（应用数学专业论文）α连分数简介及其性质.pdf

i 摘 要 一个数有很多种表示方式然而比起我们熟知的进制分数来说连分数作为数 的一个表示方式有很多优点其中衡量一个数的表示形式的优劣一个的必要标准 就是这种表示方式可以多大程度上反映了这个数的性质是否容易从这种表示方式 上判断出这种性质从这方面讲连分数比起进制分数具有明显的优势其中正规 连分数最近整数连分数在数的表示方面已经有了很深的研究本文主要讨论了相 似于但不同于这两种连分数的连分数形式连分数它是正规连分数最近整 数连分数的推广可以发现当1= 和0.5=时就是上述正规连分数最近整数连分 数形式正规连分数的研究历史要比连分数长一些得到了很多好的结论已经 形成了近乎完整的整套理论 而关于连分数的理论结果也没有象正规连分数这么 丰富它是 nakada 在 1981 年才提出逐渐被研究的nakada 等人平行与正规连分数 做出了许多与正规连分数相似的性质本文主要采取与正规连分数对比的方式叙述 了这些连分数所具有的与正规连分数相似的性质连分数与正规连分数的关 系也考虑了是否正规连分数的其他性质可以被连分数所具有的问题本文中 根据 nakada 已经得到的连分数的性质和正规连分数中部分商分布的一些结果 也提出了在这种连分数表示中部分商有界集合的维数问题并得到一个等价的结论 关键词正规连分数连分数部分商豪斯多夫维数 ii abstract a number has many kinds of expressions; however, comparing with far more widely established systematic fractions, continued fractions, also as an expression, have many advantages. to weigh which expression is the better, a necessary criterion is how clearly the expression reflects this number and whether we can deduce the properties of this number from the expression easily. with regard to above criterion, the preference must be conceded to continued fractions as opposed to systematic fractions. as we know, regular continued fractions and nearest continued fractions have been researched intensely. in this paper, we mainly talk about a similar but different kind of continued fractions- continued fractions, which is the extension of regular continued fractions and nearest integer continued fractions. we can get the above mentioned regular continued fractions and nearest integer continued fractions when 1=and0.5=. regular continued fractions with much longer research history and much more beautiful results than continued fractions put forward by nakada in 1981 has form a complete set of theory system. in this paper we mainly talk about properties similar to regular continued fractions and researched by nakada and so onthe relations between continued fractions and regular continued fractions and also take the question whether continued fractions have other similar properties into account. in this paper, we have put forward the question about hausdorff dimension of the set of numbers with bounded partial quotients and got an equivalent conclusion according to properties of continued fractions and the similar result in the case of regular continued fractions. keywords: