（应用数学专业论文）两类比例再保险模型的最优控制问题.pdf

声明 本人郑重声明：本论文的所有研究工作都是在导师指导下，由本 人独立完成，论文中所引用的已知结论均已列在参考文献中。 目录 摘要 随机最优控制是现代控制理论的一个重要分支。近几十年来被广泛应 用于工程、经济、金融、生物、管理等领域随机最优控制模型的研究始于 二十世纪六十年代，在随后的二十多年中得到了很大发展，各种模型被相 继提出，在研究中形成了一套系统的理论。 本文研究的是带有分红过程，带有分红过程和借贷过程的两类比例再 保险模型的最优控制问题一方面，讨论_ r 只在分红情形下的比例再保险 的最优控制问题，基于保险公司从建立到破产的分红总量建立目标函数， 求得了分红量最大时的最优控制策略及最大风险回报函数；另一方面，讨 论了在分红和借贷双重因素影响下的比例再保险的最优控制问题，同样求 得了使得分红总量最大的最优控制策略和最大风险回报函数该模型于 1 9 9 7 年由t t c j g a a r d ，b 和t a k s a r ，m 提出，后来t a k s a r ，m ，x u n y uz h o u 等对该模型进行了一些深入研究本论文分别对两类模型的费用函数进行 了推广，从而扩展了其应用范围。 论文分为四章： 第一章绪论，主要介绍了现代控制理论的发展情况及一些常见的随机 控制模型； 第二章研究_ 只在分红条件下最优控制策略和最大风险回报函数问 题； 第三章研究了在双因素影响f 的最优控制策略和晟大风险回报函数 问题； 第四章结束语，给出了本文的主要结论以及有待进一步解决的问题 目录 2 关键词：随机控制；奇异控制；动态规划；变分不等式；破产时间，分红过 程；借贷过程 a b s t r a c t s t o c h a s t i co p t i m a lc o n t r o li sa ni m p o r t a n tb r a n c ho fc o n t r o lt h e o r y i nr e c e n td c c a d e s ，s t o c h a s t i co p t i m a lc o n t r o li s w i d e l ya p p l i e di nm a n y f i e l d ss u c ha se n g i n e e r i n g ，e c o n o m i c s ，f i n a n c e ，b i o l o g y , m a n a g e m e n ta n d s oo n t h er e s e a r c ho fs t o c h a s t i cc o n t r o lm o d e l si sc o m m e n c e di n1 9 6 0 s a n d l a r g e l yd c v e l o p e di nt w od e c a d e ss u b s e q u e n t l y , m a n ym o d e l sa r ep u t f o r w a r d ，a n das e r i e so ft h e o r i e sa r ef o r m e di nr e s e a r c h t h i sp a p e rs t u d i e st w ok i n d so fp r o p o r t i o n a lr e i n s u r a n c em o d e l s ( o n e w i t hd i v i d e n dp r o c e s sa n dt h eo t h e rw i t hb o t hd i v i d e n dp r o c e s sa n db o r - r o w i n gp r e c e s s ) o nt h eo n eh a n d ，w ec o n s i d e rt h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m o n l yi nt h ec a s eo fd i v i d e n dt h eo b j e c t i v ef u n c t i o nw a sb a s e do nt h et o t a ld i v i d e n do ft h ei n s u r a n c ec o m p a n yf r o mi t s b e g i n n i n gt ot h er u i n t i m e t h e nw ef i n dt h eo p t i m a lc o