核心词解读四,几何直观3.doc

跨越断层，走出误区：数学课程标准核心词的实践解读之四上海市静安区教育学院 曹培英一、怎样理解几何直观近年来，几何直观成了数学教育的热议话题之一，学者、教师纷纷撰文阐述，其中不乏深入的学理分析与经验总结。然而，不少教师反映，阅读之后总体感觉相关概念难以辨析，有些文章“越看越玄”。那么，基于小学数学教学的实际，我们应该如何解读几何直观这一核心词？有必要从直观的本意说起。1.直观与几何直观的本意所谓直观，字面意义是“直接的观察”，通常指“通过对客观事物的直接接触而获得的感性认识”，即人们在实践中对客观事物的直接的、生动的、具体的反映。我们常常赋予直观可视的意思，但“直接接触”并不仅指视觉，各种感官及其协同活动都能获得直接的感性认识。例如，年幼儿童坐翘翘板，他们能够发现，如果坐在对面的小朋友比自己重，那么他离中间近一点，而自己离中间远一点，能使翘翘板平衡。这实际上是通过动作在直观水平上获得了杠杆原理的感性认识。又如，教师讲述猴王给小猴分桃的故事，通过语言，也能使学生初步感知商不变性质。在教育心理学中，直观是相对于抽象、概括而言的。一般认为：在实际教学中，就直观的对象来分，可以把直观分为实物直观、模象直观和语言直观三种。三种直观都是直观教学的常规手段，上面“坐翘翘板”的实例，属于实物直观，“讲故事”是语言直观，平时大量使用的各种直观图形则为模象直观。根据直观的本意，所谓几何直观，无非是指特殊的、数学的直观，即指借助于几何图形（空间形式）而获得的感性认识。虽说这里的感性认识过程离不开知识、经验的介入，但毕竟感知是其主要的心理活动。如果将几何直观诠释为只是“感性认识”，则一切都十分平常。因为小学数学历来重视通过直观教学，使学生获得感性认识，其有效性的理论解释也早就为大家所熟知。2.几何直观的引伸意义当下有关几何直观的论文，大多引用了一些哲学、数学、心理学视角的论述。如：西方哲学家通常认为，“直观就是未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的认识。”数学家克莱因指出，“数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直观上，数学的直观就是对概念、证明的直接把握。” m克莱因古今数学思想（第四册）m上海：上海科技出版社，1979：99数学家希尔伯特在他的名著直观几何一书的序言中写道：“在数学中，象在任何科学研究中那样，有两种倾向。一种是抽象的倾向，即从所研究的错综复杂的材料中提炼出其内在的逻辑关系，并根据这些关系把这些材料作系统的有条理的处理。另一种是直观的倾向，即更直接地掌握所研究的对象，侧重它们之间关系的的意义，也可以说领会它们的生动的形象”。 d希尔伯特，s康福森著，王联芳译直观几何m北京：人民教育出版社，1959：6数学和数学教育家弗莱登塔尔认为，“几何直观能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可接近的，并使我们在课题、概念与方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。” 弗莱登塔尔著，陈昌平等译作为教育任务的数学m上海：上海教育出版社，1995：43我国数学家徐利治教授认为，“直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。” 徐利治谈谈我的一些数学治学经验j数学通报，2000(5)心理学家认为，“直观是从感觉到的具体对象背后，发现抽象的能力”。这些论述的共同点在于：直观、数学直观、几何直观，都不再停留在感性认识阶段，而是高阶思维、创新思维的结果，可以说是理性认识的升华，是认识的返璞归真。