regular continued fractions; continued fractions; partial quotients; hausdorff dimension 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果尽我所知除文中已经标明引用的内容外本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出贡献的个人和集体均已在 文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名 日期 年 月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留使用学位论文的规定即学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版允许论文被查阅和借阅 本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索可以采用影印缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 保 密 在_年解密后适用本授权书 不保密 请在以上方框内打“” 学位论文作者签名 指导教师签名 日期 年 月 日 日期 年 月 日 本论文属于 1 1 绪 言 1.1研究背景 十七十八世纪的许多大数学家都研究过连分数即使在今天它仍然是个活跃 的研究课题一个数可以由一个连分数来表示同样一个连分数也表示一个对应 的数这使得它可以与平常的的进制分数相抗衡 连分数作为数的一个表示方式有很多优点其中作为一个表示数的形式一个 衡量的必要标准就是这种表示方式可以多大程度上反映了这个数的性质是否容易 从这种表示方式上判断出这种性质从这方面讲连分数具有明显的优势平常我 们所用的进制分数总和一个基数系统相对应不可避免的将更多反映这个数与基数 系统的相互作用而非所表示的这个数自己所特有的性质相反连分数完全独立于 任何的基数系统它完全从数的本身性质出发构建的一种表示方式例如我们所熟 知的一个数是一个无理数还是一个有理数只须看连分数表示是无限的还是有限 的就可以了而在普通进制分数情况下这种相应的情况就难以判断了另外连 分数可以在任意小的误差下逼近所表示的数并且可以知道连分数的收敛因子是 所表示数的最佳逼近 大家熟知的是正规连分数其基本性质和一些度量性质都已成为大家共知的内 容并且已经形成了近乎完整的整套理论现在连分数的作用也逐渐在丢番图逼近 分形几何等科目的研究中体现出来并且越来越成为数论研究中的重要手段和内容 而连分数是 nakada 在 1981 年才提出逐渐被研究的其中一种特殊的连分数 情形就是当取 1 2 的时候实际上它就是我们所接触过的最近整数连分数另外 当取 1 的时候就是我们上面提到的正规连分数可以看到连分数实际上包 含了正规连分数和最近整数连分数的情形 而关于连分数的理论结果也没有象正 规连分数这么丰富nakada 等人平行与正规连分数证明了对于正规连分数所具有的 2 性质连分数也具有相似的性质这不禁令我们想到是否正规连分数的其他性质 也可以被连分数所具有或者它具有与正规连分数相似的性质本文主要叙述了 已有的连分数的结论并针对上述面临的问题进行了初步的探讨 1.2研究现状 对每一个实数0,1)x给定高斯映射如下 1:0,1) 0,1)t 1 11 |0 00 x t xx x = = 其中 y 表示不超过 y 的最小整数定义 11 1 ( ) 0 ( ) 0 n nn txx aax x = = 则我们得到x的正规连分数展式如下 123 1 2 3 11|1|1| 1 | 1 x aaa a a a =+ + + + l k khintchine 在1中给出了 1 t的遍历的绝对连续的不变的概率测度 11 log21 ddx x = + 还说明了( ) n ax 关于测度不可积除了这个性质外关于数列 n a还有许多度量性的结论1 khintchine 在1中还给出 borel-bernstein定理 n 是关于n的任意正数列对几乎所有的(0,1)x( ) nn ax对无穷多个n成立当且仅 当 1 n = 2khintchine 在1中证明了 1 1 log n n n a nn = 以测度收敛到 1 log2 diamond 和 vaaler 在2中证明了令 1 max nn n n ta =对几乎处处的(0,1)x 3 1 1 lim loglog2 n nn n n at nn = = 成立philipp 在3中证明了对几乎处处的(0,1)x loglog1 liminf log2 n n nt n =成立3jarnik 在27中证明了集合 1 (0,1):sup( ) n n exax = 和 2 loglog ( )(0,1): lim n n nt ex n = (0) 的豪斯多夫维数是 1还在12证明了对任意01b 集合 1 3( , ) (0,1):lim n n n n n a e bx b = = 的豪斯多夫维数是 1以及结论对任意0,1b c 集合 1 4( , , ) (0,1):lim n n n n b n a e b cx c = = 的豪斯多夫维数是 1 1b+ 5对于正规连分数还有结论对几乎所有的0,1)x有 2 log( )1 