（计算数学专业论文）基于bernstein多项式和样条函数的高阶常微分方程数值解法研究.pdf

基于b e r n s t e i n 多项式和样条函数的高阶常微分方程 数值解法研究 摘要 科学和工程技术中的许多实际问题都可以转化为微分方程的求解问题，而 大部分的微分方程很难求出其解析解，因此，微分方程的数值解法的研究就具有 重要的意义。由于样条函数具有许多好的性质而被广泛用于数值逼近、计算几 何和微分方程数值解等领域。本文主要任务是利用几类样条函数来构造常微分 方程的数值解。 本文章节内容安排如下： 第一、二两章介绍了本文的研究背景、几类样条函数和几种经典的微分 方程数值解方法。 第三章在总结了近年来b e r n s t e i n 多项式在微分方程数值解中的应用的基 础上，用b e r n s t e i n 多项式构造了一类两点边值问题方程组和奇异边值问题的数 值解法，并用数值实例说明方法的有效性。 第四章总结了已有的两点边值问题的数值解法，在此基础上，给出了一类 带有小参数孝的两点边值问题的三次多项式样条解法，并分析了截断误差，用 所给的方法计算了相关参考文献中的数值例子，与其他方法的结果进行了比较。 第五章讨论了高阶微分方程的数值解法，主要是对已有的方法特别近几 年的新方法作了总结，在此基础上，给出了任意高阶微分方程的一种三次b 样 条解法，用所给的方法计算了参考文献中的数值例子，与已有的结果进行了比 较，说明本文方法的有效性。 第六章总结了全文并进行了展望。 关键词：b e r n s t e i n 多项式：三次多项式样条；b 样条；边值问题 r e s e a r c ho nn u m e r i c a ls o l u t i o no fh i g h - o r d e ro r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb a s e do ns p l i n ef u n c t i o n sa n d b e r n s t e i np o l y n o m i a l a b s t r a c t t h e r ea r ep r a c t i c a l p r o b l e m so e c u r r i n g i n m a n y a r e a so fs c i e n c ea n d e n g i n e e r i n g ，w h i c hc a nb et r a n s f o r m e di n t os o l v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m o s to f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r ed i f f i c u l tt oo b t a i nt h e i ra n a l y t i c a ls o l u t i o n s t h e r e f o r e ， t h er e s e a r c ho fn u m e r i c a ls o l u t i o no fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si sv e r yi m p o r t a n ta n d n e c e s s a r y t h es p l i n eh a sm a n yu s e f u lp r o p e r t i e s ，s u c ha st h ec o n t i n u i t y ，u n i t y p a r t i t i o n s ot h e ya r ea p p l i e dw i d e l yi nf u n c t i o na p p r o x i m a t i o n ，c o m p u t a t i o n a l g e o m e t r y ，a n dn u m e r i c a ls o l u t i o no fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n ds oo n i nt h i sp a p e r ， w es t u d yt h en u m e r i c a ls o l u t i o nm e t h o d sb a s e do nv a r i o u sk i n d so fs p l i n ef u n c t i o n f o ri n i t i a la n db o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h i sp a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s ： c h a p t e r la n d2 ：i n v e s t i g a t i v eb a c k g r o u n do fn u m