（凝聚态物理专业论文）低维bose系统中孤子幅度的调控.pdf

摘 要 自从 1999 年人们在准一维(雪茄型)凝聚体中观察到暗孤子以来， 有关玻色- 爱因斯坦凝聚体(becs)中的孤立子动力学性质的研究就成为凝聚态物理、低温 物理等领域里的研究热点之一。bec 处于不同的外部势阱中会导致不同的非线 性现象，如 bec 局限在谐振外势阱中，粒子间为相互排斥作用会产生暗孤子， 吸引作用下出现亮孤子；然而，当 bec 处于双曲函数外势阱中，即使粒子间为 相互排斥作用凝聚体中却形成亮孤子，吸引作用下却产生暗孤子。迄今为止，实 验上已经可以利用 feshbach 共振来调控凝聚体中粒子的散射长度，从而粒子之 间的相互作用对 bec 中孤立子动力学的影响也成为一个有趣的课题。本文基于 平均场理论框架下描述 bec 一系列物理性能的 gross-pitaevskii 方程，利用非线 性微扰理论解析地研究了准一维、二维凝聚体中的孤立子行为，得到了一系列有 意义的结果。全文结构如下： 第1章简要介绍了bec的基本理论、国内外的研究动态和科研意义及本文的 研究内容和方法。 由于实验上已利用feshbach共振调控凝聚体中粒子的散射长度，从而控制粒 子间的相互作用强度。因此，在第2章，我们解析地研究了粒子间的相互作用对 准一维凝聚体中孤立子动力学的影响。结果表明，通过feshbach共振使散射长度 随时间增加时，凝聚体中的黑孤子会演化成稳定的灰孤子；当散射长度随时间减 少时，凝聚体中的灰孤子将向黑孤子演化。同时我们基于现有的实验条件设计了 一套具体的实验方案，实现黑孤子和灰孤子之间的稳定转化。 第3章，我们研究了准二维凝聚体中的非线性动力学性质。结果表明，当原 子间为相互排斥作用时，凝聚体中首先会出现暗孤子；而这种暗孤子不稳定，会 随时间演化成振幅较小的暗孤子环；形成的浅暗孤子环具有动力学稳定性。 最后是我们对本文研究工作的一个简要的总结和对以后的研究工作的展望。 关键词：玻色爱因斯坦凝聚体；gp 方程；多重尺度方法；散射长度；暗孤子环 i abstract since the dark soliton in a quasi-one dimensional (cigar-shaped) condensate was observed in 1999, the study of dynamics properties of solitons in bose einstein condensates (becs) has become one of the hot subjects in science region, such as condensate physics, low-temperature physics and so on. bec trapped in different external potential will result in different nonlinear phenomena. for example, bec trapped in external harmonic potential, there exists dark soliton in condensates with interatomic repulsive interaction, and there occurs bright soliton when interatomic interaction is attractive. if the condensate is trapped in hyperbolic functions potential, there exhibits dark soliton in condensates when interatomic interaction is attractive, and there appears bright soliton when interatomic interaction is repulsive. so far, it has been realized that controlling the scattering length of atoms in condensate via feshbach resonance. thereby it is an interesting subject that the effect of interatomic interaction on dynamics