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数学思想与方法在高中教学中的渗透研究 中文摘要 数学思想与方法在高中教学中的渗透研究 中文摘要 数学思想与方法是数学的灵魂。如果掌握了基本的数学思想和方法，学生就会“数 学地 提出问题、思考问题、解决问题，从而让学生会积极主动地获取知识，创造 性地探索新的知识，真正“学会 数学。 如何顺应时代的需求，有效地提高课堂学习效率，培养学生用数学思想与方法解 决问题，达到高效学习的目的，成为当前高中教师迫切要解决的问题。 本文通过对数学思想与方法相关理论的研究，从数学思想与方法概念界定开始， 并根据自己的教学经验，归纳出高中数学几种常见的数学思想与方法，并对章节内所 涉及的数学思想与方法作了初步的统计。通过分析笔者所在学校的数学思想与方法渗 透情况，提出了在高中课堂中渗透数学思想与方法的建议，阐述了渗透的教学原则和 途径，从而初步完成了对数学思想与方法教学理论体系的研究。最后，回答了如何把 高中阶段的数学思想与方法和数学现行教材联系起来进行教学的问题，并作了一些初 步的实践。 关键词：数学思想与方法，渗透研究，高中数学教学 作者：赵华 指导教师：周超 a s t u d yo fp e n e t r a t i n gm a t h e m a t i c a lt h o u g h t sa n dm e t h o d si nt h et e a c h i n go fs e n i o rh i 【g l ls c h o o l a s t u d yo fp e n e t r a t i n gm a t h e m a t i c a lt h o u g h t sa n d m e t h o d si nt h et e a c h i n go fs e n i o rh i g hs c h o o l a b s t r a c t m a t h e m a t i c a lt h o u g h t sa n dm e t h o d sa r es o u l so fm a t h e m a t i c s m a s t e r i n gt h eb a s i c m a t h e m a t i c a lt h o u g h t sa n dm e t h o d s ，s t u d e n t sc a np u tf o r w a r dq u e s t i o n s ，t h i n k i n ga b o u tt h e q u e s t i o n s a n ds o l v et h eq u e s t i o n si nam a t h e m a t i c a lw a y t h u s ，t h e yc a na c q u i r e k n o w l e d g ea c t i v e l ya n de x p l o r en e wk n o w l e d g ec r e a t i v e l ya n dt r u l ym a s t e rt h es u b j e c to f m a t h e m a t i c s h o wt oc o m p l yw i t ht h er e q u i r e m e n t so ft h et i m e s ，i m p r o v et h ee f f i c i e n c yo fl e a r n i n g i nc l a s s ，a n dh e l ps t u d e n t ss o l v et h eq u e s t i o n su s i n gm a t h e m a t i c a lt h o u g h t sa n dm e t h o d st o a c h i e v et h ea l m so fl e a r n i n ge f f i c i e n t l yh a sb e c o m eap r o b l e mt ob es o l v e di m m e d i a t e l yf o r 1 l i g hs c h o o lt e a c h e r s t h ee s s a yi n d u c e ss e v e r a lc o l i l m o nm a t h e m a t i c a lt h o u g h t sa n dm e t h o d sv i as t a r t i n g f r o mt h e o r e t i c a lr e s e a r c ho nt