（基础数学专业论文）uqosp12r的lusztig对称子与代数自同构.pdf

摘要 摘要 设g 为有限维半单李代数，( a i j ) n n 为其c a r t a n 矩阵，则有d r i n f e l d j i m b o 量化包络代数( g ) 为了研究( g ) 的p b w 基，进而研究其典范基，l u s z t i g 给出了( g ) 的一系列代数自同构这些自同构被称为l u s z t i g 对称子l u s z t i g 对称子的一个最基本的性质就是满足辫子群关系l u s z t i g 对称子对量化包络代 数的研究起着很重要的作用因此，许多人已对l u s z t i g 对称子进行了研究然 而，到目前为止，还没有人给出量化包络超代数的l u s z t i g 对称子 本文首先构造了z 2 一分次h o p f 代数( o s p ( 1 1 2 r ) ) 的一系列代数自同构互 ( 1 t 7 ) 并证明了它们满足辫子群关系本文中，我们仍称这些代数自同 构为( o s p ( 1 2 r ) ) 的l u s z t i g 对称子之后，我们利用l u s z t i g 对称子给出了 ( o s p ( 1 1 2 r ) ) 的p b w 基最后，利用l u s z t i g 对称子及p b w 基对( o s p ( 1 1 2 r ) ) 的代数自同构进行了研究 关键词：l u s z t i g 对称子，h o p f 超代数，辫子群关系，代数自同构 a b s tr a c t l e tab eaf i n i t ed i m e n s i o n a ls e m i s i m p l el i ea l g e b r aw i t hc a f t a nm a t r i x ( a i j ) n n ，t h e nw eh a v ed r i n f e l d j i m b oq u a n t i z e de v e l o p i n ga l g e b r a ( g ) - t o c o n _ s i d e rt h ep b wb a s i so f ( g ) ，t h e nt h ec a n o n i c a lb a s i s ，l u s z t i gi n t r o d u c e da s e r l e 8 o fa u t o m o r p h i s m so f ( g ) ，w h i c ha r ec a l l e dl u s z t i gs y m m e t r i e s - t h ef u n d a m e m t a lr e s u l ti st h a tt h e ys a t i s f yt h eb r a i dg r o u pr e l a t i o n s l u s z t i gs y m m e t r l e s 甜e s oi m p o r t a n tf o rq u a n t i z e de n v e l o p i n ga l g e b r a t h a tm a n yp e o p l eh a v ei n v e s t i g a t e d t h e m h o w e v e r ，u pt on o w ，n o b o d yh a sc o n s t r u c t e dt h el u s z t i gs y m m e t r i e s o t q u a n t i z e de n v e l o p i n gs u p e r a l g e b r a i nt h i st h e s i s ，w ef i r s tc o n s t r u c ta l g e b r aa u t o m o p h i s m s 正( 1 i r ) o f z 2 一g r a d e dh o p fa l g e b r a ( o s p ( 1i2 r ) ) i ti s s h o w nt h a tt h e ys a t i s f yb r a i dg r o u p r e l a t i o n s i nt h i st h e s i s ，t h e s ea l g e b r aa u t o m o r p h i s m sa r ea l s o c a l l e d l u s z t i g s v m m e t r i e s s e c o n d l y ，w ec o n s t r u c tp b w b a s i so f ( o s p ( 11 2 r ) ) b yl u s z t i gs y m 。 