（飞行器设计专业论文）结构可靠性与可靠性灵敏度分析的数字模拟方法研究.pdf

西北工业大学硕士学位论文 摘要 本文在前人基础上，对可靠性分析方法尤其是可靠性灵敏度分析进行了深入研 究，改进和发展了一系列的求解方法，具体研究内容如下 1 、针对基于线性拟合的可靠性灵敏度求解方法，提出了改进的基于加权线性 拟合来求解可靠性灵敏度的方法，该方法通过引入合理的权重系数，采用加权线 性回归来求解近似超平面，使求解出的可靠性灵敏度结果相对于原方法更为稳健。 另外，提出了两种选点策略，可使得到的近似超平面的过程更为有效与快速。 2 、利用马尔可夫链对感兴趣区域样本模拟的快捷性与自适应性，提出了基于 马尔可夫链模拟及加权线性拟合的可靠性灵敏度求解方法，并提出了基于马尔可 夫链模拟的可靠性灵敏度求解的积分方法，与m o n t ec a r l o 模拟的线性拟合法相比， 基于马尔可夫链模拟及加权线性拟合的可靠性灵敏度求解方法具有更高的效率和 精度。而与基于m o n t ec a r l o 抽样的可靠性灵敏度求解的积分方法相比，基于马尔 可夫链模拟的可靠性灵敏度求解积分方法也具有更高的效率，尤其是针对小失效 概率问题。 3 、提出了一种高效的计算结构失效概率的条件概率模拟方法。该方法通过引 入一个指定的失效概率可解析求出的失效域，将所求结构失效概率的计算转换成 引入的失效域的失效概率与一个特征因子的乘积。特征因子为引入的失效域与所 求结构失效域的条件概率的比值，它可以通过马尔可夫链模拟快捷的求解出。所 提方法计算效率高，且适用于隐式极限状态方程。 4 、在m o n t ec a r l o 模拟求解可靠性灵敏度方法的基础上，发展了计算可靠性灵 敏度的重要抽样方法，推导了可靠性灵敏度估计值的计算公式，并推导了灵敏度 估计值的方差与变异系数的计算公式。在单模式可靠性灵敏度分析重要抽样法的 基础上，发展了针对多模式可靠性灵敏度计算的混合重要抽样法，给出了多模式 混合重要抽样法可靠性灵敏度估计值的计算公式，通过算例证实了所提方法的效 率和精度。 5 、在传统的重要抽样方法基础上，提出了改进的重要抽样方法截断重要 抽样法来计算结构的失效概率和可靠性灵敏度，推导了截断重要抽样下失效概率 和可靠性灵敏度估计值的计算公式，给出了估计值的方差与变异系数。所提的截 断重要抽样方法通过引入超球面，将传统的重要抽样函数进行截断，从而使得在 计算失效概率和可靠性灵敏度时，所需要计算的极限状态函数的次数大大减少。 相比于传统的重要抽样法，在相同的计算极限状态函数次数的条件下，截断重要 抽样得到的估计值的变异系数更小。 6 、发展了求解失效概率的核密度函数自适应重要抽样方法，提出了可靠性参 数灵敏度求解的核函数自适应重要抽样方法，给出了在自适应重要抽样下，可靠 性灵敏度估计值的计算公式及估计值的方差、变异系数的计算公式。与求解可靠 性灵敏度的重要抽样法相比，该方法具有更高的抽样效率，并且能够直接应用到 系统的多模式可靠性灵敏度的求解。以有限混合密度函数估计代替核密度函数估 计，提出了一种基于有限混合密度函数估计的自适应重要抽样可靠性灵敏度求解 方法。相比于核密度函数估计的自适应重要抽样法，有限混合密度函数具有更小 的存储空间。 7 、基于扩展可靠性方法，将求解失效概率函数的最大熵密度函数拟合方法推 广到全局可靠性灵敏度的求解，并提出了采用有限混合法来求解失效概率函数及 全局可靠性灵敏度的方法，得到了全局可靠性灵敏度的近似解析解。通过对最大 熵法和有限混合法的失效概率函数及全局可靠性灵敏度计算结果的对照发现，最 大熵法结果精确但需求解积分形式的约束方程，有限混合法求解简单，但结果与 精确解在参数区间的尾部有较大的偏差。 关键词：可靠性，失效概率，灵敏度，概率灵敏度，全局灵敏度，m o n t ec a r l o ， 重要抽样，马尔可夫链，加权线性回归，条件概率，截断重要抽样，自 适应重要抽样，核密度函数，有限混合法，最大熵法，扩展可靠性。 l i 西北工业大学硕士学位论文 a b s t r a c t b a s e do nt h ep r e v i o u sw o r k si nr e l i a b i l i t y , as e r i e so fr e l i a b i l i t ya n a l y s i sm e t h o d s a n dp r o b a b i l i s t i es e n s i t i v i t ya n a l y s i s ( p s a ) m e t h o d sa r ed e v e l o p e da n di m p r o v e d ，t h e m a j o rn o v e l t i e sa r el i s t e da sf o l l o w s ： 1 b a s e do nt h el i n e a rr e g r e s s i o nq r ) p s am e t h o d ，a l li m p r o v e dp s am e t h o di s p r e s e n t e db yu o fw e i g h t e dl i n e a rr e g r e s s i