h e ma n da c c o r d i n gt ot h ea u t h o r st e a c h i n ge x p e r i e n c e t h e a u t h o rh a sa l s om a d ep r e l i m i n a r ys t a t i s t i c so nt h ec o n c e r n i n gm a t h e m a t i c a lt h o u g h t sa n d m e t h o d s t h ea u t h o rh a sm a d es o m es u g g e s t i o n so nt h i sb ya n a l y z i n gt h ei n f i l t r a t i o no ft h e a p p l i c a t i o no ft h em a t h e m a t i c a lt h o u g h t sa n d m e t h o d sa n dh a se l a b o r a t e ds o m ep r i n c i p l e s a n dw a y st oc o m p l e t et h er e s e a r c ho ft h e o r e t i c a ls y s t e mo fm a t h e m a t i c a lt h o u g h t sa n d m e t h o d s f i n a l l y , t h ea u t h o r h a sa n s w e r e dt h e q u e s t i o n o fh o wt oc o m b i n et h e m a t h e m a t i c a lt h o u g h t sa n dm e t h o d sw i t ht h em a t h e m a t i c a lt e a c h i n gm a t e r i a li nh i g h s c h o o la n dh a sc a r r i e do u ts o m ee x p e r i m e n t s k e yw o r d s ：m a t h e m a t i c a lt h o u g h t sa n dm e t h o d s ，p e n e t r a t i o ns t u d i e s ，t e a c h i n g m a t h e m a t i c si ns e n i o rh i i g hs c h o o l n w r i t t e n b y s u p e r v i s e db y z h a oh u a z h o uc h a o 数学思想与方法在高中教学中的渗透研究第l 章绪论 第1 章绪论 1 1 课题提出的背景 ( 1 ) 新课程改革对数学思想方法的重视 我国在新一轮数学课程改革中也注重加强能力培养和数学思想方法的渗透，在数 学课程改革的总体目标中提出“倡导学习有价值的、必须的数学知识、技能和思想方 法 。 北京师范大学数学系教授硕士生导师，我国数学教育学科的创立人和奠基人之一 的丁尔陧在2 0 世纪8 0 年代初，第一次提出了建立数学教育学的构想，构想数学教育学 为三角形结构，即由数学教学论、数学课程论、数学学习论构成，数学教育学是数学、 教育学、心理学和辩证唯物主义哲学的边缘学科，并进行推动。他认为：基本的数 学思想与数学方法是基础数学的本质，通过掌握基本的数学思想和方法，学生会“数 学地”提出问题、思考问题、解决问题，从而让学生会积极主动地获取知识，创造 性地探索新的知识，真正“学会 数学。 我国著名的数学教育家华罗庚认为学习要经过“由薄到厚 和“由厚到薄”的 过程：“由薄到厚是指理解所学的数学知识，知其然还知其所以然。学习还需要把 学过内容贯串起来，加以融会贯通，提炼出它的精神实质，从而抓住重点线索和基本 思想方法，组织成精炼的内容，这就是“由厚到薄”。他主张教学时引导学生去发 现数学的美，领悟数学内在魅力，鼓励学生钻研难题，还主张教师在答疑时要把老师 碰到的障碍也分析给学生听，让学生体会并领悟探索的过程。提倡数学教学要“教会 学生思考，培养学生能算善想的良好习惯。 ( 2 ) 高考对数学思想方法的考查 研究近几年数学高考试题，可以发现数学思想与方法在填空和解答题中都有大量 的体现。笔者统计了近4 年高考中对数学思想方法的考查情况( 见表1 ) ： 。