m e t r i e s f i n a l l y w ei n v e s t e g a t et h ea l g e b r aa u t o m o r p h i s m so fu q ( o s p ( 1 1 2 r ) ) b y l u s z t i gs y m m e t r i e sa n dp b w b a s i s k e ) 啪r d s ：l u s z t i gs y m m e t r i e s ，h o p fs u p e r a l g e b r a ，b r a i dg r o u p r e l a t i o n ，a 1 g e b r aa u t o m o r p h i s m i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含本人为 获得北京工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在本论文中作了明确 的说明并表示了谢意 签名： 伍赴杠_日期：黧陋 j 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 日期： 叮j 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 1 研究背景 量子群是8 0 年代新兴的数学分支，最早于1 9 8 5 年由v g d r i n f e l d 1 】和m j i m b o 2 】在研究量子y a n g - b a x t e r 方程时相互独立地提出的1 9 8 6 年，d r i n f e l d 3 在国际数学家大会上的报告引起了人们对量子群的兴趣近年来，量子群在可积 系统，统计模型，共形场理论等领域中具有十分重要的应用，它已成为数学家和 物理学家十分感兴趣的研究领域 设g 为有限维半单李代数，( o 巧) n 亿为其c a r t a n 矩阵，则有d r i n f e l d j i m b o 量化包络代数( g ) ，其生成元为忍，只，k ( 1 i 几) 为了研究( g ) 的p b w 基，进而研究其典范基，l u s z t i g 4 , 5 】给出了( g ) 的一系列代数自同构这些自 同构被称为l u s z t i g 对称子l u s z t i g 对称子的一个最基本的性质就是满足辫子 群关系 对于量化包络代数的研究，l u s z t i g 对称子起着很重要的作用通过l u s z t i g 对称子我们可以确定量化包络代数的p b w 基，进而确定它的典范基另外， l u s z t i g 对称子对于研究量化包络代数的代数自同构群也起着很大的作用因此， 到目前为止，许多人对l u s z t i g 对称子进行了研究2 0 0 5 年，谭友军f 6 】研究了 g i m 李代数的量化包络代数给出了它的一系列代数自同构一l u s z t i g 对称子，并 证明了这些l u s z t i g 对称子满足辫子群关系2 0 0 6 年，n b e r g e r o n 7 1 等人给出 了b ，c ，d 型李代数的双参量子群珥，。( g ) 并给出了晖，。( g ) 与珥，s - t ( g ) 之间的 l u s z t i g 对称子存在的条件另外，根据r i n g l e - h a l l 代数的d r i n f e l dd o u b l e 与量 子群( g ) 的关系( 参见【8 , 6 ，1 0 ，1 1 】) ，在【5 ，1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 】中，代数研究者们指出遗 传代数的b g p 一反射函子诱导出了( g ) 的一系列代数自同构，并指出这些自同 构恰好是( g ) 的l u s z t i g 对称子 注意到，尽管已经有了许多关于l u s z t i g 对称子的结论，到目前为止，还没 有人给出李超代数的量化包络超代数的l u s z t i g 对称子因此，我们在本文中给 出了较为简单的李超代数g = o s p ( 11 2 r ) 的量化包络超代数( g ) 的l u s z t i g 对称 子，并证明了这些l u s z t i g 对称子满足辫子群关系这里我们避开了较为复杂的 表示理论，而是通过大量的计算得出的 本文还利用l u s z t i g 对称子给出了( g ) 的p b w 基事实上，( g ) 的 p b w 基早已被给出了，只是方法与本文不同( 参见【1 6 ，1 7 ，1 8 ) 本文中采用了类 似于【1 9 ，8 1 8 8 2 4 的方法 设g 为有限维半单李代数，g 不是单位根，w c h i n 和m m u s s o n 2 0 】给出了 ( g ) 的h o p f 代数自同构t w i e t m e y e r 