o n ( w l r ) i nt h ep r e s e n t e dm e t h o d t h e h y p e r p l a n e i s a p p r o x i m a t e db yt h ew l rt h o u g hi n t r o d u c i n gr a t i o n a lw e i g h t e d c o e f f i c i e n t s t h u st h er e l i a b i l i t ys e n s i t i v i t yr e s u l t sb yw l ra r em b a s t e rt h a nt h a tb yt h e l r i na d d i t i o n ，t w os t r a t e g i e so fs e l e c t i n gt h es a m p l e sa r ep r o p o s e d ，b yw h i c ht h e h y p e r p l a n ec a nb ea p p r o x i m a t e dm o r ee f f i c i e n t l ya n dq u i c k l y 2 b yu s eo ft h ee f f i c i e n c ya n da d a p t a b i l i t yo fm a r k o vc h a i ns i m u l a t i n gs a m p l ei n t h e i n t e r e s t e dr e g i o n ，ap s am e t h o di sp r e s e n t e do nt h eb a s i so ft h em a r k o vc h a i n s i m u l a t i o na n dw l r , a n dap s a i n t e g r a lm e t h o db a s e do nt h em a r k o vc h a i ns i m u l a t i o n i sp r e s e n t e da sw e l l c o m p a r i n gw i t ht h em o n t ec a r l os i m u l a t i o nb a s e dl rm e t h o d t h e p r e s e n t e dp s am e t h o db a s e do nm a r k o vc h a i ns i m u l a t i o na n dw l rp o s s e s s e sh i g h e r e f f i c i e n c ya n dp r e c i s i o n c o m p a r i n gw i t hm o n t ec a r l os i m u l a t i o nb a s e dp s ai n t e g r a l m e t h o d ，t h ep r e s e n t e dp s ai n t e g r a lm e t h o db a s e do nm a r k o vc h a i ns i m u l a t i o nh a s h i g h e re f f i c i e n c y , e s p e c i a l l yi nc a s eo f s m a l lf a i l u r ep r o b a b i l i t y 3 ac o n d i t i o n a lp r o b a b i l i t ys i m u l a t i o nm e t h o d 、】l ，i t l lh i g he f f i c i e n c yi sp r e s e n t e dt o e v a l u a t es t r u c t u r a lf a i l u r ep r o b a b i l i t y i nt h ep r e s e n t e dm e t h o d ，af a i l u r er e g i o nw h o s e f a i l u r ep r o b a b i l i t yc a nb eo b t a i n e da n a l y t i c a l l yi si n t r o d u c e df i r s t l y , a n dt h es t r u c t u r e f a i l u r ep r o b a b i l i t yi st r a n s f o r m e da st h ep r o d u c to ft h ef a i l u r ep r o b a b i l i t yi n t h e i n t r o d u c e df a i l u r er e g i o na n dac h a r a c t e r i s t i cf a c t o r t h ec h a r a e t e r i s t i cf a c t o ri st h er a