（计算数学专业论文）对于微磁模拟的二阶gaussseidel方法.pdf

摘要 摘要 近几年来，磁动力学成为科学技术研究的一个热门课题，而它在开关转 换异常以及磁记忆工业中都有非常重要的应用在微磁动力学的研究中， 对l a n d a u l i f s h i t z 方程的数值模拟最为广泛，而数值模拟中的一个主要困难 就是数值方法对时间步长的限制为解决这种困难，文献【4 】中引入了g a u s s s e i d e l 技术，得到了一维无阻尼的l a n d a u l i f s h i t z 方程的显式欧拉，显g a u s s - s e i d e l 和隐g a u s s s e i d e l 三种格式，数值计算表明：g a u s s s e i d e l 技术能较好的改 善l a n d a u l i f s h i t z 方程的数值模拟结果但是文献【4 】中所给的三个格式在时间 方向上都只有一阶精度，这与格式在空间上的二阶精度不匹配，而且这三个格 式都不具有方程的对称性 本文在文献【4 】研究的基础上，详细研究了l a n d a u l i f s h i t z 方程的局部保 结构性质，并利用保结构算法的基本理论和技巧进一步研究一维无阻尼 的l a n d a u l i f s h i t z 方程，得到了时问和空间都是二阶精度的g a u s s s e i d e l 型格式 首先利用伴随方法得n g a u s s s e i d e l 型的伴随格式，然后将伴随格式和原格式 进行复合，得到三个新的数值格式，通过误差分析我们可以证明这些格式是时 间方向上二阶精度的，并且是对称的此外，本文还提出将s o r 思想运用到一维 无阻尼的l a n d a u l i f s h i t z 方程上，并利用复合伴随的手段得到该方程的二阶数 值格式 最后我们将通过数值算例，将二阶精度的数值格式与一阶精度的格式在 稳定性和精度上进行对比 关键词微磁模拟，l a n d a u l i f s h i t z 方程，二阶g a u s s s e i d e l 格式，s o r 方法 a b s t r a c t a b s t r a c t r e c e n t l y , t h ed y n a m i c so fm a g n e t i z a t i o nb e c o m e sa ni n t e r e s t i n gs u b j e c ti ns c i e n t i t l ea n d t e c h n o l o g y t h em i c r o m a g n e t i ct e c h n o l o g yp l a y sa ni m p o r t a n tr o l eb o t hi n t h ea p p l i c a t i o n so fs w i t c h i n ga n o m a l yp r o b l e m sa n dt h ei n d u s t r yo fm a g n e t i cm e r e - o r y i nt h es t u d yo fm i c r o m a g n e t i c sd y n a m i c s ，n u m e r i c a ls i m u l a t i o n so ft h el a n d a u - l i f s h i t ze q u a t i o na r em o s tw i d e l yu s e d am a i nd i f f i c u l t yi st h es e v e r ec o n s t r a i n t o ft i m e - s t e pi n t r o d u c e db yt h en u m e r i c a lm e t h o d st os i m u l a t et h el a n d a u l i f s h i t z e q u a t i o n i no r d e rt oo v e r c o m et h ed i f f i c u l t y , t h ea u t h o r so fr e f e r e n c e 【4 】p r o p o s e da g a u s s - s e i d e lt e c h n i q u e t h e yd e r i v e dt h r e es c h e m e sf o rt h eo n e d i m e n s i o n a ll a n d a u l i f s h i t ze q u a t i o nw i t hn od a m p i n g ，i e f o r w a r de u l e rs c h e m e ，e x p l i c i tg a u s s - s e i d e l s c h e m ea n di m p l i c i tg a u s s s e i d e ls c h e m e n u m e r i c a lr e s u l t ss h o w st h a t ，t h eg a u s s s e i d e lt e c h n i q u ec a ni m p