工程力学(静力学与材料力学) 梁弯曲强度2(应力分析与强度计算).ppt

2019年12月20日 课堂教学软件 7 材料力学 第7章梁的强度 2 应力分析与强度计算 返回总目录 在一般情形下 分布内力在各点的数值是不相等的 只有当内力在横截面上的分布规律确定之后 才能由内力分量确定杆件横截面上内力在各点的数值 怎样确定横截面上的内力分布规律呢 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 弯曲强度计算 弯曲剪应力分析 结论与讨论 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 梁弯曲的若干定义与概念 纯弯曲时 梁横截面上正应力分析 弯曲正应力公式的应用与推广 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 梁弯曲的若干定义与概念 对称面 梁的横截面具有对称轴 所有相同的对称轴组成的平面 称为梁的对称面 symmetricplane 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 主轴平面 梁的横截面没有对称轴 但是都有通过横截面形心的形心主轴 所有相同的形心主轴组成的平面 称为梁的主轴平面 planeincludingprincipalaxes 由于对称轴也是主轴 所以对称面也是主轴平面 梁弯曲的若干定义与概念 zco yco 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 平面弯曲 所有外力 包括力偶 都作用于梁的同一主轴平面内时 梁的轴线弯曲后将弯曲成平面曲线 这一曲线位于外力作用平面内 这种弯曲称为平面弯曲 planebending 梁弯曲的若干定义与概念 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 纯弯曲 一般情形下 平面弯曲时 梁的横截面上一般将有两个内力分量 就是剪力和弯矩 如果梁的横截面上只有弯矩一个内力分量 这种平面弯曲称为纯弯曲 purebending 在纯弯曲情形下 由于梁的横截面上只有弯矩 因而便只有垂直于横截面的正应力 梁弯曲的若干定义与概念 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 横向弯曲 梁在垂直梁轴线的横向力作用下 其横截面上将同时产生剪力和弯矩 这时 梁的横截面上不仅有正应力 还有剪应力 这种弯曲称为横向弯曲 简称横弯曲 transversebending 梁弯曲的若干定义与概念 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 梁弯曲的若干定义与概念 梁的中性层与横截面的中性轴 梁弯曲后 一些层发生伸长变形 另一些则会发生缩短变形 在伸长层与缩短层的交界处那一层 既不发生伸长变形 也不发生缩短变形 称为梁的中性层或中性面 neutralsurface 中性层与梁的横截面的交线 称为截面的中性轴 neutralaxis 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 1 几何关系纯弯曲梁变形后各横截面仍保持为一平面 仍然垂直于轴线 只是绕中性轴转过一个角度 称为平面假设 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 变形的几何关系为 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 2 物理关系 由虎克定律 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 弯曲正应力分布规律 与中性轴距离相等的点 正应力相等 正应力大小与其到中性轴距离成正比 弯矩为正时 正应力以中性轴为界下拉上压 弯矩为负时 正应力上拉下压 中性轴上 正应力等于零 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 3 静力学关系 z 中性轴 中性轴必然通过横截面的形心 静矩 面积矩 抗弯刚度 其中 m 横截面的弯矩 y 所求应力点到中性轴的距离 iz 横截面对中性轴的惯性矩 公式的适用范围 弹性范围 纯弯曲变形 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 应力分布 应力公式 变形 应变分布 纯弯曲时 梁横截面上正应力分析 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 最大正应力公式与弯曲截面模量 工程上最感兴趣的是横截面上的最大正应力 也就是横截面上到中性轴最远处点上的正应力 这些点的y坐标值最大 即y ymax 将y ymax代入正应力公式得到 称为弯曲截面系数 单位是mm3或m3 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 常见截面的iz和wz 圆截面 矩形截面 空心圆截面 空心矩形截面 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 梁弯曲后其轴线的曲率计算公式 这是梁弯曲时的另一个重要公式 梁的轴线弯曲后的曲率的数学表达式 其中eiz称为梁的弯曲刚度 这一结果表明 梁的轴线弯曲后的曲率与弯矩成正比 与弯曲刚度成反比 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 计算梁的弯曲正应力需要注意的几个问题 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 纯弯曲正应力可以推广到横向弯曲 以上有关纯弯曲的正应力的公式 对于非纯弯曲 也就是横截面上除了弯矩之外还有剪力的情形 如果是细长杆 也是近似适用的 理论与实验结果都表明 由于剪应力的存在 梁的横截面在梁变形之后将不再保持平面 而是要发生翘曲 