t i o o ft h ec o n d i t i o n a lp r o b a b i l i t yo ft h ei n t r o d u c e df a i l u r er e g i o na n dt h a to ft h es t r u c t u r a l f a i l u r er e g i o n ，w h i c hc a nb ee v a l u a t e db ym a r k o vc h a i ns i m u l a t i o n t h ep r e s e n t e d m e t h o dh a sh i g he f f i c i e n c ya n ds t r o n ga p p l i c a b i l i t yt ot h ei m p l i c i tl i m i ts t a t ef u n c t i o n n 1 a b s t r a c t 4 b a s e do nt h em o n t ec a r l os i m u l a t i o np s am e t h o d ，t h ei m p o r t a n c es a m p l i n go s ) s i m u l a t i o np s am e t h o di sp r o p o s e d t h ef o r m u l ae s t i m a t i n gp si sd e r i v e d ，a n dt h e f o r m u l a ee s t i m a t i n gt h ev a r i a n c e sa n dt h ev a r i a t i o nc o e f f i c i e n t so fp se s t i m a t i o n sb yi s a r ed e r i v e da sw e l l b ye x p a n d i n gt h ei sp s am e t h o df o rt h es i n g l ef a i l u r em o d e ，t h e m i x e di sp s am e t h o di se s t a b l i s h e df o rt h em u l t i p l ef a i l u r em o d e s ，a n dt h ef o r m u l a ef o r e s t i m a t i n gp sw i t l lm u l t i p l ef a i l u r em o d e sa r ed e r i v e d t h ee f f i c i e n c ya n dt h ep r e c i s i o n a r ed e m o n s t r a t e db yi l l u s t r a t i o n s 5 o nt h eb a s i so f t h et r a d i t i o n a li sm e t h o d ，at n m c a t e di m p o r t a n c es a m p l i n g ( t i s ) m e t h o d , a ni m p r o v e dv e r s i o no ft h ee x i s t e di sm e t h o d ，i sp r e s e n t e dt oe s t i m a t et h e s t r u c t u r a lf a i l u r ep r o b a b i l i t ya n dt h ep s ，t h ef o r m u l a ef o re s t i m a t i n gt h ef a i l u r e p r o b a b i l i t ya n dt h ep si n t h e t i sa r ed e r i v e d ，a n dt h ev a r i a n c e sa n dv a r i a t i o n c o e f f i c i e n t so ft h ee s t i m a t i o n sa 糟d e r i v e da sw e l l t h ep r e s e n t e dt i sm e t h o dt r u n c a t e s t h et r a d i t i o n a li sf u n c t i o nb yi n t r o d u c i n gah y p e r s p h e r e ，t h e r e f o r et h ee f f i c i e n c yo ft h e t i si si n c r e a s e dg r e a t l y c o m p a r i n gw i t ht h et r a d i t i o n a li sm e t h o d ，t h ev a r i a t i o n c o e f f i c i e n to ft h et i sm e t h o di ss m a l l