properties of solitons is considered in bec. based on the gross-pitaevskii equation which can describe a number of properties of bec under the mean-field approximate, we have studied analytically the behaviors of soliton in quasi-one and quasi-two dimensional condensate in the thesis, by use of the nonlinear perturbation theory, and obtained series of significative result. the article is organized as follows: in chapter 1, we introduce the basic theory, the general study situation, the scientific sense of bec and the method and the content which we study in article. it has been realized that the scattering length of atoms in condensate can be controlled by feshbach resonance, consequently the interatomic interaction can also been controlled. so in chapter 2, we study analytically the effect of scattering length on the dynamics of soliton in quasi-one dimensional bec. it is shown that, when the scattering length increased via feshbach resonance, the black soliton transforms into the stable gray soliton in condensates; and when the scattering length decreased by feshbach resonance, the gray soliton turns into the black soliton. base on currently experimental conditions, we propose experimental protocols to realize the stable exchange between black and gray solitons. in chapter 3, we study the nonlinear dynamics of a quasi-two dimensional condensate. it is found that, there is a dark soliton in condensate when the interatonic ii interaction is repulsive; the dark soliton is instability with the time, it evolves into ring dark soliton with a small amplitude; the shallow ring dark soliton will become dynamic stabilization. finally, we give a simple summary and prospect about solitons of bec. key words: bose-einstein condensate; gross-pitaevskii equation; multiple-scale method ; scattering length; ring dark soliton iii 湘潭大学湘潭大学 学位论文原创性声明学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果 由本人承担。 