ch8- 图象复原2

逆滤波比较简单 但没有清楚地说明如何处理噪声 而维纳滤波综合了退化函数和噪声统计特性两个方面进行复原处理 5维纳滤波器 逆滤波方法不能完全恢复原始信号f x y 而只能求出f x y 的一个估计值 希望找到一种方法 在有噪声条件下 从退化图像g x y 复原出f x y 的估计值 该估计值符合一定的准则 维纳滤波 Wienerfiltering 最小均方差滤波 维纳滤波是最常用的图像恢复方法 基于维纳滤波的图像恢复方法是1967年提出的 C W Helstrom Imagerestorationbythemethodoflestsqaures JournaloftheOpticalScoietyofAmerica vol 57 no 3 pp 297 303 1967 C W Helstrom Thisweek scitationclassic 19821967 1982年SCI引用超过125次 N Wiener Theextrapolation interpolationandsmoothingofstationarytimeseries NewYork Wiely 1949 在均方误差值最小的准则下得到的称为对f x y 的最小二乘方估计 按照该准则得到的滤波器叫维纳滤波器 目标 使得复原后图像与原始图像的均方误差最小 因此维纳滤波器又称为最小均方差滤波器 线性滤波 寻找点扩散函数hw x y 使得 则有 由Andrews和Hunt推导满足这一要求的传递函数为 这里 是成像系统传递函数H u v 的复共轭 Sn u v 是噪声功率谱 Sf u v 是输入图像的功率谱 或者 计算退化图像g x y 的二维Fourier变换G u v Wiener滤波的过程 计算理想图像的频谱估计 计算点扩展函数h x y 的二维Fourier变换H u v 计算退化图像和噪声的功率谱Sf u v Sn u v 计算滤波器HW u v 求反Fourier变换 这一方法有如下特点 1 当H u v 0或幅值很小时 分母不为零 不会造成严重的运算误差 2 在信噪比高的图像中 即Sn u v Sf u v 维纳滤波复原法特点 如果没有噪声 就成为逆滤波 3 当理想图像功率谱Sf u v 0 时 表明我们不可能从全是噪声的图像中恢复出任何有意义的信号 4 往往未退化图像的功率谱Sf u v 难以知道 用下式近似表示 维纳滤波函数 测试维纳滤波效果 逆滤波和维纳滤波的比较 维纳滤波的结果非常接近原始图像 比逆滤波要好 逆滤波和维纳滤波的比较 a 运动模糊及均值为0方差为650的加性高斯噪声污染的图像 b 逆滤波的结果 c 维纳滤波的结果 d f 噪声幅度的方差比 a 小1个数量级 g i 噪声幅度的方差比 a 小5个数量级 逆滤波 inversefiltering 线性代数恢复 图像恢复方法 频域图像恢复 维纳滤波 Wienerfiltering 代数逆滤波 奇异值伪逆滤波 线性代数恢复在1970s提出 B R Hunt Amatrixtheoryproofthediscreteconvolutiontheorem IEEETrans AudioElectroacoust vol 19 no 4 pp 285 288 1971 B R Hunt Theapplicationofconstrainedleastsquaresestimationtoimagerestorationbydigitalcomputer IEEETrans Computers vol 22 no 9 pp 805 812 1973 约束最小二乘滤波 Matrix vector形式 投影法 6代数逆滤波 无约束代数逆滤波 unconstrainedrestoration 已知退化图像的向量形式g和退化矩阵H 则无约束逆滤波恢复的的图像为 结果 设恢复的图像为 如果不考虑噪声 用表示恢复误差 则代数逆滤波的目的是最小化目标函数 即 推导 使导数为零 无约束代数逆滤波 unconstrainedrestoration 约束最小二乘滤波 constrainedleastsquaresrestoration 令Q为f的线性矩阵算子 约束最小二乘恢复问题就是在满足约束条件下 使最小化的问题 例如选择Q为有限差分矩阵 使得二阶差分的能量最小 约束最小二乘滤波 constrainedleastsquaresrestoration f x y 在 x y 处的二阶微分 用拉格朗日法求 微分 可以用来调节以满足约束条件 约束最小二乘滤波 constrainedleastsquaresrestoration 推导 clearF checkerboard 8 subplot 2 2 1 imshow F title a 原始图像 FontSize 12 PSF fspecial motion 7 45 MF imfilter F PSF circular noise imnoise zeros size F gaussian 0 0 001 MEN double MF noise subplot 2 2 2 imshow