e rt h a nt h a to ft h et r a d i t i o n a li sm e t h o di nc a s e t h a tt h en u m b e r so f c a l c u l a t i n gt h el i m i ts t a t ef u n c t i o na r et h es a m e 6 t h ek e m e ld e n s i t yf u n c t i o nb a s e da d a p t i v eh n p o r t a n c es m n p l i n g ( a i s ) m e t h o d f o rc a l c u l a t i n gt h ef a i l u r ep r o b a b i l i t yi sd e v e l o p e dt oc a l c u l a t et h ep s n ef o r m u l a ef o r e s t i m a t i n gt h ep s ，i t sv a r i a n c ea n dv a r i a t i o nc o e f f i c i e n ta r eg i v e ni nt h ek e r n e ld e n s i t y f u n c t i o nb a s e da i s c o m p a r i n gw i t ht h ei sp s am e t h o d ，t h ek e r n e ld e n s i t yf u n c t i o n b a s e da i sf o rp s ah a sh i g h e rs a m p l i n ge f f i c i e n c y , a n di tc a nb ed i r e c t l ya p p l i e dt ot h e p s aw i t hm u l t i p l ef a i l u r em o d e s r e p l a c i n gt h ek e r n e ld e n s i t yf u n c t i o nw i t ht h ef i n i t e m i x t u r ef f m ) d e n s i t yf u n c t i o n , af md e n s i t yf u n c t i o nb a s e da i sm e t h o df o rp s a h a s b e e np r o p o s e d i nc o n t r a s tt ot h ek e m e ld e n s i t yf u n c t i o nb a s e da i sm e t h o d ，t h ef m d e n s i t yf u n c t i o nm e t h o dr e q u i r e sl e s sm e m o r ys p a c e 7 b yt h ea u g m e n t e dr e l i a b i l i t yp r o b l e m ，t h em a x i m u me n t r o p ym e t h o df o rf a i l u r e p r o b a b i l i t yf u n c t i o n 口p f ) i se x t e n d e dt ot h ec a l c u l a t i o no ft h eg l o b a lp s ，a n d t h ef m d e n s i t yf u n c t i o nm e t h o df o re s t i m a t i n gf p fa n dg l o b a l p si se s t a b l i s h e d , a n dt h e a p p r o x i m a t ea n a l y t i cp sr e s u l ti so b t a i n e d b yc o m p a r i n gt h er e s u l t so f t h em a x i m u m e n t r o p ym e t h o dw i t ht h a to ft h ef mm e t h o df o re s t i m a t i n gf p fa n dg l o b a lp s ，i ti s i v 西北工业大学硕士学位论文 f o u n dt h a tt h er e s u l t so ft h ei n a x i m u n le n t r o p ym e t h o da r ep r e c i s e b u ti tn e e ds o l v ea r e s t r i c te q u a t i o ni ni n t e g r a lf o r m , w h i c hi sd i f f i c u l tt ob es o l v e d o nt h ec o n t r a r y , t h e f mm e t h o di se a