（水声工程专业论文）基于简正波理论的声场计算应用研究.pdf

a b s t r a c t t h eo c e a ns o u n df i e l di su s u a l l yd e s c r i b e db yp r e s s u r ef i e l da n dp a r t i c l e v e l o c i t yf i e l d w h i l ep r e s s u r ei sas c a l a rv a l u e ，p a r t i c l ev e l o c i t yi sa v e c t o ro n e ， w h i c hh a s b o t hi n t e n s i t ya n dp h a s ei n f o r m a t i o ns i m u l t a n e o u s l y w i t h t h e d e v e l o p m e n to fv e c t o rh y d r o p h o n et e c h n o l o g ya n d v e c t o rs i g n a lp r o c e s s m g t e c h n i q u e s ，r e s e a r c h e so np a r t i c l ev e l o c i t y f i e l dh a v es h o w nm o r ea n dm o r e a d v a n t a g e st h a nt h o s eo np r e s s u r ef i e l d s ot h em a i nw o r ko f t h i st h e s i sf o c u s e s o nt h en u m e r i c a lc a l c u l a t i o na n ds i m u l a t i o no fv e c t o rf i e l d n o r m a l m o d em o d e li sc h o s e nd u r i n gt h es o u n df i e l dc o m p u t a t i o n ，a n dt h e e i g e n v a l u e sa n de i g e n f u n c t i o n si n v o l v e da r ec a l c u l a t e db yt h ef i n i t e d i f f e r e n c e m e t h o d a c c o r d i n gt oe u l e re q u a t i o n ，p a r t i c l ev e l o c i t yc a nb ew o r k e do u tw i t h n u m e r i c a ld i f f e r e n t i a lo ft h ep r e s s u r e c a l c u l a t i o np r o g r a m sf o rt r a n s m i s s i o nl o s sa n dp h a s ed i f f e r e n c e a r e a c e o m p l i s h e dw i t hc o m p u t e r c o n s i d e r i n g u s e r sc o n v e n i e n c e ，g u i ( g r a p h i cu s e r i n t e r f a c e ) s o f t w a r ew i t h t h ep r o g r a mf o r e n a m e di si m p l e m e n t e db a s e d o n m a t l a bp l a t f o r m u s i n gt h es o f t w a r e ，s i m u l a t i o n sf o rs o u n df i e l da r ed o n e ， e s p e c i a l l yf o rt h ev e l o c i t yf i e l d ，w h i c hi n d i c a t eo b v i o u sc h a r a c t e r i s t i c so f n o r m a l m o d e s c a l c u l a t i o n so fs o u r c e c e n t e r e d ，c i r c l e d i s t r i b u t e dp o i n t sa r ed o n eu s i n g t h es o f t w a r e p h a s ef l i p sa n dp a s s - t h r o u g hc h a r a c t e r i s t i c sh i g h l yc o r r e s p o n dt o t h e o r i e sa n de x p e r i m e n t s ，w h