e r i c a ls o l u t i o no fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，a n di n t r o d u c ev a r i o u st y p e so fs p l i n ef u n c t i o n sa n ds e v e r a lc l a s s i c a l n u m e r i c a lm e t h o d sf o rs o l v i n gd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s c h a p t e r3 ：su m m a r i z et h ea p p l i c a t i o no fb e r n s t e i np o l y n o m i a lt os o l v e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，e s p e c i a l l yt h er e c e n te x i s t e n tn u m e r i c a lm e t h o d s b a s e do n t h er e s u l t ，w ec o n s t r u c t e dt h en u m e r i c a lm e t h o do fal i n e a rs y s t e mo fs e c o n d - o r d e r b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sa n dak i n do fs i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s e v e r a l n u m e r i c a le x a m p l e sa r ep r e s e n t e dt oi l l u s t r a t et h ee f f i c i e n c yo ft h em e t h o d s c h a p t e r4 ：s u m m a r i z et h ee x i s t i n g n u m e r i c a ls o l u t i o no fs e c o n d o r d e r b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，b a s e do nt h er e s u l t ，w ed e v e l o p e dan u m e r i c a lt e c h n i q u e o fac l a s so ft w o p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t hp a r a m e t r i c 孝u s i n gc u b i c p o l y n o m i a ls p l i n ef u n c t i o n ，a n a l y s i st h ee r r o ra n dc o m p u t et h en u m e r i c a le x a m p l e s o ft h er e l e v a n tr e f e r e n c e su s i n gt h eg i v e nm e t h o d ，a n dc o m p a r ew i t ho t h e ra r t i c l e s c h a p t e r5 ：d i s c u s st h es o l u t i o no fh i g h o r d e rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，s u m u pt h er e c e n te x i s t e n tn u m e r i c a lm e t h o d s ，b a s e do nt h er e s u l t ，w ec o n s t r u c t e dt h e n u m e r i c a lm e t h o do fa n yh i g h - o r d e rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m su s i n gt h i r db s p l i n e ， w ea p p l i e dt h en e wm e t h o dt oc o m p u t es e v e r a ln u m e r i c a le x a m p l e so ft h er e f e r e n c e l i t e r a t u r e ，a n dc o m p a r e dt h er e s u l tw i t ho t h e ra r t ic l e s ，i ti ss h o