ( s ) ) ，a e s 【t ，r ) c h a p t e r3i sd e v o t e dt od i s c u s st h ev a l u ef u n c t i o na st h em i n i m a lp o s i t i v e v i s c o s i t ys u p e r s o l u t i o no f ( 1 6 ) s u b j e c tt o ( 1 7 ) i np a r t i c u l a rt h ee x i s t e n c eo f ap o s i t i v ev i s c o s i t ys u p e r s o l u t i o ni se q u i v a l e n tt ot h en u l lc o n t r o l l a b i l i t yo ft h e s t a t es y s t e m t h em a i nr e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： n l t h e o r e m3 1 ( i ) i ft h e r ee x i s t s 妒g ( o ，刀h ) ap o s i t i v ev i s c o s i t y s u p e r s o l u i o no f ( 3 1 ) s a t i s f y i n gt h ef i n a lc o n d i t i o n ( 3 7 ) ，( 3 8 ) a n d ( 3 9 ) ，t h e n t h es t a t es y s t e m ( 1 2 ) i sn u l lc o n t r o l l a b l ea n d 妒妒 ( i i ) i ft h es t a t es y s t e m ( 1 2 ) i sn u l lc o n t r o l l a b l ea n d 妒( t ，) i sl o c a l l yl i p s c h i t zf o re a c ht t ，t h e nl pi st h eu n i q u ep o s i t i v ev i s c o s i t ys o l u t i o n o f ( 3 1 ) s a t i s f y i n g ( 3 7 ) ，( 3 8 ) ，( 3 9 ) a n df o rs 十t ， w h e n e v e r f o ra nu l 2 ( t ，t ；h ) 妒( s ，可( s ) ) 一0 y + a y + f y = b u y ( t ) = x ，y ( t ) = 0 ( 3 1 2 ) k e y w o r d s ：n u l lc o n t r o l l a b i l i t y ；f e e d b a c kl a w ；v a l u ef u n c t i o n ；h a m i l t o n j a c o b ie q u a t i o n 1 v 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究 工作所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和 集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：孑k 互 日期：如一算j ，月纩日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有 关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。 作者签名：乡长五 日瓤：，f 年堂其 日 胪u 7 导师签名：f u 日期：五。5 。 月l 厂日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本 人的学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章 程”中的规定享受相关权益。匝煎论塞塑童唇泄厘；旦坐生；旦二生；旦三笙 发盘一 作者挑狼互糊弛f 卫少 日期：易矿年，月5 日日期：加一，年一r 月玎咽 第一章问题介绍 本文将研究如下系统的反馈零能控性： fy t ( x ，t ) 一a y ( x ，t ) 十，0 ，” ，t ) ) = m ( x ) u ( x ，t ) 在q = q ( 0 ，t ) 内 可( 。，t ) = 0 在= a q ( o ，t ) 上 i 可( z ，0 ) = y o ( x ) 在n 内 ( 1 1 ) 这里q 是舻中的有界开集，具有光滑边界a q u 是n 的开子集，且“c cq m 是u 的特征函数为关于x 的l a p l a c e 算子我们假设 厂：f 2 r 兄 关于z 可测，关于r 是g 1 的，且对所有。