lim log212 n n qx n = 成立 对于以上所列举的其中一些正规连分数的性质nakada 在5和11中给出了与正规 连分数125相似的性质 4 1.3研究思想和方法 连分数的展式最早由 mckinney定义后来nakada 等人对连分数作了 平行与正规连分数的研究和发展得到了一些与正规连分数相似的性质为了使得 大家对连分数有个更加清晰的了解本文主要采取与正规连分数对比的方式简 介了连分数的定义基本性质并总结了已经得到的那些与正规连分数相似的性 质结论本文第二节给出了正规连分数与连分数的定义及它的一些基本性质 讨论了连分数与正规连分数的关系并给出了一些例子第三节给出了正规连分 数与连分数相互对应的一些度量性质 并得到了一个等价的结果 第四节对连 分数进行了总结和展望考虑了对连分数可能还有类似结论的问题 5 2 连分数简介 2.1正规连分数和最近整数连分数的定义 2.1.1正规连分数的定义 对每一个实数0,1)x给定高斯映射如下 1:0,1) 0,1)t 1 11 0 00 x txx x = = 其中 y 表示不超过 y 的最小整数定义 11 1 ( ) 0 ( ) 0 n nn txx aax x = = 则我们得到x的正规连分数展式如下 123 1 2 3 11|1|1| 1 | 1 x aaa a a a =+ + + + l k khintchine 在1中说明了每一个实数的正规连分数展式是唯一的 说明了一个数的正 规连分数展式是有限长的当且仅当这个数是一个有理数 2.1.2正规连分数的基本性质1 在上述正规连分数展式中我们称, 3210n aaaaa为正规连分数的部分 商我们定义 n q 和 n p 递推关系如下 10 12 10 12 1;0 (1) 0;1 (1) kkkk kkkk pp pa ppkn qq qa qqkn = =+ = =+ 6 对任意0,1)x1n 我们令( ),( ) nnnn pxpqxq=那么 ( ) ( ) n n px qx 称为x的n阶收敛 因子并且 123 ( ) ( ),( ),( )( ) ( ) n n n px a x a x a xax qx =l显然无限连分数有无限个收敛因子 有限连分数有1k + 个收敛因子阶为0,1,2,kl而且这个有限连分数表示的这个数 就是第1k + 个收敛因子令 1 , kkkn ra aa + =l 称为有限连分数的余项 , 21 + = kkkk aaar称为无限连分数的余项显然无限连分数的余项是无限连 分数有限连分数的余项是有限连分数为了能更好和连分数进行对比以下主 要列出了正规连分数的基本性质和一些结论 定理2.1 对任意的,(0)kk 有 11 ( 1)k kkkk q pp q = 成立 推论2.2对任意的,(1)kk 有 1 11 ( 1)k kk kkkk pp qqq q = 成立 定理 2.3 对任意的,(1)kk 有 1 22 ( 1)k kkkkk q pp qa = 成立 推论2.4 对任意的,(2)kk 有 1 2 22 ( 1)k kkk kkkk ppa qqq q = 成立 定理 2.5 偶数阶的收敛因子形成一个递增的数列 奇数阶的收敛因子形成一个递减 的数列而且每个偶数阶的收敛因子的值小于任何一个奇数阶收敛因子的值 定理 2.6 对任意的,(1)kkn,有 7 12 12 kkk kkk prp x qrq + = + 成立 定理2.7 对任意的,(1)kk 有 11 1 ;, k kk k q a aa q =l 成立 定理2.8 对几乎所有的0,1)x有 2 log( )1 lim log212 n n qx n = 成立 定理2.9 对任意的,(2)kk 有 (1) 2 2 k k q 成立 定理2.10 对任意无理数0,1)x任意,(0)kk 有 11 11 () k kkkkkk p q qqqqq + + 成立 2.1.3最近整数连分数的定义 对每一个实数 1 1 , ) 2 2 x 给定映射如下 1/2 1 11 1 :,),) 2 22 2 t 1/2 1/2 11 0 00 x txx x = = 其中 1/2 y表示对任意 1/2 1 1 , ) 2 2 yi=当 11 ,) 22 ynn+时 1/2 yn= 定义 11 1/2 ( ) 0 ( ) 0 n nn txx ccx x = = 10 ( ) 10 nn x x x 我 们 有 1 ( ; )0;( ; )( ; ) nnn qxqxqx + 进一步有 ( ; )0 n px当且仅当0 x 证明当 151 , 22 和 51 (,1 2 时对任一正整数 i ,( )i cx 分别属于 2, 3, 4l和1,2, 3,4l再由上面2.1 式易知结论成立 推论2.12nakada5对任意无理数xi ( ; ) lim ( ; ) n n n px x qx = 1 ,1 2 证明令( ) n ttx =则| | 1t 由2.2 式和2.3 式得 11231 11 ( ; )( ; )( ; )( ; )( 1) ( ; )( ; )( ; )( ; )( ; )( ; )( ; ) n nnnnn nnnnnnn pxpxtpxpxt x qxqxtqxqxqxqxtqx + + = + l (记为 2.4 式)再由引理 2.11 可知 ( ; ) lim0 ( ; ) n n n