2 1 】和b r a v e r m a n 2 2 】也得到了同样的结 论事实上，查建国【2 3 】研究了( g ) 的代数自同构，并得到了较好的结论受这 些结论的启示，我们也将采用类似于 2 3 的方法讨论( g ) ( g = o s p ( 11 2 r ) ) ) 的代 数自同构 在本文中，我们令g = o s p ( 1 2 r ) ，( g ) 总表示g = o s p ( 1 2 r ) 的量化包络超 代数，且令n o = o ，1 ，2 ，n ，) 本文的结构将如下组织： 第一章主要给出研究背景，预备知识以及本文的一些主要结论 第二章至第四章主要证明正( 1 i r ) 为( g ) 的一系列代数自同构其 中，第二章证明了正( 1 i r 一1 ) 保持( g ) 的生成关系第三章证明了乃 保持( g ) 的生成关系第四章给出了正( 1 i r ) 的逆映射 这里提到的正( 1 i ，) 是如下定义的： 对于1 i r 一1 ， 对于i = 7 ， 死( ) = g j k j c “，1 j r ， 正( 最) = 一r k ，正( 只) = 一杆1 最， 一c 巧 正( 岛) = ( 一1 ) 5 q 一8 巧e j e ：，1 j r 且j i ， s = 0 一c 玎 t , ( f a = ( 一1 ) 8 q 8 耳b 巧。一，1 j r 且j i ； 霉( g j ) = 蟛耳q ，1 j n 霉( b ) = 异所，霉( b ) = 一奸1 层， 霉( 毋一1 ) = 霹耳一l 一( q 一1 ) e ，e , - 一l 易一q - 1 毋一l 霹， 霉( e 一1 ) = 一耳一l 砰一( 1 一g ) e 耳一l 耳+ g 砰b l ， 霉( 易) = e j ，耳( 目) = f j ，1sj r 一2 一9 l 第1 章绪论 第五章证明了正( 1 t r ) 满足辫子群关系 第六章给出了( g ) 的p b w 基 第七章讨论了( g ) 的代数自同构 1 2预备知识 令c 表示复数域，q 为c 中的未定元对任意整数佗 0 ，令( n ) 口= 1 + q + + q n 一1 令( 扎) ：= ( 1 ) g ( 2 ) 口( n ) 。( 几 o ) ，( o ) ：= 1 对任意0 k 几，定义高斯二项数如下： 类似地，我们令 m 口= q 竹一q n q q 一1 呲= 1 ， n l 后j 2 g ( n ) ； ( 后) ；( 礼 惫) ； ，m ：= h 一1 】口【2 】g 1 g 对于殄 0 ， = 口 我们都知道以下结论成立 ( 0 几n ) 命题1 2 1 ( 参见( 2 4 ，p r o p o s i t i o ni v 2 2 】) 设z ，y 为满足关系y x = q x y 的变量则 对于任意凡 0 ，我们有： 口内心 令g = o s p ( 1 1 2 r ) ，i i = o z l ，e 9 2 q ，) 为g 的单根集则g 的c a r t a n 矩阵 ( 勺) 1 9 ，j s r = 一垂 o 一1 2 0 0 燕 i i o 0 o ； 2 0 0 0 ； 2 艺 1 1 2 一 0 0 2 o o ； o o 第1 章绪论 令 2 1o 00 1 21 00 012 o0 00o 21 000一11 显然( a i j ) 1 t ，j ，为对称矩阵因此我们可以如下定义根格q = ：1z 毗上的对 称双线性型，对任意1 t ，j r ，( o l t ，) = 口巧显然= 篆措，。巧= d t ，其 中也= 掣令q i = 严 作为李超代数，g 是由生成元e i ，五，h i ( 1 i r ) 生成的，其中它的z 2 一分 次结构如下： d e g 也：o ( 1 ts7 ) ， d e g 白：d e g ： 1 i2 r 10 ， 1 i 7 一1 且生成元满足下列生成关系： ( 1 ) 陬，】= 0 ，1 z ，j 7 ； ( 2 ) e t ，乃 = 民j 吃，1 i ，j r ； ( 3 ) h i ，e j 】- a i j e j ， h i ，乃】= - a j j f j ，1 t ，j r ； ( 4 ) ( a d e i ) 1 - - g i j ( e j ) = 0 ，( a d f t ) 1 - 叼( 力) = 0 ，i j 且( t ，j ) ( r ，r 一1 ) ； ( 5 ) ( a d e r ) 3 ( e 卜1 ) = 0 ，( a d f r ) 3 ( 一1 ) = 0 这里对于任意z ，y g ，a d x ( y ) = p ，乩 定义1 2 2 代数( g ) 是域c ( q ) _ k s j 有单位元的z 2 分次结合代数它由生成 5 元晟，只，砰1 ( 1 i r ) 生成，且生成元满足下列关系： ( 兄1 )致k j = k j k ，致g v l = 酊1 k = 1 ，1 i ，j r ， ( r 2 )k 马酊1 = g e j ，k 弓酊1 = q - a j f j ，1 墓，j r ， ( r 3 ) 邑b 一( 一1 ) 龟勺弓晟= 幻兰争三号妄二，龟= d e g e t , e i = d e gb ，1 i ，歹r ， 1 - - a i j ( 危) ( 一1 ) s s = 0 ( r 5 ) 1 一。