（江苏专用）高考数学专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第4讲不等式学案文苏教版.docx

第4讲不等式 2019考向导航考点扫描三年考情考向预测2019201820171不等式的解法第4题不等式在江苏高考中主要考查一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题基本不等式是考查重点试题多与集合、函数等知识交汇命题，以填空题的形式呈现，属中高档题不等式成立问题会在压轴题中出现，难度较大，不等式的实际应用有时也会在实际应用题中出现，主要利用基本不等式求最值2基本不等式第10题第13题第10题3不等式成立问题4线性规划5不等式的实际应用1必记的概念与定理已知x0，y0，则：(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大)确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线；特殊点定域，即在直线AxByC0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧特别地，当C 0时，常把原点作为测试点；当C0时，常选点(1，0)或者(0，1)作为测试点2记住几个常用的公式与结论(1)几个重要的不等式a2b22ab(a，bR)；2(a，b同号)ab(a，bR)；(a，bR)(2)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2bxc0(a0)，再求相应一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集(3)简单分式不等式的解法变形0(0(0(a0)恒成立的条件是ax2bxc1当a0时，f(a)()a31，解得a0时，f(a)1，解得a1因而a的取值范围为(，2)(1，)答案 (，2)(1，)2已知函数f(x)的定义域为A，2A，则a的取值范围是_解析 因为2A，所以44aa210，即a24a30，解得1a3答案 1a0)上的一个动点，则点P到直线xy0的距离的最小值是_【解析】(1)因为正实数x，y满足xy1，所以4248，当且仅当，即x，y时，取“”，所以的最小值是8(2)设P，x0，则点P到直线xy0的距离d4，当且仅当2x，即x时取等号，故点P到直线xy0的距离的最小值是4【答案】(1)8(2)4用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件对点训练3(2019苏锡常镇四市高三调研)若正数x，y满足15xy22，则x3y3x2y2的最小值为_解析 x3y3x2y2x3xy3yx2y2xy3x2y2x2y2xy2x2xy2x2xy6xxy1，当且仅当x，y时取等号，故x3y3x2y2的最小值为1答案 14(2018高考江苏卷)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC120，ABC的平分线交AC于点D，且BD1，则4ac的最小值为_解析 因为ABC120，ABC的平分线交AC于点D，所以ABDCBD60，由三角形的面积公式可得acsin 120asin 60csin 60，化简得acac，又a0，c0，所以1，则4ac(4ac)5529，当且仅当c2a时取等号，故4ac的最小值为9答案 9线性规划典型例题 (1)已知实数x，y满足则x2y2的取值范围是_(2)设zkxy，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k_【解析】(1)不等式组所表示的平面区域是以点(0，2)，(1，0)，(2，3)为顶点的三角形及其内部，如图所示因为原点到直线2xy20的距离为，所以(x2y2)min，又当(x，y)取点(2，3)时，x2y2取得最大值13，故x2y2的取值范围是(2)作出可行域，如图中阴影部分所示，由图可知当0k时，直线ykxz经过点M(4，4)时z最大，所以4k412，解得k2(舍去)；当k时，直线ykxz经过点(0，2)时z最大，此时z的最大值为2，不合题意；当k0，b0)的最大值为M，且M的取值范围是1，2，则点P(a，b)所组成的平面区域的面积是_解析 作出约束条件表示的平面区域如图1中阴影部分所示(三角形OAB及其内部)将目标函数zaxby(a0，b0)化为直线方程的形式为yx，若2，当直线yx经过点A(1，0)时，zaxby(a0，b0)取得最大值Ma1，2，由得点P(a，b)所组成的平面区域如图2中阴影部分所示，此时点P(a，b)所组成的平面区域的面积为若2，当直线yx经过点B(0，2)时，zaxby(a0，b0)取得最大值M2b1，2，由得点P(a，b)所组成的平面区域如图3中阴影部分所示，此时点P(a，b)所组成的平面区域的面积为综上，点P(a，b)所组成的平面区域的面积为答案 不等式的实际应用典型例题 “第五届上海智能家居展览会”于2017年7月5日7月7日在上海新国际博览中心举行，全面展示当前最新的智能家居某智能家居企业可以向社会提供智能家居套餐的生产和销售一条龙服务，由于2016年没有进行促销活动，该企业的某品牌套餐全年的销量只有125万套，如果延续2016年的经营策略，预计2017年的销量只有2016年的80%为了不断拓展市场，提高经营效益，拟在2017年借“第五届上海智能家居展览会”的东风对该品牌套餐进行促销活动经过市场调研，该品牌套餐的年销量x万套与年促销费用t万元之间满足关系：x(t0)预计2017年生产设备的固定成本为4万元，每生产1万套该品牌套餐需再投入27万元的可变成本，若将每套该品牌套餐的售价定为其生产成本的160%与平均每套促销费用的40%的和，则当年生产的该品牌套餐正好能销售完(1)将该企业2017年的利润y万元表示为关于年促销费用t万元的函数；(2)该企业2017年的促销费用为多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润销售收入生产成本促销费用，生产成本固定成本可变成本)【解】(1)由题意可知在x(t0)中，当t0时，x125081，代入上式得m1，所以x(t0)当年生产x万套时，年生产成本为27x4274当年销售x万套时，年销售收入为160%40%t由题意，生产x万套该品牌套餐正好销售完，由利润销售收入生产成本促销费用，得y160%40%tt所以y(t0)(2)y(11318)57，当且仅当t1，即t8时等号成立，即当该企业2017年的促销费用为8万元时，企业的年利润最大，且最大值为57万元利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解对点训练7(2019苏州调研)如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建一仓库，设ABy