（理论物理专业论文）单体和多体量子系统几何相位的研究.pdf

四川大学硕研究生学位论文 y7 7 5 8 1 0 摘要 本文研究复合系统的几何相位存在的两个有待深入探讨的问题：系统的哈 密顿量的结构怎样影响几何相位，多粒子系统的几何相位的复杂性如何去摧 述主要结果如下：1 。运用代数动力学，求解了旋转磁场中的朗道系统的几何 相位，数值研究结果显示，绝热几何相位与非绝热几何相位有重大区别：非雏 热演化中额外的非绝热量子激发引起系统几何相位的非周期性和复杂性，体现 了环境对系统的影响这一结果，有助于澄清人们对绝热几何相位和非绝热几 何相位的关系的认识2 。对三粒子海森堡自旋链多体系统的几何相位的研究结 果表明，该系统的哈密顿量的对称性要影响系统的几何相位的演化，当系统哈 密顿量的对称性破缺时，几何相位会发生明显变化系统的几何相位对哈密顿 量对称性的这种依赖性，意味着，在用自旋链制成相位门时，应当充分考虑和 利用系统的哈密顿量的对称性破缺对几何相位的影响3 。探讨了多粒子系统的 几何相位中的分形现象，建立了几何楣位与分形的联系，并计算了分形曲线的 盒子维数，从而，在理论上拓展了人们对几何相位的认识 关键词：非绝热羹子激发；几何相位：对称性破缺：几何相位结构变化与分形 四川大学硕士研究生学位论文 a b s t r a c t t h i st h e s i sc o n c e n t r a t e so nt h ei s s u e so ft h eg e o m e t r i cp h a s eo f c o m p o s i t es y s t e m ：t h ed e p e n d e n c eo fg e o m e t r i cp h a s eo nt h ec o u p i n g b e t w e e nt h et w os u b s y s t e m s ，t h ee f f e c t o ft h ee n t a n g le m e n za m o n g p a r t i c e so nt h eg e o m e t r i cp h a s eo ft h ec o m p o s i t es y s t e m ，t h ei n f l u e n c e o fs y m m e t r yo fh a m i l t o no fc o m p o s i t es y s t e mo nt h eg e o m e t r i cp h a s e ，a n d t h ec o m p l e x i t yo fg e o m e t r i cp h a s eo fm u l t i p a r t i c l es y s t e m u s i n g a l g e b r a i cd y n a m i c s ，t h eg e o m e t r i cp h a s eo fl a n d a us y s t e mw i t har o t a t i n g m a g n e t i cf i e l d i ss t u d i e d n u m e r i c a l l y ，a n dt h eg r e a t d i f f e r e n c e b e t w e e na d i a b a t i cg e o m e t r i cp h a s ea n dn o n a d i a b a t i cg e o m e t r i cp h a s ei s s h o w n ：i n n o n a d i a b a t i ce v o l u t i o n ，n o n a d i a b a t i cq u a n t u me f f e c t r e s u l t si nt h en o n p e r i o d i c i t ya n dt h ec o m p l e x i t yo fg e o m e t r i cp h a s e ， w h ic hr e f l e c t e dt h ei n f l u e n c eo fe n v i r o n m e n to nt h es y s t e m t h e i n v e s t i g a t i o no ft h eg e o m e t r i cp h a s eo fa3s p i n 一1 2c h a i ns h o w st h a t t h es y m m e t r yo fh a m i l t o na f f e c t st h es t r e c t u r eo fg e o m e t r i cp h a s e ：w h e n t h es y m m e t r yo fh a m i l t o ni sb r o k e n ，ad r a s t i cc h a n g