李仲来当代数学教育家简介f m 】北京：人民教育出版社2 0 0 5 2 1 第1 章绪论 数学思想与方法在高中教学中的渗透研究 表l 近4 年高考数学思想方法的考查情况 年份内容 题号与分值 数形结合思想 第1 3 题5 分； 豳数方程思想 第1 8 题1 6 分； 2 0 0 8 等价转化思想 第2 0 题1 6 分； 分类讨论思想 第1 9 题1 6 分 数形结合思想 第1 8 题1 6 分； 函数方程思想第1 7 题1 4 分； 2 0 0 9 等价转化思想第1 4 题5 分； 分类讨论思想 第2 0 题1 6 分 数形结合思想第1 0 题5 分； 函数方程思想第1 4 题5 分； 2 0 1 0 等价转化思想 第1 2 题5 分； 分类讨论思想 第2 0 题1 6 分 数形结合思想 第1 4 题5 分： 函数方程思想 第1 9 题1 6 分； 2 0 1 l 等价转化思想 第1 7 题1 4 分； 分类讨论思想 第2 0 题1 6 分 不难发现，近几年江苏高考中档难度以上的试题着重考查学生在运用知识和方法 的过程中的能力，着力考查学生的运算能力、逻辑思维能力、数学素养和数学潜能。 为了强化新课程的理念，发挥数学在培养和提高人的思维能力方面的不可替代的独特 作用，体现数学不仅仅是一种重要的“工具”或者“方法 ，更重要的是一种思维模 式，即表现为数学思想。高考数学提出“以能力立意命题”，考查的数学思想主要如 函数方程，等价转化，分类讨论等，促进了考生数学理性思维的发展。 2 数学思想与方法在高中教学中的渗透研究第1 章绪论 因此，如何顺应时代的需求，在“五严 背景下，有效地提高课堂学习效率，培 养学生用数学思想与方法解决问题，达到高效学习的目的，成为当前迫切要解决的问题。 1 2 课题提出的意义 1 2 1 数学教学上的理论意义 ( 1 ) 有利于推动学校数学教学的发展 数学不仅是一门科学理论外，还是一种科学方法。科学离不开理论的指导，也离 不开方法的支撑。常见的数学方法是针对各种不同的数学知识而定的一种策略，是解 决数学教学问题的工具不同的问题可以用不同的方法，相同的问题也可以有各种不 同的方法。 目前在学校开展的教学方式实验研究，是从不同方面探讨了数学思想方法的教 学，重在总结数学的思想、方法、规则、模式，揭示数学教学的发展规律，从而认识 数学教学的本质，促进数学教学的发展。 因此，掌握了数学思想方法并能在教学中努力渗透思想方法，能促进学校数学教 学积极稳定地发展。 ( 2 ) 有利于培养学生的应用意识 数学思想方法是数学的精髓，是指导人们思考与解决问题的原则。在探索科技与 经济发展的过程中，需要某些具体的数学知识，但更多的是依靠数学的思想与方法的 运用，事实已经证明数学思想方法已越来越多地被广泛应用于现代各行各业的技术 中，如经济学、社会学、心理学等；而信息化产业的许多技术的进一步发展，也都取 决于新的数学思想方法和算法的发展。通过数学思想方法的渗透，培养了学生用数学 的角度去思考周围的实际问题，建立数学模型，达到理论与实际、知识与能力的良性 循环，从而能学以致用。 1 2 2 数学教学上的实践意义 ( _ ) 有利于提高学生的数学思维能力 高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。 人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、 空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思 第1 章绪论数学思想与方法在高中教学中的渗透研究 维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学 模式进行思考和做出判断。数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用。将基 本数学思想方法和知识、技能融为一体的课堂教学，能有效地为学生“减负”，有利 于促进学生举一反三，因此，值得我们深入的思考和实践。 ( 1 ) 有利于构建学生的认知结构 美国心理学家布鲁纳认为，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的 基本结构。 所谓基本结构就是指“基本的、统一的观点，或者是一般的、基本的原 理。 学生学习的主要任务是掌握学科的基本结构，在头脑中形成相应的知识体系或 编码系统。教学不能逐个教给学生每个事物，更重要是使学生获得概括了的基本原理 或思想，这些原理或思想构成了理解事物的最佳的认知结构。 数学认知结构是学生头脑里的数学知识按照自己理解的深度、广度，结合自己的 感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构， 是学生在学习中积累起来的数学观念系统。认知心理学认为，数学学习的过程是学生 建立、扩大或重新组合数学认知结构的过程。 