px x qx =故结论成立 下面我们考察一下n阶收敛因子的误差由2.4 式和关系式 11 1 1 | | nn cc t + + 其中 1 2 2 d =+ 证明由2.1 式得 如果 151 , 22 那么 , |( )| 2 n cx 且 , ( )2 n cx = 时 ,1( ) 2 n cx + 则由引理 2.11 得到 11 ( ; )3( ; ) nn qxqx + 2.6 如果 51 (,1 2 那么 , ( )2 n cx 且当 , ( )1 n cx = 时 ,1( ) 1 n cx + 而对任意固定 的n和当 51 2 =时 , ( )1,(1) n cn =( ; ) n qx达到最小故 1112 ( ; )( ; )( ; )2( ; )( ; ) nnnnn qqqqq + =+=+ 我们得到 122 1123 ( ; )( ; )( ; )1 222,(3) ( ; )( ; )( ; )( ; )2 nnn nnnn qqq n qqqq + =+=+ + 2.7 由上述2.6 式和2.7 式得存在一个 1 0使得 2 1 1 ( ; )(2) 2 n n qx+同理可 11 证存在 2 0使得 2 2 1 ( ; )(2) 2 n n px+结论成立 命题2.14 5 对任意 1 1 2 和任意无理数xi存在一个常数 2 0使得 2 ( ; ) loglog,(1) ( ; ) n n n px xdn qx 证明由2.5 式和引理 2.13 可得 22 1 ( ; )22 1 ( ; ) ( ; )( ; ) ( ; ) n n n nn n qxx d px qxpx qx 再由log(1)x+的泰勒展式可得结论成立 命题2.15 5存在t的一个遍历的绝对连续不变测度定义如下 ( )( ) a achx dx = 其中密度函数( )hx 和常数c由下面两种情形给出 casei 151 , 22 11 2 1, 1 11 221 ( )(,) 21 121 ,) 1 x xg hxx x x xg + = + + 1 (log)cg =其中 51 2 g + = case(ii) 51 (,1 2 11 (1, 2 ( ) 11 (, ) 1 x x hx x x + = + 1 (log(1)c =+ 12 命题2.16 5对任意 1 1 2 (,)it 是遍历和精确的 引理2.175对任意 1 1 2 2 log( ) 12 i x hx dm = 成立 证明令 1 ( )log( )fx hx dm =由命题 2.15 可知( )f在 1 ,1 2 上连续并在两 个开集 151 ( ,) 22 和 51 (,1) 2 上可微当 151 ( ,) 22 时 1 2211 1 2211 0 10 ( )log()log()loglog 122 dxdxdxdx fxxxx xxxx =+ + ( 1 2)(21) (1) ( 1 2)( 21) (1) 1 00 loglogloglog 122 dxdxdxdx xxxx xxxx =+ + + 故可得 2 1 11121 log(1)log 1 df d = + + 1211211 logloglog 11 + + 2 (21) (1) 1121 log (1)1 + 111 log (1) = + + 111 log(1) 1(1) (12) + + + + 1111 log(21) (1)1(1) (12) + + + + 0= 当 51 (,1) 2 时同样可以直接得到0 df d =故可知( )f在 1 ,1 2 上是常数因 为 2 1 0 log 112 dx x x = + 故得到 2 ( ) 12 f = 推论2.185对任意 1 1 2 2 1 limlog( ; ) 12 n n qxc n = ( . . )a a x 13 证明因为 1 ( )( ; )( ); ) jj x pxqtx + =故我们有 1 121 1 1 1 ( )( )( )( ); ) ( ; )( ); ) k n nnk k k nnk xxxptx qxqtx + = + = l 并且 1 12 1 ,1, ( )|( )|( )|1 ( )( )( )() ( ; )|( )|( )|( )| n kkn n k nkkn xxx xxx qxcxcxcx + = + =+ ll 由命题 2.14 得 1 1 2 1 ,1, ( )|( )|( )|1 log( )log |( )|( )|( )| k kkn nk kkn xxx tx cxcxcxd + + + +l 从上面两式我们得 11 22 11 1111 111 log( )loglog( ) ( ; ) nnnn kk nknk kkkk n txtx dqxd + + = + 和 11 22 11 1111 11111111 log( )loglog( ) ( ; ) nnnn kk nknk kkkk n txtx nndnq xnnd + + = + 由t的遍历性引理 2.17遍历定理我们得到 2 1 1 1 lim( log( )log( ) 12 n k i n k txcx hx dmc n = = = 故由上式易知结论成立 推论2.19 5对任意 1 1 2 2 ( ; ) limlog ( ; )6 n n n px xc qx = ( . . )a a x 证明由2.5 式和上述推论直接得到 ? 