3.几何直观的两种层次为了研究、叙述的方便，更为了切合教学的实际，不妨对几何直观的层次或者说水平，加以区分：将处于感性认识阶段的、较低层次的几何直观，称之为“直观感知”，即观察认识了直观载体的外在现象或表面意义；将更高层次的几何直观，概括为“直观洞察”，即观察发现了直观载体的深层意义或内在本质。作出这一区分有多方面的理论依据，其中最基本的依据是，直观对于数学具有双重意义。一方面，直观是数学抽象的基础与数学认知的有力支撑；另一方面，直观又是数学抽象的重要内涵与数学认识的深化。无须违言，直观洞察层次的几何直观，在以往的小学数学教学中，较少得到关注，似乎难以举出确切的例证，这也是教师感觉费解、捉摸不透的原因之一。下面将不断提供教学案例，说明直观洞察并非只是数学家的专利，小学生也能在他们的认知水平上涌现许多令人赞叹的直观洞察。还必须指出，两种层次的几何直观之间并不存在截然划分的界线，它们之间常常具有连续性、渐进性，也就是说，存在许多介于两种层次之间的几何直观。有时，从直观感知到直观洞察，也会呈现跳跃性，即所谓的“豁然开朗”。4.数学课程标准的陈述全日制义务教育数学课程标准（2011版）指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”这段话只有三句，第一句将几何直观的两种主要表现作了非常精炼的概括，后两句进一步阐述几何直观的优势，或者说它的作用（功能）。与其他核心词类似，回避了几何直观的明确界定，同时又是针对义务教育三个学段的共性统一加以阐述。基于上述几何直观的层次区分，可以认为三句话其实都涵盖了两种层次的几何直观。例如，“直观地理解数学”既包括“直观感知”水平的初步理解，也包括“直观洞察”水平的本质理解，当然也包括介于两种层次之间的相对深入的直观理解。显而易见，其他两句话也能如此解读。5. 两种层次的几何直观的实例立足教与学的实际，小学阶段的几何直观，以直观感知层次为主，逐步向相对深入的直观理解水平发展，同时兼有少量直观洞察层次的表现。直观感知层次的实例如：案例1 为了帮助低年级学生直观感知乘法交换律，理解一句乘法口诀可以算两道乘法题，常常采用如下图示(图1)。图2 横着看，3个4， 竖着看，4个3， 所 以：4334。 图1为了增添趣味性，也可以把圆形换成“小精灵”，如图2。类似的教学实例很多。案例2 让每一小精灵手拿2只气球，计算一共有多少只气球，就成了一个有利于直观感知乘法结合律的插图，如图3。图3 每行有24只气球，3行有243只气球， 一共有43个精灵，一共有2(43)只气球,图4 所以：2432(43)。案例3 再增加2行小精灵, 计算两组精灵一共有多少个，就是一个可以导出乘法分配律的直观图，如图4。低年级小学生都能观察感知：3个4加2个4等于5个4。这样的直观解释不仅具体揭示了乘法与加法之间的联系，而且将这一联系归结为乘法运算的原始意义，因而在后续的数学学习与数学应用中，具有相当广泛的学习迁移价值。低年级小学生能够发现这些图示所揭示的数学事实，但还没有要求他们用语言或字母概括一般的规律，所以说这时的认知还处在直观感知水平。仔细回溯以往的教学，也能找出一些直观洞察层次或接近该层次的实例。案例4 为了帮助高年级学生直观洞察两数之积一定时，两数之间的反比例关系，常常给出实例，如“面积12平方米的长方形，长a、宽b的米数取整数时”：a (米)1234612b (米)1264321b (米)a (米)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12121110 987654321 图5yx借助长方形面积一定这个几何模型，学生可以相当直观地悟出，积一定时，两个因数的反比例关系，原来是这么回事：当长方形面积固定不变时，宽随着长的变化而变化，长越大，宽就越小，反之亦然。