km，并在公路同侧建造边长为x km的正方形无顶中转站CDEF(其中边EF在GH上)，现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知ABAC1，且ABC60(1)求y关于x的函数解析式；(2)如果中转站四周围墙造价为1万元/km，两条道路造价为3万元/km，问：x取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M最低？解 (1)因为ABy，ABAC1，所以ACy1在直角三角形BCF中，因为CFx，ABC60，所以CBF30，BC2x由于2xy1 y，得x在ABC中，因为AC2AB2BC22ABBCcos 60，所以(y1)2y24x22xy则y由y 0，及x，得x 1即y关于x的函数解析式为y(x 1)(2)M3(2y1)4x34x令x1t，则M34(t1)16t2549，在t，即x，y时，总造价M最低所以x时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M最低1函数f(x)lg(2xx2)的定义域为_解析 1x0或0x0，则函数y的最小值为_解析 因为t0，所以yt4242，且在t1时取等号答案 23(2019高三第一次调研测试)若实数x，y满足xy2x3，则xy的最小值为_解析 作出可行域如图中阴影部分所示，令zxy，数形结合易知当直线zxy过点A(3，3)时，z取得最小值，zmin6答案 64(2019苏北四市高三质量检测)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x3，则不等式f(x)5 的解集为_解析 因为当x0时，f(x)2x3，所以当x0，即x0时，f(x)2x3，因为函数f(x) 是定义在R上的奇函数，所以f(x)2x3f(x)，所以f(x)2x3当x0时，不等式f(x)5等价为2x35，即2x2，无解，故x0时，不等式不成立；当x0时，不等式f(x)5等价为2x35，即2x8，得x3；当x0时，f(0)0，不等式f(x)5不成立综上，不等式f(x)5的解集为(，3答案 (，35某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是_解析 一年购买次，则总运费与总存储费用之和为64x48240，当且仅当x30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30答案 306(2019苏北三市高三模拟)已知对于任意的x(，1)(5，)，都有x22(a2)xa0，则实数a的取值范围是_解析 记f(x)x22(a2)xa，令f(x)0，由题意得，4(a2)24a0或所以1a4或4a5，即实数a的取值范围是(1，5答案 (1，57(2019扬州市第一学期期末检测)已知正实数x，y满足x4yxy0，若xym恒成立，则实数m的取值范围为_解析 x4yxy0，即x4yxy，等式两边同时除以xy，得1，由基本不等式可得xy(xy)5259，当且仅当，即x2y6时，等号成立，所以xy的最小值为9，因为m9答案 m98在R上定义运算：x*yx(1y)，若不等式(xa)*(xa)1对任意的x恒成立，则实数a的取值范围是_解析 由于(xa)*(xa)(xa)(1xa)，则不等式(xa)*(xa)1对任意的x恒成立，即x2xa2a10恒成立，所以a2a1x2x恒成立，又x2x，则a2a1，解得a答案 9记mina，b为a，b两数的最小值当正数x，y变化时，令tmin，则t的最大值为_解析 因为x0，y0，所以问题转化为t2(2xy)2，当且仅当xy时等号成立，所以0t，所以t的最大值为答案 10(2019宁波统考)已知函数f(x)loga(x2a|x|3)(a0，a1)若对于1x1x2的任意实数x1，x2都有f(x1)f(x2)0，a1)设g(x)x2ax3，由题意得：或则2a4或0a0(1)当a2时，求此不等式的解集；(2)当a2时，求此不等式的解集解 (1)当a2时，不等式可化为0，所以不等式的解集为x|2x2(2)当a2时，不等式可化为0，当2a1时，解集为x|2x1；当a1时，解集为x|x2且x1；当a1时，解集为x|2xa13(2019盐城市高三第三次模拟考试)如图，某人承包了一块矩形土地ABCD用来种植草莓，其中AB99 m，AD495 m现计划建造如图所示的半圆柱型塑料薄膜大棚n(nN*)个，每个半圆柱型大棚的两半圆形底面与侧面都需蒙上塑料薄膜(接头处忽略不计)，塑料薄膜的价格为每平方米10元；另外，还需在每两个大棚之间留下1 m宽的空地用于建造排水沟与行走小路(如图中EF1 m)，这部分的建设造价为每平方米314元(1)当n20时，求蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积；(结果保留)(2)试确定大棚的个数，使得上述两项费用的和最低(计算中取314)解 (1)设每个半圆柱型大棚的底面半径为r当n20时，共有19块空地，所以r2(m)，所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面的面积)为r2rAD222495103(m2)，即蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积为103 m2(2)设两项费用的和为f(n)因为r，所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面的面积)为Sr2rAD495，则f(n)10nS3141495(n1)10n4953141495(n1)314495495(n1)99(100n)198(n1)(100n9 502)1009 502，因为n220，当且仅当n10时等号成立，所以，当且仅当n10时，f(n)取得最小值，即当大棚的个数为10个时，上述两项费用的和最低14设m是常数，集合Mm|