作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权湘潭大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。 涉密论文按学校规定处理。 作者签名： 日期： 年 月 日 导师签名： 日期： 年 月 日 湘潭大学硕士论文 第 1 章 绪论 玻色-爱因斯坦凝聚(bose-einstein condensation， 简称 bec)中的相关现象的 研究是当前凝聚态物理、低温物理等自然科学领域的前沿课题，它具有重要的基 础科研意义和广阔的应用前景。这种特殊的物理现象是爱因斯坦 1925 年根据玻 色发展的统计方法预言的，1995 年在实验中得以实现。2001 年的诺贝尔物理学 奖也颁给了对 bec 的实现作出突出贡献的三位科学家。正如激光的出现导致了 非线性光学的产生一样，bec 的实现及其非线性性质的研究使得非线性原子光 学得以形成和快速发展。 1.1 bec 的理论描述 1.1.1 bec 的本质 微观粒子按统计性质可分为玻色子(boson)和费米子(fermion)。自旋为整数 的粒子(如光子、介子和粒子)被称为玻色子，服从玻色-爱因斯坦 (bose-einstein)统计分布规律；自旋为半整数的粒子(如电子、质子和中子)是费 米子，服从费米-狄拉克(fermi-dirac)统计分布规律。对于玻色子系统，爱因斯 坦 1925 年预言：理想玻色气体在足够低的温度下时，会发生相变，将有宏观数 量的粒子在最低能量量子态(基态)上突然凝聚，从而形成一种新物态。在这种状 态下，所有粒子的行为保持一致，只需要用一个相干波函数就可描述。 对于体积为v的容器中由个粒子组成的理想玻色气体，如果在温度为nt 时， 理想玻色气体处于热力学平衡状态， 则其服从玻色爱因斯坦统计分布规律。 以)( i n代表热力学平衡状态时占据在能量为 i 的单粒子能量态i 上的平均粒子 数，则)( i n可以表示为 1 1 )( /)( = tk i bi e n , (1.1) 其中是粒子的化学势，对理想气体，0nn max ，所有的粒子都可以处在激发态；当 时，其余的 c tt += + llll, 1,1, 1010 nnnnnnna, =llll, 1, 1010 nnnnnnna, (1.12) 其中是算符的本征值，它描述了处于单粒子 n aan + =态的原子数，满足通 常意义下的对易关系：， = + ,aa0,= aa，。 因此当 时， 即基态原子数成为一宏观量， 并且 0,= + aa1 00 = nn 0 nnn0在热力学极限时为一有限 值，此时认为玻色子气体开始凝聚成玻色-爱因斯坦凝聚体。因而对应于和 n 0 n 00 1nn的态具有相同的物理图景。，可以近似看成常数 a + a 0 naa= + 来 处理。 对于在体积 v 中的均匀气体， 生成凝聚体的原子的单粒子态为v1 0 =。 因而可将场算符分解为)( )( 0 rvnr +=， 是一小的扰动。以上是 bogoliubov对激发相互作用玻色气体的一阶扰动理论的描述。 作为对这一理论的 推广，当相互作用气体是不均匀的，即有外场作用时，场算符可以写成 ),( tr ),( ),(),( trtrtr +=, (1.13) 定义场算符的平均值为),( ),(trtr=，它的模的平方对应于凝聚体的粒子数 密度， 2 0 ),( trn=。函数是一经典场，物理上是一个序参数，通常被称 为凝聚体的波函数。而代表非凝聚体气体各态的场算符，一般在凝聚体 的耗散很小时，它是一小量。所以(1.13)式可看作一种微扰展开，在这种扰动展 开中，凝聚体波函数所满足的方程就是场算符关于的最低阶展开所满足 的方程。为此可以从多体哈密顿(1.11)出发，得到场算符 ),(tr ),( tr ),( tr 满足的heisenberg 方程 , ),( htr t i= h ),( ),( )(),( ),( 2 2 2 trtrrrvtrrdtrv m ert += + h . (1.14) 4 湘潭大学硕士论文 在稀薄低温的玻色气体中，一般只考虑两体相互作用，使用钢球模型，哈密 顿中的两体相互作用势可近似为)(rrv函数势 )()(rrgrrv=, (1.15) 其中mag s 2 4h=是和s-波散射波上相关的耦合常数，是原子质量，是s- 波散射长度，它的正负分别对应原子间的排斥和吸引作用。