s yt ob es o l v e d ，b u tb i ge r r o ro f t h ef mm e t h o de x i s t si nt h et a i lo f t h e p a r a m e t e rr e g i o n k e y w o r d ：r e l i a b i l 时：f a i l u r ep r o b a b i l i t y ；s e n s i t i v i t y ；p r o b a b i l i s t i cs e n s i f i v 时； g l o b a ip r o b a b i l i s t i es e n s i t i v i t y ：m o n t ec ! a r l os i m u l a t i o n ；i m p o r t a n c e s a m p l i n g ；m a r k o vc h a i n ；w e i g h t e dl i n e a rr e g r e s s i o n ；c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t y ；t r u n c a t e di m p o r t a n c es a m p l i n g ；a d a p t i v ei m p o r t a n c es a m p l i n g ； k e m e ld e n s i t yf u n c t i o n ；f i n i t em i x t u r em e t h o d ；m a x i m u me n t r o p y m c t h o d ；a u g m e n t e dr e l i a b i l i t yp r o b l e m v 西北工业大学 学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读 学位期问论文工作的知识产权单位属于西北一i ：业大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被查 阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和亍l 编本学位论文。 同时本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章。律注明作 者单位为西北工业大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名： 纠年 袁一嗲哥 3 月j 2日 指导教师签名：一臣鏖宣 2 口p 7 年；月，1 日 西北工业大学 学位论文原创性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人郑重声明：所呈交的 学位论文，是本人在导师的指导下进行研究1 ：作所取得的成果。尽我所 知，除文中已经注明引用的内容和致谢的地方外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经公开发表或撰写过的研究成果，不包含本人或他人已 申请学位或其它用途使用过的成果。对本文的研究做出重要贡献的个人 和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人学位论文与资料若有不实，愿意承担一切相关的法律责任。 学位论文作者签名： m 衣 嗲开 年弓月i z 日 西北工业大学硕士学位论文 1 1 绪论 第一章可靠性概述 1 1 1 结构可靠性分析设计概述 可靠性工程诞生已有半个多世纪，其发展过程主要体现为电子产品的可靠性。 随着电子元件的集成化以及制造工艺的完善化，电子产品的失效概率大大降低， 相比之下机械产品的可靠性问题就日益突出。美国六七十年代就将可靠性技术引 入到了汽车、拖拉机、发动机、发电设备等机械产品的设计中，我国从八十年代 以来也开始重视机械可靠性研究。 可靠性设计以概率论和数理统计为基础，把设计中涉及的变量看作随机变量， 考虑了随机因素对安全性的影响，是常规设计理论的深化和发展。与常规的安全 系数法相比，可靠性设计方法不仅更能揭示事物的本来面貌，而且还能较全面地 提供设计信息，避免了安全系数法为了追求保险会导致过分保守的设计，从而能 够节约原材料、降低成本并带来较大的经济效益。 1 1 2 结构可靠性分析中的基本概念 ( 1 ) 功能函数、极限状态方程和失效面 功能函数是结构可靠性分析中的一个基本概念，它表征了结构响应值与影响结 构安全的各因素之间的函数关系。若以随机向量茗= ( 而，屯，矗) 7 表示结构中的基 本影响因素，g ( x ) 表示结构的功能函数，则称g ( x ) = 0 为结构的极限状态方程。 极限状态方程所张成的表面称为失效面。知道了功能函数g ( x ) ，就可以如下定义 可靠性分析的失效域、安全域以及结构的失效、临界、安全状态，其中失效域为 n ，= 伽：g ( 工) o ) ，安全域为q ，= 协：g ( 工) 0 ) ，定义如下变量 第一章可靠性概述 z = g c x ，= i ； 失效状态 临界状态 ( 1 。