数学思想方法能深刻揭示数学知识之间的本质联系，使数学知识之间具有整体 性、统一性、系统性，从而便于学生形成良好的数学认知结构，从而提高学生的数学 思维能力。数学认知结构的发展是以原有的认知结构为基础，通过同化或顺应转化而 形成的。 因此，学生的数学认知结构能否优化和发展，与其对数学思想方法的掌握有很大 的关系。学生只要理解和掌握了数学思想方法，就会迅速、准确地从头脑中检索、提 取与问题相关的知识，形成问题与知识之间的丰富联结，并最终选择问题解决的最 佳方案。 ( 2 ) 有利于加强理解，实现学习迁移 心理学把婴儿、青少年的思维发展分为四个阶段：动作思维( o 3 岁) 、形象思维 ( 3 - 一7 岁) 、形式思维( 7 1 3 岁) 、辩证思维( 1 3 1 9 岁) 。高中生的思维是辩证思维的 形成阶段，因此，对学生进行数学思想方法教学是符合认知的发展规律，是发展思维 的重要途径。学生掌握了一些数学思想、方法，再去学习相关的数学知识，所学知识 。盂丽梅高中数学中数学思想方法的学习神州2 0 11 年0 8 期 。陈华芬化归思想方法在数学教学中的运用中学生数理化( 教与学) 2 0 1 0 年0 2 期 4 数学思想与方法在高中教学中的渗透研究第1 章绪论 具有足够的稳定性，有利于牢固地固定新学习的意义，就能够更好地理解和掌握数学 内容。学习迁移的发生应有一个先决条件，就是学生需先掌握原理，形成类比，才能 迁移到具体的类似的学习中。学生学习数学思想、方法有利于实现学习迁移，特别是 原理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习质量和数学思维能力。曹才翰教授认 为：如果学生认知结构中具有较高抽象、概括水平的观念，对于新学习是有利的。只 有概括的、巩固的和清晰的知识才能实现迁移。他呼吁和提倡学校教学中要将数学思 想方法的渗透提到日程上来。 ( 3 ) 有利于提高学生的创新能力 苏霍姆林斯基说过：在人的心灵深处，总有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己 是一个发现者、研究者、探索者。这就需要我们营造良好的学习和创造氛围，采用各 种创造性的教学模式，激发学生的好奇心、求知欲和创新意识，从而形成良好的数学 思想方法应用观念，在教与学的互动中培养学生的创造精神与个性品质。数学思想方 法的掌握过程给学生提供了学习、思考的策略性方法，他将潜移默化对学生今后的发 展提供重要的帮助，甚至会影响其一生的发展。数学思想方法的形成过程包含着重要 的思维模式，不仅有助于学习其他学科，且对于以后的工作和生活也有很大的帮助。 因此，数学教学应强化数学思想形成，注重对思维模式的引导，致力于学生创新能力 的培养，使数学教学在创新能力的培养上发挥独特的作用。 有利于提高教师的教学水平 ( 1 ) 有利于更新教学观念 教学观是指教师从实践的经验中逐步形成的对教学的本质和过程的基本看法。教 学实践是教学观念产生的源泉和动力，教学观念伴随着教学实践的发展而发展，反过 来教学观念又推动教学实践的发展。从教以来，发现学生会有这样一个现象：讲过的 内容当时理解，过后碰到又忘记了，再多的知识传授也是徒劳。因此，需要更新观念， 注重学生的探究，让学生在摸索中渐渐感受和领悟数学思想方法。这样，我们也要丰 富数学专业知识，提高自身的知识素质，不断尝试思想方法的渗透，改善教学效果。 ( 2 ) 有利于改善教学方式 要注意引导学生自觉地、主动地分析和应用数学思想方法解决数学问题可以改善 国索云旺数学概括能力的培养中学数学教学参考1 9 9 6 年l o 期 售史建英学生的探究欲望是这样产生的北京教育( 普教版) 2 0 0 6 年第z l 期 5 第l 章绪论数学思想与方法在高中教学中的渗透研究 教师的教学方式。一方面需要在课堂上给学生创设独立思考或者合作分析的背景和氛 围：另一方面，需要学生有意识的注意，积极的思考，及时的提炼，加上适时的总结， 最后要进行反复的训练。数学思想方法是数学的灵魂，是开启数学知识宝库的金钥匙。 数学思想方法是数学知识的本质，它为分析、处理和解决数学问题提供了指导方针和 解题策略。数学思想方法比数学知识具有更大的统摄性和包容性，它们犹如网络，将 全部数学知识有机地编织在一起，形成环环相扣的结构和息息相关的系统。所以，数 学教学必须通过数学知识的教学和适当的解题活动突出数学思想方法。正如美国数学 家波利亚所说：“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路。 1 3 本研究所要解决的问题 本文通过分析笔者所在学校数学思想方法的渗透情况研究，发现存在的问题，通 过对现状的研究，探讨如何在教学中更好的进行数学思想与方法的渗透。