概率统计简明教程多媒体参考资料第一篇概率论.ppt

工程数学 概率统计简明教程 第二版 多媒体参考资料 同济大学数学系柴根象蒋凤瑛杨筱菡 2011 12 1 第一篇概率论部分第二篇统计部分 2 信息时代与统计 代序 2009年8月6日的美国纽约日报有篇文章 题为 对如今的毕业生而言 就一个词 统计学 谷歌的首席经济学家哈尔 瓦里安说 我一直都说 在未来10年 最具吸引力的工作将是统计师 统计师地位的提高是近来电子数据爆炸式增长的结果 到2012年 全球电子数据约增长5倍 3 正如麻省理工学院的埃生克 布林约尔松所说 我们正在迅速进入一个每件事都能被监控和分析的世界 但问题在于人类利用 分析和解释数据的能力 这正反映了信息时代对统计和统计人才的强大需求 鲜活客观的数据是解决长期经济需求问题 以及确定重要政策的优先程序的第一步 因而人们只有借助统计学这一重要工具 使用计算机和缜密的数学模型 在大量数据中发掘重要信息 寻求其规律和决定对策 4 第一篇概率论部分 5 一 事件的概率 二 条件概率与事件的独立性 三 随机变量及其分布 四 随机变量的数字特征 6 一 事件的概率 1 随机事件2 概率的概念及性质3 古典概型 7 1 随机事件 在随机试验中 对某些现象的陈述为随机事件 也简称事件 对于指定的一次试验 一个特定的事件可能发生 也可能不发生 这就是事件的随机性 8 例1 第一章例1 投掷一枚均匀骰子 观察朝上面的点数 我们关注 出现点数不大于4 这个事件 记之为A 当试验结果出现3点时 事件A发生 当试验结果出现5点时 事件A不发生 总之 在试验前 无法判断事件A是否发生 9 事件的关系 1 B包含A 2 A B A与B相等 3 A与B互斥 A B不能在一次试验中同时发生 10 事件的运算 11 例2 第一章例7 有两门火炮同时向一架飞机射击 考察事件A 击落飞机 依常识 击落飞机 等价于 击中驾驶员 或者 同时击中两个发动机 因此A是一个较复杂的事件 如记Bi 击落第i个发动机 i 1 2 C 击中驾驶员 相对A而言 B1 B2及C都较A为简单 我们可以用B1 B2及C表示AA B1B2 C这可以简化复杂事件A的概率计算 12 事件分解的要点是 正确使用事件的运算建立各简单事件之间的关系 13 2 概率的概念及性质 概率是事件发生的可能性大小的度量 概率的统计定义 概率是频率的稳定值 常常用于概率的近似计算 是非常有用的 但要注意 试验次数要足够多 14 概率的三条公理 15 事件的加法公式及推广 对于任意事件A B 有 16 17 概型的要求 有限性 可能结果只有有限个 等可能性 各个可能结果出现是等可能的 概率的计算公式 3 古典概型 18 例4 第二章例1 设有批量为100的同型号产品 其中次品有30件 现按以下两种方式随机抽取2件产品 a 有放回抽取 即先任意抽取1件 观察后放回 再从中任取1件 b 不放回抽取 即先任意抽取1件 观察后不放回 从剩下的产品中再任取1件 试分别按这两种抽样方式求 1 两件都是次品的概率 2 第1件是次品 第2件是正品的概率 19 解容易验证满足古典概型的要求记A 两件都是次品 B 第1件次品 第2件正品 只讨论有放回情况 不放回情况是类似的 计算样本点总数 注意随机抽取2件产品的试验可以看成有放回地二次抽取 每次取一件 而每次抽取均有100种可能结果 依原理 一共有n 100 100 10 000种可能结果 此即样本点总数 20 而构成事件A的样本点的条件必须每次抽取来自30件次品 因此每次有30种可能结果 因而有k 30 30 900种可能结果 于是同理 可得 21 22 23 二 条件概率与事件的独立性 1 条件概率2 全概率公式和贝叶斯公式3 事件的独立性 24 1 条件概率 25 例6 第三章例3 一批零件共100件 其中次品有10件 今从中不放回抽取2次 每次取1件 求第一次为次品 第二次为正品的概率 解记A 第一次为次品 B 第二次为正品 要求P AB 由乘法公式 先求P BlA 及P A 已知P A 0 1 而P BlA 90 99 因此P AB P A P BlA 0 1 90 99 0 091 26 27 28 2 全概率公式和贝叶斯公式 29 30 在贝叶斯公式中 称P A1 P An 为先验概率 而P A1lB P AnlB 为后验概率 