i c hv a l i d a t et h ea l g o r i t h ma n ds i m u l a t i o nr o u t i n e s r a t i o n a l i t y a sa c t u a lo c e a ne n v i r o n m e n t sa r eu s u a l l yc o m p l e x ，s o u n df i e l d sw i t h s e as u r f a c er o u g h n e s s ，t y p i c a ls s p , l a y e r e dm e d i aa n da t t e n u a t i o na r ec a l c u l a t e d a j l di n n u e n c e so ft h e s ef a c t o r sa r ea n a l y z e dc o m p a r i n gw i t ht h ei d e a ls i n g l el a y e r s o u n df i e l d f i n a l l y , t h es o u n df i e l do fam o r ep r a c t i c a le n v i r o n m e n ti sc a l c u l a t e d u s i n gb o t ht h er o u t i n e sm e n t i o n e da b o v ea n dk r a k e nn o r m a lm o d e s ，a n dt h e r e s u l t sh a v eg o o dc o n s i s t e n c y k e yw o r d s ：n o r m a lm o d e s ；f i n i t e - d i f f e r e n c e ；v e c t o rf i e l d ；p h a s e 哈尔滨工程大学 学位论文原创性2 声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导 下，由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文 献等的引用已在文中指出，并与参考文献相对应。除文中 已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集 体已经公开发表的作品成果。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意 识到本声明的法律结果由本人承担。 作者。签瓤磕望 日 期：2 口d 9 年3 月6 日 哈尔滨丁程大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 立题意义 海洋覆盖了地球表面7 0 以上的面积，蕴藏着丰富的生物和矿物资源， 是人类实现可持续发展战略的重要领域，2 1 世纪的人类将更多地依靠海洋资 源。中国属于海洋国家，海域辽阔，海岸线长达1 8 万公里，资源丰富，海 洋开发是一件很有意义的事情。 迄今为止，在人们所熟知的各种能量形式中，以声波在水中的传播性能 为最优。声波作为海水介质中唯一有效远距离信息传递的载体，就成为研究 和探索海洋的主要工具。 作为近代声学的一个重要分支，水声学是二次世界大战期间发展起来的 综合性尖端技术科学，主要研究携带有某种信息的声波在水中的产生、传播 和接收，开发与运用声学方法来描绘水下概貌，借助海洋波导传递信息，或 者测量海洋特性。水声学包括水声物理和水声工程两部分，二者相辅相成。 前者是后者的理论依据；后者的发展和应用，又对前者提出新的内容和要求， 并为其研究提供新的手段，促进其发展n 1 。 水声工程包括水下声系统和水声技术两方面。军事方面，水声技术是潜 艇作战和反潜艇作战、水雷战和反水雷战中的关键技术；民用方面，二次大 战后，水声技术应用日益广泛，逐步发展形成了与军用并列的独立体系。考 虑现状，水声技术的作用越来越重要，世界各大国竞相发展。尽管水声设备 大量应用，但是研究声在海洋中的传播，是理解和预测所有水声现象的基础， 因此，水声物理的研究也在逐步深入。水声物理从水声场的物理特性分析出 发，研究海水介质及其边界( 海底、海面) 的声学特性和声波在海水中传播 时遵循的规律。由于海水介质的特殊性和海洋环境的复杂多变，声波在海洋 中的传播也都是复杂多变的。通过理论研究和实验，可以发现并总结水声场 所遵循的传播规律和机理，为水声设备合理选择参数提供依据。 声场兼有声压场和振速场，前者是标量场，后者是矢量场。联合讨论声 压和振速行为的声学称为“矢量声学”。百余年来，在水声学中几乎只关注标 哈尔滨工稃大学硕士学位论文 量场声压，而冷落了振速场。近2 0 年，振速传感器技术得到了飞速发展， 出现了工程应用的定型产品，矢量声学和矢量信号处理技术随之兴起吲。 本文主要基于海洋声传播的简正波模型，使用声场数值计算的有限差分 方法，完成声压场和振速矢量场的计算程序，可以考虑声波在海洋中的传播 受到海水、海底、海况、海深等条件的影响，对不同海洋环境中的声场进行 仿真计算，并开发出基于这些程序的g u i 声场计算软件。