提出了在高 中课堂中的渗透数学思想与方法的建议，阐述了渗透的教学原则和途径，从而初步完 成了对数学思想与方法教学理论体系的研究。 任萍浅谈初中数学中的数形结合思想文理导航( 上旬) 2 0 1 0 年0 9 期 6 数学思想与方法在高中教学中的渗透研究第2 章研究综述 第2 章研究综述 纵观数学思想方法研究的进程，国内外的专家学者付出了大量心血，取得了很多 令人瞩目的成果。 2 1 国外数学思想与方法的相关理论 在2 0 世纪初，数学基础学科出现了重大数学思想，许多数学家集中精力从事数学 思想方法理论的研究，并发表了大批数学思想方法方面的论著。 1 9 0 0 年德国著名数学家希尔伯特在巴黎国际数学家代表会上讲演的数学问题， 这是篇重要的数学方法论著作。1 9 0 3 年至1 j 1 9 0 8 年法国数学家庞加莱发表了科学与 假设，科学之价值科学与方法等著作，讨论了数学方法论问题。 1 9 5 4 年美籍匈牙利数学家波利亚发表了数学与猜想，主要研究数学成果的思 想渊源，揭示论证推理与合情推理的内在联系，阐明既应重视论证推理的运用更要重 视合情推理的学习，这样才能丰富人们的数学思想，提高数学思维能力。特别是该书 作为怎样解题，数学的发现的续篇，得到了著名数学家的高度评价，这本书 在美国被誉为第二次世界大战后的经典著作之一。 1 9 5 6 年，苏联亚历山大洛夫等发表的数学一它的内容，方法和意义一书，与 以往的数学史著作相比，主要介绍了数学的历史演进，重视数学思想方法的分析与评价。 1 9 6 9 年日本数学教育家米山国藏在数学的精神、思想和方法一文中曾写道： 学生在初中、高中等所接受的数学知识，因毕业进入社会后几乎没有什么机会应用这 种作为知识的数学，所以，通常是出校门后不到一两年便很快就忘掉了。然而不管他 们从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神，数学的思维方法、研 究方法、推理方法和着眼点等都随时随地发生作用，使他们受益终身。 1 9 7 2 年美国数学家m 克莱茵发表了古今数学思想，该书着重阐述了数学思 想方法的古往今来，从数学思想方法的角度叙述了数学结论的产生、数学科学的形成 以及数学家的功绩。 由此可见，各国对数学思想方法的重视由来已久，数学思想方法对学生学习思维 7 第2 章研究综述 数学思想与方法在高中教学中的渗透研究 的指导以及今后的发展都起到很大的作用。 2 2 国内数学思想与方法的相关理论 2 0 世纪8 0 年代初，数学家、数学教育家徐利治教授出版近十部著作论述数学方 法，如数学方法论选讲、徐利治论数学方法学、数学方法论教程、数 学模式论、数学抽象方法与抽象度分析法等，提出许多独到的见解，引起了国 内外数学界与哲学界的关注。在他的倡导和身体力行下，我国数学界开始了数学方法 论的研究。 1 9 8 5 年郑毓信先生发表数学方法论入门，重点对数学各个分支中的一般思想 做出深入浅出的分析，积极推动了我国数学教育工作者深入开展数学思想方法的研究。 1 9 8 9 年王仲春、李元中教授等出版了数学思维与数学方法论，对数学思维和 数学思想方法进行了比较系统的阐述，数学方法论作为- - i i 重要的课程逐渐趋于成 熟，涌现了许多优秀的数学教育研究专著和学术论文： 如朱梧横、肖奚安撰写的数学方法论a b c ，张奠宙、过伯祥的数学方法论 稿等。其中有论述数学思想方面的，如解恩泽、徐本顺的数学思想方法纵横论， 从纵横两方面分析了数学思想方法的形成与发展，既阐述了数学本身的思想与方法， 又探讨了人们对数学本质与规律的认识，郑毓信的数学思维与数学方法论和张奠 宙等的现代数学思想讲话；有专门论述某一种方法或思想的，如徐利治、郑毓信 合著的关系映射反演方法，史九一、朱梧掼著作的化归与归纳类比联想等， 中学数学教学方面有马复著的中学数学思想方法初论，李翼忠著的中学数学方 法论，沈文选的中学数学思想方法，肖柏荣、潘娉姣的数学思想方法及其教 学示例等。 9 0 年代以后，关于数学方法论、数学思想方法方面的论文不断丰富。由此可见， 对数学思想方法的探究已经成为中学数学教学研究中的一个热门话题。在新课程教育 体系下进行数学思想方法渗透教学的研究工作还有待于完善，这也是今后教学研究的 发展热点趋势。 8 数学思想与方法在高中教学中的渗透研究 第2 章研究综述 2 3 概念界定 2 3 1 数学思想与方法的概念界定 从词义解释看，思想是指客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结 果。从哲学角度看，思想的涵义是指相对于感性认识的理性认识成果。 