把(1.13)和(1.15) 代入(1.14)得 m s a ) ( 2 ) ( 22 2 += + mtt i h h ) )( )( () )(,( + + + + gtrvert. (1.16) 对上式取统计平均：考虑到 = = = = = 2),( 2 ，所以略去n，这样就可以得到低温下弱相 互作用的玻色-爱因斯坦凝聚体波函数所满足的运动方程 ),(),(),( 2 ),( 2 2 2 trtrgtrv m tr t i ert += h h. (1.18) (1.18)式就是著名的gross-pitaevskii(gp)方程， 它由gross和pitaevskii各自独立得 到 6-8，适用的条件是，s-波散射长度比原子间距小很多，凝聚体的原子数远大 于 1，它用来描述系统的宏观动力学行为。当系统处于绝对零度时，非凝聚体部 分，此时gp方程是严格有效的。实践已经证明，平均场理论是一种较 为成功的方法。 许多研究者都是从上述方程出发得到了bec中的大量有趣的物理 性质。 0),( = tr 从数学形式上来看gp方程就是一非线性薛定谔方程，考虑不同的条件或问 题就会有不同形式的修正项。由非线性光学可知，这样的非线性薛定谔方程的一 个重要特点就是它具有孤子解，而且在实验上现在也已经证实了bec中存在物 质波孤子。和流体动力学、光纤通信、生物dna分子系统等许多非线性物理系 统中的孤子一样，bec中的孤子也是一种稳定的、局域化的波包结构，并在传 播过程中保持波形不变。 在非线性光学中由于传播介质的非线性作用引起的对波 5 湘潭大学硕士论文 包的自聚焦作用平衡了色散和衍射造成波包扩展，从而形成稳定的光学孤子。而 在bec中，产生这种非线性效应的是凝聚粒子间的相互作用。当它抵消掉波包 的扩散作用后就可以形成物质波孤子。代表这两项的就是上述gp方程(1.18)中 右边第一项动能项和第三项非线性项。 bec中的孤子与其背景相比有两种不同的情况出现，一种是孤子中心的粒 子密度小于背景密度，此为暗孤子；另一种就是孤子中心的原子密度大于背景密 度，这是亮孤子。暗孤子是凝聚体的一种密度缺失，而亮孤子本身就是凝聚体。 不同性质的原子间相互作用，会形成不同的物质波孤子。在谐振势阱中，暗孤子 的产生需要凝聚体原子间的相互作用为排斥作用，即其s波的散射长度大于零。 亮孤子的生成则要求原子之间的相互作用为吸引作用， 即其s波的散射长度小于 零。但原子之间的相互作用为相互吸引作用的时候，凝聚体是不稳定的，它会塌 缩(collapse)。虽然原子数目有限的凝聚体可以通过囚禁势阱的束缚而稳定存在， 但只要原子数目超过一定数目，凝聚体就迅速塌缩。因此相较于暗孤子，亮孤子 的研究更难些。实验上也是先实现暗孤子，过几年才实现亮孤子。 但是， 暗、 亮孤子在凝聚体中出现的情况并不是一定的。 从上述gp方程(1.18) 式可以发现， 其右边第二项外部囚禁势阱项和第三项相互作用能项可以通过调制 外部条件加以改变，这种改变会给凝聚体中的孤子行为带来更多新内容和新现 象。现已研究的外部势阱有谐振势阱、光晶格势阱、椭圆函数外势、双曲函数外 势等等多种形式，囚禁其中的bec表现出了许多不同的非线性性质，这些不同 的势阱形式的研究便于人们从不同的角度探究bec的内部机制。目前研究最火 热的势阱形式是光晶格势阱。另一方面，由于feshbach共振机制的影响，直接 改变外部囚禁势的磁场就可以改变s-波散射长度，从而改变凝聚体中粒子间的 相互作用形式。 这一有利的实验技术给凝聚体中的孤子动力学行为的研究带来更 多新的机会和条件，为实现实际应用提供了可能。作为非线性效应的主体内容， 孤子在bec非线性性质的研究中占有重要地位。这一丰富而深奥的前沿课题亟 待进一步发展和完善。 1.2 bec 的实验研究进展 从第一节的理论推导结果可以看出， 实现bec需要的条件非常的苛刻而且似 乎存在矛盾：一方面需要达到极低的温度；另一方面还要求原子体系处于气态。 大多数物质体系在冷却到一定温度时就转变为液相或固相了，因此，受实验技术 的限制，早期的bec研究非常缓慢。人们一方面要寻找合适的实验物质，另一方 面要不断改进囚禁冷却技术。直到 1995 年，人们终于在实验室里实现了碱金属 原子的bec：首先，美国科罗拉多大学和国家标准局合办的实验天体物理研究所 6 湘潭大学硕士论文 (jila)在冷却到绝对温度(毫微度)的碱金属铷(nk170 87rb)蒸气中观测到了 bec 9；美国rice大学的hulet小组接着在锂(7li)中看到了bec的迹象10；最后， 麻省理工学院(mit)在钠( 23na)蒸气中实现了bec11。