尽管对于反比例函数来说，这个几何模型具有较大的局限性，但用来解释k0时第一象限的变化规律，还是不错的。同类实例又如： 案例5 （1）两个数的和是8，这两个数的积最大是多少？学生能够通过不断尝试，发现两数之积的最大值是44，但无法作出解释。（2）周长都是16厘米的长方形，长、宽各取多少时，面积最大。让学生利用方格纸画图，他们同样能发现，长、宽之和8厘米，长、宽相等时面积最大，如图6。面对自己的“作品”，有些学生会若有所悟：长每缩短1厘米，宽则增加1厘米，周长不变，而围成的长方形，面积在增大。于是，找到了两数之和为定值，两数时相等时积最大的一种几何解释。个别学生在画图过程中还特意涂出面积“慢慢长大”的部分（如图7），并且发现“长大”部分越来越小，即“长速”在变慢。图7图6后两例对于小学生来说，称得上接近直观洞察层次的几何直观。至于处在两种层次之间的非典型案例，就不再例举了。二、相关术语的辨析老师们之所以阅读理论文章感觉“越看越玄”，另一个主要原因是存在许多与几何直观既有联系，又有区别的相关术语。这里试作简要辨析。1. 几何直观与空间观念在几何学习中，粗略地说：“直观感知”是建立空间观念的基础；“直观洞察”是空间观念的发展与升华。由此可以认为，两者互为因果，相辅相成。同样，在数学其他内容领域的学习中，几何直观与空间观念也在相互作用。例如，学习“相遇问题”，几何直观与空间观念都是不可或缺的。教师可以通过指导学生画线段图（如：用箭头表示运动方向，用线段表示所行路程，让两条运动路线“各行其道”等），帮助他们形成两个物体相向运动的表象（如图7）：甲 乙1、 乙同时相向而行至相遇图8这时，几何直观成了建立空间观念的有效手段，线段图使学生的视觉-空间表征（图式表征）得以显性化。研究认为，在许多数学问题中，基于空间视觉能力的图式表征能够加强解题者对问题的理解，对成功解决问题提供帮助。进一步，让学生凭借空间观念，自己画线段图表示较复杂的问题，如：案例6 甲、乙两人由两地相向而行，甲先行2分钟后乙才出发，又经过甲2分行 甲3分行 乙3分行 ？米图9100米3分钟，两人第一次相距100米。已知甲每分钟行70米，乙每分钟行80米，求两地间的路程。这时，相向运动的空间观念成了构造几何直观的基础，观察线段图呈现的几何直观，也就容易理解问题的数量关系。有学生质疑，为什么是“第一次相距100米，难道还有第二次相距吗？”教师因势利导，把上题的第三个条件改为“两人第二次相距100米”，其他都不变，让学生小组讨论，多数小组完成了线段图的修改，并搞清了数量关系的变化。甲 乙 ？米图10100米显然，在整个过程中，几何直观与空间观念都得到了发展。正因为如此，数学课程标准实验稿，将几何直观的表现归入空间观念，不无道理。2. 几何直观与数形结合从内涵看，数形结合看重数学两类研究对象之间的联系，几何直观侧重数学研究对象的几何意义。从外延看，数形结合具有两方面的作用，数学家华罗庚先生生前对此有过非常精辟的刻画：形使数更直观，数使形更入微。很明显，前一方面的作用“形使数更直观”，是几何直观与数形结合共同的功能与表现。它们的区别是：数形结合还具有“数使形更入微”的作用；而几何直观则还可以运用于几何本身。应该说，这一区别并不难理解。问题在于，很多文章在论述几何直观时所举的实例，几乎都可以用“数形结合”来概括。比如，几何直观在数的认识、数的计算以及解决实际问题中的应用，都可以归结为数形结合。既然如此，几何直观这一核心词还有单独存在的必要吗？撰写本文前，笔者曾与几位作者作了交流，为什么没有想到几何直观在图形与几何领域中的应用？