n t r o lp o l i c i e sa n dm a x i m a lr i s kr e t u r n f u n c t i o nc o r r e s p o n d i n gt ot h em a x i m a ld i v i d e n d o nt h eo t h e rh a n d ，w e d i s c u s st h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mo ft h e p r o p o r t i o n a lr e i n s u r a r l c em o d e l i n f l u e n c e db yt w of a c t o r si n c l u d i n gd i v i d e n dp r o c e s sa n db o r r o w i n gp r o - c e s si nt h i sc a s ew ea l s of i n dt h eo p t i m a lc o n t r o l p o l i c i e sa n dm a x i m a l r i s kr e t u r nf u n c t i o n t h em o d e lw a sf i r s tp u tf o r w a r db y h 4 j g a a r d ，b a n d t a k s a r ，m t h e ns o m ed e e p l yr e s e a r c hw o r k sw a sd o n eb ym i c h a e li t a k s a r ， x u ny uz h o ua n ds oo n t h i sp a p e rg e n e r a l i z e st h ec o s tf u n c t i o no ft h e s e t w oi n s u r a n c em o d e l si no r d e rt oe x t e n dt h ea p p l i c a t i o n t h i sp a p e ri n c l u d e sf o u rc h a p t e r s ：t h ef i r s t c h a p t e rm a i n l yi n v o l v e s t h er e c e n tw o r k sa n ds o m en o r m a lo p t i u l a ls t o c h a s t i cm o d e l s ，t h es e c - o n dc h a p t e rs t u d i e st h eo p t i m a lc o n t r o lp o l i c i e sa n dm a x i m a lr i s kr e t u r n 目录 4 f u n c t i o nc o r r e s p o n d i n gt ot h em a x i m u md i v i d e n do n l yi nt h ec o s eo fd i v i d e n dt h et h i r dc h a p t e rs t u d i e st h eo p t i m a lc o n t r o lp o l i c i e sa n d m a x i m a l r i s kr e t u r nf u n c t i o nc o r r e s p o n d i n gt ot h em a x i m u md i v i d e n di n f l u e n c e d b yt w of a c t o r s t h ef o u r t hc h a p t e rg i v e st h e m a i nc o n c l u s i o n so ft h i sp a p e r a n dt h ep r o b l e m sw h i c hn e e dt ob er e s e a r c h e df u r t h e r k e yw o r d s ：s t o c h a s t i cc o n t r o l ；s i n g u l a rc o n t r o l ；d y n a m i c a lp r o g r a m - m i n g ；v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ；r u i nt i m e ；d i v i d e n dp r o c e s s ；b o r r o w i n gp r o 。 