2.3 连分数的展式举例 下面分别给出了 51 2 + 的正规连分数展式 3 4 -展式和 3 5 -展式 例子 14 51 2 + 的正规连分数展式 511|1|1| 1 2|1|1|1 + = +l 51 2 + 的 3 4 -展式 511|1|1| 1 2|1|1|1 + = +l 51 2 + 的 3 5 -展式 511|1|1| 1 2|2|3|3 + = +l 2.4 连分数与正规连分数的联系 kraaikamp 在7中说明了从一个正规连分数可以通过一个高斯映射的自然扩展 的诱导变换得到连分数本节主要讨论了连分数与正规连分数相反的转换 给出了从连分数得到正规连分数的算法 引理2.20kraaikamp7对任意的, , 下式成立: 11 1 1 1 (1) += + + + + 2.8 特别地下式成立: 11 1 1 1 (1) += + + + 2.9 证明经简单计算即得 下面我们用上述引理给出从连分数得到正规连分数的算法,我们令 ( )# :1,( )1 nk lxkknx= ()xi下面分两种情形 case (i):0 x 记x的连分数展式为 312 123 | | x ccc =+l 我们用下列递推的方法定义正规连分数中的部分商,(1) n an 因为0 x 故 1 1= 记 11 ac=此时 1( ) 0l x =为了看清正规连分数的部分商的递推关系我们假设 15 312 123123( ) |1|1|1|1| | n n nnlx ccccaaaa + +=+ll 当 11 1,( )( ) nnn lxlx + = 时令 1 ( )( ) 1( )1 nn n nlxnlx nlxn aa ac + + + + = = 当 11 1,( )( ) 1 nnn lxlx + = =+ 时令 1 ( )( ) 1( ) 1( )1 1 1 1 nn n n nlxnlx nlx nlxn aa a ac + + + + + + = = = 由引理 2.20 中的2.8 式得 1 3112 1231123(1)( ) |1|1|1|1| | n n nnlx ccccaaaa + + + +=+ll 当 1 1 nn + = 时可以证明3 n c 这使得即使在1 n = 时 ( ) 1 n nlx a + case (ii): 0 x 这种情况下, 1 1= ,由引理 2.20 中的(2.9 式)得: 32 123 |1|1| 1 |1|1| x ccc +=+ l 记 121 1,1aac= ,此时 1( ) 1l x = .为了看清正规连分数的部分商的递推关系我们假 设 312 123123( ) |1|1|1|1| 1 | n n nnlx ccccaaaa + +=+ll 当 11 1,( )( ) nnn lxlx + = 时令 1 ( )( ) 1( )1 nn n nlxnlx nlxn aa ac + + + + = = 当 11 1,( )( ) 1 nnn lxlx + = =+ 时令 16 1 ( )( ) 1( ) 1( )1 1 1 1 nn n n nlxnlx nlx nlxn aa a ac + + + + + + = = = 上述递推式与第一种情形一样 从上面的分析我们很容易得到下列推论 推论2.21 11上面所得到的,(1) n an 给出了x+的正规连分数展式 123 1|1|1| | x aaa +=+l 其中 10 ( ) 00 x x x 集合 1 3( , ) (0,1):lim n n n n n a e bx b = = 的豪斯多夫维数是1 定理3.9 对任意0,1b c 集合 1 4( , , ) (0,1):lim n n n n b n a e b cx c = = 的豪斯多夫维数是 1 1b+ 19 3.2 连分数对应的度量结论 3.2.1 borel-bernstein定理 设 n 是关于n的任意正数列令:( ) nnn exicx =易知 2 () n n m e : 3.1 那么就存在一个常数 2 k 使得 2 2 () n n k m e (1)n 我们令 1 ,11 ,11 :( ) :( ),1 :( ),1 k k k dxic xk dxic xk dxic xk + = = + = 则对任意 1 1 1 kl =+ 有 ,kk t dt di + =成立 引理3.10 11设上述 n 是一列趋于无穷的正数列则存在一个正整数 0 n和一个常数 3 k使得 3 ()() () nn tnn t m eek m e m e + i 0 (,1)nn t 证明我们选择 0 n 使得对任意 0 nn3 n l再令 1, :( )() nn nnkkk kk fxic xddd + = uu 因为 (1) (1) n nn n t n tn t etf etf + + = = 故可得 (1)(1) ()() nn t nn tnn t eetftf + + =ii () t nn t ft f + =i 11 (:( ),( ) ntn t xic xcx + = 20 1 (:( ) n ktn t k dxicx + = i u 11 (:( ) n ktn t k k mdxicx + i u () ,1,1 1 :( ):( ) ktn tktn