ei nt h es t r u c t u r e o ft h eg e o m e t r i cp h a s et a k e sp l a c e t h ef r a c t a lp h e n o m e n o no fg e o m e t r i c p h a s ei na ne n t a n g l e dm u l t i p a r t i c l es y s t e mi sa l s oe x p l o r e d ，a n dt h e b o x - c o u n t i n gd i m e n s i o n so ft h ef r a c t a l l i k ec u r v e so ft h ee v o l u t i o no f g e o m e t r i cp h a s e sa r ec a l c u l a t e d t h er e s u l t so ft h et h e s i sa r eh e l p f u l t oe x t e n dt h eu n d e r s t a n d i n go fg e o m e t r i cp h a s e k e yw o r d s ：n o n - a d i a b a t i c i t ya n dn o n - p e r i o d i c i t yo fg e o m e t r i cp h a s e s ： s y m m e t r yb r e a k i n g ：s t r u c t u r ec h a n g eo fg e o m e t r i cp h a s e ：f r a c t a l s t r u c t u r eo ft h eg e o m e t r i cp h a s ee v o l u t i o n 四川大学硕士研究生学位论文 第一章绪论 1 1 几何相位的研究历史 在量子力学的众多基本问题中，人们对量子力学几何相位的关注、研究和 利用，一直十分活跃 】- 7 尤其是最近，量子计算在理论上的突破和实验中 的进展，拓展了量子几何相位的应用范围，激发了物理学工作者对量子几何相 位的相关理论进一步研究的热情 8 1 3 对波动系统相位随时间演化的研究，起先于印度的物理学家 s p a n c h a r a t n a m 对两束极化态不同的光的相位差的研究s p a n c h a r a z n a m 基于 两个琼斯矢量的标积的复角，定义一个p a n c b a r a t n a m 相角hi ，用来描述两柬 极化态不同的光的干涉情况之后，1 9 5 9 年，a h a r o n o v 和b o h m 预言了电子波 在电磁矢量势作用下产生的相角对电子干涉的影晌。次年褥到实验证实1 9 8 3 年，英国著名物理学家m v b e r r y 发现了绝热量子系统的波函数也包含一个不 可积的相因子( b e r r y 相位) ，从而续写了量子力学发展的辉煌历史，促使人们 对量子力学的基本问题投入更多的关注m v b e r r y 的成果发表后不久， y a h a r o n o v 和j a n a n d a n 发现，不用绝热定理，在一类循回过程中也同样存在 有不可积的相位因子，后来人们把这一相因子称为a 一 相位给出量子几何相 位的最普遍形式的是j s a m u e l 和r b h a n d a r i s a m u e l - - b h a n d a r i 理论( 简称 s b 理论) 是s p a n c h a r a t n a m 的光学干涉理论的量子力学版本 1 4 1 9 9 0 年， 德国和奥地利两位学者利用中子在磁场中的极化实验 1 5 测出了非绝热非周期 的几何相位，从而证实了s b 理论，这标志着b e r r y 理论的主要发展获得了重 大成功在几何相位的发展历史上必须一提的还有，在m v b e r r y 发现绝热的 b e r r y 相位不久，s i m o n 基于现代的纤维丛理论，把b e r r y 相位解释为底空间 联络的曲率的结果，从而使人们对b e r r y 相位的几何性质的理解更加深刻，为 绝热的b e r r y 相位的更一般的表述起了关键的作用 1 2 几何相位的基础理论 1 2 1b e r r y 相位 量子系统与外界相互作用可以用包含若干含时参数的哈密顿量来描述 膏扩，f ) - 膏( f ，蠢( f ) ) ，( 1 2 1 ) 一l 一 四川大学硕士研究生学位论文 其中i 是粒子坐标，h ( t ) 是参数空间的矢量，与时间有关系统的量子态 i 妒晴( r ) ) ) 的演化按照薛定格方程 珐言卜拆o ) ) ) 一膏咂( f ) 1 1 ；f ，嘏o ) ) ) ( 1 2 2 ) 该系统的瞬时本征态方程为 西( j i ) i 埠( 孟) ，e 。