r o v et h ep e r f o r m a n c eo fn u m e r i c a ls c h e m e s h o w e v e r , t h e t h r e es c h e m e so fr e f e r e n c e 【4 】a r ej u s tf i r s t - o r d e ra c c u r a t ei nt e m p o r a ld i r e c t i o n ，a n d t h e ya r en o ts y m m e t r i ca st h ee q u a t i o n b a s e do nt h er e s e a r c ho fr e f e r e n c e 【4 】，t h i st h e s i si n v e s t i g a t e st h el o c a is t r u c t u r e - p r e s e r v i n gp r o p e r t yo ft h el a n d a u l i f s h i t ze q u a t i o n ，a n dc o n s t r u c t st h r e es e c o n d - o r d e ra c c u r a t es c h e m e sb o t hi nt e m p o r a la n ds p a t i a ld i r e c t i o n sb yu s i n gt h ef e a t u r e o fs t r u c t u r e - p r e s e r v i n ga l g o r i t h m s f i r s tu s i n gt h ea d j o i n tm e t h o d ，w eg e tt h r e ea d j o i n ts c h e m e sf o rt h eo n e d i m e n s i o n a ll a n d a u l i f s h i t ze q u a t i o nw i t hn od a m p i n g t h e nc o m b i n i n gt h eo r i g i n a ls c h e m e sa n dt h e i ra d j o i n tw i t hh a l v e ds t e ps i z e s ，w e o b t a i nt h r e en e ws c h e m e s e r r o ra n a l y s i ss h o w st h a tt h e s en e ws c h e m e sa r es e c o n d - o r d e ra c c u r a t ei nt e m p o r a ld i r e c t i o n w ea l s oa p p l yt h es o rm e t h o dt ot h eo n e - d i m e n s i o n a ll a n d a u l i f s h i t ze q u a t i o nw i t hn od a m p i n g ，a n dd e r i v eas e c o n d - o r d e r a c c u r a t es c h e m eb yt h ec o m p o s i t i o nm e t h o da n da d j o i n tm e t h o d f i n a l l ys o m en u - m e r i c a lr e s u l t so fs e c o n d - o r d e ra c c u r a t es c h e m e sa r e p r e s e n t e d ，a n dw ec o m p a r et h e m w i t ht h en u m e r i c a lr e s u l t so ft h ef i r s t - o r d e ra c c u r a t es c h e m e si ns t a b i l i t ya n da c c u r a c y k e y w o r d sm i c r o m a g n e t i c ss i m u l a t i o n s ，l a n d a u l i f s h i t ze q u a t i o n ，s e c o n d - o r d e r g a u s s s e i d e ls c h e m e s o rm e t h o d 一i v 绪论 绪论 近些年来，磁动力学成为科研技术观点中的一个热门话题随着电子计算 机技术的迅猛发展，微磁模拟技术在磁动力学的地位愈发的显得重要，例如在 纳米技术中，利用微磁模拟手段研究不同形状参量的合金纳米线上的反磁化 机制：在磁转化异常问题中，利用对l a n d a u l i f s h i t z 返程的数值模拟，通过微磁 模拟技术研究磁滞回线与剩磁线的对比解出涡核；此外通过微磁模拟的手段 还可以在常温下对电化学沉淀法制备出呈圆柱形的铁钠米线的磁行为进行系 统的研究等等 在微磁动力学的研究中，对l a n d a u l i f s h i t z 