得到两种回答：一是几何图形本身就是可视的、直观的，还需要强调直观吗？二是找不到不是数形结合的几何直观的例子。其实，几何本身也要依靠直观、重视直观。一方面，小学数学的几何事实，几乎都是看出来的。另一方面，可视并不等于理解，教学中经常遇到学生视而不见的现象。因为观察获得几何事实的含义，需要知识经验的参与，需要一定的领悟能力。也就是说，几何教学需要强调直观观察与直观理解。 图11再者，确实存在不是数形结合的几何直观。例如，“两点之间的各种连线，线段最短”，就是看出来的，无须定量分析。一般来说，欧氏几何的公理大多是相当纯粹的几何直观，基本不靠数形结合。尽管数形结合不能完全涵盖几何直观，它们既有交集，又有各自的差集，但从小学数学教学实际来看，无论是应用的范围，还是广大教师的熟悉程度，都是数形结合超过几何直观。我们不必为了肯定几何直观，而否定这一客观事实。3.几何直观与几何推理首先，几何推理始于几何直观。有两层意思：一是推理的前提“几何公理”依赖直观；二是直观能够帮助发现几何规律，在研究、学习几何知识的过程中，几何直观常常是发现几何规律（如图形的性质）的先导。其次，几何推理确认几何直观。因为直观不能保证观察发现的确定性、一般性。图12如果把几何推理视为演绎推理，则几何直观的发现就不妨看作合情推理。有时，几何直观具有几何推理难以企及的优势。例如，一般的平行四边形不是轴对称图形，容易依靠直观确认，而难以证明。又如：案例7 正方形盒内放1个、2个、3个、4个、5个相同月饼，使月饼直径最大。有趣的是，解决该问题，初中生的表现竟然与小学生差不多。如果要求推理计算，大多数初中生与小学生一样，只能求出放1个、4个月饼的直径；如果允许画图表示结果，那么小学生不断试误、修正的结果，同样不比初中生逊色多少，如图13。图13看来，问题的难度（计算不容易，证明“最大”更难），使得中小学生的几何推理处在同一水平线上，他们都只能施展自己的几何直观，给出问题的答案。4.几何直观与直观几何几何直观是数学研究的一种视角，也是数学认知的方式与数学教学的手段；直观几何在基础教育中则是数学课程的一种形态，或者说数学教材的处理方式。小学数学中课程的几何，都属于直观几何。不论是直观几何课程还是论证几何课程，都需要几何直观。5. 几何直观与几何直觉直观与直觉是两个十分相近的概念，特别是几何直观与几何直觉，都是可视的，区别更加模糊。如果硬要说出两者的不同，那么几何直觉是意识的本能反应，具有迅捷、敏锐的特征，有时就是一种猜测；而几何直观则可能是思考的结果，甚至是迟缓的、深思熟虑的产物。 从用词习惯图14来看，直观感知层次的几何直观，通常不会说是几何直觉，如前面的案例13。而直观洞察层次的几何直观，有时也会说成几何直觉。例如：案例8 多年前，为选拔参加数学竞赛的学生，曾选用如下口试题：如图14，大圆直径是小圆的2倍，“ ”与“ ”，哪个面积大?老师们都为这道题原创者的精湛设计赞叹不已，谁知测试结果绝大多数被试都不假思索地回答“相等”。当追问为什么相等时，略多于三分之一的学生能说出正确的推理，而且都需要思考片刻。当时，大家一致认为学生的即时反应是一种直觉，含有一定程度的猜测和朦胧的整体把握。现在看来，称作几何直观也未尝不可，因为能说清楚的学生，他们的当即判断也可以认为是推理的简缩。总之，几何直观的出现，有赖于空间观念的基础，有赖于直观几何课程的教学，反过来几何直观又能促进空间观念的发展，辅助论证几何课程的学习；几何直观常常用到数形结合的思想方法，它比数形结合更看重直观感知、直观理解和直观洞察；几何直观是几何推理的基础，是几何发现的先导，还是确认几何结论的实用方式；几何直观与几何直觉常常混用，区别主要在于本能反映是否起主要作用。愿以上偏重教学现实的辨析，有助于几何直观这一核心词的理解、把握与教学落实。