( j i ) i n 暖) ， ( 1 2 3 ) 其解e c 蠢) i n ( h ) ，依赖参数j i ，l n ( 兵卜满足正交、归一和完备性条件t r e ( h ) i 穆泳卜- 6 。 l n ( j i ) j ( 冉( j i ) i - ， 绝熟倩况下，设系统初态为f 撵佩( 0 ) ) ，t 时刻为f 以( 蠢p ) ) ，那么系统波函 数可写成 l 妒暖( f ) ) ) - e x p ( - 署- o d t e 暖o ) ) c x p ( f 凡o ) ) l 露暖( f ) ) ) ， ( 1 2 t4 ) 其中，第一个指数因子是熟悉的动力学相因子，第- 2 _ 个指数因子的意义和表达 式待定把( 1 2 4 ) 式代入( 1 2 2 ) 式，可得到 詈no ) 一f 如暖( r ) ) f 亏一饵( f ) ) ) 。杀厦( f ) b e r r y 考虑膏( f ) 是f 的周期函数的情况：蠢口) 一再( o ) 在一个周期内， 矗( f ) 在参数空间沿闭合轨道c 走一圈，b e r r y 相位 2 ，1 6 为 悯一子警怫瓣) ) 一f 似c n ( 豆) i 帚一两， - 伽五晤) ， ( 1 ，2 5 a ) 其中互( 孟) 为波函数在j i 空问变化时诱导出的规范势，其定义为 四川大学硕士研究生学位论文 五( 五) - it n ( 豆) l v 一。n ( 耍) ， 若r 空间是三维的，利用s t o k e s 定理有 比( c ) 一秘豆( 五) ， ( 1 2 5 b ) s 是c 所包围的曲面，最( 晨) 是诱导的天空间中的规范场，定义为 豆暖) 一帚。x 丑( j i ) 元( j ) 像电磁场的矢量势，最( j ) 像磁场强度h 够) 由c 所包围的曲面s 的“磁 通”决定 另一考面，“磁场强度”豆暖) 与能级交叉有关为此，迸一步计算最( 豆) ， 喊暖轨一( 亏。x 丑( j i ) ) ，- i u , 8 ，t h ( 孟) ia 。雄球卜 i e 壮co ：( r ) i o 。抖( 豆卜一c 。产业) l 埘晤卜朋暖) l a 一坼卜 带t 再暖) io ，日疆) l m 球卜t m 暖) l a 。傅) l 栉嘏坐 “啄磊百蕊f i 两r 一 一磊鲤弛煎嚼溢捌塑业必 珊卜n n 薹巡啦唑鑫篡萨龇z e ， 上式的推导用到的反对称性以及c 州i 帚，- c 州i 帚 青l ，l ，( e 。- e 。) 和 t 亏。册i ，l 一一t m l 帚。月，该式表现了能级交叉的奇异性对应的“磁荷”产生 “磁场”的过程 1 2 2a a 相位 a a 相位是定义在一类叫做循回过程中的几何相位循回过程是一类特定 的过程，它遵循薛定格方程 塑型丕堂堡三堑窒笙兰焦笙兰 腩景f 妒( f ) ) = 曹( r ) 帅) ) ， ( 1 27 ) 在系统演化一段时间t 之后，波函数与初始波函数只相差相位因子a l 妒仃) ) 。e “i v ( o ) ) 需指出的是，不是任何初态都能导致循回过程能导致循回过程的初态叫做循 回初态 1 7 先定义 h g ) ) 一e i a ( t ) i q 口q ) ) ， ( 1 2 8 a ) 口o ) 一口( o ) i a p ( 1 ) - 妒( u ) ， 然后，将( 1 。2 8 a ) 式代入( 1 2 7 ) 式，得 警一一言他( r ) p ( f ) i ) + 和p ) 国) 于是，由( 1 2 8 b ) 式可得到 口言r ( 妒( f ) 睁。如( t ) 冲+ 蛋( 雄) 唔l 妒) 冲 y h h a r o n o v 和j h n a n d a n 定义动力学相位 6 - 一“似o ) p o ) 陟( f ) 冲， 在此基础上定义总相位当中扣除了动力学相位之后， y a d 一茁( f ) 嗉旧p ) 冲 ( 1 2 8 b ) ( 1 i2 8 c ) ( 1 2 9 ) 剩下部分为几何相位 ( 1 2 1 0 ) ( 1 2 8 a b ) 三式说明，已把希尔伯特空间的一条开路曲线( 态按薛定格方程演 化的实际路径) 投射到射影希尔伯特空间的条闭合曲线从上面的推导不难发 现，在射影希尔伯特空间的一条闭合曲线，可以在希尔伯特空间对应许多分别 按不同薛定格方程演化的多条循回路径，可见由( 1 2 1 0 ) 式定义的a a 相位是 不依赖哈密顿雷和波函数v j ( t ) 的因此，h - - h 相位侧重强调射影希尔伯特空间 的几何性质在绝热条件下，由a a 相位可以推导出b e r r y 相位 四川大学硕士研究生学位论文 1 2 ，3 非绝热非周期性几何相位 s p a n c h a r a t n a m 定义了两束极化态不同的光的相位比较推广到量子力学 设系统的初态波函数为妒( f 。) ，按照薛定格方程演化到时刻f 的波函数为妒( f ) ， 妒( f ) 对初态波函数的相位增量定义为 。