该计算软件可以在 海洋科学调研中对不同环境下声场进行预报，分析海洋声场传播规律，不仅 节省大量人力和物力，还可以为实测结果提供参考对比。 1 2 典型的声场计算方法 海洋环境条件复杂多变，声信号在海洋信道中的传递存在着强烈的畸变 和涨落。为了更好地掌握声信号在海洋信道中传播的规律，以便采取有效措 施改善和提高水声设备性能，2 0 世纪6 0 年代以后，随着计算机技术的发展， 人们对海洋中的声传播问题进行了广泛的研究，发展了多种分析计算方法。 1 2 1 波动方程 声振动满足运动方程、连续性方程和物态方程。理想流体介质中，这三 个方程可以分别表示为p 1 ： p = 忒p 鲁+ v ( 矽) = o d p = c 2 d p 其中，p 为声压，矿为质点振速，p 为介质密度， 示求梯席。 c 为声速，f 为时间，v 表 由以上三个方程可以导出波动方程。通常，建立声传播模型的公式从三 维波动方程入手，波动方程的具体形式随基本假设前提和具体应用场合的不 同而不n 。通常采用简化的与时间有关的双曲型二阶线性偏微分方程： v 2 p = 吉窘 m 2 ， 2 哈尔溟 二程大学硕士学位论文 其中，v 2 = ( a 2 苏2 ) + ( a 2 砂2 ) + ( a 2 钯2 ) 为拉普拉斯算子，其余各量同上。 对于与时间无关的赫姆霍兹( h e l m h o l t z ) 方程，对单频连续波引入谐和解， 即假定声压函数的解为： p = p e 一倒( 1 - 3 ) 式中，p 为与时间无关的声压函数，缈= 2 n f 为声源角频率，厂为声源频率。 此时，波动方程( 1 2 ) 简化成为与时间无关的( 或频域) 波动方程： v 2 p + k 2 p = 0 ( 1 4 ) 式中，k = o c = 2 n , q , 为波数，兄为波长。 在柱坐标中，波动方程( 1 4 ) 的具体形式为： 鲁+ 吾害+ 雾+ k ：( z ) p ：o ( 1 - 5 ) 务2，勿瑟2 、 方程( 1 5 ) 通常被称为简化的椭圆形波动方程州。 有很多理论方法适用于解赫姆霍兹( h e l m h o l t z ) 方程，具体使用哪种方法 依赖于对环境的具体几何假设和对p 的解的类型选取，简正波方法就是其中 的一种。 1 2 2 典型计算方法介绍 海洋中的声传播在数学上用波动方程描述，海洋环境用波动方程的参数 和边界条件描述，目前所发展的海洋声场计算方法胪1 ( 波动方程的计算机解 法) 主要有5 种：简正波( n m ) 算法，谱程序即“快速场程序 ( f f p ) 算法， 射线算法，抛物方程( p e ) 算法及全波动方程的直接有限差分( f - d ) 或有限元( f e ) 解。 下面，对几种声场计算方法做一下简单介绍。 l 、简正波算法 简正波解是波动方程精确的积分解，它用简正波( 特征函数) 来描述声 传播，每一个特征函数都是波动方程的一个解，把简正波迭加起来，以满足 边界条件和源条件，就得到简正波解。 简正波算法是浅海声场分析的一个重要手段，特别是考虑海底参数影响 时，它能完整地给出由海洋固有简正方式决定的声传播特性。简正波算法适 合分层介质中的点源声场，它忽略了各号简正波的相互作用和模型的连续谱 3 哈尔滨工程大学硕十学位论文 结构，频率越高，可传播的简正波的阶次也越高；频率越低，简正波就越少， 相应的计算量减少。 简正波理论是近年来发展比较快、研究者比较多的一种传播理论，目前 已有很多优良的计算程序，如m o d e l a b 1 、k r a k e n 等。但这种理论计算 速度比较慢。传统的简正波算法适用于低频、浅海和水平不变问题，对水平 变化相对缓慢的海区，可以用绝热简正波的方法解决。本文，正是采用简正 波方法进行声场计算。 2 、f f p ( 快速场) 算法 快速声场算法与简正波算法一样都是基于求解声场积分表达式，不同的 只是计算方法不同。简正波算法运用复变函数中的留数定理，利用围线积分 将声场无限积分形式表示成围线内有限极点留数和的形式来求解声场积分， 而f f p 算法是通过使用快速傅立叶变换( f f t ) 方法直接计算声场积分表达式 7 1 1 8 。与简正波算法相比，f f p 算法能够很好地预报近场情况下的声场，而简 正波算法在计算简正波模式时，忽略了近场的影响。 3 、射线算法 经典射线声学认为，声场的能量是由声线来传递的，从声源出发的声线 按一定的路径到达接收点，接收到的声能是所有到达声线的叠加结果。射线 算法利用这一观点，通过对本征声线的搜索，可以较快地计算出各条声线的 声强，从而计算传播损失。 射线算法是波动方程的高频近似解，计算速度快，物理意义明确，而且 能适应介质及边界的水平变化，但对低频及焦散区处理困难。一般认为，在 近距离范围内，采用射线理论是较为方便的，在远程，则采用简正波理论是 较为合适的。两种理论所适用的区域之间有一“衔接”距离，即，= h 2 五， 式中，日是海深，五是波长。 