w nt h a tt h en e w m e t h o di se f f i c i e n t c h a p t e r6 ：s u m m a r i z e st h ew h o l ed i s s e r t a t i o na n dg i v es o m ee x p e c ti o n k e y w o r d s ：b e r n s t e i np o l y n o m i a l ；c u b i cp o l y n o m i a ls p l i n e ；b s p l i n e ；b o u n d a r y v a l u ep r o b l e m 插图清单 图3 1 例3 5 2 在n - - 1 3 时的数值结果2 0 图3 2 例3 5 2 在n = 1 3 时精确解与数值解的误差2 l 图5 1 例5 4 1 在n = 1 6 时的数值结果3 1 图5 2 例5 4 2 在n = 1 6 时的数值结果3 2 表格清单 表3 - 1 例3 5 3 在取不同的n 时的精确解与数值解比较2 1 表4 - 1 例4 4 1 在f 取不同的值时的最大误差比较2 5 表5 - 1 三次b 样条函数及其一、二阶导函数在各节点处的值2 8 表5 - 2 例5 4 1 在取不同n 时的精确解与数值解及二阶导数的最大误差3 1 表5 - 3 例5 4 2 在取不同n 时的精确解与数值解及其导数的最大误差3 2 表5 - 4 例5 4 2 三次b 样条方法与文献 5 5 的方法在各节点处的最大误差3 2 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所 知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得金胆工业太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签字；芦易卜字眺劢年4 月侈日。 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金目曼王业太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人授权金胆王些太 堂可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签名； 虐这牟 l摊名：畜厣绎 签字日期：f o 年年月l g 日签字日期：讳d 年牟月f 9 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 致谢 光阴似箭，两年多的硕士研究生的学习和生活就要随着这篇论文的答辩而 结束了。在此，向帮助过我的人们表示衷心地感谢! “饮其流时思其源，成吾学时念吾师 。首先谨向我最尊敬的导师郭清 伟副教授表示崇高的敬意和由衷的谢意! 本文得以顺利完成离不开郭清伟老师悉 心指导，无论从课程学习、论文选题还是收集资料、论文成稿都倾注了郭老师的心血。 郭老师严谨进取的治学作风、勇于创新的学术精神、诲人不倦的教育情怀、乐 观向上的生活态度、平易近人的性格，使我不仅体会到知识与研究的魅力，也 学会了许多做人的道理。两年多来，郭老师在生活上、思想上也都给予我无微 不至的关怀和帮助。这些在我的人生履历中都留下了深刻的印象。 感谢朱功勤教授、檀结庆教授、唐烁教授、林京教授、黄有度教授、苏化 明教授、朱晓临教授、江平副教授等老师的指导和关怀。 感谢2 0 0 7 级3 5 班的全体同学及唐桂林、夏崧洋、汪平等的关心和帮助， 他们不仅在学业上帮助了我，而且在生活上启发了我。尤其是我的舍友兼好友 历莉和刘晓娜，感谢在学习和生活中给予我的帮助和照顾。 感谢我的家人，尤其我的父母，正是他们的默默付出和全力支持，才使我 能顺利完成学业。 最后感谢各位评审专家，感谢在百忙中给予的批评指正和宝贵意见。 作者：李运利 2 0 1 0 年1 月 第一章绪论 1 1 本文的研究背景 现代的科学、技术、工程等领域中的大量的数学模型都可以用微分方程来 描述，很多近代自然科学的基本方程本身也就是微分方程，并且从微积分理论 形成以来，人们就一直用微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，取得了 显著成就。遗憾的是，绝大多数的微分方程的定解问题不能以精确解的形式表 示出来，这就产生了理论与应用的矛盾：一方面，人们根据各种自然现象，建 立了大量的数学模型；另一方面，人们无法得到数学模型的精确解来解释这些 客观现象。 随着计算机的出现和发展，解决上述矛盾的一门学科一一微分方程数值解 法得到了迅速的发展和应用。虽然从1 8 世纪已经有人开始对常微分方程的数 值解法的进行研究，在2 0 世纪，一些偏微分方程的数值解法也得到了研究， 但是它作为一门理论严谨、实用性强的学科得到快速的发展是在2 0 世纪5 0 年 代后，推动它快速发展的原因除了科学技术的发展之外还有计算机的问世。任 何科学工具的创新，都可推动相关学科的发展，正如望远镜、显微镜的出现带 动了天文学的发展，而计算机的诞生，这种强化人的思维和智能的工具，它的 出现将影响一切学科及领域。