1 ) 安全状态 则称z 为状态变量，也称g ( x ) 为极限状态函数。 ( 2 ) 可靠度及失效概率 可靠度只定义为产品在规定的条件下和规定的时间内，完成规定功能的概率。 在结构可靠性分析中，p 可以表示为随机向量x = ( 而，而，) 1 的联合概率密度函 数厂( 工) 在安全域q 。中的多重积分，即 o = ，( g ( 习 o ) = f f 苁的血 ( i 。2 ) 而相应的失效概率弓可以表示为厂( x ) 在失效域q 中的多重积分，即 0 = p ( g ( x ) o ) f f i 厂( x m ( 1 3 ) 显然由概率密度函数的性质可知，e 与弓具有互补性，即只+ 弓= 1 ( 3 ) 可靠度指标 可靠度指标口是最早用来度量可靠性的指标之一，它被定义为状态变量z 的均 值心与标准差吒之比，即 = 丝= 吒 ( 1 4 ) 当基本随机变量均服从正态分布，且状态变量为基本变量的线性函数时，失效 概率和可靠度可通过式精确计算。 f p = o ( ，) 协= m ( 叩) ( 1 5 ) 在基本变量不服从正态分布或状态变量为基本变量的非线性函数时，上式也常 用来近似估计失效概率和可靠度，但在高度非线性情况下的近似精度很差。 2 西北工业大学硕士学位论文 1 2 已有的结构可靠性分析方法 结构可靠性分析通常采用近似解析法和数值模拟法。 近似解析法的计算量较小。较常用的近似方法有一次二阶矩法、改进一次二 阶矩法( a d v a n c e d f i r s t o r d e r a n ds e c o n d m o m e n t ，a f o s m ) ，雷菲法( r _ f 法) 等。 它们可以用来求解线性和非线性极限状态方程失效概率。一次二阶矩法在均值点 将非线性极限状态方程展开成线性的，近似代替原非线性极限状态方程，然后求 展开后的线性极限状态方程的失效概率。a f o s m 法是把非线性极限状态方程在设 计点( 标准正态空间内失效曲面上距离原点最近的点) 处展开进行求解。这两种 方法都是针对随机变量服从正态分布的。若变量不服从正态分布，可以采用雷菲 法进行计算。a f o s m 法与r - f 法都假定基本随机变量之间相互独立，若各变量相 关，需要进行独立化。一次二阶矩法、a f o s m 法以及雷菲法是针对单失效模式 的。上述方法都是基于功能函数已知的情况下，当功能函数未知时可以采用响应 面法确定功能函数，得到功能函数后便可采用各种近似解析法和数值仿真法进行 计算。 数值仿真法适用性好、精度高，在结构可靠性分析、失效概率计算领域有着 十分广泛的应用。该方法的优点主要在于对极限状态方程的形式和维数、变量的 维数及其分布型式均无特殊要求，它以概率论和数理统计为基础。其中最简单的 是直接m o n t ec a r l o 法。它用落入失效域的样本点数与总的投点数之比值作为失效 概率的估计值。它的精度和收敛性通过大数定理来保证的。这就要求计算时抽取 大量的样本，以便有足够的样本点落入失效域内。然而由于工程中结构的失效概 率通常很小，常常导致直接m o n t ec a r l o 方法的计算量惊人。于是人们提出了各种 改进方法：重要抽样法、描述抽样法等。这些方法的抽样效率高，方差小，有较 强的实用价值，但是这些改进的方法抽样函数的选取是个难题。而数值仿真法求 解应用问题时，必然会遇到随机变量和向量的抽取。同时对于工程应用而言，常 常需要对工程变量的概率密度函数进行估算。 下面将简单介绍一些常用的可靠性分析方法。 1 2 1 一次二阶矩法 基本思路：将功能函数应用泰勒级数在均值点处线性展开，求解可靠度指标， 3 第一章可靠性概述 得到可靠度和失效概率。 设结构系统或元件结构极限状态函数z = g ( 工) 包含的变量为x - - ( x 。一x 2 ，) t ( ”为变量个数) ，各变量相互且独立服从正态分布，即( “，q ) ( i = l ，功，联 合概率密度分布函数为f ( x ) 。 将功能函数在均值点处线性展开成泰勒级数，取线性部分 z = g “，) * g ( 朋，以) + 喜( 挈。“一一) ( 1 6 ) 从而得到功能函数的均值和方差： 以= g ( h ，以)( 1 7 ) z 2 喜喏榭+ 喜砉白坤c 寺一c o v “刚 n 8 ， 若各基本变量相互独立，上式转化为 z = 窆l = 1 崇：砰 ( 1 9 ) l 肌 从而得到可靠性指标 = , f l _ l( 1 1 0 ) 于是可靠度 失效概率 式中西( ) 为标准正态函数。 1 2 2 改进的一次二阶矩法 只= ( )( l 1 1 ) 只= 西( 一)( 1 1 2 ) 改进一次二阶矩法基本思路：将功能函数应用泰勒级数在设计点( 标准正态 空闯内极限状态曲面上距离原点最近的点) 处线性展开，求解可靠度指标，从面 得到结构的可靠度和失效概率。 4 西北工业大学硕士学位论文 z - g ( 护，咖“，力嚆白山 ( 1 1 3 ) 喜( 缸( “) - o ( 1 1 4 ) z = 喜c 挈“删胪喜尝“一o 坳 肛莆2 黼忉 第一章可靠性概述 在独立正态变量空间里讨论问题。