巧 ge ? 一砚j 一3 五。歪摹= 。，t 歹c t ，歹，c r ，r 一1 ， 1 一。巧 g f ? 一。玎一8 j j ，? = 。，t 歹上王c t ，歹，c r ，r l ， ( 风)霹b 一1 一( q 一1 + q - 1 ) 霹历一1 日一( q 一1 + q - 1 ) e ，e r 一1 霹+ b 一1 霹= 0 ， ( 厮)辟耳一l 一( q 一1 + q - 1 ) 砰耳一1 b 一( q 一1 + q - 1 ) f ，f r 一1 砰十b l p = 0 其中分次结构如下： d e g 砰1 ：0 ( 1 t 驯，d e g 岛- d e gr ： 1 江n l0 ， 1 i r 1 我们记= d e g ( e i ) = d e g ( f i ) 与经典李代数相比，我们不难发现关系( 风) 及s e r r e 关系( 风) ( 兄7 ) 与b 型李代数的量化包络代数的定义不同令u + ( u 一) 表示由邑( r ) ( 1 i r ) 生成的( g ) 的子代数，驴表示由k ，酊1 ( 1 i r ) 生成的( g ) 的子代数 我们知道心( 1 i r ) 的共轭作用产生了( g ) 的一个q 一阶化： ( g ) = o a q ( g ) 口 这里，z ( g ) a ( 0 t q ) 当且仅当对于任意1 i nk z k , - 1 = g ( 口) z 对于任意1 i r ，定义： u ( 晟) = 只，u ( 只) = 忍，u ( k ) = ( - 1 ) 6 k 则u 唯一确定了( g ) 的一个代数自同构这个代数自同构u 被称为( g ) 的 c a r t a n 对合另外，存在唯一的反代数自同构7 - ：( g ) _ ( g ) ，满足7 ( 最) = 最， 6 _。l-。l 广 j | i 脚 第1 章绪论 r ( 只) = 只，7 一( k ) = ( 一1 ) t 矸1 为了证明7 - 为反代数自同构，只需证明7 - 保持 7 - ( 乃) 7 - ( 忍) 一( 一i ) c e 圩( 晟) 7 ( 乃) = 如丛堑铲 s ( 晟) = 一奸1 最，s ( r ) = 一只k ，s ( k ) = g i - 1 ， 如果我们令z = 忍圆1 ，y = 蚝圆邑，则y x = ( 一1 ) t 爵z 秒由命题1 2 1 ，对任 c e ? ，2 薹( ：) 。一驴。砰磅k ? 一七 e p 一七 ( 1 1 ) a d ( 凸) ( 6 ) = ( 一1 ) 1 6 | | 口( 2 ) 6s ( 口( 2 ) ) ， ( 口) 其中a ( a ) = ( 口) a o ) n ( 2 ) 因此，关系( r 4 ) 和( 风) 可以写作：对于i j ， a d ( e d l - ( e j ) = 0 关系( r 5 ) 和( r 7 ) 可以写作：对于i j ，a d ( 只) 1 - c t j ( 乃) = 0 由( 1 1 ) 得： ( 1 2 ) a d ( z ) ( x y ) = ( 一1 ) i z ( z ) i i x i a d ( 互1 ) ) ( x ) a d ( z ( 2 ) ) ( y ) ， 其中z ，x ，y ( g ) 对于m z o ，x ( g ) 卢( p q ) ，y ( g ) ，我们有： 3 耻。曼净砰一排矿脚叫驴c 删哪卜 事实上，由( 1 1 ) 和( 1 2 ) 可得： a d ( 易) m ( x y ) 2 。 萎k r n ( m k ) 。一。净费c 一1 ，m 一) i x h a d c 磁k ? 一七，c x ，a a c e ? 一凫，c y ， 2 。 _ k r a ( 仇k ) 。一驴；砰c 一1 ，m 一砷l e 垡( m 一姊扛如缈a d c 晟，惫e x ，a d e 最，m 一凫c y ， 2 。 萎t t + 1 或j 0 ，则死( 屁) u + 如果w o q = o i l 1 1 ， 则死( 晟) = e 1 证明：证明与经典的情形类似( 参见 1 9 ，命题8 2 0 】) 口 令w 0 为中长度最大的元，w 0 = 8 i ，8 2 s 乱为它的最简表示。则 o q l ，s t l ( q t 2 ) ，s t l s t 2 ( q t 3 ) ，8 i 1 8 i 2 8 i t 一1 ( q 乱) 是t 个不同的正根由命题6 1 1 可知，对于任意8 t ， 正。