正是计算机的快速发展，推动了计算的方法成为 一门重要的学科。 在科学的计算化过程中，科学与工程计算作为一门工具性、方法性、边缘 性交叉的新学科有了自己的新发展，由于科学基本规律大多通过微分方程来描 述，因此，科学与工程计算的主要任务是求解各种微分方程，特别是一些大规 模、线性、非线性、几何非规则性等微分方程。因此，微分方程的数值解法具 有重要的现实意义。 今天，即使计算机快速发展，然而实际应用需求的增长更快，仍然使人们 觉得计算机还不够快，不够大，还不能满足大规模科学与工程计算的需要，仍 然需要依靠崭新的数值方法来完成更大更复杂的计算。目前，已有许多的学者 从事微分方程数值解法的研究，一些新的方法如雨后春笋般涌现。如：基于多 项式样条解法 1 ，2 ，3 、基于非多项式样条的数值解法 4 ，5 、变分迭代法 6 ，7 、b - s p l i n eg a l e r k i n 法 8 、同轮扰动法 9 ，1 0 ，1 1 、配置法 1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 垄鸳 1 寸o 1 2 几类常见的样条函数 样条函数的系统研究始于1 9 4 6 年s c h o e n b e r g 的长篇论文。在2 0 世纪7 0 年代已成熟的经典样条理论多项式样条理论已相当丰富而深刻。又由于样 条函数具有独特的局部性和良好的逼近性，所以在数值积分、数值逼近、微分 和积分方程数值解和c a g d c a d 等方面都有广泛的应用，而且还与小波分析、 最优控制等有密切的联系。 用样条函数来构造微分方程数值解的方法，不仅给出了连续的逼近解，也 给出其他阶导数在节点处的值，并且与精确解之间的误差也比较小。在1 9 6 8 年，w g b i e k l e 给出了用三次样条求解两点边值问题的数值解的方法，之后国 内外许多学者都做了这方面的研究，如用带参数样条解微分方程，通过调整参 数的取值，可得到不同的误差精度，也可以通过取不同分段函数的结点，避免 在节点处最大误差积累，其中需要构造适合的边界方程，或通过样条函数与其 他方法结合，如差分方法、有限元法、边界元法、g a l e r k i n 法、r i t z 法、区 域收敛法等求解奇异摄动、初( 边) 值等各类问题。近年来这种方法越来越多 的被用来解决此类问题，如：d a m b a r ud b h a t t a t l 6 , 1 7 1 等给出了基于b e r n s t e i n 多 项式的微分方程数值解法；m a r a m a d a n t 埔】等介绍了用5 次非多项式样条解四 阶的两点边值问题；h e n g f e id i n g t l 9 i 提出了基于参数样条的双曲型方程的数值解 法；a r s h a dk h a n 【2 0 】是用通基于三次带参数的样条函数解两点边值问题。 s i z a k i 2 1 】等研究了k d v b 方程的5 次样条有限元法；m k k a d a a l b a j o o t l 2 1 讨论了奇 异扰动问题的b 样条配置解法。 下面主要介绍几类常见的样条函数。 1 2 1 多项式样条函数 从微分方程的角度来定义多项式样条( 见文献 2 2 3 ) 定义1 ( 多项式样条函数) 具有光滑度为k ( k o ，k z ) 的d ( d = o ，l ，2 ) 次多项 式样条函数s ( x ) 是具有以下性质的函数： ( 1 ) j ( x ) c 1 a ，b 】 ( 2 ) 在 a , b 】的在每个子区间( 薯- l ，薯) 上，s ( x ) 是一个d 次多项式。 定义2 ( 多项式样条函数) 岛p r ，k ) 是具有下列性质所有函数s ( x ) 的集合， ( 1 ) 函数s ( x ) 在 口，6 】上k 阶导数连续。 ( 2 ) 函数s ( x ) 在每个子区间( 麓小x j ) ，1 f 刀，d + 1 阶导数连续，且满足微分 方程 d d + 1 s ( x ) = 0 ， x ( 而一l ，葺) ， 1 f 刀 因为s ( 功的k 阶导数连续，而在( t 小薯) 上满足微分方程d “1 s ( x ) = 0 ，故在 ( 而1 ，而) 上 2 s ( x ) = a m x d + + q l + q o 所以s ( x ) 是属于c 2 【口，b 】的分段d 次多项式。由定义可证， 满足插值约束条件： | d 。s ( x o ) = 厂7 ( 而) ，1 j m 一1 s ( ) = 厂( 而) ，0 i 刀 ( 1 2 1 ) 【d 。s ( ) = f o ( ) ，1 jsm - 1 定理l( 样条插值函数的存在与唯一性定理) 对于函数厂( x ) ，满足插值约束 条件( 1 2 1 ) 的2 m 1 次多项式样条插值函数是存在且唯一的。 由定义知，如果得到给定函数的插值函数j ( x ) ，那么必须求的2 m n 个未知 数q ，i ( 1 i 玎，0 k 2 m - 1 ) ，由s ( x i ) = f ( x f ) 0 f 以得到n 1 个线性方程。