三、怎样培养、发展小学生的几何直观培养、发展小学生的几何直观，可以从夯实基础、体会作用、拓展时空等方面入手。1. 夯实几何直观的基础毫无疑问，空间观念的建立对于几何直观具有直接的作用。所以，培养小学生的几何直观，最基本的途径就是加强空间观念的培养。有关的具体做法与策略前文 曹培英跨越断层，走出误区：数学课程标准核心词的实践解读之三j小学数学教师，2013(5)已有论述，这里不再展开。2. 体会几何直观的作用（1）重视数形结合的应用，特别是“形使数更直观”方面的应用。事实上，小学数学从开始认数，就在不断地使用几何直观。例如：案例9 认识个级的四个计数单位的立方体模型（图14），因其有助于学生建立这些计数单位的数感，而被反复使用。个十百千图15之后，认识小数、分数，理解整数、小数、分数的四则运算，也在大量地使用几何直观。如：案例10 分数乘法的几何模型，为什么分母相乘、分子相乘，一目了然。 图16要使学生意识、体会到几何直观的作用，很重要的一条策略是激活学生的主观能动性。比如，让学生自己画图探索的结果，比起只观察、不动手来，效果要好的多。（2）重视数学的直观理解。几何直观的作用不仅是让儿童确信数学事实，还能启迪儿童获得自己的意义建构，从而促进理解。例如案例10，有学生受上述几何模型的启发，对分数乘法的算法作出了自己的解释：因为分了又分，所以分母相乘；因为取了又取，所以分子相乘。这一依赖于直观图示的解释，不失为一种个性化的算理建构。（3）重视数学的直观洞察。随着年级的升高与数学学习的进展，应当有意识地创造条件，逐步提升学生的几何直观水平。前面的案例4和案例5是数与代数领域的两个实例，这里再介绍一个图形与几何领域的例子。图17案例11 教学平移、旋转和轴对称之后，让学生观察图16的四叶图案，他们容易看出其中的每一片叶，既可以由相邻的那片叶经过轴对称变换得到，也可以由相邻的叶片旋转90得到，或者由同一直线上的那片叶经过平移得到。有些学生从中发现平移、旋转能够由轴对称来实现，进而产生猜想：是不是所有的平移、旋转都能由轴对称来替代？这一猜想称得上比较典型的直观洞察，因为确实存在如下规律：一般地，两次翻折，当对称轴互相平行时，相当于一次平移；当对称轴相交时，相当于一次旋转。l1l2l1l2图18图19不难给出实例，使高年级小学生通过观察确信这一猜想。如图17，“带烟囱的房子”先后以l1，l2为对称轴翻折两次，相当于一次平移（平移的距离为两条对称轴之间距离的2倍）；如图18，三角形依次以l1，l2为对称轴翻折两次，相当于一次旋转（旋转角度为两条对称轴夹角的2倍）。 曹培英“图形与变换的备课与教学”j,人民教育，2006(13-14)ll还可以给出特例，让学生看到，“不带烟囱的房子”与等腰三角形（即轴对称图形），翻转一次，就能完成平移或旋转（如图20、21）。图21图20在小学，直观洞察的机会不多，但也并非绝无仅有。通过诸如此类的实例，经常刺激学生的观察欲望，有利于养成多角度深入观察的习惯。在这过程中，不断积累直观理解、直观洞察的体验，感悟其作用，体会其价值，自然就能强化几何直观的意识。3. 拓展几何直观的时空这里，着重介绍两条主要的途径。（1）适当扩展几何直观的应用范围。除了四则运算的算法解释可以直观图示之外，还有不少内容也能发挥直观教学的优势。试举两例：案例12 教学2或5的倍数的特征，通常只归纳结论，不讲为什么。如果出示图22：2362306图22就比较容易让学生直观理解：一个多位数总可以分成整十数与个位数两部分，整十数一定是2或5的倍数，因此判断一个多位数，只要看个位数是不是2或5的倍数。进一步还能由图想到，如果一个多位数不是2或5的倍数，那么它除以2或5的余数，也只有看个位数就行了。