设结构极限状态函数g ( x ) 包含的变量为 工= 瓴，毛，而) t ( 甩为变量个数) ，各变量相互独立服从正态分布，即 ( 麒，q ) ( f = l ，功，联合概率密度分布函数为( 劝，在这些条件下失效概率 可写成如下形式 弓= 。j i ，( 工) 厂( 工) d x ( 1 1 9 ) 胪 其中，( 力为指示函数，当g ( 功0 时，1 ( x ) = l ，否则，( 句- - 0 ，r ”为一维变量 空间。 用基本随机变量的联合概率密度函数，( 曲进行抽样，设总共抽取了个样本 x v ：歹= i ，2 ， ，将落入失效域q = 扛：g ( x ) s o 内样本点的个数辑与总样本 点的个数 ，之比作为失效概率弓的无偏估计值，有： e = 等= 专扣山 n z 该失效概率估计值e 的方差胁( e ) 为 哳c 耻舢p 掀肛哆2 k c 哆叫， z t ， 该估计值的变异系数v ( e ) 为 呻= 鲁= ( 1 2 2 ) 由上式可以看出，当结构的失效概率较小时，要达到较高的估算精度，需抽取的 样本数非常大。 1 2 4 重要抽样法 对于结构可靠性问题，提高m o n t ec a r l o 抽样效率的途径就是使抽取的样本点 有较多的机会落入失效域内，就是需要改变随机变量的抽样重心。采用重要抽样 法时，计算失效概率的式( 1 。l9 ) 的可改写成下式 6 西北工业大学硕士学位论文 弓叫丛掣揪m ( 1 2 3 ) 其中1 l ) 为重要抽样密度函数。 以重要抽样密度函数而( 功对x 进行抽样，设抽取了m 个样本 o 钆j = l ，2 ，m ，则重要抽样下失效概率弓的估计值易为： 厶= 击善等铲 m z 上式中失效概率估计值易为失效概率弓的无偏估计，如下所示 e ( 乞斗号皆坼胁弓 ( 1 z s ) 失效概率估计值吃的方差为： ? = 聪! f i 辨( x ) f ( x ) 2d x - 6 2 乏2 l n 厕 z 出姜毪铲喀l 一 从上式可以看出，重要抽样密度函数 ( 功的选取对失效概率的估计影响较大， 当而( x ) = i c x ) f ( x ) p 时，v a r ( p y h ) = 0 ，此时，失效概率的估计为准确值，这时 的重要抽样函数称之为最优抽样密度函数，记为厶( x ) 。但实际上，失效概率弓的 值是不能预先知道的，因而最优抽样密度函数是无法取得的。通常重要抽样法是 将重要抽样密度的中心由均值点移到设计点，这种重要抽样简单易实现，而且效 率也比m o n t ec a r l o 法提高了很多。 1 3已有的可靠性灵敏度分析方法 1 3 1 灵敏度的定义 一般来讲，概率灵敏度( p r o b a b i l i s t i es e n s i t i v i t y , p s ) 是指随机变量的不确定性对 模型输出的不确定性的影响程度。灵敏度的度量指标包含很多不同的定义形式， 7 第一章可靠性概述 通常灵敏度分成两种，全局灵敏度( g l o b a lr e s p o n s ep r o b a b i l i s t i cs e n s i t i v i t y , g r p s ) 和局部灵敏度( r e g i o n a lr e s p o n s ep r o b a b i l i s t i cs e n s i t i v i t y , r r p s ) 。全局灵敏度考察 的是输入变量的整个分布区间，而局部灵敏度考察的是输入变量分布的一个部分 区间。 灵敏度分析在工程设计领域有很多方面的应用。如可以求解概率重要因子，从 而可以为设计问题减少变量空间的维数，还可以考察随机变量的概率分布的变化 对结构模型输出的影响和模型的稳定性，还可以考察输入随机变量不确定性的减 少对概率响应输出的改进程度等等。 本文中主要讨论一种基于失效概率的灵敏度度量指标，其定义为结构失效概率 只对基本随机变量的某一分布参数谚( 如鸬或q ) 的导数，即a 弓o o , 。它体现了基 本变量概率分布的变化对结构失效概率的影响程度。在本文中我们将a 只a 鼠称为 可靠性灵敏度。 目前比较常用的可靠性灵敏度分析方法包括：改进的一次二阶矩法 ( a f o s m - a d v a n c e df i r s to r d e ra n ds e c o n dm o m e n t ) 、m o n t ec a r l o 线性近似法、 m o n t ec a r l o 积分法和有限差分法。下面将分别介绍。 1 3 2 基于a f o s m 法可靠性灵敏度分析方法 设包含拧个正态基本随机变i x a i = 1 ，2 ，盯) 的可靠性分析问题的极限状态方 程为g ( x ) = 0 ，其中工= “，而) 7 为相互独立的正态随机向量，且而- n ( ，o - , 2 ) ， f = 1 , 2 ，甩，以和q 分别为t 的均值和标准差，对某一极限状态方程g ( 习= 0 ，可 应用a f o s m 法求解出功能函数g ( x ) 在设计点p + 处线性展开后的极限状态函数 g ( x ) 如下所示： g ( x ) g ( x ) = + q 葺 ( 1 2 7 ) 其中和q ( i = l ，疗) 为方程中相应的常系数，若设计点坐标，为( 寸，0 ，) ， 则 8 西北工业大学硕士学位论文 一喜( 鼽i 一( 鼽 f = 1 ，2 ，n( 1 2 8 ) 由于g ) 为x 的线性函数，所以可求得g ( 曲的均值心和标准差 恐= + q “ 1 ：f 窆( ) 2 1 i l i f f i lj ( 1 2 9 ) ( 1 3 0 ) 并进而求得可靠度指标和相应的失效概率0 如下所示： = 丝( 1 3 1 ) 弓叫胡= 亡击唧( 一爿出 s z ， 根据复合函数求导法则，对上式两边求偏导，可以容易地求出失效概率对基 本变量均值鸬和标准差q 的灵敏度鲁和磬的显式分别如下所示： 0 “o o 。 