t e s s 第一章绪论 1 1 现代控制理论发展简介 现代控制理论的奠基人是美国科学家维纳( n w i e n e r ，1 8 9 4 1 9 6 4 ) 自 从二十世纪五十年代以来，由于计算机、航空、航天等技术的飞速发展， 控制理论得到了广泛的应用，同时其本身也获得了很大的发展它主要包 括：线性系统理论，最优控制，自适应控制等 在对实际控制问题的研究中，由于某些不确定因素的干扰，影响控制 系统的随机因素时有发生于是，随机控制理论得到了应用和发展同时 随机控制理论的发展与随机过程理论的发展是密切相关的 随机过程论产生于2 0 世纪初期，是为适应物理学、生物学通信与控 制管理科学等方面的需要而逐步发展起来的。最初在布朗运动，电话信息 量和电子管的散粒效应，噪声等问题的研究中取得了成果1 9 3 1 年，科尔莫 哥洛夫奠定了随机过程的数学理论，1 9 5 3 年杜布的著作s t o c h a s t i cp r o c e s s 论述了随机过程的数学理论，1 9 5 1 年伊藤发表了o ns t o c h a s t i cd i f f e r e n t i m e q u a t i o n ( m e m a m e r m a t h 8 0 c 4 ，1 9 5 1 ，1 - 5 1 ) 一文，使得对随机微分 方程的研究受到了广泛重视，并渗透到很多领域，为随机控制的发展提供 了理论基础 在控制论方面，1 9 5 6 年庞德里亚金提出的极大值原理，1 9 5 7 年贝尔曼 提出的动态规划原理以及卡尔曼提出的滤波理论，标志着现代控制理论 的产生，这些理论与随机控制直接有关随机控制主要包括：最小方差控 制，滤波，随机最优控制目前滤波向非线性方向发展，随机最优控制向 分布参数系统方向发展目前解决最优控制的方法主要有三种，即：古典 5 第一章绪论6 变分法，庞德里亚金的极大值( 极小值) 原理，贝尔曼的动态规划原理。 随机最优控制是随机控制理论的一重要分支，主要是求一状态反馈， 使目标达到最优该状态反馈称为最优控制策略。随机最优控制的研究主 要基于贝尔曼动态规划原理。r eb e l l m a n 在其著作d y n a m i c a l p r o g r a m m i n g ( 1 9 5 7 ) 中把动态规划原理表述如下： a n o p t i m a lp o l i c yh a st h ep r o p e r t y t h a tw h a t e v e rt h ei n i t i a lc o n d i t i o n sa r e ，t h er e m a i n i n gd e c i s i o nm u s tc o n s t i t u t ea no p t i m a lp o l i c y w i t hr e g a r dt ot h es t a t er e s u l t i n gf r o mt h ef i r s td e c i s i o n 即一个最优策略具有这样的性质：不管初始状态或策略如何，相对于初始 策略产生的状态来说，其后的策略必须构成最优策略概括为，每个最优 策略只能由最优子策略组成。虫此通常得到b e l l m a n 动态规划方程，而这 个方程在很多情形下不可解，一般地需要借助以下两种方法： 1 解变分不等式方法，由a b e n s o u s s a na n dj l l i o n s 提出，通常 是求一个控制区间，再给出相应的最优控制策略。它常用于一维问题，侧 重于随机分析。本文就用到这种方法 2 粘性解方法，由m g c r a n d a l la n dp l l i o n s 在研究随机控制问 题时提出| 6 1 】其中的方法不只对随机控制的研究起到推动作用，也对微 分方程的研究起到巨大的推动作用这种方法侧重于方程，也适用于多维 问题，在金融数学的研究中常常用到。 1 2 几种常见的随机控制模型 本节介绍目前常见的几类随机最优控制模型，需要指出的是，这几类 模型的提出都是在对实际问题的分析中产生的，具有很强的应用背景。 第一章绪论 i 奇异控制 7 自八十年代初，奇异型随机控制问题开始引起人们的关注，后来的十 多年发展较快，是一种比较实用的模型 设m 是概率空间( n ，p ) 上的标准布朗运动，五= 口( 巩，s t ) b 表示五一适应的零初值左连续的有限变差过程全体，任意f = 矗1 3 有 正规分鳃= + 一f 一，矗= 对+ 百为其全变差+ ，f 一均为8 中单调非降 过程通常研究以下两种问题： 1 折扣费用问题 对8 0 ，冠，g ，目标费用为： ，。 