12 月 22 日美国科学 杂志把bec选为 1995 年度的“分子” 。康奈尔、维曼和克特勒获得 2001 年 图 1.2 jila 小组观测到的铷原子 bec 中原子的速度分布图 诺贝尔物理学奖。到目前为止，全世界已经有近几十家实验室陆续实现了bec。 在国内，2002 年 5 月，王育竹院士领导的上海光机所研究小组，在铷原子云中 成功观测到了bec现象 12,13。这是继日本之后，亚洲国家再次独立完成的此类高 难度物理实验。 实现了bec之后，实验研究工作是继续完善实验技术，广泛寻找适合的原子 类型，实现稳定连续的物质波相干放大输出，以便开发新的应用领域 14-19，并完 善对凝聚物质的检测手段 20。在以后的实验中，绝大部分是采用铷原子蒸气为样 品，也陆续实现了自旋极化氢原子气体中的bec 21、亚稳态的氦原子bec22,23、 一些碱土金属 24和几乎所有碱金属元素的玻色子原子气体的bec9-11,25-27。近年 7 湘潭大学硕士论文 来，激子bec 28、分子bec29-31和费米子bec32,33也已被实验成功实现。其中分 子bec的形成是凝聚体中的费米原子通过弱束缚作用形成玻色分子，而费米子 bec的形成是类似于超导中的cooper对， 由两个费米原子通过偶极长程相互作用 形成的原子对。 同时考虑外部囚禁势阱对凝聚体性质的影响也是研究的一个重要方面。 开始 人们都是在磁阱中实现bec，后来，全光阱 34、双阱35,36、微阱37,38等囚禁势阱中 的bec都已被实现。此外，将不同种类的原子混合起来并同时冷却至量子简并状 态，即多组分bec 39，已成为bec的研究方向之一。由多组分bec中的平均场的 图 1.3 雪茄型凝聚体中暗孤子。 图 1.4 jila 观测到的暗孤子 8 湘潭大学硕士论文 对称性空间更为丰富，使得它可以支持更多的拓补上非平庸的激发模式。而鉴于 bec相变跃迁及其集体激发的性质与空间自由度数有关，低维bec 40,41的实现及 其研究也是非线性原子光学的热点之一。同时，bec的生长 42-44也已经在实验中 观察到，这又形成了一个新方向。应用方面的量子计算也有了一定的进展 45。另 外，bec中各种非线性现象的实验也陆续被报道：1997年，克特勒带领研究小组 46在一个双磁-光阱中实现了钠原子bec，然后关闭囚禁它们的势阱，让两个凝 聚体自由扩散，最后在两个凝聚体交叠的区域内观测到了清晰的干涉条纹。这证 实了bec的相干性。1999年德国hannover的burger等人 47在实验上观察到了一维雪 图 1.5 khaykovich 等人观察到的亮孤子 图 1.6 strecker 等人观测到的亮孤子阵列 9 湘潭大学硕士论文 茄型87rb原子bec中的暗孤子，如图1.3所示。他用相位印记的方法来产生暗孤 子，用一束光照在凝聚体上，然后使得凝聚体不同部分之间产生相位差，这样就 能产生暗孤子。他们同时观察到了孤子的相干和色散特性。之后康奈尔带领的研 究小组 48对相位相同的23na凝聚体(基态)的中间利用激光进行调制，使上、下两 部分的凝聚体相差的位相差；然后让它们自由地扩散，在实验中适当控制孤子 的角方位就可以比较清楚的观察到暗孤子， 如图1.4所示。 后来denschlag等人 49也 在实验中观察到了 23na 原子bec中的暗孤子。相较于暗孤子，亮孤子的实验实 现时间晚了许多，直到2002年才有两个研究小组在实验上观察到了 7li原子凝聚 体中的亮孤子。 其中khaykovich等 50在排斥势阱中看到一个亮孤子运动； strecker 等 51则发现了亮孤子和孤子链，并观察了它们的传播过程。他们观察到的亮孤子 如图1.5和1.6所示。这些暗、亮孤子在实验上的实现激发了人们对玻色-爱因斯 坦凝聚体中的孤子动力学问题的极大兴趣，在实验上和理论上进行了广泛的研 究。 同时， 涡旋 52-55、 四波混频56等一些非线性现象也已经在凝聚体中被观察到。 这一系列非线性现象引起了物理学家对bec进行更广泛深入的研究， 极大的促进 了非线性原子光学的发展，也为bec的广泛应用打下基础。 1.3 bec的研究意义 bec具有很重要的理论研究价值和潜在的实际应用价值。对bec的研究促进 了人们对物理学一些基本问题的重新认识。首先，bec是一个可以用相干波函数 描述的新物态，这为物理学家提供了一个独一无二的新介质。它相对于普通物质 就好像激光与普通光的对应关系。