正。正。( 岛，) u + 从而，对于任意佗20 ， 互，正：正。( 冠+ 。) u + 因此，对于任意a t z ，a t 0 ，有： 正。正。瓦一。( 嗜) 正，正。( 霹) 正，( 霹) 霹u + 3 6 - 第6 章( g ) 的p b w 定理 用证明 1 9 ，8 2 0 8 2 3 】的方法，可证明由 昭正。( 髫) 正。正：( 霹) 正。五。瓦一。( 露) 生成的子空间只与w o 有关，而与它的最简表示无关 命题6 1 2 令w o 为w 中长度最大的元，w o = 8 i 。8 i ：s “为它的最简表示 则形如 ( 6 2 )正，正：孔一，( 瑶) 正。正。( 曙) 正，( 霹) 鳞 ( 其中a z ，a i20 ) 的元构成汐+ 的一组基 u 作用到u + 的基上，则可得到u 一的一组基命题6 1 2 及( 6 1 ) 表明所有 形如 ( 6 3 )互。正。正。一，( e ) 正，互。( 曙) 正，( 譬) e a ，1 ( 其中a t n o ) 的元构成u 一的组基 对任意1 j ，令岛= 8 4 ，8 i j 一。( q 巧) 则历，伤，屈恰好为所有正 根对任意j ，令= 正。互( 毛) 显然u + 有权岛从而， ( 6 2 ) 可 以写作 ( 6 4 ) 昭曜曜二：嚯 对任意j ，令= 正。毛一。( 气) 显然u 一有权一岛因此，我们可将 ( 6 3 ) 写作 ( 6 5 ) 曜硭曜曜 对任意k = ( 是1 ，也，) 麟，令 e 凫= 磙磺磙，f 七= f z ：磺碛 定理6 1 3 ( 参见【1 6 ，定理1 0 5 1 】和 1 8 ，定理4 4 】)f r 玩驴构成( g ) 的一组 基这里7 _ ，8 娣，q q 6 2 本章小结 本章用类似于【1 9 ，8 1 8 8 2 4 】的方法给出了( g ) 的p b w 基为研究哚g ) 。 的代数自同构做了必要的准备本章的主要结论为命题6 1 3 3 7 l 第7 章( g ) 的代数自同构 7 1 ( g ) 的代数自同构 由1 3 节可知，对于向量a = ( a l ，a 2 ，a ，) c ( 口) ”，5 = ( e l ，e 2 ，岛) 4 - 1 r ，映射2 ，d 口，6 均可确定( g ) 的唯一代数自同构更进一步地，对任意 1 i r ，正为( g ) 的代数自同构 设7 是集合 1 ，2 ，r ) 的一个置换，且满足对任意1 i ，j r ，q ( i ) ，o ) = 劬则，y ( 鼠) = 已( t ) ，7 ( e ) = b ( t ) ，7 ( k ) = ( i ) 可唯一地扩展成( g ) 的代 数自同构7 这个代数自同构称为图自同构对于g = o s p ( 1 1 2 r ) ，我们有- y = 1 因此，我们不考虑这个自同构 由定理6 1 3 ，f 。玩驴为( g ) 的一组基，其中f ，s 娥，q q ，e 8 = 昂：磁弓：，f = 磕磕磕对任意f ，s 娥，u u o ，定义单项式f 2 乱伊 的次数为 ( 如，f 2 ，2 1 ，8 1 ，s 2 ，8 ) n 弘 令礼= 2 t ，定义姗上的字典序 如下：u l u 2 u ，这里u t = ( 文，文2 ，瓯n ) 从而，n 苫可被看作全序半群因为( g ) 中的任意元素x 都可 唯一地表示为单项式的和对任意x ( g ) ，我们可定义x 的次数d ( x ) 和首项 f ( z ) 定义d ( x ) = ( 如，1 2 ，l l ，8 1 ，8 2 ，s t ) ，l ( x ) = f 2 0 1 。e 8 ，如果0 l 。0 且z 可 写作次数小于等于d ( x ) 的单项式f 。仇。e 8 的和。 引理7 1 1 对任意q = ：1m i o t i q ，令 k = k ? 1k 譬2 k ? t 则除了口k ，( g ) 中没有其他的可逆元，其中a c ( g ) + 证明：设z = a qx a ( z a ( g ) a ) 为( g ) 中的可逆元则存在y = p q 卯( 卯 ( g ) p ) ，满足x y = 1 因为( g ) 是一个整环且1 ( g ) o ，所以存在q q ，使 得z ( g ) q ，y ( g ) 一a 令n ( o ) 表示( g ) 上的模n ( o ) 是由v 张成的c ( q ) 上的一维向量空间 ( g ) 在n ( 0 ) 上的作用如下；对于任意1 i r ， 最u = r t ，= 0 ，j 已 = v 若q 0 ，则z = y 移= 0 而这与x y = 1 矛盾因此，z ，y ( g ) o 则z ，可 一3 8 第7 章( g ) 的代数自同构 可写作： 其中良加戗，t ( g ) o 令 秒= 以，t e ， 埏n f ( z ) = f 8 以，。e 5 ，l ( y ) = f 8 讥，。