t n dxicxdxicx k kdxdx + =+ ii 其中对 ,k xd 我们令 1 yt xk x =因为 ,kk t dt di + =故 1 1 2 :() 1 1 () () tn t n nn t yicy k eekdy yk + + = + i 1 2 2 (: ( ) (1) n tn t k kmyic y k + 1 2 (: ( ) 2 tn t n l kmyic y l + 12 () (: ( ) 2 ntn t l kk m emyicy l + 3.2 其中可以看到 1 (: ( )(: ( ) tn ttn t myic ykyic y + 1 () n t ke + = 2 1 () n t k m e + 3.3 由上面命题 2.15 易知存在一个正常数 1 k 使得 1 11 ( )( )( )k m aak m a 3.4 由上面3.2 式3.3 式3.4 式得结论成立 定理3.11 11borel-bernstein定理. 1 1 k nkn me = = i u 当且仅当 21 1 1 n n = = 3.5 等价于 #1:( ) nn ncx= . .ae 当且仅当3.5式成立 证明如果 1 1 n n = i u 下面我们假定 n 由 renyis borel-cantelli 引理 见10,引理 5 与上面引理 3.10 我们可以得到 1 0 k nkn me = i u 等价地有 1 0 k nkn e = i u 显然 1 k nkn e = i u 是t的尾域中的一个元素t是精确的又因为尾时间具有测度 1 或 0所以可知 1 1 k nkn e = = i u 因为测度 和m 具有相同的零测集所以 1 1 k nkn me = = i u 故结论成立 推论3.12 11设 n 是一列非减的正数列那么 1 max nn n n c 对无穷多个正整数n ( . .)ae成立当且仅当 22 1 1 n n = = 3.2.2关于部分商的一些度量结论 这一小节中主要讨论了关于连分数部分商 n c 的一些度量性质 在下面的证明 中用到了以下事实 1 (:( )1)(1,)xix = = 1 1 log2log1 ,) log2 log2log(1) ,1) log(1) g g g g = + + 由t的遍历性质和遍历定理我们得到 1 1 log2log1 ,) log2( ) lim log2log(1) ,1) log(1) n n g g glx n g = + + ( . .)ae 3.6 首先前面提到了 philipp 在3讨论了正规连分数的最大部分商的渐近性质下面我 们相应地给出连分数的情况 定理3.13 11对几乎所有的xi 1 max liminf loglog n nn n c n c n =成立 证明由推论 2.21易知 11( ) maxmax n nm n nm n lx ca + =+其中0,1,=或2所以得 1( ) 1 max ( ) max ( )loglog( ) liminfliminf loglogloglog( ) loglog n m n lxm n n nn nn nn n a nlx c nlxnlx n n nnlx n + + + = + 右边第一个式子的下极限等于 1 ( . .) log2 ae(见2定理 1)而第二个式子 23 ( ) loglog( )( )loglog limlim(1) loglog( ) loglog n nn nn n nlx nlxlxn n nlxn n + + =+ + 再由上面3.6 式得到 1 1 log2log1 1 ,) log2( ) lim(1) log2log(1) 1,1) log(1) n n g g glx n g + += + + + ( . .)ae 而 loglog lim1 loglog( ) n n n nlx = + 故结论成立 定理3.14 11对几乎所有的xi 1 1 max lim log n nn nn n n cc c nn = = 证明由上面从连分数构造 n a的递推算法可知 1( ) 1 1( ) ( ) 1)10 ( )0 n n mn m n lx n n n mn m n lx alxx c alxx + + +存在一个正整数 1 n 使得对任意的 1 nn有 ( ) 1 1 :1 ( )log( )log2 n nlx m m nn a x nlxnlx + = + 因为 1 1 ax log m mm mm m ama mm = 收敛到 1 log2 ( . .)ae则存在一个常数 0 m 使得 1 1 0 ax 1 :,1 loglog2 m mm mm m ama xmm mm = 对任意 我们令 2 1 1 : 2log2log2 n m m a ux nn = = 成立 我们取 10,0 maxnn m=那么当 1 nn时()12uv 成立 如果 xuv则 12 max 2 2log2 mnm a nn 所以 1( ) max 5 ( )log( ) n m n lxm nn a nlxnlx + + 25 上式当我们取的 1 n 足够大时总可以成立并且有 ( ) 1 1 6 ( )log( )log2 n n lx m m nn a nlxnlx + = + 所以可得 ( ) 1 1 :6