n ，满足，( z ，0 ) = 0 及 a j ( z ，r ) l lv ( x ，r ) n r 这样，关于r 全局l i p s c h i t z 连续 下面将( 1 1 ) 写成抽象形式为此我们定义：h = l 2 ( n ) ，a ：d ( a ) c 日h ，a u = 一乱，这里d ( a ) = h i ( q ) n 日2 ( q ) 与，相关的算子 f ：h 日，对几乎所有x q 有：( f “) ( z ) = f ( x ，“( z ) ) b ：h 斗日 为有界线性算子且对几乎处处的茁q 有： ( b u ) ( ) = m ( x ) u ( x ) 由此，系统( 1 1 ) 可以写为如下形式： fy + a y + f y = b u在q = n ( 0 ，t ) 内 1g ( o ) = y o 在n 内 ( 1 2 ) 我们知道一以生成一个岛半群， f 在h 上是全局l i p s c h i t z 连续的， b 有界这样，对每个uel 2 ( o ，t ；h ) 及y o h ，( 1 2 ) 有唯一的积分解 y g ( o ，t 】；日) 根据以上假设，由【4 】知( 1 2 ) 是全局零能控的；即：对每个。eh 及 0 t t ，存在扎l 2 ( t ，t ；h ) 使得 y + a y + f y 2 凰( 1 3 ) 【f ( t ) = 茁且( t ) = 0 、。 1 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 对于固定的z h ，我们希望找到反馈控制u + l 2 ( t ，t ；日) ，满足( 1 3 ) 且使能 量泛函极小化： m ) = t ( 扣1 2 + g 舫 ( 1 4 ) 这里，g ：h - - - + ( 0 ，+ o o ) ，是c 1 的凸函数 注意，本文的状态方程较【1 】中更具一般性，我们的非线性项不仅与状态 变量相关，而且与空间变量。有关另外，能量泛函也比 1 所考虑的复杂， 而这将必然导致相应h a m i l t o n j a c o b i 方程的变化 通稀将以| 1 表不h i l b e r t 空闭的范数，以| | 怯表示b a n a c hs p a c ex 中的范数我们将要运用动态规划方法，研究极小化问题： 劣j - 【, ”卜, j c f t 引, 1 u1 2 + 9 ( g ) ) 打- ! ：支4 艺? 。2 ( 1 s ) 【( t ) = 茁且y ( t ) = 0 ”7 为此，我们定义值函数妒： 0 ，t ) x h r 如下t 妒( t ，石) = i n f f t ( ；i 札j 2 + f ( p ) ) d t ：y i + a + f y = b ，( t ) = 。，y ( 丁) = o ) 我们希望这个妒在弱意义下，是下面h a m i l t o n j a c o b i 方程的解， 仇一( ( 4 z 十，。) ，v 妒) 一互1 b + v 妒2 + 9 ( z ) = o 且满足正常终态条件： 旭扣伊蓦 2 ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 在第二部分，我们将证明：对于固定的0st 0 ，忱： 0 ，t h 兄， 慨( t ，z ) = i n f 4 ( ；l u1 2 + g ( 可) ) d 丁+ 琵1i 可( t ) 1 2 ：y l + a y + 珊= b 让，可( 。) = z ) ( 2 1 ) 对于固定的，由于函数。i 1 z1 2 是局部l i p s c h i t z 连续的，所以，对每 一0 t t ，仇( t ，) 局部l i p s c h i t z 连续 算子一a 生成一紧致半群，由紧致性，我们可以推得，对固定的，( 2 1 ) 的下确界可达，且对于每对( t ，z ) o ，t ) h 有： 恍( t ，z ) 妒( t ，。) ，当e o 时 ( 2 2 ) 在陈述该部分主要结论之前，我们需要如下引理： 引理2 1 令算子a ，f jb 如上所述函数h ，g ，l o ，l l ：日r ，且 h ，g 及f 。都是凸的c 1 类函数，f 0 连续如果( u + ，y + ) 是下面最优控制问题 ( 2 3 ) 的最优对， i n f j 孑( ( u ) + g ( y ) ) d t + t o ( y ( o ) ) + f 1 国( t ) ) ：y 7 + a y + f y = b u ( 2 3 ) 那么，存在p g ( 【o ，t 】；h ) 满足： p 一a + p 一( f 7 ( + ) ) + p = v g ( y + ) b * p = v h ( u + )a e t ( 0 ，t ) p ( t ) = 一v l l ( + ( 于) ) 妇( o ) ，) l i m i f 。l ( 1 。