MEN title b 运动模糊 高斯噪声后的图像 FontSize 10 NSR sum noise 2 sum MEN 2 subplot 2 2 3 imshow deconvwnr MEN PSF matlab自带维纳滤波函数 若噪声功率谱设为0 则为逆滤波title c 逆滤波后的图像 FontSize 10 subplot 2 2 4 imshow deconvwnr MEN PSF NSR 维纳滤波title d 维纳滤波后的图像 FontSize 10 Matlab约束滤波函数 deconvreg 奇异值 SVD 伪逆滤波 SVD SingularValueDecomposition 把退化矩阵H进行SVD分解 并得到H的广义逆矩阵 从而可以把逆滤波表示成迭代形式 通过控制迭代次数 可以在恢复效果较好时停止迭代 提供了一种人机交互机会 基本思想 其中U的列向量是AAT的特征值 V的列向量是ATA的特征值 是对角矩阵 对角线上的值 i称为H的奇异值 退化矩阵H的SVD分解为 于是恢复图像为 则退化矩阵H的广义逆矩阵为 写成迭代形式 7图象灰度校正和几何畸变校正 一 灰度校正假设理想图象为f x y 由于灰度失真因子D x y 的影响 实际得到的图象为g x y g x y D x y f x y 灰度校正是要从畸变的图象g x y 中复原原始图象f x y 一种最直接的方法是用光密度计测量出被拍摄景物中的某一部分区域S内真实的灰 亮 度数值C 而对应的图象灰度为gc x y 则代入图象复原方程则有 三 几何畸变校正在图象获取或显示过程中可能产生图象的几何失真 如下图所示 从上图可以看出 几何畸变是将无失真坐标系中函数f x y 变换到另外一个坐标上 例如 原先在 x y 点上的象素 灰度 变化到 u v 在图象上反映有些位置被挤压 而另一些位置被扩张 我们希望找到这两个坐标系之间的关系 几何基准图像的坐标系统用 x y 来表示需要校正的图像的坐标系统用 x y 表示 设两个图像坐标系统之间的关系用解析式表示 通常h1 x y 和h2 x y 用多项式来表示 通常用线性畸变来近似较小的几何畸变 更精确一些可以用二次型来近似 若基准图像为f x y 畸变图像为g x y 对于景物上的同一个点 假定其灰度不变 则 若已知h1 x y 和h2 x y 通常用线性畸变来近似较小的几何畸变 零级内插 双线性插值 则 h1 x y 和h2 x y 未知 通常用已知的多对对应点来确定系数a b 线性畸变 可由基准图找出三个点 r1 s1 r2 s2 r3 s3 与畸变图像上三个点 u1 v1 u2 v2 u3 v3 一一对应 将对应点代入 有 解联立方程组 得出6个系数 此时 二次型畸变 有12个未知量 需要6对已知对应点 代入上式 同样有 解方程组 得到ai bi 12个系数 记做向量矩阵形式 通常实际应用中 会取多余的对应点对 这时A不是方阵而是高矩阵 这时矩阵的逆用广义逆矩阵来求解 高矩阵的广义逆矩阵为 在广告制作和计算机动画中常常要使物体变形 内插方法除了零级内插和双线性内插外 还有B样条插值和sinc插值函数内插 几何畸变复原的一套方法也可以用于使图像畸变的工作中 clearf checkerboard 24 subplot 2 2 1 imshow f title a 原始图像 FontSize 10 s 0 7 theta pi 6 T s cos theta s sin theta 0 s sin theta s cos theta 0 001 tform maketform affine T g1 imtransform f tform nearest subplot 2 2 2 imshow g1 title b 最邻近插值变换 FontSize 10 g2 imtransform f tform subplot 2 2 3 imshow g2 title c 双线性插值变换 FontSize 10 g3 imtransform f tform Fillvalue 0 5 subplot 2 2 4 imshow g3 title e 修改c的背景为灰色 FontSize 10 clearf imread Fig0515 a base with control points tif subplot 2 2 1 imshow f title a 原始图像 FontSize 10 inputpoints 8381 45056 43293 249392 436442 outputpoints 6866 37547 42286 275434 523532 tform cp2tform inputpoints outputpoints projective g1 imtransform f tform subplot 2 2 2 imshow g1 title b 几何失真图像 FontSize 10 tform cp2tform outputpoints inputpoints projective g2 imtransform g1 tform Xd