在凝聚体中，系统的宏观性质由量子力学的微 观规律支配，会出现一些奇特的性质。另外，bec是一个相干物质波源，可用于 进行原子激光的产生和放大研究 57。它与激光相似，可复现激光在科学技术上的 各种应用。类比于非线性光学，可开展非线性原子光学的研究 56。利用bec的相 干性，可进行凝聚体的涡旋-超流的研究和在超冷原子气体中从超流到mott绝缘 体的量子相变相研究 58。利用它调节原子间相互作用强度及其符号，使得bec 中产生类似于超新星爆发的相现象 59； 将原子像激光中的相干光子一样输出从而 产生原子激光；从实验上研究对称性自发破缺及不稳定宏观态随时间的衰变过 程。由于测不准原理，费米子不能都处于最低能态，即使在零温度下仍有量子压 力存在。可在实验上模拟白矮星的内部压力 60。在实际应用方面，人们也提出了 许多新的构想。例如，在bec中，人们可以将光速变慢，甚至降到零。这时，人 们可以利用它开发将红外光转换为可见光的技术， 减少通信系统中的噪音以及更 清晰的视频装置和夜视装置等， 甚至把光信息储存起来。 在量子信息科学研究中， 10 湘潭大学硕士论文 人们还发现在凝聚体使光子的速度降低时，将信息输入光子成为可能，实现量子 信息传递和量子逻辑操作， 这使得人们看到了量子计算机研制成功的曙光。 另外， 利用bec中的原子很好的相干性， 人们可以制造高精度和稳定度的原子钟和精密 的原子干涉仪。如果作为原子钟的原子蒸汽直接取自bec，共振跃迁的信号就更 尖锐，因此，时间计量的精度可以再提高100倍。原子干涉仪比激光干涉仪更加 精确，可以用来制造更小更高效的计算机芯片。人们还将bec的相干性应用于原 子物理常数的测量和微重力的测量以及微结构的刻蚀等。在关于超导体的研究 中，人们发现由费米原子对组成的费米子凝聚体与超导体在物理机制上类似。然 而，前者是实实在在的原子凝聚，而后者是质量可以忽略的电子凝聚。由于原子 比电子的重许多，并且原子间的相互作用比超导体中电子对的吸引作用强得多， 因此，在同等密度下，如果使超导体中电子对的吸引力达到费米子凝聚体中原子 对的程度，就可以实现常温下的超导体。人们认为bec将会像激光一样给人类带 来新的技术革命。这些美好的应用前景极大的刺激了人们从理论和实验上研究 bec的各种性质。 1.4 本文方法和内容 暗、亮孤子在实验上的陆续实现，刺激了人们对bec中孤子动力学性质的探 索和研究，得出了一些有意义的成果。如bec局限在谐振外势阱中 61-62，粒子间 为相互排斥作用会产生暗孤子，吸引作用下出现亮孤子；然而，如果bec处于双 曲函数外势阱中 63，即使粒子间为相互排斥作用却形成亮孤子，吸引作用下却产 生成暗孤子。 在本文中我们使用奇异摄动法中的多重尺度方法来研究低维凝聚体 中的孤子动力学性质。 摄动法是求解非线性方程的一种重要的方法。 这种方法的第一步是在方程中 引进无量纲的小参数(10)；第二步是将方程的解展开为小参数的幂级 数，从而可以依次求得方程的各级近似解；第三步是分析摄动级数的收敛性，它 通常在自变量变得很大时不收敛， 为了解决这个问题在经典的正规摄动法的基础 上出现了许多奇异摄动法。多重尺度方法 64就是其中发展得比较完善的一种。 多重尺度方法的基本思想是将表示解的展开式看成是多个变量(多个尺度) 的函数，而不是单个自变量的函数。可按照： ， tt n n =l, 2 , 1 , 0=n. (1.19) 引进一些自变量，这是第一步。因为是小参数，表示不同的时间尺度。例如 设 n t 601=，尺度的变化可以从一只表的秒针上看到，尺度的变化可以从一 只表的分针上看到，尺度的变化可以从一只表的时针上观察到。这样，表 0 t 1 t 2 t 0 t 11 湘潭大学硕士论文 示快变量，表示较慢的尺度，表示更慢的尺度，等等。 1 t 2 t 第二步，设形式解为： . (1.20) ),(),(),()( 2102 2 21012100 llltttutttutttutu+= 因此就是的多变量函数。这时近似解与精确解的误差为 的数量级。只要 )(tu n tttt, 210 l tt n n 1+ =足够小，这个解在足够长的时间内，给出 足够精确的解，超过这个范围就不适用了。这种把解展开成多个时间自变量函数 的方法称为多重尺度方法。这样一来，关于t的导数变成了关于不同时间变量 的偏微分方程，若原来是偏微分方程，现在增加了独立的自变量个 数。 )(0 n t = n tttt, 210 l 第三步，按多元函数微分法则，对时间t的导数变为 , 2 2 10 l+ + + = tttdt d (1.21) l+ + + + = 2 1 2 20 2 10 2 2 0 2 2 2 2 ttttttdt d . (1.22) 这一步意味着多重尺度方法不仅将解按的幂级数展开， 而且将 dt d 也按的幂级 数的前项作了展开，因此，多重尺度方法又被称为导数展开法(derivative expansion method). n 把(1.20)、(1.21)和(1.22)代入一定的非线性方程，按等号两边的的同次 幂系数相等的原则，可得到关于的渐进方程组，分别联立这些方程求 解就能确定这些函数。解的展开式中所需要的独立变量的个数，决定于需要求到 哪一阶近似解，如果求解的精确度为，则需要两个自变量，如果求解 的精确度为，则需要三个自变量。 n uuul, 21 )(0 2 10,t t )(0 3 210 ,ttt 我们的工作，主要是基于平均场近似理论框架下的gp方程，研究低维(一维 和二维)凝聚体中的孤子的动力学行为，考虑外部势阱和原子间相互作用对其性 质的影响。在第2章中我们解析地研究了粒子间的相互作用对准一维谐势阱中的 凝聚体中的孤立子动力学的影响，并基于现有实验条件设计了一套实验方案，实 现黑孤子和灰孤子之间的稳定转化。第3章，我们解析地研究了准二维谐势阱中 的凝聚体中的非线性动力学性质。考虑径向的均匀变化，凝聚体中出现稳定的暗 孤子环，避免了径向蛇形不稳定的出现。 12 湘潭大学硕士论文 第 2 章 准一维凝聚体中孤子幅度的调控 2.1 引言 2.1.1 feshbach 共振简介 在研究原子物质波领域中，一个非常重要的影响因素是s波散射波长，它代 表了原子之间的相互作用。s波散射波长为正表示相互排斥作用，为负表示相互 吸引作用。它将对玻色-爱因斯坦凝聚的许多性质产生重要影响，包括静态性质 和动力学性质。随着实验技术的发展，凝聚体粒子的s波散射长度可由feshbach 共振控制。 feshbach共振最早是物理学家feshbach在原子核物理研究中首先发现并以他 的名字命名的 65。在 20 世纪 90 年代初，tiesinga等66则预言了在碱金属原子气 体系统中也存在有feshbach共振现象，他们还提出在这些系统里原子碰撞的散射 长度可以通过改变磁场来调节。在 1999 年ketterle实验组首先在钠原子系统中观 察到了feshbach共振现象 67，证实了tiesinga的预言。随后，在其他碱金属原子 气体里也陆续观察到了feshbach共振现象，其中玻色子系统有 23na、85rb、87rb、 7li、133cs等，费米子系统有40k、6li等。目前feshbach共振已被运用到玻色-爱因 斯坦凝聚领域里的多个方面，成为目前的热门课题。 碱金属原子的特殊结构造成了feshbach共振出现的可能 65。在碱金属原子 里，最外层电子只有一个电子。当两个碱金属原子碰撞时，他们总的电子自旋可 以处在单重态或三重态。由于原子核的磁距远小于电子磁距，原子总的磁距主要 由电子磁距决定，所以在双原子系统中三重态的磁距远大于单重态的磁距。当有 磁场时，三重态里最大的塞曼能绝对值远大于单重态的塞曼能绝对值，因此通过 调节外加磁场可以改变三重态和单重态的能量差别。一般来说，在气体里的大多 数原子中任意两个原子都处于自旋是三重态的散射态上， 有少量原子结合成自旋 单重态的双原子分子。 所以通过改变磁场大小可以使双原子分子态能量接近散射 态。当散射态和分子态能量相同时，系统里发生feshbach共振，此时原子的散射 长度发散。在原子气体中，散射长度和原子间相互作用强度成正比，所以，在有 feshbach共振的系统中，通过改变磁场来调节原子的散射长度和原子间的相互作 用强度。 在feshbach共 振 下s波 散 射 长 度 和 磁 场 强 度 的 关 系 为 13 湘潭大学硕士论文 )(1 )( 0 btbatas= ，其中是远离共振点的散射长度，是与时间相 关的磁场强度，和分别表示共振点和共振宽度。近年来，feshbach共振为研 究becs的动力学性质提供了新的手段。实验上，通过feshbach共振可以实现凝 聚体的受限崩溃、原子bec的连续叠加态和分子态、 a)(tb 0 b 133cs原子的bec。另外，囚 禁在准一维光阱中的 7li原子通过feshbach共振调节s波散射长度的变化，使bec 中的原子间从排斥作用到吸引作用转变，从而形成亮孤子列 63。文献68证明了 由feshbach共振导致的变化的非线性gp方程提供了一个有力的工具来控制周期 波亮、暗孤子链的产生。