又由 于s ( 功c 2 m - 2 口，b 】，则d 。s ( 而+ ) = d s ( 而一) ，( 1 f 刀，0 k 2 m 一2 ) ，得到其余的 ( 万一1 ) ( 2 m - 1 ) 的线性方程。解这2 r a n 方程便可得到 q 七( 1 i 刀，0 k 2 m - 1 ) ， 于是便可得插值函数s ( x ) 。 1 2 2 三次样条插值函数( 见文献 2 3 ) 定义3 若函数s ) c 2 口，b 】且在每个子区间( 一书为) 是三次多项式，其中 a = x o x l x 行= b 是给定的结点，则称s ( x ) 在节点x o ，西，x 一1 ：0 0 - 次样条 函数。若在节点t 处给定的函数值乃= 厂( 为) ( 江o ，1 ，2 刀) ，且有 = j ( 为) ，f = o ，1 ，2 n ( 1 2 2 ) 则称j ( x ) 为三次样条插值函数。 由三次样条插值函数的定义知，要求出j ( 功，那么需要4 刀个待定系数，由 于函数在节点而( 汪1 ，2 行一1 ) 处满足连续性条件 s ( 而一0 ) = s ( 而+ o ) ， s ( 五一0 ) = j ( 五+ o ) ，s ( 为一0 ) = s ( t + 0 ) 共有3 n - 3 个条件，再加上满足条件y j = s ( 五) ，待o ，1 ，2 刀的n + 1 个方程，因此 还需要2 个条件才能确定j ( x ) ，设在区间 口，6 】，端点为x o = 口，矗= b ，根据实际 情况，常见的边界条件为以下两种： ( 1 ) 已知两端的一阶导数，即j ( ) = m o ，s ( 矗) = m n 。 ( 2 ) 已知两端点的二阶导数，即s ”( ) = m o ，s 。( ) = 心这样就可以确定样条 插值函数j ( 力。 1 2 3b 样条函数( 见文献 2 4 ) b 样条是样条函数空间的基函数，它有多种定义方式，下面给出积分一差 分递推定义。 定义4 取办= 1 ，则单位跳跃函数的中心差商即中心差分为 m ( x ) = 万=0 h + 一1 + o 七一丢) ： 1 2 1 1 =x = 一 22 0m 三 oo 2 为了对称，在间断点x = 寺，定义m ( x ) = i 1 ，我们称m ( x ) 的m 一1 次函数 二 ( 8 d 。1 ) 册- 1 m ( x ) 为m 阶( m 一1 次) 的b 样条函数，并记为 m m ( x ) = ( s d 一1 ) 胛q t ( x ) = ( 8 d 。1 ) 厶一l ( x ) 这就是b 样条函数的积分一差分递推定义，据此定义我们可以推出各阶b 样条 函数的表达式，例如：m = 2 时得到 类似地，有 蛐，= p i 茹并 坞( 石) = 一x 2 + 三4l x i 三2 ii 三x 2 一詈l x i + 詈互1 i x i 吾 。 怍三 4 的。 心( x ) = 扣3 - - x 2 + ； 陶i l x 1 3 + x 2 _ 2 1 x i + 1 i x l 2 0 h 2 b 样条函数具备下面的基本性质( 见文献 2 5 ) ： 1 递推性。( 见定义) 2 局部支撑性。 l 乒= 三三x xe萑。xx，i，xx，i+k七+。1j 3 规范性。n 啦( 功= 1 4 可微性。在节点区间内部他是无限次可微的，在节点处它是七一，次可微 1 2 4 非多项式样条 非多项式样条是多项式和三角函数混合的一类样条函数，也称三角多项式 样条函数，下面给出k 阶的三角多项式样条的定义。 定义5( k 阶的三角多项式样条) 设= i a ( i = o ，1 ，) 为对参数f 轴作均匀分割 得到的一组结点，其中口( o 口万) 为步长，记在节点( i = o ，1 ，) 处达到 七一2 阶连续的分段三角多项式的全体为g ，石，定义一组函数： n o ，2 2 一三一0 s 1 1 1 t u t 口 一一 ss 口 2 ( c o s a 1 ) 一s i n ( 2 a f ) 口f 2 a 2 ( c o s a 一1 ) 7 0其他 m ，2 0 ) = 0 ，2 ( f i a ) ， i = 1 ，2 ， 称为k 阶的三角多项式样条。 1 3 本文的主要内容 在已有成果的基础上，本文应用和推广了n a z a n c a g l a r t 2 6 1 等人构造的基于 b e r n s t e i n 多项式和三次b 样条的微分方程( 组) 的数值解方法。本文的安排如 下，其中从第三章开始是作者的主要研究成果： 第一章：介绍了微分方程数值解的发展背景及几类常见的样条函数。 第二章：对几种经典的微分方程数值解方法进行了综述。 第三章：通过引用m i d r e e s b h a t t i ，p b r a c k e n t 2 7 i 等给出的基于b e r n s t e i n 多 项式解两点边值问题的数值解方法，进一步将该方法推广到求解两点边值问题 微分方程组和奇异微分方程问题。 第四章：通过用三次多项式样条函数对文献 2 8 给出的带有小参数f 的两点 边值问题的微分方程进行数值求解。 