0 0 f ) 一a r g 妒o ) 1 w ( t o ) ， ( 1 - 2 - 1 1 ) 从哈密顿量对该波函数的平均值可计算出动力学相位 1 ， y 。o 。一r ) - 一音，t 妒o ) 1 日( r ) i 妒p ) d r l 口 系统的几何相位定义为 y 。( t o r ) 一驴m ( r o f ) 一y 。o o f ) ( 1 2 1 2 ) 研究表明由( 1 2 1 2 ) 式表述的几何相位比a a 相位更一般 4 在循回过程， 由( 1 2 1 2 ) 式计算得到的就是a a 相位在参考文献 4 中，j s a m u e l 和 r b h a n d a r i 还给出了y 。( f 。一f ) 的几何解释即在射影希尔伯特空间，联络在 连接初态和末态的测地线上的曲线积分 1 3 本文研究内容与研究方法 1 3 1 问题的提出 进入上世纪9 0 年代后，人们对几何相位的关注主要在研究具体物理问题中 的几何相位，以解释或预言凝聚态物理、分子物理以及物理学其他领域中的现 象比如，2 0 0 4 年又对纠缠分子的几何相位做出重要理论预言 1 8 最近，人们研究如何把几何相位用于量子计算由于用于量子计算的系统 都是复合系统，目前许多努力用于研究复合系统( 多粒子系统) 的几何相位 8 一1 1 ：一方面，探讨系统的整体几何相位与各子系统的几何相位的关系；另一 方面，研究粒子之间的耦合对系统几何相位的影响，以及粒子问的纠缠对系统 几何相位的影响显然，对于复合系统的几何相位还存在其他两个侧面值得人 们去探讨：一是，系统的哈密顿量的结构对几何相位的影响：二是，多粒子系 统的几何相位的复杂性如何去描述 四川大学硕士研究生学位论文 1 3 ，2 本文的研究内容 基于代数动力学，求解了旋转磁场中的朗道系统和三粒子海森堡自旋链多 体系统，讨论了这两个系统的几何相位 对朗道系统的非绝热几何相位的数值研究结果显示，该系统的非绝热几何 相位和绝热几何相位具有重大区别：非绝热演化中额外的非绝热量子激发引起 系统物理量的非周期性和复杂性，体现了环境对系统的影响 对三粒子海森堡自旋链多体系统的几何相位研究表明，该系统的哈密顿量 的对称性要影响几何相位的演化，当系统哈密顿量对称性破缺时，几何相位会 发生明显变化几何相位对系统哈密顿量对称性的这种依赖性，意味着，在用 自旋链制成相位门时，应当充分考虑和利用系统的哈密顿量对称性破缺对几何 相位的影响 最后，探讨了几何相位中的分形现象，建立了几何相位与分形的联系，从 而在理论上拓展了人们对几何相位的认识 1 3 3 代数动力学方法 代数动力学n 9 是求解非自治量子系统的一种有效方法，有概念清晰、方 法简洁和便于运算等诸多优点代数动力学是本文计算几何相位的主要工具详 细内容可查阅参考文献 1 9 四川大学硕士研究生学位论文 第二章旋转磁场中朗道系统的非绝热、非周期性 量子几何相位 2 1 引言 几何相位 1 - 7 3 一直是人们感兴趣的一个研究领域自从贝利发表了他关 于量子几何相位的重要论文 2 以来，贝利相位的研究几乎进入到了物理学的 所有重要分支，如分子物理、凝聚态物理 5 等然而，大多数的文章是关于绝 热周期几何相位的，较少是关于非绝热 2 0 非周期 2 1 的在这一章里，我们 将讨论旋转磁场中朗道系统的非绝热非周期量子几何相位尽管非自治朗道系 统已经吸引了大量研究兴趣 2 2 ，2 3 ，但据我们所知，还没有人从非绝热非周 期的角度来研究这一系统的几何相位这篇文章的内容包括：首先，我们精确 求解了旋转磁场中朗道系统，推导出它的一般几何相位；其次，给出几何相位演 化的数值曲线，并对曲线做了物理分析，讨论了非绝热演化与绝热演化的重大 区别 2 2 系统的解和一般几何相位 2 2 1 系统的解 我们考虑一个电子在一个旋转磁场雪。( a c o s w f ，b s i n a t ，o ) 中的运动其中 a 和b 是两个参数是磁场的旋转频率系统的啥密顿量为 州i 击( 声+ 珂 c z - z ， 把矢势选成j 一( 一z b s i n a t ，z a c o s w t ，o ) ，则哈密顿量变为 疗o ) - 去皓+ 掌) + 去曹：e ) ， ( 2 2 2 ) 其中 四川大学硕士研究生学位论文 曰：( ) 。霉一2 e b 岛只s i 。叫一。曩c o 。耐) ： + ( 铲2 8 2 铀叫) 2 ( ) 2 2 由于眨，曹( f ) 。峨，疗( f ) j 。0 ，故只和。是两个守恒量 疗：e ) 一：+ 6 。( f 谚。+ d 一：( f 塘。 ( 2 2 3 ) 曾：o ) 可以写成 ( 2 2 4 a ) ：。：，：。掌，。丢晓2 + 越l 左，- 幺矗- 定，袁。一f 。 ( 2 2 4 b ) b 。，o ) 。一罢字陋s 协耐一n 只c o s “ ， ( 2 。2 5 a ) 扫：o ) 一f 詈1 2 且2 函2 ( s 缸耐) 2 + 口2 ( c o s 科) 2 ( 2 2 5 b ) 由于童。营：，雪。，童。和丘。