方程的数值模拟最为广泛，在 本文中我们主要讨论对l a n d a u l i f s h i t z 方程( 简称l l e ) 数值格式的改进，一般 u 正形如： m t = 一，y m 日一焉m ( m 日) ， ( o o 1 ) 这里m = ( m 1 ，m 2 ，m 3 ) t g 关t ( x ，y z ，t ) 的未知函数，尥= i m i 代表磁饱和度， 通常设为远小于居里温度的常数等式右端第一项代表转磁项，y 代表转磁率； 第二项是阻尼项，o 为无维阻尼系数日是由l a n d a u l i f s h i t z 方程的能量泛函 得到的局部场，即 日= 一篇， ( o 0 2 ) f = 三z 西( 兹) + 畚l v m l 2 _ 2 # 0 巩m 如+ 譬上。l v u l 2 d z ( 。o 3 ) 其中，a 是一交换常数，孵at v m l 2 表示磁旋转中交换的能量，垂( 砺m ) 代表 各项异性物质的能量，p o 是真空渗透率，一2 肋也m 代表外应用场的能量， q 代表物质所占据的体积，警矗。i v u l 2 d x 是磁物质内部诱导场产生的能量， 绪论 风= 一v 纱代表诱导场，满足 u = 了m三主：。o 4 ， 及跳跃条件： 【u o a = 0 丽o u k = 一m u 在( 0 0 6 ) 中令 v l o a 代表u 在边界q 上的跳跃，即 v l o a ( z ) _ 灿l i 胙m 泓v ( ) _ 可躲q u ( 秒) 方程( 0 0 4 ) 式在边值条件( o 0 5 ) 和( o 0 6 ) 下的解为： ( o 0 5 ) ( o 0 6 ) v ) = v 上v m 刊m ( 州y ， ( o 0 7 ) 其中( z ) = 一_ j k 是牛顿位势 。4 7 ri x l 在近几年对l a n d a u l i f s h i t z 方程的数值模拟发展迅速，越来越多的数值方 法被提出，并得到了很好的数值计算结果其中j a s o nf r a n k 和黄伟章等人 5 】利 用几何数值积分的方法和哈密顿分裂的技巧，构造出红黑格式在保证磁旋长 不变的情况下，处理一维和二维l a n d a u l i f s h i t z 方程时，与显r u n g e k u t t a 格式、 投影的r u n g e k u t t a 以及隐中点格式在精确度、不变量是否守恒和计算代价上 进行对比，其结果显示：这种红黑格式是更高效、更稳定、更精确的数值格 式 一般地，对于处理l a n d a u l i f s h i t z 方程数值方法得到的都是一阶精度的数 值格式，二阶数值格式并不多见鄂维南和王筱平【4 】在空间方向上的离散运用 了有限差分，时间方向上引入了一种新的投影法，对于处理l a n d a u l i f s h i t z 方程 十分有效当然也可以构造一些二阶精度的投影方法，但大部分工作都是在时 间方向上的一阶的数值格式，对于构造更高阶的数值格式的工作还非常少此 一2 一 绪论 外，通过对于l a n d a u l i f s h i t z 中的阻尼参数进行了一个微小的矫正，可以使得数 值结果更为稳定和精确，c a r l o sj g a r c i a c e r v e r a 等人在 1 8 1 文中利用了边界矫 正算法也很大程度上改善了微磁模拟中的数值结果 由于转磁项和阻尼项的强非线性性，对系统进行直接的离散并不高效且 很难实现为了避开这个不必要的困难，所以我们只保留交换项在( 0 0 2 ) 中，这 时h = a m ( 这里为便于书写将m 替换为m ) ，( o 0 1 ) 式变为： m t = 一m a m m ( m m ) ， ( 0 0 8 ) 当仅保留阻尼项时，( 0 0 8 ) 式变为： m = 一m ( m a m ) = a m + i m 1 2 m ( o 0 9 ) 对于( 0 0 8 ) 式，文献【4 】已经得到了一个稳定的数值格式，并且这个数值格式允 许我们在较大步长下进行计算 在本文中主要研究仅带有转磁项的l a n d a u l i f s h i t z 方程： r a t2 一m m ( o 0 1 0 ) 方程( 0 0 1 ) 中磁旋项是一守恒量而阻尼项是耗散的，鄂维南和王筱平引 入了前欧拉、显g a u s s s e i d e l 和隐g a u s s s e i d e l 三种数值格式，其中前欧拉和 显g a u s s s e i d e l 格式对时间步长有一定的限制但是隐g a u s s s e i d e l 格式是无条 件稳定的，并且是高效的后来金石【5 】【6 】 7 【8 】等人的数值试验结果同样验证 了这种方法的实用性但是这三种数值格式都时间方向上一阶精度的，且不具 有方程的对称性质 本文在王筱平等人的研究基础上，在保证数值格式的稳定性的前提下，得 到了三个在时间和空间方向都是二阶精度的g a u s s s e i d e l 型格式上个世纪九 十年代，y o s h i d a 1 2 等人提出了在保持原数值方法性质的前提下，复合两种或 者两种以上的低阶数值方法，可以得到更高阶的数值方法本文在这种方法 的启发下，处理一维无阻尼的l a n d a u l i f s h i t z 方程时，利用伴随法和复合法的结 合将时间方向上一阶精度的g