( 邢) + e ) 一的+ ( o ) ) ) ，vf 日 4 证明：若( 钍+ ，y + ) 是最优对，记y o = 圹( o ) ，我们可得( u + ，y + ) 也是如下问题的 最优对 i n f 上1 ( 钍) + g ( 掣) ) 出+ f 1 ( 可( t ) ) ：可+ a y + f y = b u ，可( o ) = y o 据 2 中第5 章的定理5 3 ，存在p g ( 【o ，t ；h ) 满足 ip 一a + p 一( f 7 ( 矿) ) + p v g ( y + ) b + p = v h ( u + ) o e t ( 0 ，r ) 【p ( t ) = 一v f l ( + ( t ) ) 现在固定u + ，取初值为y o + 我们记珧为下面状态系统的解： y + a ”+ f 可= b u + ，v ( o ) = y o + e f 由于( u + ，y + ) 是极小化问题( 2 3 ) 的最优对，我们易得： z t ；。c 骓，一9 。，疵+ ；c 珈+ e 9 一f 0c 珈，+ c 如c 驰c 刁，一f l 国4 c r ， 毫? 再由算子a 的紧性及算子f 的性质，在g ( o ，t l ；h ) 中，有 ；( 驰一圹) _ 。 这里，z 是变分系统( 2 5 ) 的解，满足： 2 ，+ a z + f ( 矿z = 0 ，4 0 ) = f ( 2 5 ) 由于g 和f l 在h 上是c 1 的，据( 2 4 ) 可得： 如咖。i z ) d t + l i 酚。1 - ( 1 0 ( y o + 川) + ( v “洲t m 冽2 晶 通过计算 ( z ，p ) = ( z 7 ，p ) + ( 。，p ，) = ( 一a z f ( + ) z ，p ) 十( z ，a + p + ( f b + ) ) + p + v g ( y 4 ) ) = ( g ，v g ( y + ) ) 积分得 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 口( z ，v g ( y + ) ) d t = ( z ( t ) ，p ( t ) ) 一( ，p ( 0 ) ) 将上式代入( 2 6 ) ，我们得到： ( 2 ( t ) ，p ( t ) ) 一( ，p ( o ) ) + 1 1 酯如( y o + e ) 一f 0 ( 珈) ) + ( v f l ( 旷( t ) ) ，z ( t ) ) 20 注意：p ( t ) = 一vi t ( y + ( t ) ) ，这样： ( p ( o ) ，f ) sl i 罂粤；( f 0 ( 4 ( o ) + e ) 一b ( y + ( o ) ) ) 由f h 的任意性，引理证明完毕 现在我们叙述关于值函数妒( t ，t ) 正则性的主要结论 定理2 1 对于每个0 曼t t ，妒( ，) 是局部l i p s c h i t z 连续的并且，如 果( u + ，y ) 是使( 1 5 ) 式达到下确界的对，那么 u ( s ) - b + a 妒( s ，g + ( s ) ) ，a e 8 【t ，t ) 证明：由【4 】中的c a r l e m a n 估计，我们知：对偶方程 ，p t + p a p = g 在o ，t ) q 内， 1p ( 竹= 0 在( t ，t ) a q 上 的任一对解满足观测不等式： | 1p ( t ) l i i 。( n ) sc ( t t ；l io1 l l * ( ( t ，t ) n ) ) ( 伊lp ( r ) 1 2d ( d t + ，nq ( - ( ) f 2d c d r ) ( 2 7 ) 由i 研，( 。，r ) i l 及s c h a u d e r 不动点定理，可知系统( t 2 ) 是零能控的，且 有： 妒。( t ，。) 妒( t ，z ) ；c ( t - t , l ) iz1 2 ( 2 8 ) r 硕士学位论文 m a s t e r s 州e s i s 对于固定的0 t 0 及z h ，我们考虑极小化i 曰题( 2 1 ) 仇( 如) = z t ( ；i 钍+ 1 2 + g ( y * ) ) 打+ 云1 9 4 ( 丁) 1 2 ， i n f z t ( ；i uj 2 + g ( ) ) d r + 五1i ”( t ) 1 2 一妒。( t ，可( t ) ) ：7 + a y + f = b “) ， 这里，f 1 ( f ) = 琵1 i 口1 2 ，f 。( ) = 一忱( t ，( t ) ) i ( p 。) 7 一a + p t 芦一( f 7 ( + ) ) + p 。= v a ( u + ) t 陋，卵 b + p t 4 = 矿 e t 【t ，t ( 2 9 ) 卜一( t ) = 一( 孔 ( p t , x ( t ) ，) 1 1 赚i ( ( t ，茁+ m ) 一( t ，茁) ) - ( 2 _ 1 0 ) 瑚l i m ；( 忱z + 旧一以姐) ) = 罴( 州如+ ) 脚 轰( ( t ，z + k ) ) 脚= ( 一p 。 。