是群s u ) p ( 3 ) 的生成元，雷( f ) 具有蹦似) o ( 3 ) 鳢件代数结构可以运用代数动力学方法来精确求解薛定格方程， f 业牡- 训帆m ( 取) 我们进行规范交换 d 扛) 。怕岛e 如e 氓宣e 玑，移( o ) 。1 ) ， 于是，在规范参考系中，波函数和哈密顿量变为 i 死( f b d ；1l 妒。o 卜， 岔。( f ) - 四o ) 詹( f 妒。( f ) 一i o ；1 ( f ) 。o ) 选择满足下述条件的最佳规范变换 1 9 ， ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 28 a ) ( 2 2 8 b ) 四川大学硕士研究生学位论文 聊警- 一三兀+ z 庀+ 互1b 川 m 盟。8 f o f ：dt 。 m d 出f - l ：0 ) ，l + l 2 一，0 ) m 堕。一，_ 1 dt 。一1 f i e 。h 上：( o ) ，- 。( o ) t ，0 ( 0 ) t ，1 ( o ) t0 曹。( f ) 实现了对角化， 疗；( r ) 。爿( f 妒( 。) + b ( r ) + ! 塑2 m 其中，( o ) 是标准的一维谐振予的哈密顿量， 伽) - 丢悖) 4 ( f ) 。坐， 酬t 却川一拥警卜脚+ 躬 同时，规范变换后的薛定格方程变为 f 昙l 死( f 卜一疗。i 死( r ) 1 ( 0 1 的本征方程很容易求解 ( 2 2 9 ) ( 2 2 1 0 ) ( 2 2 1 1 ) ( 2 2 1 3 ) 四川大学硕士研究生学位论文 ，( 。) i n i ( n + 三) i h ( 2 2 1 4 ) i n 是谐振子波函数从( 2 2 1 0 ) 一( 2 2 1 4 ) 式很容易得到方程( 2 2 1 3 ) 的 解i 识o ) ) ，再由( 2 2 8 a ) 式的逆变换求得薛定格方程( 2 2 6 ) 的解， 妒。( f ) - 疗。( f ) i 死( f ) 去e b 呦沪( 够。( f ) i 以， 历 其中l 讥( f ) 的总相位 鲋一q 掣+ ( 打+ 淞嘶p 2 。2 2 系统的一般几何相位 ( 2 2 1 5 ) ( 2 2 1 6 ) 现在我们来推导系统的一般意义上的几何相位，即著名的 p a n c h a r a t n a m 1 几何相位在任一时刻总相位为 y 。，一h n ( 1 nc 妒。( 0 ) l 妒( f 卜) = 一e ( f ) + i m 怔t 死( f ) l d 。g ) l 记( f 卜j = 一0 0 ) + y ( r ) ， 其中y ht ) 是由规范变换诱导的几何相位，可写为 ( 2 2 1 7 ) 四川大学硕士研究生学位论文 y 。( r ) t i i l l ( 1 nc 一帆) j ，) = i i n o n c n i e - i ( 肿叽b ，：一“) ) ) 系统的p a n c h a r a t n a m 几何相位为 卢扛) 一y o - - ，一儿( f ) 其中 = y ，e ) + y o ) 扎o ) 一上t 妒。_ ) f 曹一) 帆( r 卜d r ， y ，( f ) 一i t 妒。( , ) i - i o 。0 a 。0 ；- 1 帆扛) d r - 上c 训惨秽屯+ 鲁，+ ( 鲁一2 篆，一：肛 + 等p 。 丘+ i d f - i 舳死b 卜如 d fd f 、 2 ( n + 三e 掣彩+ j ：掣椭f 2 “去p 2 删( 4 ，三仁) ”一。( r ”巧2 蒯r + m ：晰p ) + 扣仁城p ) 卜 ，l 以+ 三 ( 2 2 1 8 ) ( 2 2 1 9 ) ( 2 2 2 0 ) ( 2 2 2 1 ) ( 2 2 2 2 ) 四川i 大学硕士研究生学位论文 2 3 数值结果与分析 首先，我们选择混合单位制： 一1 ，m ，- 1 ，t ( s e c o n d ) 从这些基本约 定，可知动量的单位为。万为了简化计算，取等一1 ，2 p 一1 ，只一o 这意味着，在国际单位制中我们选取点2 7 和 尸v ，分别为 口。丝1 降- 0 0 6 3 2 ( t ) ，2 e , 一厕_ 2 4 7 x 1 0 。( k r m s 1 ) ，弓一o 同 已yn 时我们设口1 ，b 一2 ，。h ( s “) 于是，微分方程l j l ( 2 2 9 ) 变为 警一毛矗+ 2 ，三+ 拇抽纫) 2 + 1 ) 草s i j _ ， d t 警一( 3 ( s i n 知) 2 + ) ，1 “n 加 粤。- - 一j ，- i ，_ ：( 0 ) ，- l 尚。，0 ( o ) 。 ( o ) o ( 2 3 1 ) 上述方程组是非线性的，我们只能数值求解它( 结果见图2 1 ) 从图2 1 ，我 们发现，- 2 ，- ，o 和 不再拥有啥密顿量中磁场参数的变化周期，因而系 统的波函数也不再拥有哈密顿量的演化周期这与绝热演化全然不同，那里系 统的波函数拥有哈密顿量的演化周期而且，若参数选择合适，使方程组 ( 2 2 9 ) 有解析解的话，那么还可以判断在什么条件下厶，厶，o 和 有 公共周期把上述数值解代入( 2 2 1 8 ) 、( 2 2 2 1 ) 和( 2 2 1 9 ) 式，可分别得到 y 。