这种翘曲对正应力分布的影响是很小的 对于细长梁这种影响更小 通常都可以忽略不计 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 例题2 矩形截面简支梁承受均布载荷作用 已知 矩形的宽度b 20mm 高度h 30mm 均布载荷集度q 10kn m 梁的长度l 450mm 求 梁最大弯矩截面上1 2两点处的正应力 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 解 1 确定弯矩最大截面以及最大弯矩数值 根据静力学平衡方程 ma 0和 mb 0 可以求得支座a和b处的约束力分别为 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 解 1 确定弯矩最大截面以及最大弯矩数值 梁的中点处横截面上弯矩最大 数值为 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 解 2 计算惯性矩 根据矩形截面惯性矩的公式 本例题中 矩形截面对z轴的惯性矩为 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 解 3 求弯矩最大截面上1 2两点的正应力 均布载荷作用在纵向对称面内 因此横截面的水平对称轴 x 就是中性轴 根据弯矩最大截面上弯矩的方向 可以判断 1点受拉应力 2点受压应力 1 2两点到中性轴的距离分别为 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 解 3 求弯矩最大截面上1 2两点的正应力 于是 在弯矩最大截面上 1 2两点的正应力分别为 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 例题3 丁字形截面简支梁在中点承受集中力fp 32kn 梁的长度l 2m 丁字形截面的形心坐标yc 96 4mm 横截面对于z轴的惯性矩iz 1 02 108mm4 求 弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 解 1 确定弯矩最大截面以及最大弯矩数值 根据静力学平衡方程 ma 0和 mb 0 可以求得支座a和b处的约束力分别为fra frb 16kn 根据内力分析 梁中点的截面上弯矩最大 数值为 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 2 确定中性轴的位置 丁字形截面只有一根对称轴 而且载荷方向沿着对称轴方向 因此 中性轴通过截面形心并且垂直于对称轴 z轴就是中性轴 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 3 确定最大拉应力和最大压应力点到中性轴的距离 根据中性轴的位置和中间截面上最大弯矩的实际方向 可以确定中性轴以上部分承受压应力 中性轴以下部分承受拉应力 最大拉应力作用点和最大压应力作用点分别为到中性轴最远的下边缘和上边缘上的各点 由截面尺寸 可以确定最大拉应力作用点和最大压应力作用点到中性轴的距离分别为 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 4 计算弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 意大利科学家伽利略 galileo 关于力学和局部运动的两门新科学的对话和数学证明 书的发表 1638年 是材料力学开始形成一门独立学科的标志 首先提出了材料的力学性质和强度计算的方法 伽利略 galileo 伽利略对材料力学的贡献 p 300 伽利略对材料力学的贡献 弯曲切应力分析 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 一 矩形截面梁 1 横截面上各点的切应力方向平行于剪力 2 切应力沿截面宽度均匀分布 关于切应力的分布作两点假设 5 4 1梁横截面上的切应力 一 矩形截面梁 图示一矩形截面梁受任意横向荷载作用 弯矩产生正应力 剪力产生切应力 两横截面上的弯矩不等 所以两截面上到中性轴距离相等的点 用y表示 其正应力也不等 正应力 分布图 m n n m o h b dx y z m m n x 式中为面积a 图b 对中性轴z的静矩 a 为横截面上距中性轴z为y的横线aa1或bb1以下部分的面积 m n n m o h b dx y z m m n x 即 得 m n n m o h b dx y z m m n x f n2 在ab1面上的aa1线各点处有切应力t y a b a1 b1 根椐切应力互等定理 在横截面上也应有切应力 t m n n m o h b dx y z m m n x y a b a1 b1 a 4 5 1梁横截面上的切应力 iz 整个横截面对中性轴的惯性矩 b 所求点矩形截面的宽度 sz 过求切应力的点作与中性轴平行的直线 该横线以下部分面积对中性轴的静矩 其方向与剪切力fs的方向一致 y z a 对于矩形截面梁 横截面上的切应力t沿截面高度的变化情况由部分面积的静矩sz 与坐标y之间的关系反映 切应力沿截面高度按抛物线规律变化 当y 0时 即在中性轴上各点处 切应力达到最大值 当y h 2时 即在横截面上距中性轴最远处 切应力t 0 a bh是矩形截面的面积 矩形截面 弯曲时的切应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 二 工字形截面梁横截面腹板上的切应力 假设求应力的点到中性轴的距离为y sz 距中性轴为y的横线以下部分的截面面积对中性轴的静矩 d 腹板的厚度 腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化 最大切应力也在中性轴上 这也是整个横截面上的最大切应力 最小切应力发生在腹板和翼缘的交点处 tmax与tmin实际上相差不大 所以 可以认为在腹板上切应力大致是均匀分布的 横截面上的剪力fs的绝大部分为腹板所负担 