，e f 则有： 1 = l ( z y ) = l ( f 5 以，。e 8 f 一咖一，一e 8 7 ) = g m f 5 + 8 7 e c e 8 + ， 其中仇为整数，且 秽= a 口q 巾l 船珞，矽= 吒g 小l 缎玩， a e qa q 如果以一= 8 qa c t j 厶，讥，一= q q6 a 玩因为0 ，所以8 = 8 7 = 0 从而 z 是( g ) o 中的可逆元又因为( g ) o 是关于托，尬，群的，元l a u r e n t 多项式，所以z = n 致，这里a c ( g ) + ，q q 口 令4 = c g ，g 一1 ，比( g ) 表示由砖1 ，碰川，可仇( 1 i 7 ，m 0 ) 生成的 ( g ) 的4 一子代数( 对任意整数m o ，毯m = 霉【m 】基，可m = 即 m 岳) 。设 j 是由k 一1 ，1 i r ，q 一1 生成的比( g ) 的理想，则以( o ) j 同构于g 在c 上的包络代数u ( g ) 。在这个同构下， e l ，点，h i 分别为易，只，堕q _ 丝q - z 的像。 引理7 1 2令盯为( g ) 的代数自同构设盯在以( g ) 上的限制为比( g ) 的自 同构则存在自同构6 ( 由1 3 节给出) 满足，口oj 固定理想了且诱导u ( g ) 的自 同构 证明：由引理7 1 1 ，对任意l i r ，存在白c ( g ) ，q 满足口( k ) = q 因为( g ) 在托( 1 i r ) 的共轭作用下有q 一分次结构，所以仃置换权空间 ( g ) a ，q q 从而，存在q ，夕0 ，使得盯( 最) ( g ) 卢，口( 置) ( g ) 一卢 令u 为不可约( g ) 一模l ( o ) 中的非零向量由等式 盯( 晟) 盯( 只) 一( 一1 ) t 盯( 只) 盯( 最) = c i k t f , - c - i k 王- a 我们有： o = ( 仃( 忍) 盯( 只) 一( 一1 ) q 盯( e ) 盯( 晟) ) = 争三筹， f 巩p 啦 = z 从而，q ：4 - 1 令6 = ( c 1 ，c 2 ，c r ) 对于自同构6 ，我们有仃。巧( 必) = ，1 i r 从而，盯0 6 显然固定j 且盯0 6 i j 为双射因此，我们有下面交换图成立 以( g ) 上u ( g ) 札上而 以( g ) 上u ( g ) 这里丌为典范态射( k e r ( r ) = j ) ，了而为仃o6 诱导的u ( g ) 的自同构 口 定义7 1 3 ( g ) 的代数自同构盯称为形变自同构，如果a l u m ( 9 ) 是以( g ) 的自 同构且o ( j ) = j ，映射万作为u ( g ) 的自同构，是由李超代数g 的自同构诱导 的自同构盯称为广义的如果存在某个自同构6 使得盯o6 为形变自同构 前面所涉及的代数自同构u ，d 口，6 ，正都是形变自同构或广义形变自同构更 进一步地，c a f t a n 对合u 是形变自同构，对角自同构d 。( o = ( a l ，a 2 ，口，) ) 为 形变自同构当且仅当每个a i 为4 的单位对于自同构正( 1 isr ) ，正为u ( g ) 的自同构： 对于1 i r 一1 ， 疋( h j ) = b c j h i ， 一q 瓦( e t ) = 一 ，瓦( e j ) = ( 一1 ) 5 e 产e j e ；，1 j r ， s = o - c i j 瓦( 五) = 一e t 瓦( 乃) = ( 一1 ) 3 疗乃f 。玎，1 歹r s = o 对于i = r ， 丁r ( b ) = h j q k ， - r ( e r ) = ，一t ，( e r - 1 ) = e ；e r - 1 一e e ，2 ， _ r ( ) = 一e ，- r ( 矗一，) = 一矗一，砰+ 舞矗一， z ( 勺) = e j ，z ( f j ) = 厶，1 j r 一2 则正为( g ) 的形变自同构，这是因为_ t ( 1 i 7 一1 ) 可由g 的自同构 e x p ( a d e i ) e x p ( 一a d ，t ) e x p ( a d e i ) 诱导，- r 可由g 的自同构 唧( ( a d e r ) 2 ) e x p ( ( a d l ) 2 ) e x p ( ( a | d e ，) 2 ) 第7 章( g ) 的代数自同构 诱导 下面我们将确定( g ) 的形变代数自同构也就是定理1 3 3 的证明 定理1 3 3 的证明：回想， g 表示包含( g ) 的所有形变代数自同构的群， 表示g 的子群，它包含所有u ( g ) 的恒等自同构的形变显然，为g 的正规 子群 设盯为( g ) 的任意代数自同构对任意z ( g ) 卢( p q ) ，我们有： 盯( ) 盯( z ) 盯( 尺r q ) 一1 = g ( q ，p ) 矿( z )( v 