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第五章存储论 教学大纲 一 基本要求 1 熟练掌握存储模型的基本概念 2 熟练掌握四种基本确定型存储模型的计算 3 熟练掌握有批发折扣价的经济批量模型 4 掌握随机性存储模型 二 重点 以上统统是三 难点 有批发折扣价的经济批量模型 一 存储问题的提出 作为运筹学的一个分支 存储论体现了管理科学对存储问题的基本处理思想 应用领域十分广泛 现实中 我们常遇到许多有关存储的问题 习惯上 人们总认为物质的储备越多越好 而事实却不然 由于现实问题的复杂性 我们在许多问题上不得不否定 多多益善 的观点 因为在存储的量 存放的时间等具体事项上 处处存在合理性问题 所谓合理 归根到底还是存储方案的经济性 广义的 现实中有关存储的实例很多 1 工厂原材料库存问题工厂生产所需原材料如果没有一定存储 必然造成停工待料 但如果存储过多 则不仅资金积压 还要支付一笔保管费 有些物资还可能因意外事故引起变质或损坏 从而带来更大损失 因而原材料存储在保证生产连续性前提下以少为宜 即存在一个 经济量 2 商店商品库存问题商店的商品库存与工厂原材料库存相类似 如果库存不足 会发生缺货现象 造成机会损失 如果库存过大 则造成商品积压 影响流动资金周转并要支付保管费 假如商品最终因此削价处理 损失可能会很大 因此商品库存应该是一个 经济量 3 水库蓄水量问题水库蓄主要有两个作用 发电与防洪 水量不足 则会影响下一季的灌溉与发电 蓄水过多 如果下一季遇大雨则会对周边的安全构成威胁 水库蓄水存在一个合理的量 浙江新安江水库 安吉天荒坪水库 4 报童问题需求为不确定的存储问题 专门研究这类有关存储问题的科学已经构成了运筹学的一个分支 二 存储模型的基本概念 1 需求 r是存储的输出 记作r 根据需求的时间特征 可分为 连续性需求 随时间 均匀地 发生间断性需求 需求瞬时发生 存贮跳跃式变化根据需求的数量特征 可分为 确定性需求 需求发生的时间与数量确定 如工厂生产线上每天的领料随机性需求 如商店出售的商品 可能一天售出10件 8件 或未售出 2 补充是存储的输入 主要有两种形式瞬时补充 通过外购而一次性补充 有时 从订货到货物入库需要一段时间 叫做 订货提前期 连续补充 逐渐补充 一般是通过自行组织生产 这样 从存储物生产开始 存储逐日增加 至合适量为止 补充速度记作p 3 费用 c费用是存储策略优劣的评价标准 主要包括 存储费c1 包括使用仓库 保管货物以及货物损坏变质等引起的各项支出 单位量被记作c1 缺货费c2 当存储未能补充时引起的损失 如失去销售机会的损失 停工待料的损失以及未能按期履约而缴纳的补偿金 罚金等 单位量记作c2 订货费 包含两个项目 一项是订购费用 固定费用 如订货时发生的手续费 函电往来费用和差旅费等 它与订货次数有关 而与订货数量无关 记作c3 另一项是货物成本 购入成本 与订货数量有关 是变动费用 如货物单价 运价等 记作k 于是整个订货费为c3 kq 或生产费 当补充是以自行生产方式进行时发生 与订货费相似 也有两个项目 一项是固定费用 装配费或准备费 记作c3 另一项是是变动费用 如货物单位成本 记作k 整个生产费为c3 kq 4 存储策略存储论要解决的问题是 如何用最低的费用来解决存储 需求与补充之间的矛盾 具体地说 就是多少时间补充一次 每次补充量应为多少 衡量存储策略优劣的标准是单位时间费用 企业常见的存储策略有以下三种类型 1 t0 循环策略 每隔t0时间补充存量q0 或s0 2 s s 策略 每当存储量x s时不补充 而当x s时即补充 补充量q s x 或补充s 3 t s s 混合策略 每经时间t检查存储量x 即盘点 当存储量x