( t ) ，f ) 7 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 这里，。满足( 2 9 ) 由( 2 7 ) 和( 2 8 ) ，我们易得； l 一( z ) 。c ( t t ，上) j ，lb * p t , x ( r ) 1 2d v + c ( t t ，l ) 铲fv g ( y + ) 1 2 打 = c ( t t ，l ) 伊i + ( r ) j 2d t + c ( t t ，l ) lv g ( y ) 1 2d t c ( t t ，三) 2 妒。( ，z ) c 2 ( t t ，l ) iz1 2 这样，对每个t ( o ，t ) ，基缺( t ，。+ k ) 存在，那么 云忱( ，z + a ) - 1w + 1 f f t ) i i l sc ( t 一，驯z + k ( 2 1 1 ) 现在，对固定的及t ，帆( ，) 在 0 ，1 】上是局部l i p s c h i t z 连续的固定 xky1 曼r 函数妒( a ) = 仇( f ，z + a 一。) ) 在【0 ，1 】上l i p s c h i t z 连续这 样妒几乎处处可微且有： 母( 1 ) 一妒( o ) = j 孑中( ) d 这样， ( ，y ) 一恍( 姐) = 1 罴( ( ，t ( y - x ) ) ) 执 对每个0 a 1 ，iz + ( v z ) sr ，由( 2 1 1 ) 及jzi ，iyj 曼r ，我们有： i 妒。0 ，y ) 一妒。( t ，z ) i c ( t t ，l ) ry 一口i 那么，在b r 上，魄( t ，) 有与无关的l i p s c h i t z 常数c ( t t ，l ) r 对( 2 2 ) 取极限，推得；在b r 上，垆( t ，- ) l i p s c h i t z 连续。 接下来，我们将叙述能量极小化问题的反馈控制原理首先，对每个0s t 8 t 及z h ，有妒满足动态规划原理： 妒( t ，。) = i n f j ( ( ii “1 2 + g ( ) ) d 7 - + 妒( s ，( s ) ) ：y + a y + f y2 b “，可( z ) 。z - ( 2 1 2 ) 对于固定的0 至t t ，我们考虑 t ，列上的最优对( 矿，+ ) ；即； q o ( t ，x ) = z 1 ( ；1 2 + 9 ( 3 ) ) 打) ；y 一+ a y + + f y + = b 乱+ ，9 + ( t ) = z ，可+ ( t ) = o r 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 由于一a 生成一紧致半群，故这样的最优对存在 由标准的动态规划推导过程，我们得到：对固定的s ( t ，丁) ，( 7 , + ，y + ) 也是 ( 2 1 2 ) 在i t ，8 】上的最优对而妒( s ，) 是局部l i p s c h i t z 连续的，据 2 】可推知： 存在p 3 c f ( p ，s ；h ) 满足一 l ( p 5 ) 一a + p 8 一( f ( 可) ) + p 8 = v g ( y + ) b + p 8 = “4o - e 在( t ，s ) 上 1p 5 ( s ) 一a 妒( 岛+ ( s ) ) 这里，却( 5 ，) 表示妒( 8 ，) 的一般化梯度对t 8 茎s 2 t ，同理得到：存 在p “e ( 仁，8 l 】；日) ，p “g ( i ，s 2 j ；日) 且几乎处处在i t ，8 1j 上，有b 4 p 8 = + = b n 成立，p “，p n 满足对偶系统； 一a 4 p ( f ( ) ) + p = v g ( y + ) 由c a r l e m a n 估计( 2 7 ) ，在子区间i t b 1 上，取p = p s - p s 2 ，易得在 t ，s 1 上，有 p 8 1 = p ”对每个s 【t ，t ) ，重复同样方法，可得：存在唯一的p g ( t ，t ) ；h ) 满足： 产：a+站p+-bp。8 装泛箍 眨 i 4 = 站+ 口息在f ，丁) 上 、。 且在( t ，t ) 上有：p ( s ) 一却( s ，g + ( 5 ) ) 这样，就得到了反馈原理： 定理2 1 证明完毕 i t * ( s ) 一b + a 妒( s ，g + ( s ) ) a e 在【t ，r ) 上 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第三章粘性解方法 这一部分将研究h a m i l t o n j a c o b i 方程( 1 6 ) ，( 1 7 ) 我们将妒作为( 1 6 ) ， ( 1 7 ) 的粘性解进行刻划 为了处理与控制问题相关的动态规划方程的解，我们会运用f 6 】中的相关 结果首先，为处理方便先将( 1 6 ) 写成如下形式： 1 一妒t + ( a z ，v 妒) + ( f x ，v 妒) + 妄ib + v 妒2 - g ( z ) = 0 ( 3 1 ) 由于a 是日上的线性极大单调算子，故系统( 3 1 ) 粘性解的定义与【6 中无界 线性情况相同 定义3 1 假设札g ( 【o ，t ) ；日) 那么u 是( 3 1 ) 的下解( 或上解) ，若对 每个妒： 0 ，t ) h _ 冗，弱下半连续且有v 妒及岔v 妒连续；每个卵对 称，非增，在日上连续可微，当( t ，z ) 为 t 一妒一叩( 或u + 妒+ 町) 的局部极大 点( 或局部极小点) 时，有： 一妒t 0 ，z ) + ( z ，a + v 妒 ，。) ) + ( f z ，v 妒( t ，z ) + v 7 7 ( t ，z ) ) + 妄lb + ( v 妒( t ，z ) + v n ( t ，z ) 1 2 9 ) 0 ( 3 2 ) ( 或妒t ，z ) 一( z ，a + v 妒0 ，z ) ) 一( f z ，v 妒0 ，。) + v 叩( t ，z ) ) + ；ib + ( v 妒( t ，z ) + v q ( t ，z ) 1 2 + g ( x ) 芝0 ) ( 3 3 ) 由于这里算子a 自伴且一a 生成一个紧致半群，我们知d = ( ，+ a ) 。是 正的自伴紧算子并满足： ( ( a d + d ) x ，。) lzj 2 ( 34 ) 为了更好的运用条件( 1 7 ) ，我们将它写为两部分： 妒( t ，。) = + 。，z 0 ( 3 5 ) 1 0 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 妒( t ，0 ) = 0 将条件( 3 5 ) 用( 3 7 ) 代替： f + l l i m 舭比g ) = + 。，当卫o ( 3 6 ) ( 3 7 ) 我们希望( 3 1 ) ，( 3 6 ) ，( 3 7 ) 的解限制在【0 ，s 】，( 0 8 t ) 上，能够适合【6 】中 框架，因而，必须寻找满足如下一致连续条件的解u 注1 0 0 ，存在一个范数胜使得对于lzi 圭， 0 _ r t t 一，有： l 钍( 下，x ) 一札 ，e a o 一7 ) ) l m ( t r ) ( 3 9 ) 这里，范数m 指函数m ： 0 ，o 。) - - + 【0 ，o o ) 连续，非增，具有次可加性且m ( 0 ) = 0 为证明该部分主要结论，我们需要以下引理事实上，这是【6 】中第v i i 部分一个明显结果 引理3 1 假设k ：h r 在有界集上一致连续，g20 ( i ) 那么v ： ”( t ，z ) = i n f z t ( ；l u1 2 + 9 ( ) ) 打+ k ( y ( t ) ) ：+ a y + f y = b “，( t ) = 。) 在【0 ，t 】h 上连续，正，且为( 3 1 ) 的一个解并满足 ( t ，。) = k ( z ) ，vx h 而且，对每个r 0 存在范数7 1 t , r ，p r 满足： v ( t ，g ) 一口0 ，y ) j m r ( fx - yi ) ，0 t t ， zi ，jyl r ( 3 1 0 ) 1 】 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s i ( 丁，。) 一口( t ，e - a ( 。一7 ) 七) | sp r 0 7 _ ) ，0 7 _ 墨tst ， i 茁i r ( 3 1 1 ) ( i i ) 假设札c ( 【o ，t 】h ) 是( 3 1 ) 的正下解，w g ( 【o ，t 】h ) 是 ( 3 1 ) 的正上解，均满足( 3 1 0 ) ，( 3 1 1 ) 且u ( t ，z ) = 叫( z x ) ，vx h 那么， 在【o ，t 】h 上，有u w 在假设( 3 1 0 ) 和( 3 1 1 ) 下，值函数v 是系统( 3 1 ) 的唯一粘性正勰， 并满足条件：v ( t ，z ) = k ( x ) vz h 证明：由于这是【6 】中笫v i i 章的一个结果，这里我们只验证其条件 因为u _ 妄ju1 2 ，y - - + 9 ( ”) 是强制凸函数，f ：h h 全局l i p s c h i t z 连 续，关于h a m i l t o n j a c o b i 方程( 3 1 ) 的假设条件成立 考虑比较部分( i i ) ，只需看到，条件( 3 1 0 ) ，( 3 1 1 ) 可以推出在 0 ，t ) h 上d 连续由 5 】中的不等式： e - t a x 怯+ 2 t e - t a x1 2 e 2 忪性 故，对每个 0 ，算子：e 。