从狭义来理解，中学数学思想往往是指“数学思想中最常见、最基本、较浅显的 内容 ，“这些最常见、最基本的数学思想也是从某些具体的数学认识过程中提升出 来的认识结果或观点，并在后继的认识活动中被反复运用和证实 。而从广义来说， 数学思想泛指“某些有重大意义的、内容比较丰富、体系相当完整的数学成果。 数学思想是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中 提炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复应用，带有普遍的指导意义，是建立数 学和用数学解决问题的指导思想。 数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中、经过思维 活动而产生的结果，是对数学知识和方法的本质及规律的理性认识。数学思想是数学 思维的结晶和概括，也是解决数学问题的灵魂和根本策略。 而数学方法是以数学为 工具进行科学研究的方法，是人们认识世界、实施数学思想的技术和手段。如果将其 作用范围考虑到数学以外的世界自然科学、技术科学或社会科学等各个方面，数 学方法作为一种科学方法，有时可理解为用数学语言表述事物的状态、关系和过程， 并加以推导、演算和分析，以形成对问题的解释、判断和预言的方法。 数学思想和数学方法既有联系又有区别。数学方法是数学思想的具体反映，是数 学思想的具体表现形式，也是实现数学思想的手段和重要工具。张奠宙教授指出： “同一个数学成就，当用它去解决别的问题时，称之为方法，当评价它在数学体系中 的自身价值和意义时，称之为思想。 数学方法应受到数学思想的指引，是数学思 想在数学活动中的反映和体现，表现形式外显；数学思想是相应数学方法的结晶和升 华，表现形式内隐。 总之，数学思想往往带有理论性的特征，而数学方法具有实践性的倾向。数学 。孙巍在数学教学中渗透数学思想方法的探索与实践上海师范大学硕 ：学位论文2 0 0 7 第1 2 页 每方莉渗透数学思想方法培养高中生数学思维的研究天津师范人学研究生论文第7 页 巷庞静新课程改革中初中数学思想方法教学研究辽宁师范大学硕士论文2 0 0 8 第1 2 页 固胡云基础教育中数学思想方法渗透途径探析芜湖职业技术学院学报( 2 0 1 0 ) 0 3 售张奠宙过伯祥数学方法论稿上海教育出版社1 9 9 6 ( 3 ) 第2 3 页 9 第2 章研究综述数学思想与方法在高中教学中的渗透研究 思想对数学方法进行指导，数学思想的实现和表现是通过数学方法来完成的，而某一 数学方法又总是反映一定的数学思想。因此数学思想和数学方法没有严格的界限，不 可能也没必要把数学思想与数学方法严格区分开来，所以在通常情况下，人们将这两 个概念不予区分统称为数学思想方法。如数学研究中的函数思想方法，当用他去解决 具体的实际数学问题时，我们就说是函数方法；当讨论他在数学教学中的价值时，他 反映了两个变量之间的对应关系，称为函数思想。当强调操作过程时，用“方法 一 词；当强调指导意义或价值时，用“思想一词。 学生只有掌握了一定的数学思想方法才能提升学生的数学素质，而教师在教学 中，若淡化了数学思想方法的教学，他们的学习只是一个单纯的知识的量的积累，还 要影响到学生对数学学科的基本结构的整体把握，从而不能有效地培养学生的能力。 所以，数学思想方法的教学在教学中是极其重要的部分。 2 3 2 数学思想与方法的框架 数学思想，数学方法有着不同的层次划分。有人把数学思想分为三个层次：一为 数学核心思想( 序化思想) ，二为一般数学思想( 公理思想、转化思想、符号思想) ，三 为具体思想。根据我国著名的数学家徐利治先生提出的“宏观数学方法论 和“微 观数学方法论”的划分，数学思想可分为三个层次：第一层次是对数学本质的认识方 面的思想，它回答“数学是什么”的问题。第二层次是对数学地位、作用和发展方面 的思想，它回答“数学向何处去”的问题。第一、二层次的数学思想属于宏观数学方 法论，第三层次是解决具体的数学问题的思想，它回答“数学怎样论证 的问题。第 三层次的数学思想属于微观数学方法论，也是我们主要讨论的数学思想。 张奠宙等在数学方法论稿中将数学方法分为以下四个层次：一是基本和重大 的数学思想方法，二是与一般科学方法相应的数学方法，三是数学中特有的方法，四 是中学数学中的解题方法与技巧。圆 沈文选教授在中学数学思想方法一书中对蔡上鹤先生曾经提出了两大“基石”、 两大“支柱 、两大“主梁的思想方法作了详细的解释 ： 在基本数学思想中，有两大“基石 ：( 1 ) 符号化与变元思想，符号化的思想方法 。张俊高中数学教学中渗透数学思想方法的实践研究首都师范大学教育硕士论文2 0 0 6 第l o 页 盆张奠宙过们祥数学方法论稿上海教育出版社1 9 9 6 ( 3 ) 第2 3 页 每蔡上鹤数学思想和数学方法中学数学1 9 9 7 9 1 0 数学思想与方法在高中教学中的渗透研究第2 章研究综述 是运用由数学符号构成的人工语言来描述数学概念、定理、对象及其关系结构系统的 数学思想方法。