j ( x ，) = e ( z c ) d t + d ， 其中也=+ + t ，一般为。非8 负- a 二t x h 次连续可导凸函数求最优控制 ；b ，使| ，( ，+ ) = m 咄e b ，( z ，) 目前对奇异型折扣费用问题的研究 已有许多工作 1 】 1 1 】f 1 8 】，更进一步的结果见刘坤会【2 0 】_ 2 平均期望成本问题 对z r ，b ，目标费用为： 一! j ( z ，) = l i t m 雹f e j o ( 。t ) d t + 武】 求最优控制+ b 使j ( 。，4 ) = m i n e bl ，( z ，) 关于这一问题的深入讨 论见刘坤会【1 7 】 关于奇异型随机控制问题，k a r a t z a s ，i 的工作【1 1 是开创性的，有重 要的理论价值但其决策控制是邵时酌和连续谪节的，这在实际中往往难 第一章绪论 8 于施行，特别是在控制时域为无穷时所以决策者选择一列停时 丁1 ，乃， 和脉冲 - ，岛，) 对系统实施控制( 参见【2 】【2 5 ) 来得到精确解 i i 脉冲控制 脉冲控制由于其应用上的可操作性，最先受到重视最初由b e n s o u s s a na n d l i o n s 提出，后来r i c h a r d 将其推广到无限时域上( 参见 2 9 ) 设彤是概率空间( n ，p ) 上的标准布朗运动，五= 口( 名，s t ) 一个控制是指一列上升的停时 t i ，丁2 ，) 及可测随机变量列 l ，如，) ， 表示为u = “t 怎) ，i 1 ) ，令v 表示控制集。同样分两种情况： l 折扣费用问题 对于。r ， v ，目标费用为： j ( 。，”) = e z 。e 一口。n ( z t ) “t + 蓥e p 1 b ( 6 ) ， 其中状态过程轧= 。+ 十墨1 ( i l t 。，。1 ，求一个控制矿使 地”+ ) _ 。i n f ，j ( z ，”) 脉冲控制模型对于有跳变控制的问题具有广泛的应用，相应的文献参见 【2 2 2 3 1 2 平均期望成本问题 对 v 令 m = ；f 胁出+ 嘉叫， 求一个常数a 0 ，对v z r ，寻求控制u + = ( 宵；) ，i 1 ) ，使得 骢j ( 刚+ ) = 2 。i n f l i r a i 。n f d ( x ，”) 第一章绪论 其中x t 满足分段随机微分方程d x t = 口( ) d ，t ( t ， + 1 】，z 。+ x “+ f ：对脉冲控制的深入研究可参见刘坤会【1 6 】 2 1 孙世良 2 s i i i 控制状态无奇异项的情形 9 设，f ，五，p ) 是一个概率空间，吼为其上的标准布朗运动。状态 过程满足随机微分方程 d z = ，( z ，u t ) d t + 盯( 。t ，u ) d i 仉 控制过程u e 循序可测，控制空间为u ，f ，( 9 - 满足通常的l i p s c h i t z 条件及 多项式增长条件，目标函数为 i ，( 刚) = e 上8 邓。 ( 净+ e 邓7 g ( 孤丁) 求最优控制使 3 劣j ( 训) 现令 j ( x ，s ) = e ，- e 一芦( t 一。 ( 札，“) d t + e 口( t - s ) g ( z t ，t ) 其中z 。= z ，则由贝尔曼动态规划原理可知：j ( z ，s ) = m i n 。u j ( x ，“，s ) 满 足下面的带有边值条件的微分方程 掣4 - m i n a “j 卅m ，酬一f l j ( 叩) - o ， j ( x t ，t ) = g ( x t ，t ) 其中a ”= f ( x ，u ，。o 。1 0 _ 2 ( z ，u ) 差为扩散过程的最小生成元这样随机 控制问题化为解该定常方程问题需要注意的是这类问题不含控制成本 值得一提的是，这种模型在金融控制中经常用到。投资组合问题通常考虑 一个无风险资产与多个风险资产在确定性利率下的投资组合 第一章绪论 1 3 本论文的工作简介 1 0 本文研究的带有分红过程的比例再保险模型的最优控制问题，最初是 由h 街g a a r d ，b 祁t a k s a r ，m 于1 9 9 7 年提出下面介绍一下其基本模型： 设( q ，五，p ) 为一完备的概率空间，五为滤子，表示t 时刻所获得 的所有信息，决策者以此为基础寻求最优控制策略，准备金觑的变化过程 为 僻篓加州- d 以 其中眦为关于五适应的标准w i e n e r 过程，参数芦 0 ，口 0 ，控制策 略”= t 。