a ：( 席，”怕) ( 日，l 1 ) 有界这里， i ix 幅= ( d x ，z ) 所以，“和w 都是d 连续的，并满足( 3 1 0 ) 及( 3 1 1 ) 这样，我们就得到： “w 存在性部分( i ) 在 6 】中有清晰的表达 注2 ：d 连续定义参见【6 】 下面，我们将陈述该部分主要结论： 定理3 1 ( i ) 若( 3 1 ) 存在满足条件( 3 7 ) ，( 3 8 ) ，( 3 9 ) 的粘性正上解砂 e ( o ，卯h ) ，那么系统( 1 2 ) 是零能控的且有妒妒 ( i i ) 若系统( 1 2 ) 是零能控的，9 9 ( t ，) 对每个tst 是局部 l i p s c h i t z 连续的，那么妒是( 3 1 ) ，( 3 7 ) ，( 3 8 ) ，( 3 9 ) 的唯一正粘性解且当 8 - - + t 时， 9 9 ( s ，( s ) ) _ 0 ( 3 1 2 ) 1 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 这里，对某个让l 2 ( t ，e 日) ，有： y + 鸹a y + f 腓y = b u 。引岛耻 证明：( i ) 设妒o 是( 3 1 ) 的粘性上解，且满足( 3 7 ) ，( 3 8 ) ，( 3 9 ) 若 ( t ，z ) 【0 ，t ) 日，t t l t 2 t 3 t 。 t 一，r 二我们知道：妒在f 0 ，t ) 上满 r r1 足( 3 8 ) 及( 3 9 ) 由于0 妒( s ，目( 8 ) ) 茎( 去l 牡1 2 + 口( ) ) d 7 ，容易得妒满足 ( 3 1 2 ) 这里，当i t , l 2 ( ，? ；h ) 时，y + a y + f y = b u ，( s ) = z ，y ( t ) = 0 取s - t ，即得( 3 1 0 ) 由本文第二部分，我们知道：对每个 0 ，妒忱由 于，黔。( s ，y ) 。去iz 一知妒必满足( 3 7 ) 这样存租隆部分证毕 唯性证明。若啪是满足假设的粘性正解我们在( i ) 中已经证得：妒妒 现在用( i ) 中同样方法，对固定的( t ，石) 0 ，t ) x 及s p ，丁) ，由引理3 1 可得： ，s1 1 】f j ( t ，z ) = i n f f ( ；i 让1 2 + 9 ( v ) ) d r + 妒( s ，f ( 8 ) ) ：y 7 + a + f y = b u ，o ) = z ) f 3 1 6 ) 1 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 固定( 让，y ) 使得，“l 2 ( t ，t ；日) 时 y + a 可+ f y = b u ，u ( t ) = 。，u ( t ) = 0 ( 3 1 7 ) 由( 3 1 6 ) ，咖( t z ) s ，8 ( ；j 1 5 + g ( y ) ) 打+ 妒( s ，3 ，( s ) ) 而妒满足( 3 。1 盘) ，故也 有；对每一对满足( 3 1 7 ) 的( 札，y ) ， 妒( t ，z ) r ( ；i 钍1 2 + 9 ( y ) ) d r ， 所以妒( ，z ) 妒( ，嚣) 这样妒= 妒定理3 1 证毕 1 5 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 后记 本文讨论了系统在具有良好性质的有界区域上的情形，而在现实中，大量 情况并不一定满足这些性质，或者说是在无界区域上作用，那么能否应有相似 方法予以处理? 这些问题有待进一步探讨。 1 6 参考文献 【1 m s i r b u ，f e e d b a c kn u l lc o n t r o l l a b i l i t yo ft h es e m i l i n e a rh e a th q u a t i o n ， d i f f i n t e g r a le q n s 1 5 ( 1 ) ( 2 0 0 2 ) ，p p ，1 1 5 1 2 8 【2 1v b a r b u ，o p t i m a lc o n t r o lo fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ，p i t m a nr e s n o t e s m a t h 1 0 0 ，p i t m a _ ，b o s t o n ，1 9 8 4 ， 【3 】x u n j i n gl i ，j i o n g m i n gy o n g o p t i m a lc o n t r o lt h e o r yf o ri n f i n i t ed i m e n s i o n a l s y s t e m s m b i r k h a u s e rb o s t o n ，1 9 9 5 f 4 a v f u r s i k o v a n do y u i m a n u v i l o v ，c o n t r o l l a b i l i t yo fe v o l u t i o ne q u a t i o n s 。l e c t u r en o t e ss e r i e s3 4 ( 1 9 9 6 ) m ms e o u lu n i v e r s i t y , k o r e a 5 1m g c r a n