4 、抛物方程算法 抛物方程法( p e ) 最初是由h a r d i n 和t a p p e r t 于上世纪7 0 年代引入水声的 9 1 1 1 0 l 。抛物方程算法是用抛物型方程( p e ) 代替简化的椭圆型波动方程。抛物型 方程是在一定假设下推出来的，它假定声能的传播速度接近于一个参考速度， 根据适用场合的不同，参考速度可以是切变波速，也可以是压缩波速。抛物 型波动方程为： 4 哈尔滨工程大学硕士学位论文 孚t - 2 譬+ 尼；( 1 ) w ：0 ( 1 - 5 ) o zu r 其中，k 。为参考波数，为水平距离，z 为深度，刀为折射率，甲为，与z 的 函数。在初始场已知的情况下，通过“递推算法 可求得该方程的数值解。 由于p e 算法较易解决水平梯度问题，人们利用p e 方法来研究水声传播 的兴趣不断增长n 羽。p e 算法是波动方程的窄角近似解，近年来发展较快， 已出现了处理宽角、反向散射等问题的算法。p e 算法可以计算全场解，对于 低频问题的计算速度很快，但当频率增高、海深增加时，计算时间增加也很 快。 图1 1 海洋声场计算模型的层次 以上所有模型都允许海洋环境随深度变化。如图1 1 所示睁1 ，如环境与水 平距离无关，应基于谱技术( f f p ) 或简正波烈m ) 求解，但这两种模型也可推 广用于处理与距离有关( 海洋环境随水平距离变化，即斜坡海底或空变海洋) 的环境。射线解法、p e 解法和f d f e 解法都可直接用于与距离有关的环境。 在高频下( 几千赫以上) ，射线理论是最实用的方法，在低频时( 如l k h z 以 下) ，其它四种模型则越来越适用。各种模型各有所长，在使用时可以根据具 体问题选择合适的模型，以便声场能够最大限度地符合实际情况。 1 3 国内外研究现状 一战以来，在军事需求的推动下，水声技术的发展突飞猛进口1 。作为水 哈尔滨工程大学硕士学位论文 声技术的基本课题，水声传播理论的研究始终受到重视，各种水声理论也日 趋成熟。m e r k l i n g e r ( 1 9 8 7 年) 、l e e 等人( 1 9 9 0 年a - c ，1 9 9 3 年) 和l a u 等 人( 1 9 9 3 年) 记述了计算海洋声学的代表性进展。 近2 0 年来，计算机水声场建模主要发展了4 种算法：射线跟踪方法，简 正波方法，波数积分( 快速场) 方法和抛物方程方法，分别适用于不同频率 范围、环境特性和海底声学特性等。水声领域中，在射线理论不适用的影区 和焦散区附近，以及声波长与声速垂直梯度可比拟的低频情况使用简正波理 论。简正波方法在水声学中已使用多年了，1 9 4 8 年，p e k e r i s 发展了海水和沉 积物的两层模型”，w i l l i a m s 在一篇概述文章中给出了在简正波方法研究方 面取得的进展4 1 。上世纪7 0 年代后期，一些简正波模型被广泛应用于预报海 洋传播损失，但对特定声速剖面存在数值不稳定性，且不能计算完整模态序 列。8 0 年代起，m i c h a e lb p o r t e r 等人为了解决这些问题，发展了一种新的 算法构成k r a k e n 简正波建模的基础5 1 6 1 。随后，k r a k e n 被很大程度地扩展： 有效寻找特征值并计算特征函数；对分层弹性介质、不平整界面水平梯度、 非水平梯度和三维海洋环境等情况建模；精确计算损失，渗漏模态，对水平 梯度问题做绝热或耦合模态选择，计算倾斜或移位阵，外推法提高精度。其 中f i e l d 3 d 构成了w r a p 系统的核心，w r a p 扩展含噪声建模选项，据其 在3 d 环境预测基阵性能。k r a k e n 算法并入s n a p m l 模型中成为s u p e r s n a p 。 d r n a t a l i as i d i r o v s k a i a 编写基于简正波方法计算声压和传播损失的s w a m p ， 适用于连续波和脉冲传播，及单频球源和两层不同类型的底引。s t i c k l e r 于 1 9 7 5 年和b a r t b e r g e r 于1 9 7 8 年提出划分声速剖面的简正波模型，每层折射率 的平方近似为一条直线，介质密度近似常数，利用a i r y 函数表示声压场中深 度函数部分提高计算效率。s t i c k l e r 在19 7 5 年提出包括限制模式和连续模式 的模型，用快速有限差分法精确解出实数本征值。p r i m a c k 和g i l l b e r t 在1 9 9 1 年研究的所谓“楔形模式”是在楔形坐标系统下的固有简正模，模函数是圆弧 而非垂直线，楔形区域使用极坐标而非距离一深度坐标系。f a w c e t t 等人于 1 9 9 5 年提出了基于楔形模概念的有效耦合模方法，t i n d l e 和z h a n g 在1 9 9 7 年提出了对著名标准楔形问题的绝热简正波解。 现有的数值技术能够处理具有任意层数的液体层和粘弹性层的问题。简 正波理论是研究浅海声传播的重要方法，一般需知不同沉积层的密度、切变 6 哈尔滨工程大学硕+ 学位论文 波速和压缩波速。绝热简正波近似忽略不同模式之间能量交换，只考虑位相 变化，是处理弱水平变化海洋波导声传播问题的有效近似方法。