( t ) ，阢 同时满足： ( 1 ) a ( t ) 0 ，1 为五循序可测过程； f 2 ) 阢为0 初值，左连续，单调非降非负的五循序可测过程 其中，巩表示分红过程，即到达t 时刻的分红累积量；n ( t ) 表示t 时刻的自 留比例 记n 为满足上述条件的允许控制策略全体对任意”兀，定义风险 回报函数( 即保险公司的收益) 为 k ( 。) ：e 厂e 叫d 以 这里停时h = h a f t 0 ，r o ) 表示公司的破产时间，卢 0 为贴现因 子 目标是寻求最佳控制策略矿一 矿( t ) ，w ) 1 1 ，使得 u ( z ) = + ( ) = s u p u ( z ) i i 第一章绪论 称”扛) 为最大风险回报函数 该模型提出以后，一些文献对该问题进行了深入的研究( 可参见文献 3 【4 5 】【1 0 】 24 ) 2 0 0 3 年，杨瑞成在此基础上把借贷过程这一因素考虑进 去，构造了一新的包括分红过程和借贷过程的比例再保险模型( 可参见文 献 3 2 j ) ： 设( n ，五，p ) 为一完备的概率空间， 五) 为滤子，准备金鼠的变化 过程为 式中，w 为关于五适应的标准w i e n e r 过程，参数肛 0 ，o - 0 ，控制策 略”= 。( t ) ，阢，l e ) 使得r t 0 ，同时满足： ( 1 ) n ( ) 0 ，1 】为五循序可测过程； ( 2 ) 仉，丘为0 初值，左连续，单调非降非负的五循序可测过程； ( 3 ) 铲i ( n 。 o d l e = 0 ，这里t ) 为示性函数 其中，阢表示分红过程；厶为借贷过程，或称为注入资金过程，表示到达t 时刻的借贷累积量；n ( 为t 时刻的自留比例 记n 为满足上述条件的允许控制策略全体，对任意”n ，定义风险 回报函数( 即保险公司的收益) 为 ， u ( 。) = e7 邓。( d 魄一a d 如) j u 这里p 0 为贴现因子，由于考虑到借贷过程需支付利率，因此回报函数 中a 1 目标是寻求最优控制策略”+ = 0 9 ( t ) ，w ，q ) n ，使得 u ( z ) = u ( z ) = s u p 嵋( ) n ld+ 巩 d一d盯 畎 + 删 o n z = | _ 船 ，ii，、【 第一章绪论1 2 文章针对不同的参数得出了不同情形下的最优控制策略和相应的最大回 报函数 本论文的主要工作是对上述两类模型的费用函数进行扩展，使其归结 到一类更广泛的函数上，从而拓宽了其应用范围对于带有分红过程的比 例再保险模型，将其费用函数推广为： w 扛) ：e ，“g ( r 。) e m d 阢 w 扛) = e 五g ( r c ) 8 邓4 阢 对于带有分红过程和借贷过程的比例再保险模型，将其费用函数推广 为： ( ) = e z ”e 一“( h ( r t ) d u e 一 d l t ) 式中的g ( ) ，h ( ) 满足一定的条件对于这两类推广丁的模型，我们利用随 机分析中的最佳控制理论，得出了不同情形下的最佳控制策略及相应的最 大回报函数 第二章带有分红过程的比例再保险最优控制模型之 推广 2 1 引言 比例再保险，是指保险公司在接受保险业务时，如果认为所承担的保 险金额过高，一旦出现危险，将超过自己的偿付能力，于是按一定的比例把 一部分保费转让给其他保险公司( 称为再保险公司或分出公司) 以共同承 担风险为保证保险公司对保险对象及时履行经济赔偿的义务，确保保险 公司的赔偿能力，保险公司必须从保费收入中提存一定的准备金，这样才 能保证保险公司在赔偿时有足够的资金来源 在经典的比例再保险模型中，保险公司的准备金r t 是借助复合p o s s i o n 过程来描述的，后来由b r o w n e ，p a u l s o n ，h c j g a a r d 等人引入标准w i e n e r 过程，用随机微分方程描述准备金风的变化过程：d r a ( t ) p d t + a ( t ) a d 姒： a ( t ) e 0 ，1 1 为t 时刻的自留比例，参数“ 0 ，口 o ，吼为标准w i e n e r 过 程在此基础上产生了一系列的研究成果，并能很好的运用到实际操作过 程中，从而为保险公司获得最大风险回报提供了技术基础借助于标准 w i e n e r 过程，用随机分析的方法研究保险问题已成为近年来的一大热点 本章在带有分红过程的比例再保险基本模型的基础上将风险回报函数进 行了推广 1 3 第二章带有分红过程的比例再保险最优控制模型之推广1 4 2 2 模型介绍 设，五，p ) 为一完备的概率空间，五为滤子，表示到t 时刻所获 得的所有信息，决策者以此为基础寻求最优控制策略，准备金r 。