第五章：将n a z a nc a g l a r ，h i k m e tc a g l a r t 2 6 j 的用三次b 样条解两阶的边值问题的 数值方法进一步推广和应用到任意高阶边值问题，构造了一种用三次b 样条可以 解任意阶的高阶线性微分方程的数值方法。 第六章：对全文工作、创新点和理论、实际意义做总结，对今后的工作提出了粗 浅的想法。 6 第二章几种经典的微分方程数值解方法 随着科学技术的飞速发展，现代科学、技术、工程中的大量的数学模型都 可以用微分方程来描述，且从微积分理论形成以来，人们一直用微分方程来描 述、解释和预见各种自然现象，不断取得显著成就。如：不可压缩的流体运动 规律、物质化学反应的扩散、肿瘤的增长规律等都可化为微分方程模型，解决 此类问题可以转化为可求解微分方程初( 边) 值问题。但是，大部分的微分方 程是求不出初等解，另外有些方程虽然有初等解但形式过于复杂不便于应用。 因此，有必要探索微分方程的数值解法。 2 1 微分方程初、边值问题 本小节内容主要来自文献 2 9 2 1 1 定解问题 定义1 ：所谓定解问题，就是泛定方程满足某种定解条件，即 f 泛定方程 l 定解条件 2 1 2 三种典型的边界条件： 关于边界条件的提法，通常有以下三种： 第一边界条件：直接给定了未知函数在边界上的值，即 u l 铀= 厂( 孝，) f 施 第二类边界条件：给定未知函数在边界法向量导数的值，即 象i 勰川蛳f 讹 第三类边界条件，既给出未知函数在边界上的值也给出在边界法向量导数的 值。 2 1 3 定解问题的分类 考虑一维热导方程 7 协鲁口2 窘川彬) 脚 ( 2 1 1 ) 其中，d 是x 一，平面内给定的区域，它可以是有界区域，也可以是无界区域，工 是微分算子。 方程( 2 1 1 ) 的定解问题根据定解条件可以分为以下四种类型： 1 初值问题( c a u c h y 问题) 在区域d = ( z ，t ) i x ( 硼，佃) ，r 0 内求方程( 2 1 1 ) 满足初始条件 u ( x ，o ) = 伊( x ) ，x ( ，+ ) 的解u ( x ，) 。 2 第一类初边值问题 在区域d = ( x ，t ) l x ( o ，) ，r ( o ，丁) ) 内求方程( 2 1 1 ) 满足初始条件和第一类 边界条件 i u ( x ，o ) = 缈( x ) ，x ( o ，) 【u ( o ，) = 口l ( f ) ，u q ，t ) = a 2 ( t ) ，( o ，t ) 的解u ( x ，f ) 。 3 第二类初边值问题 在区域d = ( x ，t ) l xe ( o ，) ，r ( o ，r ) 内求方程( 2 1 1 ) 满足初始条件和第二类 边界条件 i u ( x ，o ) = 伊( x ) ，x ( o ，d 【( o ，) = i l l ( t ) ，u x ( 1 ，r ) = 岛( f ) ，f ( o ，t ) 的解u ( x ，r ) 。 4 第三类初边值问题 在区域d = ( x ，f ) 卜( o ，) ，r ( o ，丁) 内求方程( 2 1 1 ) 满足初始条件和第三类 边界条件 i “( x ，o ) = 驴( x ) ， x ( o ，) ( u - 磊( r ) 叱) b = 乃( ，) 【( u - 8 2 ( t ) u x ) k = 兄( ，) ，r ( o ，丁) 的解u ( x ，t ) 。 在微分方程研究中，定解问题的适定性是重要的，如果定解问题的解存在 且唯一而且稳定，则称定解问题是适定的。 2 2 差分方法 下面这部分主要来自文献 2 9 ，3 0 解初边值问题的差分方法很早就开始研究了，但自从电子计算机问世以后， 差分方法的研究和应用得到迅速发展，近几十年来新的思想和算法也不断出现， 其应用的范围和规模越来越大。它是先将求解区域离散化，再在这些离散点上 用差商近似代替导数，把微分方程化为差分方程。就目前的研究和应用现状看， 差分方法仍是普遍实用的ok u m a r m a z t a t t 3 1 1 提出了非均匀剖分的有限差分法 解奇异两点边值问题；a b b a ss a a d a t m a n d i t 3 2 1 等给出了非线性两点边界问题的 c h e b y s h e v 有限差分法等。 为了简便起见，下面以一维热导方程为例具体说明差分方法的基本步骤： ， 一 b ：i o u _ 6 2 鲁：m ，f ) ( 彬) d l 研瓜 u ( x ，o ) = 伊( x ) x ( o ，1 ) ( 2 2 1 ) i “( o ，f ) = u ( 1 ，f ) = 0f 0 ，t 】 【 其中d = ( x ，f ) 卜( o ，1 ) ，r 【o ，t 】 ，口为正常数。 用差分方法求解问题( 2 2 1 ) 的基本步骤如下： 第一步，定解区域离散化。用平行的直线簇x j = 乃，t k = k v 把区域分成若干 个小矩形，内节点0 ，& ) ( 简记：( ，k ) ) 用见表示，所有边界上的结点记为o d , ， h ，f 称为空间步长和时间步长。 第二步，微分方程离散化。