对于强浅海 内波、锋面及陆架区等环境，绝热简正波近似难以成立，须考虑简正波耦合。 随脉冲声传播、浅海地声反演、匹配场定位等问题的深入，计算速度和精度 的要求越来越高，根据微扰理论计算复本征值和本征函数的传统简正波理论 在某些浅海条件下误差较大。中科院声学所的张仁和等人结合射线和简正波 的概念提出了波数位移射线简正波理论川，将边界对声场的影响通过等效边 界反射系数表示，推广到具有切变弹性的海底，计算精度较高、计算速度较 快，对于一般分层浅海声场的计算十分有效。 国内方面，声场预报研究尚未形成规模，哈尔滨工程大学、西北工业大 学、中科院声学所在这方面都有一定的研究。在哈尔滨工程大学，以惠俊英 教授为带头人的团队对声场建模与预报进行了比较深入的研究，王德俊、杨 娟等人对低频矢量声场进行了建模与应用研究脚删障习，范敏毅博士对多种典型 水文条件下的多途信道模型和点源噪声近程声场进行了仿真，以此为基础开 发的软件能够预报声纳作用距离和进行汇聚区检测，并已投入工程应用p 1 。 声学所北海站林建恒和声学所高天赋提出对分层介质远场噪声源采用远场简 正波近场射线的混合模型，消除近场简正波与远场射线模型的不适用性四1 。 声学所李凡利用不同简正波的群速度差异，从到达时间上将其分离，提取简 正波参数反演海底参刿2 5 1 。声学所陈耀明和高天赋证明了简正波分解快速迭 代算法的抗噪能力、环境参数失配时的适应性及检测和跟踪实际声源目标的 能力，是m m p 声源定位技术的基础胆碰2 7 1 。杭州海洋声学国家重点实验室赵航 芳等通过射线一简正波类比，利用简正波方法解决浅海混响问题并进行垂直 指向性简正波建模分析口引。海军潜艇学院张林将波数位移简正波理论用于计 算双轴海洋声道中的声场，进行分析和预报口9 1 。 1 4 论文主要内容 本论文将以简正波理论为基础，研究声压及质点振速的数值计算方法， 并设计基于该方法的声场计算软件。使用该软件对各种海洋环境下的声压场 和振速场进行仿真计算，研究其各项传播特性。具体内容包括： 1 对简正波模型，研究使用有限差分求解特征值和特征向量、并进一步 7 哈尔滨丁程大学硕士学位论文 计算声压的方法，和通过对声压场进行空间数值微分计算振速各分量的方法。 2 对上述数值计算方法编程实现，并设计基于m a t l a b 工作平台的声场 计算软件，并实现软件的用户界面设计。 3 使用该声场计算软件仿真各种海洋环境条件下的声场，研究其声压场 和振速矢量场的各项传播特性，及声源频率和各种环境条件对声场特性的影 响。 8 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第2 章简正波声场及数值计算方法 在水声学中，经常使用两种方法来研究水下声场的传播问题，即波动理 论和射线理论。所谓波动理论，就是求满足定解条件的波动方程的解。简正 波理论就是求解波动方程精确积分解的波动理论，它用简正波( 特征函数) 来描述声传播，每一个特征函数都是波动方程的一个解，将简正波迭加起来， 满足边界条件和声源条件，即可得到简正波解。 2 1 声场数学推导 2 1 1 声压场 对于波动方程，计算分层声学介质( 声速和密度只与深度有关，与水平 距离无关) 中的一个各向同性点源产生的声压场，如图2 1 所示。在每一层 中，解由声学波动方程决定： v e 即卜南窘一掣 弘， 式中，尸( ，z ，f ) 为关于深度z 、水平距离尸和时间f 的声压函数，j ( f ) 为各向 同性点源，p ( z ) 为密度，c ( z ) 为声速，乙为声源深度。 z 图2 1 与距离无关的声场环境示意图 9 假定表面是一个声压自由边界，在足够大的深度d ，边界可以是绝对刚 性的，即对任意时刻有： e ( r ，0 ，f ) = 0 ( 2 2 ) ( ，d ，t ) = 0 ( 2 3 ) 考虑声源是单一频率的，则声源的时间级数形式为： j ( r ) = e 砌 ( 2 - 4 ) 声源激发的声压场有相同的时间谐波因子，可表示为： p ( r ，z ，f ) = p ( r ，z ) e 一酬 ( 2 - 5 ) 式中，p ( r ，z ) 为只关于深度z 和水平距离，的声压函数。代入波动方程式 ( 2 1 ) ，得到二维赫姆霍兹( h e l m h o l t z ) 方程，即简化的波动方程： 斟考) 叫二) 昙( 南卦雨0 ) 2p = 掣比) ( 2 固 将源移走，利用分离变量法，方程解的形式为p ( r ，z ) = z ( z ) r ( ，) ，代入式 ( 2 6 ) ，可得： 币li l 硝d ( 耕如z ，毫卦南z 卜 p 7 ， 两个方括号中的内容分别是，和z 的函数，方程得到满足的唯一方法是每一 部分都等于一个常量。用砰表示这一分离常量，得以下模式方程： 比) 妄( 南卦( 尘c 2 ( z ) 一砖弦= 。 ， 此时，边界条件式( 2 2 ) 、( 2 3 ) 也可以写成： z ( o ) = 0 ( 2 - 9 ) 等( d ) = 0 ( 2 1 0 ) 此模式方程是经典的s t u r m l i o u v i l l e 特征值问题，假定夕( z ) 和c ( z ) 是实 函数，其特征大致概括如下： 1 模式方程有一系列、无数个类似于振动弦模态的简正波解； 2 简正波描述： 简正波函数z m ( _ z ) 1 0 哈尔浜 ：程大学硕士学位论文 水平传播常数k ，类似于振动频率，各不相同，磅是实数， 且按碍 磅 降序排列 z 卅( z ) 是特征函数，k 或礁是特征值 第朋阶简正波在区间 o ，d 】内有历个零点 k c o c m i n ，；。是所涉及的最低声速 3 各阶简正波是正交的，即： c 9 型奖掣龙_ o ，垅刀( 2 - 1 1 ) 南p f z l ” 由式( 2 - 8 ) 容易看出，对于成倍数关系的不同的分离常量，模式方程的解 是不确定的。为简化结果，进行简正波归一化，即对每一阶简正波有： r 猫矧 ( 2 - 1 2 ) 在这种比例缩放下，所有阶简正波构成了一个标准正交集，这个集合是完备 的，可以将任意一个函数表示成各阶简正波之和。由此，声压可以表示成： p ( r ，z ) = g m ( r ) z m ( z ) ( 2 - 1 3 ) 将其代入式( 2 6 ) ，可得： 弗昙( ，掣州氧南掣) 南刊) = 一掣掣 ( 2 一1 4 ) 由模式方程( 2 8 ) 进一步简化，可得： 薹麒厂掣船) + k m 2 r m ( 忆i - 掣p 对方程( 2 1 5 ) 运用算子 驭o ，雨z o ) 龙 ( 2 - 1 6 ) 由式( 2 1 1 ) 给出的正交性，求和式中只有第n 项仍然存在，从而得到： 埘掣) + 酬沪掣辫 p 这是一个标准方程，其解由h a n k e l 函数给出： 哈尔滨工稃大学硕十学位论文 r ( r ) 2 南乙( 乙) ( k ，) ( 2 - 1 8 ) 威1 ) 或穰2 的选择由辐射条件决定。由式( 2 5 ) 知，此处时间因子设定为p 一枷， 故将k 选择位于右半平面，并采用第一类h a n k e l 函数。 综上所述，可得： p ( 厂，z ) 2 而i 善乙( 乞) 乙( z ) 磁d ( k r ) ( 2 - 1 9 ) 考虑h a n k e l 函数的渐进近似表达式 3 0 1 ： 珊) 雁p 悖一刳 ( 2 _ 2 。) 可得： 。 p ( ，z ) 赤p 一刚著乙( ) 乙( z 石e “e m i ( 2 - 2 1 ) ； ” 补充省略的时间因子p 叫耐，声压函数尸( ，z ，f ) 表示为： 尸( ，扬f ) 2 碉i 蚤o o 乙( 乙) 乙( z ) 穰d ( _ ，户一倒 ( 2 2 2 ) 或有近似表达式： 尸( ，石，) 习丽ie 一刚薹c o 乙( 乞) 乙( z ) 杀一倒( 2 _ 2 3 ) 2 1 2 质点振速场 理想流体介质中声矢量场涵盖质点位移庇一枷、振速记一蒯、加速度动一枷 及压力梯度v p e 砌7 等，它们与声压场一同构成广义的声场。对于谐和声场， 上述各物理量之间有常数关系，不失一般性，此处研究质点振速讫砌的计算。 。 声场中的质点振速与声压通过尤拉方程相联系： 讫一= 一_ = 1 ，i v p ( ，z ，f ) 衍 ( 2 2 4 ) 在上述条件下，声压函数尸( ，z ，f ) = p ( r ，z ) p 一耐如式( 2 2 2 ) 或( 2 2 3 ) 所示， 则声场中的质点振谏为： 1 2 哈尔滨 _ 程大学硕士学位论文 诩一胁= v p ( r , z ) e 一栅 z 口国 亦可省略时间因子g 一柳表示为： 矿= 去跏( 哪) 在不同坐标系中，振速各分量分别为p 1 1 ： 1 劾1 劾1 劫 屹。_ 搴，v y2 - ，屹2 _ l p 呶l p c oo yl p d z 1 却 11a p11 a p _2丽2历7嘉2面一rsinopm o r p os l n 亩 llrd 9 l p 国o 1 却 118 p1 却 驴面亩2 面7 高屹2 面言 类似地，加速度沈砌与振速记一枷之间有微分关系： 舀e - i o , t ：尘型：砌讫枷 ( 2 - 3 0 ) a t 位移庇枷与振速讫砌之间有积分关系： 庇一柳：f f 讫一砌r d f ：f v e - 1 0 4 t ( 2 - 31 ) 。 国 - - 0 0 由此便可计算出各种矢量声场，进而可以根据各参量研究声场的性质p 2 1 。 2 2 参量计算 2 2 1 传播损失 声波在海洋中的衰减最小，但是，由于介质本身的吸收、声传播过程中 波阵面的扩展及海水中各种不均匀性的散射等原因，声波在传播过程中，声 传播方向上的声强度将会减弱。 在水声学中，声场习惯用传播损失儿表示，它定量地描述了声波传播一 定距离后声强度的衰减变化，它定义为声场中某一点的声强，( r ，z ) 与距离声 源1 m 处的声强厶之比，以分贝为单位，即： 1 3 、，、，、，、，、， 5 6 7 8 9 2 2 2 2 2 - - - - - q q q q q 哈尔滨工程大学硕士学位论文 t l ：一l o l g 业型 陀3 2 ) o 、 式中，( 厂，z ) 是单个点声源在，点产生的声强，厶是同一点源在无限大均匀 介质中距离声源l m 处产生的声强。此式定义的传播损失t l 值总为正数。 