的变化过 程为 r ld r = a ( t ) # d t + n ( t ) 口d 眦一d 仉 1 凰：。 。 2 1 其中m 为关于五适应的标准w i e i l e r 过程，参数p 0 ，口 0 ，控制策 略 = n ( ) ，阢 同时满足： ( 1 ) a ( t ) ( 0 ，1j 为五循序可测过程； ( 2 ) 阢为。初值，左连续，单调非降非负的五循序可测过程： 其中，巩表示分红过程，即到达t 时刻的分红累积量雄( ) 表示时刻的自 留比例 记为满足上述条件的允许控制策略全体对任意”，定义回报 函数( 即保险公司的收益) 为 k ( z ) = e f o “e - v t g ( r t ) d u t 这里停时丁丌= i n f t 0 ，r o ) 表示公司的破产时问，卢 0 为贴现因 子，g ( ) 为( o ，o 。) 上的非负连续函数，9 ( ) 在b 处取得最大值，且在 6 ，o 。) 上，9 ( - ) = 9 ( 6 ) ( b 由引理2 1 给出) 目标是寻求最佳控制策略矿= 如+ ( ) ，w ) n ，使得 v ( x ) 一u ( z ) = s u p v 。( x ) n 称v ( x ) 为最大风险回报函数 第二章带有分红过程的比例再保险最优控制模型之推广 2 3 主要定理及证明 为叙述简洁，记 2 芦c r 2 。2 i 1 2 + 2 3 a 2 “盯2 # 2 + 2 f l a 2 命题2 1 对v 0 r ，z10 ，若存在常数k 0 ，使妒( ) ，口( ) 满足 l i p s c h i t z 条件，即：l 妒( ”1 ) 一妒( 2 ) i + i 口( 1 ) 一口( 沈) i k i y l 一沈l 则存在 唯一的连续适应过程组 磁，w ) ，满足方程： r ；= z + 露妒( r ：) d 8 + 聒盯( 兄：) d w 名一w 0 ，v t o ； 且有舻t 凡c 。) d w = o ； 证明参见文献 3 4 引理2 1 设r 1 ，r 2 为方程口2 r 2 + 2 “r2 卢= 0 的两根，且r l 0 t 2 ， 则存在唯一的b ( ，y ，o 。) ，使 e 沁一r l m 一1 ) + 一t 1 ：0( 22 ) 证明由于r l ，r 2 为方程矿r 2 + 2 f r 一2 一0 的两根，故r 1 + r 2 = 一筹 o , r l r 2 = 一薯 o 。l 。i r a 。，( z ) 规【e 沁- n 1 + 薏 o 而当。( 7 ，。) 时，( z ) = ( r 2 一r 1 ) e ”1 ( 。一+ 哥 0 ，故，( z ) 为( 仉o o ) 上的严格减函数，因此存在唯一的b ( 7 ，。) ，使 e ( r 2 - - r , ) ( b 一1 ) + 旦：0 r 2 第二章带有分红过程的比例再保险最优控制模型之推广1 6 由引理2 1 易见： 肛：一掣 卢：一下r l r 2 9 2 引理2 2若b 如前所述，则存在( 0 ，o 。) 上的二次连续可导函数v ( x ) 满足： 删5 m ( z ) = o u ”( z ) o ，v x ( 0 ，o 。) 踊 t o - 2 a 2 ”( z ) - t - l a ：l ( z ) 一舯( 。) ( 2 3 ) ( 24 ) ( 25 ) 一粼一卢u ( z ) = 0 0 z b 证明构造函数 女护0 b 第二章带有分红过程的比例再保险最优控制模型之推广 1 7 其中 垒塑坐! ：! r 2 ( r 1 7 一o ) 俨_ 1 ， r 2 9 ( b ) r l g ( b ) q 2 一币i 硒砚2 可i 碉 则v ( x ) 满足引理条件下面证明该引理 1 首先说明 ! 塑塑型：! r l ( r 2 7 一a ) 俨一1 1 1 塑生! ! ：! r 2 ( r 1 7 一o ) 1 。一1 ( 2 7 ) 由于r 1 7 一a 0 ，r 2 7 一o l 0 ，所以k 的两种表示法有意义( 若等号 成立，则f 1 ( r 2 ) = ：，但由于r l ，r 2 是方程g r 2 r 2 + 2 p r 一2 卢= 0 的两根，将 r - ( r 2 ) = ：带入方程得到矛盾) 由于r 1 + r 2 = 一磐，f i r 2 = 一筹，因此有： 于是有 因此 因此 z c 一筹，群每一考岳c 一筹， 万- 4 面f l # + 群= o “2 + 2 卢口2 。p 2 + 2 口盯2 。 