s时不补充 而当x s时即补充 补充量q s x 或补充s 本文主要讨论第 1 种策略 面临的问题如何满足需求如何达到最小成本可控变量订货时间每次进货量成本的构成与存储有关的费用由缺货所引起的费用采购费用 三 确定性存储模型 主要研究连续盘点 均匀需求的情况 即需求速度是均匀和确定的 补充采取t0 循环策略的存储模型 具体包括 瞬时补充 不允许缺货逐渐补充 不允许缺货瞬时补充 允许缺货逐渐补充 允许缺货有批发折扣价的情况多阶段存储 往往采用dp方法 此处略去 1 模型一 瞬时补充 不允许缺货 也称 经典经济批量模型 是最简单 最典型的存储模型 1 存储状态为简化模型 先对各种条件作如下假设 1 缺货费c2无穷大 2 需求是均匀的 速度为常数r 每隔t时间补充一次 3 当存储降为零时 可以立即得到补充 无拖后时间 4 订购费c3为常数 货物单价k为常数 5 单位存储费不变 即c1为常数 2 费用函数 t时间内需求量 订货量 q rt 每次订货发生费用 c3 krt 0 t时间内的平均存储量为 q 2 rt 2 已知单位存储费c1 则t时间内所需存储费用为 由此得到t时间内总费用 某商品单位成本k 5元 每天每件保管费c1为成本的0 1 每次订购费c3 500元 已知对该商品的需求r 100件 天 不允许缺货 假设该商品的进货可以随时实现 问 1 30天进一次货还是10天进一次货更合算 优劣判断指标 解 k 5元 件 c1 0 005元 件天 c3 10元 次 r 100件 天 1 t1 30天 求总费用需求量q1 rt1 100件 天 30天 3000件订购费ct1 500元货物成本kt1 kq1 15000元存储费ct1 1 2rt12c1 225元总费用ct1 500 15000 225 15525元t1 10天 求总费用需求量q2 rt2 100件 天 10天 1000件订购费ct2 500元货物成本kt2 kq2 5000元存储费ct2 1 2rt22c1 25元总费用ct2 500 5000 25 5525元 例1 哪种策略更合算 结论1 判断存储策略优劣的指标应该是单位时间的总费用 结论2 判断存储策略优劣时 商品的单位成本k可以不考虑 这就是著名的 经济订购量 economicorderingquantity 简称eoq 亦称 经济批量 economiclotsize 3 经济订购量 或称 经济批量 与经济订货周期 求费用c t 最小值 令 得t t0 即每隔t0时间订一次货可以使费用最小 订货批量q0 t0r 0 单位时间费用 当k为常数时 由于q0及t0与k无关 因此该项费用常被当作常数 略去不加以讨论与计算 若无特殊需要 一般在费用函数中不考虑kr 于是费用函数可以表示为 t0 c t 可以用图表示为 c t 将t0 或q0 代入费用函数 可得到最小 单位时间 费用 c0 从图中可知 当单位费用取极小值时 有 即 c0 2 例2 某注塑车间每年需原料36000吨 需求均匀 每月每吨需存储费5 3元 每次订购发生费用2500元 目前该车间每月订购原料一次 每次订购3000吨 问 1 如何改进订购方案 2 改进后一年总费用可比现在节省多少元 解 1 经济订购方案 r 36000吨 年 3000吨 月 c1 5 3元 吨月 c3 2500元 次 t0 0 56月 16 8天 q0 t0r 1682 吨 c0 8916 元 月 2 现行方案 每月总费用 1 2c1rt2 c3 1 2 5 3 3000 1 2500 10450元 月年总费用 10450 12 125400元 年可节省 125400 106992 18408元 一年总费用 8916 12 106992元 2 模型二 逐渐补充 不允许缺货 1 存储状态 1 