文献69中，梁兆新等人研究了在参数合适的范围内， 通过feshbach共振增加散射长度的绝对值，可以使凝聚体中的亮孤子被挤压得局 域密度很高，这为研究一维gp方程的适用性提供了一个很好的实验方案。本章 中，我们基于feshbach共振考虑相互作用强度随时间变化对准一维bec的非线性 性质的影响。 2.1.2 准一维 bec 模型中的孤子研究 严格的说，孤子是可积系统的精确解，对应于传播中甚至碰撞后都不会改变 形状和速度的波包。孤子出现在许多物理领域中，比如光纤、波导 70、极化材料 71和生物分子72等。在一维原子间为相互排斥作用(即s波散射长度为正数)的凝 聚体中，原子物质波的非线性激发的暗孤子(局域密度最小)已经被实验观察到 47。在光纤中，这样的暗孤子局域非线性波(洞)存在于稳定连续光背景中，也已 经被理论预言和实验观察。光纤中的暗孤子分为两种类型：一种是黑孤子，定义 为在稳定连续光背景下中心光强最小且为零的暗孤子；另一种是灰孤子，定义为 中心光强最小但不为零的暗孤子。 在本章中我们将该术语借鉴到原子物质波领域 中，把暗孤子的中心密度最小且为零的称之为黑孤子，暗孤子的中心密度最小但 不为零的定义为灰孤子。 这里我们研究s波散射长度随时间变化对准一维bec的非线性性质的影响。 我们的结果表明孤子的幅度可以通过feshbach共振改变散射长度来调制。同时 我们设计了在现有条件下，通过feshbach共振控制散射长度变化，从而促使黑 孤子和灰孤子之间转化的实验方案。它为将来在原子光学、原子干涉和原子传播 的运用提供了可能。 2.2 考虑散射长度随时间变化的准一维 bec 的 gp 方程 考虑准一维雪茄型becs，即径向束缚远大于轴向束缚，这种情况下的一维 gp方程为 73-75 14 湘潭大学硕士论文 + = 2 2 2 2 2 22 2 14 2 xm m a xmt i x s hh h, (2.1) 这里，是凝聚体宏观波函数，m表示凝聚体原子质量。上式右边第二项是非 线性项，且 mas 2 4h表示原子间相互作用强度，是s波散射长度。第三项是 势阱项，表示一维谐振势， s a x 是轴向方向的谐振频率。为了方便表述我们先对 (2.1)式进行无量纲化。引入无量纲参数xax =，并且令波函数tt 1 2 = 0 n=，表示凝聚体的密度。其中 0 n =mah是线性振荡长度， 是径 向方向(yoz平面)的谐振频率。把上述参量代入后得到无量纲一维非线性薛定谔 方程 22 2 2 2 4 1 )(xtg xt i+ = , (2.2) 其中，因为散射长度是随时间变化的，所以原子间的相互作 用强度也是与时间相关的。 )(8)( 2 0 taantg s = 12= x 。 2.3 粒子之间相互作用随时间变化下的凝聚体中的孤子解析解 基于上述准一维的模型,我们利用多重尺度法来求解方程(2.2)式。首先, 把凝聚体波函数表示为幅度和位相的形式：()() ()txi etxatx , , =，其中是 幅度， (txa ,) )(tx,是相位。然后,将这些变量代入方程(2.2)后分离方程的虚、实部可 得一组关于幅度和相位的耦合方程 02 2 2 = + + xx a x a t a , (2.3) 2 2 322 2 1 0 4 a aagax txx += a. (2.4) 对于线性激发情况，设()txaua, 0 +=和()txt,+=。其中表示becs 基态波函数的幅度，是恒定不变的， 0 u 是系统的化学势，和a分别表示becs 扩 展 态 波 函 数 的 幅 度 和 位 相 。 且 有()cctkxiaa.exp 0 +=和 ()cctkxi.exp 0 +=，这里c.c表示复共轭。考虑 和 0 a 0 是常数小量， 把它们代入方程(2.3)和(2.4)中，有 2 000 kuai=, (2.5) 15 湘潭大学硕士论文 322 000 1 0 4 ugux u+=, (2.6) 222 0000000 1 3 4 i uaa kgu ax a= 2 . (2.7) 从(2.6)式可以得到化学势( )( ) 222 0 4tg t ux=+ ) 。从(2.5)和(2.7)式可得线性 色 散 关 系( 21 2 2 0 2kguk+=。 长 波 长 近 似 下 ， 波 包 群 速 为 ()( ) 0 0 2lim)(utgdkdtv k = ，正(负)号表示波包沿轴向向右(左)传播。 接着考虑系统的非线性激发情况，引入渐进展开 98