这样 就可用腹板的截面面积除剪力fs 近似地得出腹板内的切应力 补充 翼缘上的切应力 翼缘横截面上平行于剪力fs的切应力在其上 下边缘处为零 因为翼缘的上 下表面无切应力 可见翼缘横截面上其它各处平行于fs的切应力不可能大 故不予考虑 分析表明 工字形截面梁的腹板承担了整个横截面上剪力fs的90 以上 但是 如果从长为dx的梁段中用铅垂的纵截面在翼缘上截取如图所示包含翼缘自由边在内的分离体就会发现 铅垂的纵截面上必有由切应力t1 构成的合力 根据可得出 从而由切应力互等定理可知 翼缘横截面上距自由边为h处有平行于翼缘横截面边长的切应力t1 而且它是随h按线性规律变化的 工字钢截面 由型钢表查得 弯曲时的切应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 二 圆形截面梁 fs 弯曲时的切应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 圆环截面 弯曲时的切应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 横力弯曲截面发生翘曲 切应变 弯曲切应力 若各截面fs相等 则翘曲程度相同 纵向纤维长度不变 对计算无影响 若各截面fs不等 如有q作用 则翘曲程度不同 各纵向纤维长度发生变化 对计算有影响 但这种影响对梁常可忽略 梁的跨度较短 l h 5 在支座附近作用较大载荷 载荷靠近支座 铆接或焊接的工字形或箱形等截面梁 腹板 焊缝 胶合面或铆钉等 弯曲切应力 有些情况必须考虑弯曲切应力 悬臂梁由三块木板粘接而成 跨度为1m 胶合面的许可切应力为0 34mpa 木材的 10mpa 1mpa 求许可载荷 1 画梁的剪力图和弯矩图 2 按正应力强度条件计算许可载荷 3 按切应力强度条件计算许可载荷 解 例题 4 按胶合面强度条件计算许可载荷 5 梁的许可载荷为 弯曲切应力 梁的受力及横截面尺寸如图所示 试 1 绘出梁的剪力图和弯矩图 2 确定梁内横截面上的最大拉应力和最大压应力 3 确定梁内横截面上的最大剪应力 4 画出横截面上的剪应力流 例题4 弯曲时的切应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 解 1 确定约束力 绘梁的剪力图和弯矩图 弯曲时的切应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 解 1 确定约束力 绘梁的剪力图和弯矩图 弯曲时的切应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 2 确定形心c位置 计算形心主惯性矩 弯曲时的切应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 3 确定梁内弯矩最大横截面上的最大拉应力和最大压应力 弯曲时的切应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 4 确定梁内横截面上的最大剪应力 最大剪应力发生在中性轴上各点 其中szmax为中性轴以上或以下的面积对于中性轴的静矩 弯曲时的切应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 4 确定梁内横截面上的最大剪应力 最大剪应力 弯曲时的切应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 5 画出横截面上的剪应力流 弯曲时的切应力 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 弯曲强度计算 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 弯曲时的可能危险面 弯曲时的可能危险点 基于最大正应力和最大剪应力的强度条件 弯曲许用应力 弯曲强度设计过程 应用举例 应用举例 弯曲强度计算 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 例题6 圆轴在a b两处的滚珠轴承可以简化为铰链支座 轴的外伸部分bd是空心的 轴的直径和其余尺寸以及轴所承受的载荷都标在图中 这样的圆轴主要承受弯曲变形 因此 可以简化为外伸梁 已知拉伸和压缩的许用应力相等 120mpa 试分析 圆轴的强度是否安全 弯曲强度计算 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 fra 2 93knfrb 5 07kn 解 1 确定约束力 因为a b两处的滚珠轴承可以简化为铰链支座 圆轴上又没有水平方向的载荷作用 所以 a b二处都只有垂直方向的约束力fra frb 假设方向都向上 于是 由平衡方程 ma 0和 mb 0 求得 弯曲强度计算 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 mc 1 17kn mmb 0 9kn m 解 2 画弯矩图 判断可能的危险截面 根据圆轴所承受的载荷和约束力 可以画出圆轴的弯矩图 如图所示 根据弯矩图和圆轴的截面尺寸 在实心部分c截面处弯矩最大 为危险截面 在空心部分 轴承b以右截面处弯矩最大 为危险截面 弯曲强度计算 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 解 3 计算危险截面上的最大正应力 应用最大正应力公式和圆截面以及圆环截面的弯曲截面系数公式 可以计算危险截面上的应力 c截面 弯曲强度计算 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 b以右的截面 解 3 计算危险截面上的最大正应力 弯曲强度计算 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 b以右的截面 上述计算结果表明 两个危险截面上的最大正应力都小于许用应力 于是 强度条件得到满足 即 c截面 解 3 