必学四③三角函数图像与性质.doc

三角函数图象与性质基础梳理1“五点法”描图(1)ysin x的图象在0,2上的五个关键点的坐标为(0,0)，(，0)，(2，0)(2)ycos x的图象在0,2上的五个关键点的坐标为(0,1)，(，1)，(2，1)2三角函数的图象和性质 函数性质 ysin xycos xytan x定义域RRx|xk，kZ图象值域1,11,1R对称性对称轴：xk(kZ)对称中心：(k，0)(kZ)对称轴：xk(kZ)对称中心：无对称轴对称中心：(kZ)周期22单调性单调增区间，2k(kZ)；单调减区间，2k(kZ)单调增区间2k，2k(kZ)；单调减区间2k，2k(kZ)单调增区间，k(kZ)奇偶性奇偶奇两条性质(1)周期性函数yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为yAsin x或yAtan x，而偶函数一般可化为yAcos xb的形式三种方法求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sin x、cos x的有界性；(2)形式复杂的函数应化为yAsin(x)k的形式逐步分析x的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题题型分析1、与三角函数有关的函数的定义域相关链接（1）与三角函数有关的函数的定义域与三角函数有关的函数的定义域仍然是使函数解析式有意义的自变量的取值范围；求此类函数的定义域最终归结为用三角函数线或三角函数的图象解三角不等式。（2）用三角函数线解sinxa(cosxa)的方法找出使sinx=a(cosx=a)的两个x值的终边所丰位置；根据变化趋势，确定不等式的解集。（3）用三角函数的图象解sinxa(cosxa，tanxa)的方法作直线y=a，在三角函数的图象了找出一个周期内（不一定是0，2）在直线y=a上方的图象；确定sinx=a(cosx=a，tanx=a)的x值，写出解集。注：关于正切函数的不等式tanxa（tanxcosx的x的集合，可用图象或三角函数线解决；（2）第（2）小题实际就是求使成立的x的值，可用图象或三角函数线解决。解答：（1）要使函数有意义，必须使sinx-cosx0方法一：利用图象。在同一坐标系中画出0，2上y=sinx和y=cosx的图象，如图所示：在0，2内，满足sinx=cosx的x 为，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以定义域为方法二、利用三角函数线，如图，MN为正弦线，OM为余弦线，要使sinxcosx,即MNOM，则。定义域为方法三：sinx-cosx=sin(x-)0,将x-视为一个整体，由正弦函数y=sinx的图象和性质可知2k x-+2k,解得2k+x0,0)的函数的单调区间，基本思路是把x+看作一个整体，由求得函数的增区间，由求得函数的减区间。（3）形如y=Asin(-x+)(A0,0)的函数，可先利用诱导公式把x的系数变为正数，得到y=-Asin(x-)，由得到函数的减区间，由得到函数的增区间。注：对于函数y=Acos(x+),y=Atan(x+)产单调区间的求法与y=Asin(x+)的单调区间的求法相同。例题解析例（1）求函数的单调递减区间；（2）求的周期及单调区间。思路解析：题目所给解析式中x的系数都为负，把x的系数变为正数，解相应不等式求单调区间。解答：（1）由得，由得又x-,-x,.函数 x-,的单调递减区间为-，。（2）函数的周期T=。由得由得，函数的单调递减区间为。3、三角函数的值域与最值例1已知函数的定义域为，函数的最大值为1，最小值为-5，求a和b的值。思路解析：求出的范围a0时，利用最值求a、b a0，则，解得；若a0,则，解得。综上可知，或，注：解决此类问题，首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y=Asin(x+)或y=Acos(x+)的最值，再由方程的思想解决问题。例2求函数的值域思路解析：（1）因xR时，cos-1,1,可利用分离参数法求解；（2）利用cosx的有界性，把cosx用y表示出来解。解答：方法一：函数的定义域为R，y=1+,-1cosx1,当cosx=-1时，2-cosx有最大值3，此时;当cosx=1时，2-cosx有最小值1，此时,函数的值域为，2。方法二：由解出cosx得。-1cosx1,即，也即两边同时平方得，即（y-2）(3y-4)0,函数的值域为，2注：求三角函数的值域主要有三条途径：（1）将sinx或cosx用所求变量y来表示，如sinx=f(y),再由|sinx|1得到一个关于y 的不等式|f(y)|1，从而求得y的