口q ) 由引理7 1 1 ，存在7 q ，使得o ( x ) ( 夕) ，y 从而，我们得到了根格q 上的一 个映射，记作盯7 则，对任意p q ， 盯( ( g ) p ) = ( g ) 盯邯) 又因为 ( g ) a ( g ) p 冬( g ) q + 卢， 所以，对任意q ，p q ，盯7 ( o l + ) = 仃7 ( q ) + 盯7 ( p ) 因此，( g ) 的任意代数自同 构诱导根格q 的自同构 令7 r 表示比( g ) 到u ( g ) 的自然态射对任意z 比( g ) n ( g ) p ，有： k , x k f l = g ( n t ，卢) z = 严卢，k ) z 因此， 【 t ，7 r ( z ) = ( p ，九t ) 7 r ( z ) 从而，7 r ( z ) u ( g ) p ，其中u ( g ) p = 可u ( g ) l h ，y 】= ( p ，h i ) y ，i = 1 ，2 ，r ) 现在我们假设盯是( g ) 的形变代数自同构因为李超代数g 由e i ， ，h i ( 1 i 7 ) 生成对任意根，存在z ( g ) n ( g ) 卢，满足丌( z ) g p 则 ， 7 r ( 仃( z ) ) = 万( 7 r ( z ) ) 9 1 这意味着盯7 固定g 的根系西因此，集合 盯7 ( q 。) ，o - i ( q 2 ) ，盯7 ( q ，) ) 为根系圣 的另一个单根集7 ，且存在w w 满足 w o 7 ( a 1 ) ，w t 7 7 ( q 2 ) ，叫盯7o r ) ) = q 1 ，q 2 ，q r ) 4 1 对于形变代数自同构正，我们有， 互( ( g ) 卢) = ( g ) 。( 卢)( v 矽q ) 因为彤是由8 1 ，8 2 ，8 ，生成的，所以，存在自同构t ( t 由若干个z ( 1 i r ) 合成) ，使得( t 盯) 7 固定单根集又因为t 盯作为g 的自同构保持单根集n 不 变，所以( ? 盯) 7 为与c a r t a n 矩阵( ) ，相联系的d y n k i n 图的对称子从而， 我们有， t a ( ( g ) q ) = ( g ) a ( vo q ) ， 且乃为g 的对角自同构因而，存在对角自同构d 。( 其中，a = ( a 1 ，a 2 ，a ，) ，a t c ( g ) + ) ，使得d 口t a n 口 7 2 本章小结 本章用类似于 2 3 】的方法研究了( g ) 的代数自同构，并得到了类似的结论 第1 章引言 结论 本文构造了z 2 一分次h o p f 代数( o s p ( 1 2 r ) ) 的一系列代数自同构正( 1 i r ) 一l u s z t i g 对称子并证明了它们满足辫子群关系并且，由得到的l u s z t i g 对 称子，我们利用类似于l u s z t i g 在经典情形时所采用的方法给出了( o s p ( 1 1 2 r ) ) 的p b w 基最后，本文利用l u s z t i g 对称子及p b w 基对( o s p ( 1 2 r ) ) 的代数 自同构进行了研究，并得到了较好的结论 北京工业大学理学硕士学位论文 参考文献 1v g d r i n f e l d h o p fa l g e b r a sa n dt h eq u a n t u my a n g - b a x t e re q u a t i o n s o v i e t m a t h d o k l 3 2 ( 1 9 8 5 ) ，2 6 4 2 6 9 2m j i m b o aq - d i f f e r e n c ea n a l o g u eo fu ( g ) a n dt h ey a n g - b a x t e re q u a t i o n l e t t m a t h p h y s 1 0 ( 1 9 8 5 ) ，6 3 6 9 3v g d r i n f e l d q u a n t u mg r o u p s j m a t h s c i 4 1 ( 1 9 8 8 ) 8 9 8 9 1 5 4g l u s z t i g i n t r o d u c t i o nt oq u a n t u mg r o u p s p r o g r e s si nm a t h 11 0 ( 1 9 9 3 ) 5g 。l u s z t i g c a n o n i c a lb a s e sa r i s i n gf r o mq u a n t i z e de n v e l o p i n ga l g e b r a s 。j 。 