变元是对研究的对象进行抽象并用数学符号表述时表示任意具有一定 通性的“量 ，通过对变元的研究或应用规律、规则来解决问题的思想方法叫变元的 思想方法。符号化与变元思想包含换元思想、方程思想及参数思想。( 2 ) 集合思想，他 是一种高度抽象的思想，是把教学研究的对象高度抽象为某类集合及集合中的某种元 素，以及集合与元素之间的某类关系。其中包含分类思想、交集思想、补集思想； 两大“支柱 ：( 1 ) 对应思想，他包含函数思想、变换思想、递归思想、数形结合 思想。其中函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系， 建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决。( 2 ) 公理化与结构、极限思想；公 理化思想就是研究某一学科理论时，把一组概念和一组真命题作为研究问题的出发 点，导出其它概念，推出其它命题，从而构成某种数学体系的思想。 两大“主梁 ：( 1 ) 系统与统计思想，系统思想包含整体思想、分解组合思想、运 动变化思想、最优化思想，统计思想包含随机思想、统计调查思想、假设检验思想、 量化思想，( 2 ) 化归与辩论思想，化归思想是把待解决的问题，通过某种转化手段或过 程归结到一类已经解决或比较容易解决的问题上去，最终求得原问题之解的一种数学 思想方法。他包含纵向化归、横向化归、同向化归、逆向化归思想。辩证思想包含对 立统一、互变、一分为二思想。 一些常用的数学思想都可以从“基石”、“支柱”和“主梁”直接衍生或相关衍 生或传递衍生出来。 按高中教材的要求及内容，可分为三种类型：( 1 ) 宏观型的数学思想方法。如抽 象概括、化归、数学模型、方程与函数，数形结合、整体与系统，归纳猜想等；( 2 ) 逻辑型的数学思想方法。如分类、类比、完全归纳、反证法、演绎法、特殊化等；( 3 ) 技巧型的数学思想方法。如换元法、配方法、待定系数法、构造法、参数法、判别式 法等。 2 3 3 高中常见的数学思想与方法 高中常见的、具体的数学思想方法有以下几种： 1 数形结合思想 数形结合是指通过实现数量关系与图形性质的相互转化，使抽象思维和形象思维 第2 章研究综述数学思想与方法在高中教学中的渗透研究 相互作用，将抽象的数量关系和直观的图形结合起来研究数学问题。数形结合是根 据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方 法。在数学教学中，“以形助数，以数解形 具有可以使问题直观呈现的优点，有利 于加深学生对知识的识记和理解。我国著名数学家华罗庚认为：数缺形时少直观，形 少数时难入微。通过“数 与“形”的相互转化，激活了学生的思维，巧妙得到了 问题的解答，提高了学生利用数学思想方法解决问题的能力。 例：求函数f ( x ) = x 2 + 1 + 工2 4 工+ 8 的最小值。 分析：该题从代数的角度来求解，思维容易受阻，会感觉无从下手。考察所给函 数的特点，利用数形结合的方法，引导学生探索该函数背后的几何背景，可巧用两 点间距离公式模型， 解：f ( x ) = 工2 + 1 + 工2 4 x + 82 ( 名一o ) 2 + ( o 一1 ) 2 + g 一2 ) 2 + ( o 一2 ) 2 ，设a ( o ，1 ) ，b ( 2 ，2 ) ，p ( x ，o ) ，则问题可理解为在x 轴上求一点p ，使得l 以l + i 船l 有最小值。因为a ，b 在x 轴的同侧，取a 关于x 轴对称的点a 7 ( o ，一1 ) ，当 点p 在a 7 b 上时有( i p a + p b i ) r a i n = 、( 2 - 0 ) 2 + ( 2 + 1 ) 2 - - , i j 。 2 分类讨论思想 分类讨论是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需对研究对象按某个标准 进行分类，然后对每一类分别研究后得出每一类的结论，最后综合各类结果得到问题 的解答。分类讨论题方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，覆盖知识点较多， 利于考查学生的知识面、分类思想和技巧。分类解题步骤：( 1 ) 要明确讨论对象， ( 2 ) 确定分类标准，( 3 ) 逐类逐级进行讨论，( 4 ) 归纳获取阶段性成果。常见的 分类情形有：按字母的取值范围分类；按数分类；按事件的可能情况分类；按图形的 位置特征分类等