对于平面波，声强正比于声压幅度的平方，因此儿也可表示为： t l = _ i o l g l ( r 。 z ) = _ 2 。l g ( 2 - 3 3 ) 式中，p o ( r = 1 ) 是距离声源中心l m 处的声压，p ( r ，z ) 是距离声源，处的声 压。对于有界的介质，由于存在边界混响场，p o ( ，) 一般不同于实际声压， 在推导或比较数值算法时，应该想到这一特定规范。 ( a ) 球面扩展 一 ji - 一 - 一 - 一 一 卜 i 、 r 一 ， 一 一 一 一 一 卜 1 r ( b ) 柱面扩展 图2 2 几何扩展规律 传播损失是几何扩展损失与衰减损失之和，水声学中主要有两种几何扩 展规律，如图2 2 所示。考虑无界均匀介质中点源，若介质是无损的，则球 面扩展损失为： 。 儿= 2 0 1 9 r( 2 - 3 4 ) 若介质像波导那样具有平坦的上下边界，远场声强随水平距离的变化与半径 为，高度为d 的圆柱的表面积成反比，则柱面扩展损失为： t l = 1 0 1 9 r( 2 3 5 ) 对于声场计算结果，通常不绘制复声压场，而是绘制传播损失。 1 4 哈尔滨工程大学硕七学位论文 = 嘉是自由空间中点源的声压，对于式( 2 2 1 ) 所表示的声压函数，可 得： 儿z ) - 2 0 l o g b 魔刊孙) 剖 6 ) 在某些情况下，计算非相干传播损失是十分有用晶，它可以定义为： 嘶纠一崦南停 ( 2 - 3 7 ) 2 2 2 相位特性 矢量场中，振速哥( 省略时间因子) 在x 、y 、z 轴上分量匕、b 、屹可 以分别表示为： 睡蓦豸： ( 2 - 3 8 ) 如图2 3 所示。 图2 3 振速矿在x 、y 、z 轴上的分量 由式( 2 3 8 ) 可知，质点的声压和振速哥的三个正交分量匕、b 、屹相位差纹， 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 吼，纪在如图2 4 所示的矢量坐标系中，与角度坐标有如下关系p 4 1 ： 10 ， 2 7 0 。 曰 9 0 。，q u a d r a n t ：1 ，3 ，5 ，7 ” l 万，9 0 。 秒 2 7 0 。q u a d r a n t ：2 ，4 ，6 ，8 。i o ， o 。 护 1 8 0 。， q u a d r a n t ：1 ，2 ，5 ，6 矽= 。 u 【万，1 8 0 。 臼 3 6 0 。，q u a d r a n t ：3 ，4 ，7 ，8 ( 2 3 9 ) 。f o ，0 。 矽 9 0 。， q u a d r a n t ：1 ，2 ，3 ，4 够= 。 。 【万，9 0 9 矽 1 8 0 。，q u a d r a n t ：5 ，6 ，7 ，8 进行声场计算时，如果目标位置所在象限发生满足上述条件变化，声压 与振速分量的相位差会发生从0 到万，或从7 到o 的跳变。 z 、 ，r少? 四象胆 二象限 f| l 、 一z 、 十 了少、 八象限 七象限 fl 一 图2 4 矢量坐标系象限空间分布示意图 矢量声场的一个重要特征就是它在相位上的可利用性，因为质点的声压 和质点振速哥( 或质点振动加速度) 的三个正交分量在相位上的差异，必然 是由介质中声场的特性所引起的。因而，分析相位特性去研究海洋声场规律， 正是矢量声场的优势所在。 2 3 声场数值计算 在简正波理论的声场计算中，要想得到声压，由式( 2 2 2 ) 可知，需要确定 特征值k 或礁和特征函数乙( z ) 的值，但实际上往往只能求得一定近似条 件下的形式解或数值解。下面将介绍用有限差分求解简正波数值解的方法瞪1 。 1 6 哈尔滨工程大学硕士学位论文 2 3 1 有限差分声场计算 对海洋信道，海面的深度坐标为0 ，海底为d ，如图2 5 所示，将区间 o z d 等分成n 4 l u - j n ，构成等间隔点乃= 乃( ，= o ，1 ，n ) 网格，其中 h = d n 为网格宽度。需要注意的是，数目应选择得足够大，保证对模式 有充分的抽样，通常每个波长取1 0 个点就足够了。 z o 。 z l z 2 工 z n 1 。 z n z = d 假定密度是常数，用符号乙= z ( 乃) 表示特征函数，此时，模式方程( 2 8 ) 可表示为： z - + 者啦阄 p 4 。， 其中，砰是水平波数，撇号表示对于z 的导数。 依照推导有限差分方程的标准方法，利用泰勒级数展开可得： g j + l = g j + z j h + z f ”吲1 争一( 2 - 4 1 ) 重新排列式( 2 二4 1 ) 各项，可以得到一阶导数的前向差分近似式： 驴竿叫( 2 - 4 2 ) 因此，一阶导数的d ( 乃) 近似式为： 弘罕( 2 - 4 3 ) 1 7 哈尔滨丁程大学硕士学位论文 利用模式方程计算前向差分近似式的第二项可以获得改进的近似式，这就是 代入： z t t 一呙( 0 2 一斗 亿4 4 ， 由此产生d ( 办2 ) 近似式为： 弘罕+ 南一水宝 叫5 ， 类似地，从以下泰勒级数出发，可以获得反向差分近似式： 。