a m e r m a t h s o c 3 ( 1 9 9 0 ) ，4 4 7 - 4 9 8 6y t a n q u a n t i z e dg i ml i em g e b r a sa n dt h e i rl u s z t i gs y m m e t r i e s j a l g e - b r a 2 8 9 ( 2 0 0 5 ) ，2 1 4 - 2 7 6 7n b e r g e r o n ，y g a o ，n h u d r i n f e l dd o u b l e sa n dl u s z t i 9 7 ss y m m e t r i e so f t w o - p a r a m e t e rq u a n t u mg r o u p s j a l g e b r a 3 0 1 ( 2 0 0 6 ) ，3 7 8 - 4 0 5 8j a g r e e n h a l la l g e b r a s ，h e r e d i t a r ya l g e b r a sa n dq u a n t u mg r o u p s i n v e n t m a t h 1 2 0 ( 1 9 9 5 ) ，3 6 1 3 7 7 9m m 。k a p r a n o v e i s e n s t e i ns e r i e sa n dq u a n t u ma i 瞳n ea l g e b r a s j m a t h s c i 8 4 ( 1 9 9 7 ) ，1 3 1 1 1 3 6 0 。 1 0c m r i n g e l h a l la l g e b r a sa n dq u a n t u mg r o u p s i n v e n t m a t h 1 0 1 ( 1 9 9 0 ) ， 5 8 3 5 9 1 1 1j x i a o d r i n f e l dd o u b l ea n dr i n g e l - g r e e nt h e o r yo fh a l la l g e b r a s j a l g e b r a 1 9 0 ( 1 9 9 7 ) ，1 0 0 1 4 4 1 2b d e n g ，j x i a o r i n g e l - h a l la l g e b r a sa n dl u s z t i g ss y m m e t r i e s j a l g e b r a 。 2 5 5 ( 2 0 0 2 ) ，3 5 7 - 3 7 2 1 3c m r i n g e l p b w - b a s e so fq u a n t u mg r o u p s j r e i n ea n g e w m a t h 4 7 0 ( 1 9 9 6 ) ，5 1 8 8 1 4b s e v e n h a n t m v a nd e nb e r g h o nt h ed o u b l eo ft h eh a l la l g e b r ao fa q u i v e r j a l g e b r a 2 2 1 ( 1 9 9 9 ) ，1 3 5 1 6 0 1 5j x i a o s y a n g b g p r e f l e c t i o nf u n c t o r sa n dl u s z t i g 。ss y m m e t r i e s ：ar i n g e l - h a l la l g e b r aa p p r o a c ht oq u a n t u mg r o u p s j a l g e b r a 2 4 1 ( 2 0 0 1 ) ，2 0 4 - 2 4 6 1 6h y a m a n e q u a n t i z e de n v e l o p i n ga l g e b r a sa s s o c i a t e dw i t hs i m p l el i es u - p e r a l g e b r a sa n dt h e i ru n i v e r s a lr - m a t r i c e s p u b l r e s 。i n s t m a t h 。s c i 。 3 0 ( 1 9 9 4 ) ，1 5 8 7 1 7t d p a l e v ，j v a nd e rj e u g t t h eq u a n t u ms u p e r a l g e b r a o s p ( 1 1 2 n ) ：d e - 4 参 参考文献 f o r m e dp a r a - b o s eo p e r a t o r sa n dr o o to fu n i t yr e p r e s e n t a t i o n s j p h y s a ： m a t h g e n 2 8 ( 1 9 9 5 ) ，2 6 0 5 2 6