( f ) 、y f ( f ) 和芦0 ) 的数值解( 图2 2 ) 四川大学硕士研究生学位论文 图2 1 规范变换参数随时间的演化曲线 图2 2 几何相位随时问的演化曲线( n = 1 ) 从圈2 2 不难发现，当t 一1 时( 参数演化了一个周期) ，系统获得一个总 的几何相位这个相位主要来自y ，( 1 ) 的贡献，因为y 0 ) - o 这是和绝热情 形相一致的其次，在绝热情形下，几何相位满足关系式 卢0 ) - p + f ) 一卢( r ) ( 其中f 为参数的演化周期，t 为任何时刻) 但从我们得 一1 3 一 四川大学硕士研究生学位论文 到的非绝热几何相位随时间的演化曲线不难发现，( 1 4 ) 一芦( 0 4 ) ，卢( 1 ) ，这 是和绝热情形明显不同的我们把几何相位非绝热演化的这种特点称为几何相 位的非参数周期性出现上述波函数及几何相位非参数周期的原因是，尽管哈 密顿量是线性的，它所包含的参数是周期性的，但在非绝热演化过程中，哈密 顿量所包含的参数随时间的变化要导致额外的量子激发，这是非自治量子系统 的特点：环境的影响通过哈密顿量所包含的参数随时问变化会造成环境诱导的 量子激发当用规范变换方法精确求解薛定格方程时，这一过程导致规范变换 参数的非线性方程组，正是这种体现环境影响的非线性方程组造成了系统的非 周期性和复杂性，这包括波函数和几何相位的非周期性。与此相反，在缝热演 化中，系统沿绝热的量子轨道演化，非绝热量子跃迁被忽略，当系统沿哈密顿 量的参数演化一周时，除了额外获得的几何相位和动力学相位( 以及二者之和 的总相位) 外，系统又回到原位，因此物理量显示出与哈密顿量的参数相同的 周期性这是非绝热演化和绝熟演化的重大区别：非绝热量子激发引起的非周 期性和复杂性，体现了环境对系统的影响 2 4 结论 总之，基于代数动力学，我们不仅求解了旋转磁场中的朗道系统，而且讨 论了它的一般几何相位数值结果表明，该系统的非绝热精确解及其几何相位 不具有哈密顿量的参数的周期性这是非绝热演化和绝熟演化的重大区别：非 绝热演化中额外的非绝热量子激发引起系统物理量的非周期性和复杂性，体现 了环境对系统的影响上述结果对于了解非自治朗道系统的物理内涵，实现对 系统的控制与利用有参考价值我们顺便指出，基于优美的代数动力学和s j w a n g 等人的最新研究成果 2 4 可以探讨非自治朗道系统量子几何相位的经典 对应( h a n n a y 角) 四川大学硕士研究生学位论文 第三章三粒子自旋链的几何相位及其性质 3 1弓f 言 自旋系统的几何相位是一个令人感兴趣的研究领域 8 ，9 ，z 5 ，这种系统的 几何相位的求解比较容易，它具有很大的潜在的应用价值 最近人们正研究如何用量子几何相位崇8 成量子位逻辑门来执行量子运算以 解决量子计算中的退相干难题 6 ，7 ，2 6 这里遇到的问题是，在进行通用量子 计算时，必须具备一定数目的可控参数，而几何相位依赖于系统参数空间的拓 扑结构，这就意味着几何相位的可控参数受拓扑结构的限制参考文献 9 中 研究了两个自旋粒子之间一种非海森堡型耦舍对几何相位的影响，对探索如何 运用几何相位进行量子计算有一定的价值该项研究引出另外一个问题，即当 海森堡自旋系统的对称性破缺时，系统的几何相位会发生什么变化，或者问， 多体系统的几何相位对系统的哈密顿量的对称性的依赖性问题这正是本文要 研究的本章的研究分三步进行：首先求解其中有一个粒子受旋转磁场驱动 的，但粒子之间存在j ? 雪三| 型耦舍的三粒子自旋链的瞬时本征波函数，f h 此计 算各个本征态的绝热几何相位；然后，推广这一模型，让粒子之间存在一般的 自旋耦合；第三，对各种变化的耦含参数，进行上述数值计算，考察系统的几 何相位对系统哈密顿量对称性的依赖性，同时，给出理论分析 3 2 三粒子海森堡自旋链的几何相位 3 2 1 系统的时间有关的薛定格方程的解 我们考虑个具有雪j 雪厶型自旋一自旋耦合，中间粒子受一个旋转磁场 百( f ) t b o ( s i n 8 c o s a g ，s i n 8 s i nc o t ，c o s o ) 驱动的三粒子自旋链系统的哈密顿量为 一 i 日p ) - m ( t ) 是+ ，孵写+ s ) ( 3 ，2 1 ) 其中 m ( f ) 一m o ( s i n 口c o s c o t ，s i n e s i n “，c o s e ) ， f o 一如口o ， ，为自旋一自旋耦合常数 四川大学硕士研究生学位论文 由于心? ，曹( f ) - 【$ ，疗( f ) - 0 ，故s 汀s ；是守恒量当第1 、3 两个粒子 的自旋状态确定后，它们对第二个粒子的自旋只提供一个外场，这时( 3 2 1 ) 式变成单粒子系统的哈密顿量，可写成 曲( f ) - 露( f ) ，j ：+ j j i m os i n a c o s j + 吖。