z j - i = z j z j 饥乙”万h 2 一乙m 等+ - ( 2 - 4 6 ) 由此产生的d ( 办j 近似式和d ( 乃2 ) 近似式分别为： 弘华( 2 - 4 7 ) 弘华一l 南一砰忙 最后，将式( 2 4 5 ) f f l ( 2 4 8 ) 相减，得到二阶导数的中心差分近似式： v = 廷等生+ 。( 办2 ) ( 2 - 4 9 ) 利用这些有限差分近似式，进而可以用离散的模拟量代替连续问题中的导数。 模式方程和边界条件的连续问题如前所述： z t t + 雨( 0 2 一巾阄 5 们 z ( o ) = o ( 2 5 1 ) d 船z d ) = o ( 2 - 5 2 ) 1 8 哈尔滨工程大学硕士学位论文 叫叫南一啦训驴b 一肛彤， z o = 0( 2 5 4 ) 弛h _ ( 南c 2 叫z 堑2 。 ( 2 - 5 5 ) l ( z ) “7 j 刊 。 p 整理可得： 叫讲为卜孙炉川，。陋5 7 ， z o = 0 ( 2 - 5 8 ) 2 + _ 2 + 磊卜炉砰乙 陋5 9 ， 对自由表面z = 0 有z o = 0 ，因此可以不考虑这一层的情况。于是，将这 些差分方程集中到一起就得到以下形式的代数特征值问题p 5 1 ： a z = h 2 k ；z ( 2 6 0 ) a = q 1 1 a 2 1 1 a 3 1 11 a n 一1 1 2 a n ( 2 6 1 ) 是三对角矩阵，a j = - 2 + * ，= 1 ，z 是列向量，其元素为： 矿【乃j z l ，z 2 ，z 书z ，这些元素是方程( 2 4 0 ) 在网格点上特征函数的近似值。 求解出上述式( 2 6 0 ) 1 拘代数特征值问题，便可得到特征值和特征函数，代 入声压函数表达式( 2 2 2 ) 或( 2 2 3 ) ，便可求出所要计算的海洋声场声压值。 1 9 哈尔演丁程大学硕士学何论文 2 3 2 界面处理 海洋声学问题常常包含声速或密度的不连续性，例如从海水转到沉积层， 或转到海底就存在不连续性。处理这类不连续问题时可以把问题分成若干层， 在一层内使介质特性平滑变化，前面所述的有限差分方程仍然适用，在界面 处导出一种附加条件把各个层的解联系到一起。 考虑一个简单的两层界面，上层海水，深度为d ，下层沉积层海底。在 每一层内构成独立的有限差分网格，海水介质和沉积层介质中的网格宽度分 别为玩，和办。，如图2 6 所示。 z o 。 z l z 2 - - - - z n - i 。 z n 砀l 图2 6 包含一个界面的有限差分网格 在海水介质中，模式方程式( 2 8 ) 的有限差分近似式为： 叫州 南一啦驴b 一肛也， 在沉积层中，模式方程的有限差分近似式为： 叫州 南一啦训庐m ，p 6 3 ， 在界面z = 知= d 处，z 值除了须要满足压力连续条件外，还必须满足 法向速度连续的条件，即： 2 0 哈尔滨丁程大学硕士学传论文 d z ( d ) a z ：d z ( d ) d z 陀一6 4 ) = 一 i 一n 4 l p。ps 其中，成和肛分别是海水和沉积层的介质密度。 利用海水的反向差分公式和海底的正向差分公式，这一界面条件可近似 表示为： 芽乙+ 南一砰j 7 忽 厶，、 z ( 2 - 6 5 ) 其中，c ( d 士) 是从z d ( d + ) 逼近界面时的极限声速值。重新 安排( 2 6 5 ) 式可得： z n - i + 二圣： 竺z ! ：! 竺：! 二竺 圣笠垒 兰土丝竺! 笺丝+ 纽：。 ( 2 - 6 6 ) + 二圣： 坐二竺 圣丝+ 纽一。 卜“7 h s p sh s p s + _ ( + 酱h 高+ 鲁矧 z + 鲁= 盟筹蚴砰磊 ( 2 6 7 ) 对于式( 2 6 7 ) ，如果h w = 唿，风= 肛，且c ( z ) 是连续的，就可以得到非界面 点的有限差分公式。 若在对介质进行有限差分时设定九= = h ，则式( 2 6 7 ) 可以简化为： 玛一l + 麟z + 厂丝z + 。= 办2 碍乙( 2 6 8 ) 鼽厂2 惫_ 一( + 针i 2 p f , _ h ( 2 。颤力2 了+ 万p w 羽h 2 c u 2 。 此时，式( 2 - 6 8 ) 的代数特征值问题便可以表示为p 6 1 ： a ”o z = 庇2 砖z( 2 。6 9 ) 2 1 哈尔演工稃大学硕士学位论文 其中，a m 甜= q = 之+ 焉h m ，三，三是水层和沉积层帆总早数。 在对多界面问题中，可以对其中的每个界面重复这一过程，由此可以得 到矩阵特征值问题，与单层的情况一样。 2 3 3 简正波归一化 在前文计算声压时，需要进行简正波归一化，归一化常数是： 虬= r 搿出 ( 2 - 7 。) 数值计算中，此积分项用梯形法则计算，即： r 搿出号( 扣m + 嘛+ 吉九) 舯“2 南。 在密度不连续问题中，可在每个密度平滑区域内分别使用梯形法则。 234 矢量声场数值计算 声压函数尸( ，z ，f ) = p ( ，z ) p 一槲根据前面数值计算得到，并非解析式，所 以哥也不能显式表出，但可以由p ( r ，z ) 的数值微分进行计算口2 1 ： ， 吼 。 让2 “ 1 口： 风一岛。 ， 。廊厂 11 ， 呸 嘶