计算危险截面上的最大正应力 4 分析梁的强度是否安全 因此 圆轴的强度是安全的 弯曲强度计算 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 铸铁制作的悬臂梁 尺寸及受力如图所示 图中fp 20kn 梁的截面为丁字形 形心坐标yc 96 4mm 截面对于z轴的惯性矩iz 1 02 108mm4 已知材料的拉伸许用应力和压缩许用应力分别为 40mpa 100mpa 试校核 梁的强度是否安全 例题7 弯曲强度计算 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 解 1 画弯矩图 判断可能的危险截面 本例中的悬臂梁 可以不求约束力 直接由外加载荷画出弯矩图 从弯矩图可以看出 最大正弯矩作用在截面a上 最大负弯矩作用在截面b上 弯曲强度计算 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 由于梁的截面只有一根对称轴 而且拉伸许用应力和压缩许用应力不相等 弯矩小的截面上最大拉应力作用点到中性轴的距离 大于弯矩大的截面上最大拉应力作用点到中性轴的距离 解 1 画弯矩图 判断可能的危险截面 所以弯矩小的截面上的最大拉应力也可能比较大 因此 截面a和b都可能是危险截面 弯曲强度计算 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 解 1 画弯矩图 判断可能的危险截面 ma 16kn m mb 12kn m 这两个截面上的弯矩值分别为 所以弯矩小的截面上的最大拉应力也可能比较大 因此 截面a和b都可能是危险截面 弯曲强度计算 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 根据危险截面上弯矩的实际方向 可以画出截面a b上的正应力分布图 解 2 根据危险截面上的正应力分布确定可能的危险点 弯曲强度计算 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 解 2 根据危险截面上的正应力分布确定可能的危险点 从图中可以看出 截面a上的b点和截面b上的c点都将产生最大拉应力 但是 截面a上的弯矩ma大于截面b上的弯矩mb 而b点到中性轴的距离yb大于c点到中性轴的距离yc 因此 b点的拉应力大于c点的拉应力 这说明b点比c点更危险 所以 对于拉应力 只要校核b点的强度即可 弯曲强度计算 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 截面a上的上边缘各点 例如a点 和截面b上的下边缘各点 例如d点 都承受压应力 解 2 根据危险截面上的正应力分布确定可能的危险点 但是 截面a上的弯矩ma大于截面b上的弯矩mb 而a点到中性轴的距离ya小于d点到中性轴的距离yd 因此 不能判定a点的和d点的压应力哪一个大 哪一个小 这说明a点和d点都可能是危险点 所以 对于压应力 a点和d点的强度都需要校核 弯曲强度计算 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 截面a上的下边缘各点 例如b点 截面a上的上边缘各点 例如a点 解 3 计算危险点的正应力 进行强度校核 弯曲强度计算 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 解 3 计算危险点的正应力 进行强度校核 截面b上的下边缘各点 例如d点 弯曲强度计算 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 解 4 结论 上述结果说明 梁上所有危险截面的危险点的强度都是安全的 弯曲强度计算 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 试计算 1 fp加在辅助梁的什么位置 才能保证两台吊车都不超载 2 辅助梁应该选择什么型号的工字钢 为了起吊重量为fp 300kn的大型设备 采用一台150kn和一台200kn的吊车 以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁 组成临时的附加悬挂系统 如果已知辅助梁的长度l 4m 型钢材料的许用应力 160mpa 例题8 弯曲强度计算 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 解 1 确定fp加在辅助梁的什么位置 力fp加在辅助梁的不同位置上 两台吊车所承受的力是不相同的 假设fp加在辅助梁的c点 这一点到150kn吊车的距离为x 将fp看作主动力 两台吊车所受的力为约束力 分别用fa和fb表示 由平衡方程 ma 0和 mb 0 可以解出 弯曲强度计算 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 解 1 确定fp加在辅助梁的什么位置 令 由此解出 于是 得到fp加在辅助梁上作用点的范围为 弯曲强度计算 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 解 2 确定辅助梁所需要的工字钢型钢号码 在这两种情形下 辅助梁都在fp作用点处弯矩最大 最大弯矩数值分别为 根据上述计算得到的fp加在辅助梁上作用点的范围 当x 2m时 辅助梁在b点受力为150kn 当x 2 667m时 辅助梁在a点受力为200kn 因此 应该以mmax b 作为强度计算的依据 弯曲强度计算 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 解 2 确定辅助梁所需要的工字钢型钢号码 因此 应该以mmax b 作为强度计算的依据 于是 由强度条件 可以算出辅助梁所需要的弯曲截面模量 弯曲强度计算 第7章b弯曲强度 2 应力分析与强度计算 解 2 确定辅助梁所需要的工字钢型钢号码 由热轧普通工字钢型钢表中查得50a和50b工字钢的wz分别为1 860 103cm3和1 940 103cm3