2 r l r 2 ，y 十a ( r l + r 2 ) = r l ( r 2 1 一q ) + r 2 ( r 订一o t ) = 0 又上式变形可得 r 2 e r l ( 一6 1 r 1 ( r 2 一r q ) “) 1 1 一t 1 e ( 2 一”1 ) ( 6 1 ) r 2 t l e 2 ( 7 6 】 r 2 ( r 1 7o ) 器 | 【 七 d o二一 7 7吃一n，砰2 0 第二章带有分红过程的比例再保险最优控制模型之推广 因此有 竺生塑型：! r l ( r 2 1 一a 1 1 。一1 1 1 1 塑! ! ! ：! r 2 ( r 1 7 一d ) r l 所以k 的两个表达式是等价的 2 下面证明所构造的函数u ( z ) 是二次连续可导的 ( 1 ) u ( z ) 在7 处是连续的 r 2 目( 6 ) e 7 l ( 7 一砷1 r 1 ( r 2 ，y 一血) c l e 7 1 1lc 2 e 2 1 r 妇( 6 ) e 7 n “ r l ( r l r 2 ) r 2 9 ( 6 ) e r ，t 一6 r l ( n 一啦) 一r 2 9 ( b ) e 1 ( 1 一” 1 1 ( ? r l r 2 ) 一r 2 9 ( b ) e 7 1 ( 1 “) r 1 一尘一1 1 r 9 r l 十r 2 ( 2 一n ) r 2 比较上面两式可知：欲证v ( x ) 在，y 处是连续，只须证明 您，y 一0 =【r 2 由于r l + n = 一磐，7 - 1 7 , 2 = 一磐，因此 r 2 ，y 一“ e 毪 ( 28 ) 笫群 叫 寺晴磅嵋磅 鑫 一您 第二章带有分红过程的比例再保险最优控制模型之推广1 9 北( 一止吐2 1 1 l 坚、j2 ( 一n ! 芋) 一 ! ! ! ! ( r 2 一r 1 ) r 2 因此，u ( 7 + ) = ( 7 ) = u n 一) ，即u ( z ) 在1 处是连续的 ( 2 ) ”( z ) 在b 处连续显然成立 ( 3 ) ”( 。) 在7 处是一次连续可导的 ”一，= 裂等高计。1 r l g ( b ) c t 2 ( 1 6 ) o ( 7 + ) = c l ”l e 1 7 + c 2 r 2 e 2 7 = 一熹竺堡b r l c r l tq - r 2 蒹r 2 ( r 兰盟r 2 丽) e 。哪”r l ( r l 一) 矿1 61 6 ：! ! 塑e n n 一6 ) f nr ，e 0 2 - 1 ) ( 6 一们1 = # 芝扩卜r 1 - - t 2 ( 一三) 】r i r 2 r 2 。 2 r l g ( b ) e 2 ( 1 “ 比较上面两式可知：欲证v ( x ) 在7 处一次连续可导，只须证明 a r 2 ( r 1 7 一n ) l f 2 9 1 r l r 2 华 南一 两囊丽 第二章带有分红过程的比例再保险最优控制模型之推广2 0 因此，”( z ) 在1 处一次连续可导 ( 4 ) u ( ) 在b 处是一次连续可导的 ”，( 6 一)= c l ? l e r l 6 c 2 r 2 e q d = 一燕t 1 e rxbt-盟r2(rl-r2)e，2b聊m 也9 ( r 1 9 ( 6 ) 5 一i 二i 十瓦u = 二- 五 = 9 ( 6 ) 而u ”+ ) = 9 ( 6 ) 显然成立，因此。，( 6 + ) = u ，( 6 一) ，即”( 。) 在b 处是一次 连续可导的 ( 5 ) v ( x ) 在，y 处是二次连续可导的 “( ，y 一) = l 口( a 1 ) 矿一2 ：蔫篝高出叫伊r l 【r 2 1 一d ) 吖 r 2 9 ( 6 ) e n ( t 一6 ) 口( d 一1 ) 7 n + ) = c l r 2 e r l l + c 2 r ；e “ = 一；j i ；：；：；：! ! l ! r 1 2 1 ) 丽er i e - 。+ t 2 ( t j i ! ：! ! - i r ! 1 2 1 ) e 而r i e r 2 1n ( r 1 一 1 6 ” 一 2 5 2 ：! ! ! ：丝盟i e r t ( ，一”一e r - ( ，一b r l r 2 孚 兰。 丽三掣 毒一 群! 第二章带有分红过程的比例再保险最优控制模型之推广 2 1 ：r l r 2 g ( b ) c r l ( 1 - b ) e ( r 2 1 ) ( 1 “) 一1 1 r l r 2 。 =竺婴一卜砷r2rlr 2r l ， -j ( r l + r 2 ) r 2 9 ( b ) e 7 l n 一砷 比较上面两式可知：欲证v ( x ) 在7 处二次连续可导，只须证明 n ( d 一1 ) r l ( r 2 7 一“) 7 下面证明式( 2 1 0 ) 成立 1 1 口) 1 者岳( 者岳一1 ) r - ( r 2 t 。