初中二次函数的解题方法.doc

.11.1班 沈阳 14号初中二次函数的解题方法首先回顾一下初中二次函数的重要性质和基本表达式：一般式：y=ax2+bx+c(a0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a,4ac-b/4a) ;顶点式：y=a(x-h)+k(a0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k),对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a0) 仅限于与x轴即y=0有交点A(x1，0)和 B(x2，0)的抛物线,即b2-4ac0 ：由一般式变为交点式的步骤：X1+x2=-b/a x1x2=c/a y=ax+bx+c=a(x+b/ax+c/a)=ax;-(x1+x2)x+x1x2=a(x-x1)(x-x2)重要概念：。1.二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x = h 或者x=-b/2a 对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。特别地，当h=0时，二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0);a,b同号，对称轴在y轴左b=0,对称轴是y轴;a,b异号，对称轴在y轴右侧2.二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k ) 当h=0时，P在y轴上;当k=0时，P在x轴上。h=-b/2a k=(4ac-b2)/4a3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。当a0时，二次函数图像向上开口;当a0设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，即x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两个根，由题设x1x20知0，所以c0，故b0故选(A)例2已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的系数a、b、c都是整数，并且f(19)=f(99)=1999，|c|1000，则c= 解：由已知f(x)=ax2+bx+c，且f(19)=f(99)=1999，因此可设f(x)=a(x19)(x99)+1999，所以ax2+bx+c=a(x19)(x99)+1999=ax2(19+99)x+1999a+1999，故c=1999+1881a因为|c|1000，a是整数，a0，经检验，只有a=1满足，此时c=19991881=118例3 已知a，b，c是正整数，且抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A，B，若A、B到原点的距离都小于1，求a+b+c的最小值解：设A、B的坐标分别为A(x1，0)，B(x2，0)，且x1x2，则x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根x10，x20，b2 |OA|=|x1|1，|OB|=|x2|1，即1x1，x20，=x1x21，c0，a(1)2+b(1)+c0，即a+cbb，a+c都是整数，a+cb+1 由，得a+c2+1，()21，又由知，1，+1，即a(+1)2(+1)2=4a5，又b224，b5取a=5，b=5，c=1时，抛物线y=5x2+5x+1满足题意故a+b+c的最小值为5+5+1=11例4 如果y=x2(k1)xk1与x轴的交点为A，B，顶点为C，那么ABC的面积的最小值是（ ）A、1 B、2 C、3 D、4解：由于=(k1)2+4(k+1)=(k+1)2+40，所以对于任意实数k，抛物线与x轴总有两个交点，设两交点的横坐标分别为x1，x2，则：|AB|=又抛物线的顶点c坐标是()，因此SABC=因为k2+2k+5=(k+1)2+44，当k=1时等于成立，所以，SABC，故选A21120xy图1例5已知二次函数y=x2x2及实数a2求：(1)函数在2xa的最小值；(2)函数在axa+2的最小值解：函数y=x2x2的图象如图1所示(1)若2a，当x=a时，y最小值=a2a2若a，当x=时，y最小值=(2)若2a且a+2，即2a，当x=a+2时，y最小值=(a+2)2(a+2)2=a2+3a，若aa+2，即a，当x=时，y最小值=若a，当x=a时，y最小值=a2a2例6当|x+1|6时，函数y=x|x|2x+1的最大值是 解：由|x+1|6，得7x5，当0x5时，y=x22x+1=(x1)2，此时y最大值=(51)2=16当7x0 (1) 设与x轴交点分别为x1，x2 则x1+x2=-（k+2）0 （2） x1*x2=k+50 （3）解得-5k-4 选B例8.已知二次函数y=x+bx+c的图像经过点（-1,0），（1，-2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是_3/4，+）_.解析：把点（-1,0），（1，-2）代入二次函数数，可解得b=-3/2 函数的对称轴为 x=-（-3/2）/2=3/4a=10，函数开口向上，单调递增区间是3/4，+）.例9.二次函数y=ax2+bx+c，当x取整数时，y值也是整数，这样的二次函数叫作整点二次函数，请问是否存在a的绝对值小于0.5的整点二次函数， 若存在请写出一个，若不存在请说明理由。解答：（方法1）（反证法）假设存在二次项系数a的绝对值小于0.5的整点二次函数，（a 0) 则当x=0时，y=c，即c为整数， 同理，当x=1时，y=a+b+c=m，x=-1时，y=a-b+c=n，其中m、n都应为整数， 两式相加，2a+2c=m+n，推知2a也应为整数，而|a|0.5，即|2a|1，矛盾。 所以不存在a的绝对值小于0.5的整点二次函数。（方法2）x0时，yc是整数 x1时，yabc是整数 x1时，yabc是整数 (abc)(abc)2a2c是整数 而2c是整数 例10.已知y=x-x-12的图象与x轴交于相异两点A，B另一抛物线y=ax+bx+c过A,B，顶点为P，且APB是等腰直角三角形，求a，b，c 解答：显然A,B坐标为(-4,0),(4,0).y=ax+bx+c过A,B,所以b=0,c/a=-16,P点坐标为:(0,-16a)由于APB是等腰直角三角形，所以AB2=AP2+BP2,求出a=1/4.所以a=1/4,b=0,c=-4或者a=-1/4,b=0,c=4. 例11.已知y=x-x-12的图象与x轴交于相异两点A，B另一抛物线y=ax+bx+c过A,B，顶点为P，且APB是等腰直角三角形，求a，b，c 解答：显然A,B坐标为(-4,0),(4,0).y=ax+bx+c过A,B,所以b=0,c/a=-16,P点坐标为:(0,-16a)由于APB是等腰直角三角形，所以AB2=AP2+BP2,求出a=1/4.所以a=1/4,b=0,c=-4或者a=-1/4,b=0,c=4. 例12 已知a0，且=b2ac，求b24ac的最小值ABOx1x2yxC(0，c)图2解：令y=ax2+bx+c，由于a0，则=b24ac0，所以