s i n 口s i n 撕；+ 肼。( c o 卵+ 击弦； _ 2 2 其中有效耦合强度j t 与第1 、3 两个粒子的自旋状态有关， j 一 。对于约化子空间( 1 ) l t oo ) ，f ”1 ) ) ” 和( 2 ) “t ) j i i ” ) 一，对于约化子空间( 3 ) i j l i tj 沁 ( 3 2 - 3 ) j 对于约化子空间( 4 ) t j t ) ，i ”t ) 上述哈密顿量显然具有i g l i 【2 ) 代数结构 为了得到薛定格方程 腩甜( f 渺 _ 2 4 的精确解，引进一个规范变换 1 9 四一8 叶盅e 也霹 ( 3 2 5 ) 在这个规范变换之后，原哈密顿量、波函数和薛定格方程分别变为 疗。- 驴f 曹( f 妙。一髓d ，詈d 。， ( 3 2 6 ) 妒；一口；1 妒， ( 3 2 7 ) 摅争；“儿 ( 3 2 8 ) 把( 3 2 2 ) 和( 3 2 5 ) 式代入( 3 2 6 ) 式，得到 西。一a ( f ) j ；+ 6 ( f ) j ；+ c p ) j ；， 其中 ( 3 2 9 ) 四川i 大学硕士研究生学位论文 a ( t ) 。m os i n 目c o sc o tc o s y yc o s v ：+ m os i n 目s i nc o t c o s v ，s i n ，： 埘扣卵+ 击) 血”觚：由v ， l m o s i n o c o w ，s ( “一v ：) 一m 。( c o 妇+ 击) s i n q + 女驴：s i n v ， ( 3 2 1 0 a ) b o ) 一一m os i n 8 c o s w t s i n v z + m os i n 8 s i n ( o r c o s y ：一a 舻， - m os i n o s i n ( 酬一，) 一壳；y c o ) 一m os i n o c o s a g s i n v ，c o s y f + os i n o s l nc 0 1 s i n v ，s i n v = + 肘。( 蚶+ 击) w ，一壳吃c o s v ， i m os i n 8 s i n v yc o s ( “一叱) + 。( c o 始+ 丢 c o s y ， 一意驴：c o $ g ， 为了得到一个最佳规范变换使( 3 2 9 ) 式对角化，我们让 扣o ) 一0 b o ) - o ( 3 2 1 0 b ) ( 3 2 1 0 c ) ( 3 2 1 1 ) ( 3 2 1 2 a ) 为 p一一。篙丐 叫 i 机 一 v 嘟 四川i 大学硕士研究生学位论文 v ：- 鲥 ( 32 j2 b j 由于( 3 2 o c ) 、( 3 2 1 1 ) 、( 3 2 1 2 a ) 和( 3 2 1 2 b ) 式，( 3 2 9 ) 式变得很 简单 疗j ( f ) i m s s i n i n ，o ，良。 ( 3 2 1 3 ) 因此，薛定格方程( 3 2 8 ) 的解很容易求得：当初态为第二个粒子j ；的本征 态i 土) ：时，时间有关的解为 ；i 型查生 妒。，一e ” l t ) ： ( 3 2 1 4 ) 根据( 3 2 5 ) 、( 3 2 7 ) 和( 3 2 1 4 ) 式，我们得到原薛定格方程( 3 2 4 ) 的 精确解 妒。一u 妒p o 瓣。鸭一澎| ) 2 i en “b 一岛e 一，硝i ) o 勰吣嘶一m 等砌汹一釉士) 。 。蟹。鸣i 。) - - s i n - 毫- 。2 訾f 干) ：) ， 舯叫怫盎1z=03tcos+ m o m o 3 2 2 系统的几何相位 我们把( 3 2 1 5 ) 式写成 ”。一l ；( 筹坤( 。孙：心v _ 。l y 。 t 8 一 ( 3 2 1 5 ) 四川大学硕士研究生学位论文 一i c 鼍警训r i e 妒 ”。f 争等删( 劬恺：) 。i j t 繁等圳口， 其中 钛一s i + ) 2 + s i n - 2 - 7e i v r i 一) ， 劬h m 还需指出的是，( 3 2 1 6 a ) 和( 3 2 1 6 b ) 式中指数因子分别包含妒+ 和妒一演化 中的总相位，即动力学相位和几何相位( a - - a 相位) 于是可计算出妒。的a - - a 相位 3 r 。- z 如。i 去l 吼净 一千万( 1 一c o s ，) ( 3 2 1 7 ) 分别计算四个子空间的a a 相位： “：一新( 1 一哪2 ) ，2 - 删 警f ， c o s 一一 p j b o 千玎( 1 一c 。s ) ，v y 3 a 怫 唑一， 雠“矗硒) 。千玎( i - - o g f i v y 4 ) ， v y 4 。口r c 穆警l 咖赢”枷) 在绝热条件下( 一o ) ，( 3 2 1 8 a c ) 三式分别变成 四川大学硕士研究生学位论文 7 12 ，t + 仃( 1 一l ；, o s 伊) ， 千。