鼍= 嚣筹= 一赢e x d 一三2 晦) 2 ，= = 一；= ；一l 一一j4 ii1 1 j j i 钆筇钆2 万c r g il 川 、 鲁= 嚣矿o p 纽e x d h 矧 3 ，4 q 2 o 。3 2 。， o = o = d 2i 一一1 2 ff1 a 毋筇a qii j l 、7 从上述过程可以看出，基于a f o s m 的可靠性灵敏度分析方法对于正态变量 且极限状态方程为线性的情况，可以得到可靠性灵敏度的精确解，而对于非线性 极限状态方程，该方法只能得到灵敏度的近似解。 1 3 3 基于m o n t ec a r l o 模拟的线性近似灵敏度分析方法 m o n t ec a r l o 数字模拟方法是一种用来求解复杂或隐式极限状态方程失效概率 的方法。基于m o n t ec a r l o 的可靠性灵敏度分析方法的基本思路是：由失效域的样 本点来得到复杂或隐式极限状态方程的线性近似方程g ( 善) = 0 。文【l 】给出的具体 实施步骤是：选取所有落入失效域的样本点 一以，= i ，2 ，m 1 ，m 为落入失效域 9 第一章可靠性概述 样本点总数，通过线性回归的方法来拟合真实的极限状态方程，从而得到其线住 近似的极限状态函数g ( 移如下： g ( x ) = a o + q 一 ( 1 3 5 ) 记失效域中肘个样本点x ； 力，妒，妒 t ( = 1 ，2 ，m ) 处的极限状态 值列矩阵为j ，= g m ) ，g ( x 2 ) ，g ( x u b 1 ，并记g ( 却的系数列矩阵 a = ( a o ，q 以) 7 ，记6 矩阵如下： 则有： b = 1 卵，馨，掣 1 ”，坪，蜉 1 爿，妒 ( i 。3 6 ) ( 1 3 7 ) 以g ( x ) = o 近似代替原极限状态方程g ( 功= 0 ，即可用a f o s m 类似的方豫采 求可靠性灵敏度。灵敏度结果可写成如下形式。 鼍= 嚣x 署= 一壶e x p 卜2 ( 老) 2 m ，s ， - l = 二x 二一= 一；= 一 d l 一一l li1 1 j oj 钆筇钆2 加i 1 ll i 磬；嚣苦= 潞4 2 ，r c r a 唧卜2 ( 老) 2 ， a q 筇a q3 ll ，i 娜= 告= ( 嘞+ 扣) 阻叫j 将上述基于m o n t ec a r l o 的可靠性灵敏度分析方法称为m o n t ec a r l o 线性近似 法。从上述方法的基本思路可以看出，基于m o n t ec a r l o 的可靠性灵敏度分析方法 与基于a f o s m 的方法一样，对于线性的极限状态方程可以得到可靠性灵敏度的 高精度解。而对于非线性极限状态方程，该方法只能得到近似解。 l o 西北工业大学硕士学位论文 1 3 4 基于m o n t ec a r l o 积分的可靠性灵敏度求解 在结构可靠性分析中，设极限状态函数g ( 善) 为基本随机变量x = “，x 2 ，矗) 7 的函数，各变量毛o = 1 ，2 ，万) 均服从正态分布薯( 以，q 2 ) ，结构的失效概率弓 可由下式求解 哆= p ( g ( x ) o ) = f ( x ) d x ( 1 4 0 ) 可靠性灵敏度通常定义为结构失效概率0 对其基本变量分布参数6 ：( 鸬和q ) 的偏导数，上式对谚求微分可得 嚣2j 0 挚 m 4 ， 该偏导数描述基本变量分布参数的不确定性对结构可靠性的影响程度。 基于上式，w u 1 4 , 1 5 推导出基于失效概率积分的可靠性灵敏度求解方法，提出 下式所示的无量纲的失效概率对变量的分布参数只的正则化灵敏度系数。 黾= 船= 纾百o f ( x ) 缸 ( 1 4 2 ) 变换式( 1 4 2 ) ，可以将其写成失效域上的数学期望的形式 州0 南等 等卜吐器 。， 4 s ， 上式右边是失效域上一个函数的数学期望的形式，它可以通过抽样的方法来进行 求解。f ( x ) p 代表落入失效域中的样本点的概率密度。 特别地，对于相互独立的正态变量玉而言，变量均值肛和标准差q 的灵敏度 可以进一步简化为如下形式 = 鬻= 叱警 卜乩， m 4 4 ， & = 鬻= e 2 _ l 卜乒1 n ， n 。5 ， 第一章可靠性概述 其中q = “一“) q 为标准正态变量。 灵敏度瓯、为正则化的可靠性灵敏度，它反映各变量分布参数对失效概率 的相对影响程度，但是不能直观的给出基本变量每个分布参数对失效概率影响程 度的大小。通过下式的转换，可以得到与正则化可靠性灵敏度对应的一般的可靠 性灵敏度。 鲁：黾三 ( 1 4 6 ) 萌2