缺货费c2无穷大 2 需求是均匀的 速度为常数r 每隔t时间补充一次 4 每次订货时间不变 订购费c3为常数 货物单价k 5 单位存储费不变 即c1为常数 3 存储补充是逐渐完成的 并已知补充速度为p p r 在 0 tp 区间内 存储以 p r 的速度增加 在 tp t 区间内 存储以速度r减少 显然 t时间内的总需求量都是tp时间生产的 即ptp rt 于是tp t时间内的平均存储量为 p r tp 相应的存储费用为c1 p r tpt t时间内组织了一次补充 固定费用c3 于是 t时间内的总费用为c1 p r tpt c3 c1 p r t2 c3 则t时间总平均费用 单位时间费用 可以表示为 c t c1 p r t2 c3 c1 rt 令 c1r 0 经济周期t0 补充总量q0 rt0 最小费用c0 t0 q0与模型一相比 式中多了因子 当补充速度很大 能瞬时补充 即p 时 1 模型二就变成了模型一 可见 模型一是模型二在补充速度极大时的特例 3 模型三 瞬时补充 允许缺货 前面的两种模型是在不允许缺货的前提下讨论的 因此完全没有考虑缺货费 由于允许缺货 存储降至零后可以再等一段时间才订货 这意味着企业可以少付几次订货固定费用 少付一些存储费用 一般地 当顾客遇到缺货时不受损失或者损失很小 而企业除了支付少量缺货费外也没有其他损失时 适当发生缺货可能更为有利 存储状态在模型一的假设前提下 即需求速度r 立即补充 每次订购固定费用c3 单位存储费c1 现在新增单位缺货费c2 设周期初存储量为s 可以满足t1时间的需求 则s rt1 有t1 t1 t 区间缺货 t时间总缺货r t t1 费用函数 因此 一个周期的平均总费用 t1时间内的平均存储量为 在 t t1 时间的存储量为零 平均缺货量r t t1 订购费c3 在t时间内所需存储费c1 t1 c1 在t时间内的缺货费c2 r t t1 t t1 c2 c t s c3 c t s c3 费用函数 利用多元函数求极值的方法 求c t s 极小值 令 0 r 0 t 0 有c1s c2 rt s 0 s rt 令 c3 c2 rt s 0 即 c3r rt c2 rt s 0 将 式代入上式 消去s c3r rt 2 rt rt rt c2 rt rt 0 经济批量q0 rt0 经济订购周期t0 最小费用c0 与模型一相比 模型三的两次订货时间间隔延长了 尽管增加了缺货费的支出 总平均费用还是减少了 当c2 1 本模型转变为模型一 可得 4 模型四 逐渐补充 允许缺货 存储状态需求速度r 补充速度p p r单位存储费c1 单位缺货费c2 生产准备费c3 经济批量q0 rt0 经济订购周期t0 最小费用c0 当c2 则与模型二相同 当p 则与模型三相同 当c2 p 则与模型一相同 rt0 练习1 某商品单位成本为5元 每天每件保管费为0 05元 每次订购费为10元 已知对该商品的需求是3000件 月 不允许缺货 假设该商品的进货可以随时实现 问 1 求t0 q0 c0 每年的最少费用 2 如果k 5变为k 6 是否会影响t0 q0 c0 3 如果订购费用由10元增加至20元 t0 q0 c0如何变化 4 如果保管费用由0 05元减少至0 03元 t0 q0 c0如何变化 5 如果允许缺货 缺货费用 0 1元 件天 问t0 q0 c0如何变化 如果缺货费增至0 2元 件天 t0 q0 c0如何变化 6 如果通过生产进行补充 p 300件 天 问t0 q0 c0如何变化 如果生产速度增至500件 天 t0 q0 c0如何变化 7 如果允许缺货 c2 0 1元 件天 并通过生产进行补充 p 300件 天 问t0 q0 c0如何变化 某建筑工地每月需用水泥800t 每t定价2000元 不可缺货 