( 1 一c o s ，；) ，v ；。嗍垫年 c o s 0 一二l 芦日甘o 。新( 1 - c o s v ：) ，v ：。口心苎车 c o s 0j ： p 日玩 容易看出，四个约化子空间的绝熟几何相位的形式是一样的，只是等效磁 场纬度角不同：( 3 2 1 9 a ) 式对应第1 、2 两个子空间内的几何相位，因第1 、 3 粒子的影响为零，它给出熟悉的单个自旋粒子在旋转磁场中的绝热几何相 位；( 3 2 1 9 b ) 和( 3 2 1 9 c ) 式分别对应第3 、4 两个子空间内的几何相位，这 时第1 、3 粒子的影响产生不同的等效磁场使等效磁场的纬度角发生变化，只 要把原旋转磁场的0 角变换为，。和i - 4 在图3 1 中，我们给出了0 - x 1 4 时， r 绝热几何相位y 。随x ( a 一兰f ) 的演化曲线 ( 由于相位可以差一个2a b d o 的整倍数，图中的 + 己加了一个2n ) 图3 1系统的几何相位随耦台强度 的演化曲线 四川大学硕士研究生学位论文 3 3 对称性破缺对相位的影响 3 31 一个对称性破缺的模型 为了探讨几何相位和哈密顿量结构的关系，考虑一个具有自旋一自旋耦合 的、中间粒子受一个旋转磁场雪( f ) 一b o ( s i n 8 c o s r a ，s i n s i nc o t ，c o s 口) 驱动的三粒 子自旋链，其哈密顿量的一般表达式 膏( 6 ，f ) 一 ( f ) j ：+ ，【6 ( 雪? j ；+ j ? j ；) + s 。s “2 + 6 ( 岛霹+ j ；霹) + j ；g 】， ( 3 3 1 ) 其中，6 - c o s t ，柙是一个控制参数 显然，当6 0 时，( 3 3 1 ) 式就变成了( 3 2 1 ) 式当d * 0 时，上述哈 密顿量不再具有一个粒子的s u ( 2 ) 代数结构因此，为了求解简单，我们用绝 热方法求解系统的哈密顿量的瞬时本征波函数 3 3 2 数值计算及分析 选用完备基失( t “) ，f ”) ，l “ ) ，i - t ) ，l “) ，l l t ) ，l t ) ，i ”t ) ) 后 可把( 3 3 1 ) 式写成矩阵形式，非零矩阵元为 h 1 1 - 日j 3 一一h 2 2 一- h “一一c o s 一， 圩5 5 一- h “- 一c o s 8 + ， 日7 7 一一日w 一一c o s 8 一a ， 阿1 2i h 弘- 日5 6 _ h 伯- s i n 8 e 站， 四川大学硕士研究生学位论文 2 1 = h 4 3l 6 j 车日8 ls i n o e 一玷 何1 6 一h 2 7 ；h 3 6 ；h 4 7 = h n h 6 3 。h 7 2 一4e d ， ( 3 3 2 ) 鼽已令竽1 1 i 孝一m 去 当6 1 时，运用矩阵对角化方法，可得到上述矩阵的本征值 ，l “t ) ，ij _ t t ) ，l o ) ，l t ) ，i tj t ) ，i t t t ) ) 中，对应上述本 征能量的本征波函数( 口= n 4 ) 分别为 妒1 1 妒3 一 睦一匆( 以一m 慨瓣 三( 也+ m 一揭 呸i 、，1 2 + z + l + - 压) e 钟 丢( e 一十1 - 厕 噎- 1 ) 。 ( 1 一压耀，一a + 匆e 衅 隔。一旁 1 厉 妒2 _ 妒- 1 2 3 一 哇+ 击燃4 + a - i + 画珥 三( 坷+ a 一1 1 4 2 ) e 培妾( 坷+ a 一一 增 吃i + 西i ) ( 此4 + a - l + m 。f 三( 也+ 一压矽。 噎+ 1 ) ( 1 + 砸一a + 辨 以“一孛一。 1 ；- y 岍。眦，。 曲 协 噌呼： 型生苎堂堕主要塞兰堂堡垒苎 矿s - ( 1 + 2 ) 2 p 五 一( 1 + 2 ) e 咕 ( 1 + 扼) 2 。口 一( 1 + 2 ) e 瞎 一( 王+ 2 ) 3 e 蛳 ( 1 + 2 ) 2 。f 一( 1 + 2 ) e 玷 1 妒6i 呸1 + 万1 ) ( 瓦+ 五一1 + 扬e 。； 三( - e 。+ 旯一1 一扼) 矿 ( 三+ 匆( - e , + a - l + m 。； 1 寺( q 6 + 一1 - 压弦毕 皓+ 啦蛳 万+ 啦4 ( 1 + 而( e 6 - z + 击2 ) e # 魄“一啬 万1l ，厅i f 专一击) 卜易+ a m 孺a ； f 吾( 也+ 五+ 1 一西瞎 j 哇一匆卜岛+ a 小珏。 蜘r 筘p 碚 f ( 1 一均隅m ” j 。一澎1 矿i l j 妒8 一 ( 1 一_ ) 2 e m 一( 1 。瓜毕 ( 1 + - ) 2 e # 一( 1 一而e 嵋 一( 1 一押e 磁 ( 1 一搦：e 狮 一a 孔瞎 幂h 用( 3 3 3 ) 式进而可以求得对应上述本征波函数的绝热几何相位 ”。一每， ”a