它表示在有了试验结果B已发生的附加信息下 对先验概率的修正 31 例8 第三章例6 血液化验一项血液化验以概率0 95将带菌病人检出阳性 但也有1 的概率误将健康人检出阳性 设已知该种疾病的发病率为0 5 求已知一个个体被此项血液化验检出阳性条件下 该个体确实患有此种疾病的概率 32 解此例的 结果 是血液化验检出是阳性 产生此结果的两个可能 原因 是 一 带菌 二 健康人 问题是求从已知 结果 为阳性条件下 而事实上是 带菌 的条件概率 P 带菌l阳性 记B 阳性 A1 带菌 A2 不带菌 已知由贝叶斯公式得到 33 带菌不带菌总和阳性0 951 992 94非阳性0 05197 01197 06总和1199200其中数字0 95 1 99是由假设条件及公式0 95 1 0 951 99 199 0 01算出 因此已检出阳性条件下 总共2 94人 带菌 只有0 95人 的条件概率为 为什么验出是 阳性 而事实上为 带菌 的概率如此小 以下是平均总数为200人的分类表 34 35 3 事件的独立性 36 37 38 39 40 41 42 三 随机变量及其分布 1 随机变量的分布函数2 离散型随机变量的分布3 连续型随机变量的分布4 二维随机变量的联合分布与边缘分布5 随机变量的函数及其分布 43 1 随机变量的分布函数 44 45 46 2 离散型随机变量的分布 47 48 例12 第四章例5 袋中有5个球 分别编号1 2 3 4 5 从中同时取出3个球 以X表示取出的球的最小号码 求X的分布律与分布函数 解由于X表示取出的3个球中的最小号码 因此X的所有可能取值为1 2 3 X 1 表示3个球中的最小号码为1 那么另外两个球可在2 3 4 5中任取2个 这样的可能取法有种 而在5个球中取3个球的可能取法共有种 49 50 51 52 53 54 55 56 3 连续型随机变量的分布 57 58 常用连续型分布 59 60 标准正态分布N 0 1 的密度函数图像 61 62 63 64 4 二维随机变量的联合分布和边缘分布 65 66 67 68 69 70 71 5 随机变量的函数及其分布 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 四 随机变量的数字特征 1 数学期望2 方差和标准差3 协方差和相关系数4 大数定律和中心极限定理 82 1 数学期望 83 期望的性质 84 85 86 例24 第七章例5 分赌本问题 pointproblem 甲乙二人各有赌本a元 约定谁先胜三局赢得全部赌本2a元 假定甲 乙二人每一局的取胜概率相等 现已赌三局结果是 甲二胜一负 由于某种原因赌博中止 问如何分2a元赌本才合理 提示如果甲乙两人平均分 对甲是不合理的 能否依据现在的胜负结果2 1来分呢 但仔细推算也是不合理的 当时著名数学家和物理学家帕斯卡提出一个合理的分法是 如果赌局继续下去 他们各自的期望所得就是他们应该分得的 87 88 例25 第七章例11 把n个球放进M只盒子 假定每只球落入各个盒子是等可能的 求有球的盒子数X的数学期望 89 90 2 方差和标准差 设有两批钢筋 每批10根 它们的抗拉强度为 第一批110 120 120 125 125 125 130 130 135 140 第二批90 100 120 125 125 130 135 145 145 145 可计算出两批数据的平均数都是126 但直观上第二批数据比第一批数据与平均值126有较大的偏离 因此 欲描述一组数据的分布单单有中心位置的指标示不够的 尚需有一个描述相对于中心位置的偏离程度的指标 对于随机变量也有相同的问题 除了使用期望描述分布的中心位置以外 尚需一个描述相对于期望的分散程度的指标 91 92 93 94 95 例27某公司初次加工的产品合格率为0 96 而不合格品中只有0 75可进行再加工 再加工的合格率为0 8 其余均为废品 已知每件合格产品可获利80元 而出现一件废品则亏损20元 为保证公司每天平均利润不低于2万元 问该公司每天至少应生产多少件产品 解记该公司生产的产品的合格率为p 依假设有P 0 96 0 04 0 75 0 8 0 984 设公司每天生产n件产品 而X为其中的合格品数 Y为n件产品的利润则X B n p 且Y 80X 20 n X 注意到 EY 80EX