由t a y l o r 展开式可得，在节点( j ，k ) 处的差商和 微商有如下关系： 堕掣= 【塑a t 】m f )f 。j 、7 些业鸳h 型= 謦州柳 2 。锄一 、7 记【甜够= u ( x j ，t k ) ，= f ( x j ，t k ) ，吩k 是u ( x j ，气) 的近似值，则用差商近似代替( 2 2 1 ) 的微商后，既得相应的差分方程，既是差分格式： 华彳华= 第三步，边界条件离散化。对( 2 2 1 ) 中的边界条件，在网格点处取值，有 u o = 伊( ) = 1 ，2 ，n - 1 k = k = 0 k = 1 ，2 ，m 9 第四步，解差分方程组。将 f l “；+ 1 = 朋，k l + ( 1 - 2 r ) u ；+ ，甜二l + 7 片 吩0 = 缈( ) j = 1 ，2 ，n 一1 卜鲁 扣l ，2 ，1 这样就可得到网格上各层全部离散点处的近似值。 由此可得，差分方法的特点是：定解区域采用矩形剖分微分方程和初边值 条件等连续方程利用t a y l o r 展式在在网格点处做离散化处理，解差分方程组的 所有网格点上的近似值 甜；) ，用 矿) 近似研究微分方程初边值问题的解甜o ，f ) 。 那么，差分方法实质上是构造好用的差分格式。于是，用不同的差商代替微商 便可得到不同的差分格式，主要有古典显格式和古典隐格式。古典显格式是用 一阶向前差商代替昙，用二阶中心差商代替窑的差商格式。古典隐格式是用 o t积。 一阶向后差商代替昙，m - - 阶 心差商代替碧的差商格式。在实际应用中， o t o x 。 高精度的差分解具有重要的意义，于是人们在提高精度了做了大量的工作，构 造了许多不同格式的差分方法，常见的有： ( 1 ) 利用内节点和半节点处的差商，推出5 点差分格式、9 点差分格式、特殊9 点差分格式。 ( 2 ) 用参数乡乘古典隐格式，用1 0 乘古典显格式，得到加权权隐格式和c r a n k - n i c h o l s o n 格式。 ( 3 ) 再由去( 彬“+ 巧k 一) 代替c r a n k n i c h o l s o n 格式中的巧 彳导至l j d u f o r t f r a n k e l 格式。 ( 4 ) 用时间方向上一阶向前和向后差商的加权平均修改古典隐格式得到三层 隐格式。 ( 5 ) 交替使用古典显格式和古典隐格式得到跳点格式、显( 隐) 式预测隐( 显) 式校正格式。 值得注意的是，当差分方法用于求解矩形时差分方法显得特别简单方便， 但是当求解的区域是曲边区域时，差分法方法就不太灵活，解决的的办法通常， 是区域按三种方式剖分，即在正内则点( 四点都在区域内) 、非内则点( 四个结 点至少有一个是边界点) 、边界点。在正内则点处用等距差分格式，在非正内则 点处用不等距差分格式。另外，差分方法对边界的处理也不太令人满意。在讨 1 0 论边界结点构造差分方程时要注意下面问题： ( 1 ) 边界点处的离散方程的截断误差要和内结点处离散方程的截断误差匹配。 ( 2 ) 边界条件中含有娑外法向量，其方向指向边界外侧。 d ” 为了解决上述两个问题，人们提出了积分插值法，有限元法处理边界条件 等。对于高维问题的差分格式可以有一维的的情形推广得到。 2 3 有限元法 下面主要来自文献 2 9 ，3 0 由前面对差分方法的综述可知，用差分方法解微分方程已有了不少的成果。 但是，由于差分方法通常采用直交网格，因此比较难适应区域形状的任意性， 不易编制通用的计算机软件。于是，人们开始研究更好的方法以便解决上述的 不足，从而推动了有限元的应用和发展。有限元方法可以用多种多样的网格对 区域进行剖分，可以根据解的性质疏密有致地布置结点，可以适应各种形状的 区域。另外，他与计算机相结合，可以编制通用的软件，而且随着计算机的发 展，他的一些缺点已被克服( 如：输入数据较多) ，因此，许多有限元分析程 序随之产生。自从1 9 6 0 年，w c l o u g h 提出了“有限元 ( f i n i t ee l e m e n t ) 名 称以来，有限元方法的研究和应用蓬勃发展，在计算机的推动下，发展成为一 种具有严密数学基础的求解微分方程定解问题的有效方法。 为了描述有限元方法，首先介绍近似的求解变分问题的两种方法一一r i t z 法和g a l e r k i n 法，它们是有限元法的前身。用r i t z 法解下面一类重要的两点边 值问题 一瓦d ( p 考) 圳= f 艇( 啪) ( 2 3 1 ) i “( 口) = 口，甜( 6 ) + 8 u ( b ) = 建立两点边值问题( 2 3 1 ) 相应的变分方程和变分问题为 j ( “) = 去口( 甜，1 ，) - f ( v ) = r o a n ! ( 2 3 2 ) 其中 屯 a ( u ，v ) = i ( p 甜+ q u v ) d x + 6 p ( b ) u ( b ) v ( b ) l f ( v ) = if v a x + f l p ( b ) v ( b ) 现在用r i t z 法求解变分问题( 2 3 2 ) 的基本过程如下： ( 1 ) 选取n 个基函数仍( x ) ( f - 1 ，2 ，行) 和一个满足第一边界条件的函数u o ( x ) ， 使得( 2 3 2 ) 的近似解为 屹( x ) = d j 伊j ( x ) ( x ) = ( x ) + q 仍( x ) 其中d ，q 为自由选择参数。 ( 2 ) 将( x ) 和 ) 代人变分问题得 j ( u 。) = 口( ，屹) 一f ( v n ) = m i n ! 由于( x ) 的任意性，特别取屹( x ) = c j ( x ) ，( 歹= 1 ，2 玎) 。于是上式是一个关于n 个 变元的q o = 1 ，2 刀) 的二次函数的极值问题，由微分学中的求极值问题方法的： 掣刊) + 如，喜俐+ 丢口( 喜q 帆m ( 纺) = 口( + 善c 胁纺) 一f ( 纺 ( 2 3 3 ) = 口 ，纺) q - f ( q ) 1 ) + a ( u o ，纺) = 0 ，= 1 ，2 ，刀 面g a l e k i n 法是将屹( x ) 和( x ) 代人变分方程，有 a ( u n ，v n ) = f ( r n ) 由于( x ) 的任意性，特别取v n ( x ) = 纺( z ) ，( ，= 1 ，2 疗) 。 以 口( + c l ( o l ，纺) = f ( 纺) i = l 即 口娩，纺) q f ( 纺) + 口( “o ，纺) = 0 ( 2 3 4 ) l = l ( 3 ) 解方程组。由( 2 ) 可知由r i t z 法得到的方程组( 2 3 3 ) 和g a l e r k i n 法 ( 2 3 4 ) 完全相同，它是一个线性方程组： j l 口 ，q ) j ) q = f ( 纺) 一a ( u o ，纺) i = l 解出方程组中的q ( i = 1 ，2 万) ，便可得到( 2 3 1 ) 的近似解。尽管r i t z 法和 g a l e r k i n 法导出的近似解和计算方法完全一样，但是r i t z 法基于极小位势能原 理，而g a l e r k i n 法基于虚功原理。这两种方法需要构造满足边界条件的基函数。 但是二维或更高维的区域上( 如曲域边界) 构造满足边界条件的基函数是不可 能的，所以r i t z g a l e k i n 法不适合求解高阶的边值问题数值解。而有限元法正 1 2 好克服了这个困难，它同r i t z 法和g a l e k i n 法一样，也是基于变分原理，但不同 的是在用有限元法时先将求解区域剖分为有限个单元，在每个单元上构造插值 函数，再由此得到在整个区间上的插值函数，并且使他们在相邻公共边界上满 足某种连续条件，以保证这个分片插值函数组成的有限维空间是未知函数解空 间的子空间，这种子空间满足微分方程边值问题的边界条件。又由于插值函数 是局部的，这种方法大大的减少了计算量。 以下面两点边值问题为例说明有限元方法的基本思想和步骤： 一丢( p 警叫= f 艇( 啪) ( 2 3 5 ) 【“( 口) = 口，甜( 6 ) + 8 u ( b ) = 其中p ( x ) ，g ( x ) ，厂( x ) c 口，6 】，p ( x ) o ，g ( x ) o ，万0 建立有限元方法的核心，通常有以下三步： ( 1 ) 剖分区域 首先对求解区域【口，6 】进行甩等分，即a = 岛 乙 乙= b ，h = 而一毛- l 其中蕾为节点。 ( 2 ) 构造插值函数 如果在每个单元上对函数“( x ) 采用线性插值，则 u n ( x ) ：竿钆+ 与鱼x e x j - l ，而】扣1 ，2 ，聍 n i飞 其中甜，= “( 葺) ，是未知的，又由边值问题( 2 3 5 ) 在端点a 的本质条件u ( o ) = 口， 故记基函数为： l 竿x ，而】 g o = 1 伪 10其他 鲲2 x 【而- l ，薯】l 而一l ，薯j x 阮，而+ l 】 其他 = 1x - - - 1 l _ x - l ，】 【0 其他 于是通过基函数，得到( 2 3 5 ) 中的( x ) 可表示为 ( x ) = 即伤( z ) 竿等。 ( 3 ) 建立有限元方程。 把上式( x ) 中的插值函数代人泛函极小值问题 1 a ( u ) = 去口( “，v ) 一f ( v ) z 其中 6 a ( u ，v ) = i ( p u y + q u v ) d x + 万p ( 6 ) “( 6 ) ，( 6 ) 口 f ( 力= l 出+ f l p ( b ) v ( b ) 口 于是得： j ( u 。) = 寺口 ，仍) 甜j 一f ( 纺 i = 1 ，2 ，力 。f - oj = o1 = 0 由边界条件和多元函数构造条件得 a ( f o i ，仍) 吩= f ( q 氆) - a ( e p o ，鲲) 口 i = 1 州2 吲 i - l 这里是以u i “：，u n 为未知数的线性方程组，即有限元方程。再解这个方程组得 到函数u 在薯处的近似值u t ，将其带入中，那么( x ) 就作为边值问题( 2 3 5 ) 的近似解，称他为有限元解。 于是，可把有限元法解微分方程边值问题的基本过程归结为： ( 1 ) 把微分方程边值问题转化为等价的泛函极小值问题或变分问题。