设每t每月保管费率为货物单价的0 2 每次订购费为300元 求最佳订购批量 经济周期与最小费用 q0 t0r 346吨 t0 0 433月 13天 c0 1386元 月 一 表示什么含义 包括哪些费用 二 一个周期内的总费用 定购费为多少 解 r 800吨 月 k 2000元 吨 c1 2000 0 2 4元 吨月 c3 300元 次 三 一个月内的存储费是多少 练习2 四 如果15天为一个周期 则每月总费用多少 有一个生产和销售图书馆设备的公司 经营一种图书馆专用书架 基于以往的销售记录和今后市场的预测 估计该书架每月的需求量为410个 存贮一个书架一年的费用为1000元 这种书架的生产能力为每年9900个 组织一次生产的费用为500元 每年的工作时间为300天 为了降低成本 该公司如何组织生产 要求求出最优的生产量 相应的周期 每次生产时间 最少的年度费用 每年的生产次数 解 从题可知 r 410个 月 4920个 年 p 9900个 年 c1 1000元 个年 c3 500 练习3 经济周期t0 0 02年 6天 q0 rt0 98个 c0 50000元 年 tp 3天 每年的生产次数 300 6 50次 5 有批发折扣价的经济批量模型 前面的四种模型我们都是把货物成本 kr 作为不变的常数处理的 根本原因是依照它们的假设 货物成本对订货周期及订购量不产生影响 因此可以不加以讨论 现在 如果存在与订购数量相关的折扣价 货物成本因订购数量而改变 所以 在计算最小费用时必须将各折扣价下的货物成本考虑进去 以下以模型一为例加以分析 设 其它条件与模型一相同 但货物单价与订货量有关 具体如下 0 q s1单价k0s1 q s2单价k1s2 q s3单价k2 sn q单价kn且有k0 k1 k2 kn 例 生产车间每周需要零件32箱 存储费每箱每周1元 每次订购费25元 不允许缺货 零件进货价格为 订货量1箱 9箱时 每箱12元 订货量10箱 49箱时 每箱10元 订货量50箱 99箱时 每箱9 5元 订货量99箱以上时 每箱9元 求最优存储策略 使用公式 单位时间总费用 k 12 k 10 k 9 5 k 9 不计货物成本k 40 q0 c 1 c 3 c 2 c 4 10 50 100 c 解 已知 r 32箱 周 c1 1元 箱周 c3 25元 次 1 不考虑折扣价 计算经济批量q0 q0 40箱 2 对于小于经济批量的折扣价 不考虑经济批量q0 40箱 每箱10元的订货费c0 订1 9箱 每箱10元的订货费c1 订1 9箱 每箱12元的订货费c1 或从图上直接可得 3 比较q 40 50 100时的单位时间总费用 3 订货量100箱 每箱9元 5 取c 40 c 50 c 100 中费用最小值最优订购批量q 50箱 最小费用c 345元 周 订购周期t 50 32 1 5625周 1 订货量40箱 每箱10元 2 订货量100箱 每箱9 5元 元 周 综合练习 某商品单位价格为2元 每天保管费为成本的0 1 每次订购费为10元 已知对该商品的需求是100件 天 不允许缺货 假设该商品的进货可以随时实现 问 1 经济周期 2 经济批量 3 单位时间最小费用 4 在最优策略下 平均定购费多少 平均存储费多少 5 一个经济周期内进货的总费用是多少 6 在最小费用内 订货费占多少 存储费占多少 7 如果一次定购量超过2000件 单位价格为1 8元 则最佳订购批量是多少 需求期 需求期内需求量x服从分布密度f x 单位积压损失h单位缺货损失k 求最佳采购量q 四 随机性存储模型 模型五 报童问题 不考虑存储费的一次性订购模型 成本构成 期望总成本f q 期望积压成本 期望缺货成本 则最佳库存满足条件 推导见p132 模型五 报童问题 不考虑