例如，6除以5余1，则236除以5的余数就是1。1图23案例13 计算，一般学生只会先通分，再相加。如果画图并演示（图23）：绝大多数学生都能受到启发，“看出”简便算法：。进而没有图示也能如法炮制：。显然这是几何直观促成的类推。（2）逐步形成构造直观的系列。从一年级起，就可以相机引导学生画图表示数，画图说明计算结果，特别是在解决实际问题时，放手让他们“把应用题画出来”。起初数量小，3可以画3个或3个表示，不妨称之为示意图。以后再酌情引进线段图、韦恩图（“集合圈”）。目前，实际问题的图示一般局限于线段图，个别教材出现了长方形图（又叫矩形图或面积图），也只用于求面积的问题。事实上，长方形图是一种迁移、应用范围很广的图示方式。当我们用长、宽分别表示两个量，则面积表示这两个量的积。因此，比较适合直观揭示单价时间总价速度时间路程工作效率工作时间工作总量之类的数量关系。例如：205153图24案例14 （1）会场原来每排20座，有15排，扩建后每排增加5座，增加3排，扩建后共增加多少座位？常有学生以为53就是增加的座位数，为什么是错的，解释较费口舌。学生自发想到的算法是：(205)(153)2015。还有其他算法吗？凭空想，有困难。（2）原计划买20只皮球，每只15元。实际每只涨价3元，且多买5只，实际比计划多花多少元？（3）学校长方形植物园原来长20米，宽15米，扩建后长增加5米，宽增加3米，扩建后面积增加多少平方米？三题情节内容各异，它们的数量关系（数学模型）相同，且都能用长方形图表示（图24）。看图，为什么53是错的，不讲自明。还有哪些其他算法，也迎刃而解了。一般学生都能看图划分，得到另两种解法：5(153)203；(205)3155。究其原因，主要是直观图示激活了有关组合图形面积计算的知识与技能，促进了学习与应用的迁移。又如，有关平均数的问题：案例15 某班50人，一次英语口语测试后按成绩排队，前30名的平均分比后20名的平均分多12分。小明把前30名的平均分加上后20名的平均分再除以2，这样得到的结果与全班真正的平均成绩相差多少分？ 学生能意识到两部分人数不等，小明的算法有误。但是，两部分的平均分都不知道，怎么求呢？少数学生尝试采用“假设法”，如假设前30名的平均分是92分，则后20名的平均分就是80分。然后按常规方法列式计算。更简捷的解法比较隐蔽，极少有学生能独立发现。根据题意画出长方形图（图25），学生看着、看着，纷纷联想到了“移多补少”，于是，计算能力强的同学口算就能解决问题。如图26，前30名学生的610分再给50人平分，1.2分就是小明的计算结果与全班真实平均成绩的差。30 人 20人610图261230 人 20人前30人均分后20人均分12分图25以上三个案例表明，数学课程标准（2011版）所指出的“借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果”，同样适用于小学数学。教学实践表明，在整个小学阶段逐步形成构造直观的系列：示意图线段图韦恩图面积图对于发展学生的几何直观，提高他们的问题解决能力都有明显的功效。四、几何直观的局限性1.一个有趣的教学案例案例16 一位老师教学“平行与垂直”，他让学生用红、蓝两根小棒（代表直线），在桌面（当作平面）上摆出两条直线的各种不同位置关系。有一名学生将红蓝两色小棒接起来成一条直线，教师表扬了孩子的创意，肯定这是一种特殊的位置关系“重合”。谁知课堂上教师的表扬引起了课后的争论。有学生发现，旋转两条相交直线中的一条，使夹角为0，就是重合，所以认为重合是特殊的相交；也有学生说，平移两条平行线中的一条，让间隔距离为0，也是重合，因此认为重合应该是特殊的平行。他们谁也说服不了谁。教研组全体教师展开了论战，出现四种