2 + 2 f l l a 2 一尚) 趟知 ：二! 塑 r l ( r 2 # 一2 口、口2 2 ( 一n 号) ( 一学) 一r t m 一世产) 一2 ( 一孚) 一2 ：一r l r 2 9 ( b ) e t l ( 1 一b f e ( r - ) ( 1 “) 一1 1 r 1 一r 2 = 一垒! ! r 1 7 因此( 1 + ) = ”( ，y 一) ，故 ( z ) 在1 处是二次连续可导的 ( 6 ) ”( z ) 在6 处是二次连续可导的。 u ”( 6 一) = c l r 2 e r l 6 4 c 2 t 2 2 e ”2 6 = 一i 孟竺鲁渺水+ i 孟萼蜘圣哪 ：一r l r 2 g ( b ) + r l r 2 9 ( b ) ：o r 1 一t 2r l t 2 ( 2 1 0 ) 第二章带有分红过程的比例再保险最优控制模型之推广 2 2 而u ”( b + ) = 0 显然成立，因此u ”( b + ) = ”( b 一) ，即 ( z ) 在b 处是二次连 续可导的 3 式( 2 3 ) 显然成立 4 式( 2 4 ) 在( 4 ) 中已证成立 5 下面证明式( 2 5 ) ，即 ”( z ) 0 ，v z ( 0 ，o 。) ( a ) 当z ( o ，7 ) 时， ，( z ) = 。( 一1 ) z “一2 ，由于k = 砩，。( 。，一r 。1 ) ，7 - b ) 0 ，0 d = 万2 两3 a 2 1 ，因此有：u ”( z ) o ，v ( o ，1 ) ( b ) 当z h ，6 】时， ”( 茁)c i r c e ”1 2l c 2 t 2 e 2 2 一；j ：i i ；! ! ! ! r ；e r l 。十；i ；：；! 。r ；e r 2 2 1 1 ! ：! ：! ! 盟f e r 。( z 一6 ) 一矿，( z b 1 o r l r 2 ( c ) 当。( b ，o 。) 时，显然有v i i 忙) 茎0 - 由上可知：矿扛) 曼o ，v z ( 0 ，。) 6 下面证明式( 2 6 ) ( a ) 当( 0 ，7 ) 时， 譬。1 卅训垆俐：掣( n + 粥) 2 _ 嬲谁 而易见一誊裔= 一再岩品= 一器可= ；z 单增非负，且在7 处 有一誊移豫= 1 于是，当z ( o ，吖) 时，有o b 时 有：t a 2 a 2 u 7 7 ( z ) + p a y 扛) 一肋( z ) o 即当。 b 时，有 鼢 t 7 2 a 2 ”7 协) + p w 弘) 一肋( 圳= i o - 2 ”( 。) + 肛”协) 一肋( z ) 。 第二章带有分红过程的比例再保险最优控制模型之推广 2 5 因此，式【2 6 ) 成互 由上1 - 6 的分析可知：引理2 结论成立 定理21 若9 ( z ) ， ( z ) 如前所述，则对v x ( 0 ，o 。) ，w r n ，苻 v ( x ) u ( 。) 证明对比( o ，o o ) ，w r 1 1 ，取足够大的n 使n ：，令毋= i n f t 0 ，r ) ，由推广的i t o 公式可得： e 一口帮u ( 也( 。) ) 一 ( z ) = ，e 邓。 ；a 2 n ( 妒”( r ) 十n ( 亡) i z v ( r ) 一肋( 风) ) d 亡 + z 7 e 一口t ”( r 。) a 。( ) d i t j 一上7 。，e 一口t ”( j ) d l l + 2 7 , g - f i t 口( r c + ) 一u ( r t ) 一 ( r t ) ( 兄+ 一屁) ( 2 1 1 ) o 旦 母 其中，a 表示取最小值 由引理2 2 可知，式( 2 1 1 ) 中右端第一项不大于0 ，将右端最后一项 t a y l o r 展开，由( z ) 兰0 可知该项亦不大于o 故式( 2 1 1 ) 可变为： 。一一，) 一。( z ) ，e 棚”删d 姒一e 卅” t ) d 阢 ( 2 1 2 1 而矿8 一凤”7 ( r t ) a a ( t ) d w t 为平方可积鞅，故： e 【。e 1 u ( r t ) # a ( t ) d w t 卜0 对式( 2 1 2 ) 两端取期望，整理可得： ( z ) e g - 口母 ( r 帮) ) + f 4 e 一4 v ( r ) d 巩 ( 2 - 1 3 ) 第二章带有分红过程的比例再保险最优控制模型之推广2 6 ”( z ) e 一”( ，) 1 + z 。e 书g ( r ) d 阢