a u s s s e i d e l 格式提高为二阶但是对于全l a n d a u l i f s h i t z 方程的二阶数值格式仍未得到，其主要困难在于方程比较复杂，精确解 不易解出，离散后计算量巨大，所以本文基于以上原因未对全l a n d a u l i f s h i t z 方 绪论 程进行数值模拟尝试本论文的内容安排如下： 第一章中首先对保结构算法中的一些知识概念进行回顾，详细研究 了l a n d a u l i f s h i t z 方程的局部保结构性质，得至u l a n d a u l i f s h i t z 方程的哈密顿结 构形式，并证明其保能量和保动量的性质；然后引入了复合法和伴随法 第二章中首先利用【1 9 】的分步方法得到的一个中间步骤，构造出隐 式的g a u s s s e i d e l 格式然后利用保结构算法中的基本理论得到一维无阻 尼l a n d a u l i f s h i t z 方程的伴随格式，将伴随格式与原g a u s s s e i d e l 型数值格式进 行复合，得到三个时间方向上二阶精度的数值格式此外将s o r 思想应用到一 维无阻尼l a n d a u l i f s h i t z 方程上，得到s o r 型数值格式，并通过复合伴随的手段 得到二阶精度的s o r 型数值格式 第三章在与一阶方法进行数值结果的比较，结果可以证明我们得到的二 阶格式是一个更稳定、更精确的数值格式 第四章是作者对本文的小结与展望 一4 一 第1 章保结构算法理论 第1 章保结构算法理论 在数值方法应尽可能保持原问题的本质特性的指导原则下，冯康【l 】首先 独立于西方学者提出了保结构算法的思想，他和他的研究小组在h a m i l t o n 系统 辛算法的构造算法和理论分析上都取得了一系列成果，并且引起了国内外学 者的极大的兴趣，产生了很多重要的后继成果这种保结构思想除了几何结构 外，还涵盖了保守系统的其他保守性质，例如：物理守恒律( 首次积分，有代表物 理意义的如能量和动量) 和代数特性( 系统特征值，l i e 代数结构) 等y o s h i d a 等 人在上个世纪九十年代提出并发展了复合方法，他将一些基本的单步法在不 同的步长下进行复合后，得到高阶的数值格式本文在上述方法的启发下，将 保结构算法中的基本理论和技巧处理一维无阻尼的l a n d a u l i f s h i t z 方程 1 1 伴随法 在这节内容里我们要首先理解一般微分流形上的向量场和流设m 是 相空间，而z m 是过程的初始状态，设g 表示初始状态为z 的过程在时间z 的 状态，对于每个实数t ，它确定空间m 到其自身的一个映射 g ：m - + m 则矿称为的推进映射它将每一个状态z m 映入新的状态，g t x m g o = i d ，g t + 8 = g 。o9 8 ， 这里表示在经过s 时刻后有y = g s x ，再经过t 时刻后有z = g t y ，它的效果与经 过x 经过t + s 时刻相同，即： 名2 g t + 8 x 定义1 1 1 单参数变换群：由集合m 到自身的映射族，矿是场为m 的单参数变换 群，如果满足v s ，t r 满足： g t + 8 = g t o g 。g o = j 一5 一 第l 章保结构算法理论 定义1 1 2 相流：由集合m 到其自身的单参数变换群g 。所组成的( m ，g t ) 称为相 流，集合m 称为相空间，而它的元素称为相点 对于自治微分方程 雪= ，( 秽) ，y ( t o ) = y o ， 其相流为仇满足妒二；= 妒t 一般的数值方法垂 不一定满足这种性质，下面我们 引入伴随法概念 定义1 1 3 称蝣是的伴随方法，如果 z = 一- h 1 ， 换句话说，y l = 蝶( 可o ) 是由一h ( v 1 ) = 珈隐式定义 定义1 1 4 对称方法：数值方法称作是对称的，若其满足蝣= c h ( 1 1 2 ) 下面我们得到伴随法的一些性质： ( 1 ) = ( 蛾) + ， ( 2 ) 令九，皿 是任两单步法，则( 加。皿 ) + = 皿：o 铖由定义( 1 1 3 ) 我们可知 一些简单的数值方法如：隐中点法，梯形法则和s t o r m e r v e r l e t 法是对称的在我 们了解了伴随法的概念之后，它对原数值方法的影响是怎样的呢? 下面的定理 将给出其在阶数方面的作用 定理1 1 1 令慨是方程( 3 1 ) 的准确相流，九是1 阶数值方法，且有 h ( y o ) = 9 h ( v o ) + c ( y o h v + 1 ) + o ( h p + 2 ) ， ( 1 1 3 ) 则其伴随法也是p 阶的，且有： ：( 珈) = 9 h ( v o ) + ( 一1 ) v c ( y o h v + 1 ) + o ( h p + 2 ) ， ( 1 1 4 ) 若此方法是对称的，则其阶数是偶数 一6 一 图1 1 ( 掣o ) 证明：如图( 1 1 ) 所示，已知初始值y o 我们可以计算出妒h ( 珈) 及可1 = 蝣( 珈) ， 我们令e + 是：的局部误差，e 是加的局部截断误差，即 e + = ：( 珈) 一妒_ l ( 珈) ， 一e = c h ( y o ) 一妒 ( 珈) ， e = - h ( e 。) = 一 ( ：( 珈) 一妒 ( 珈) ) = y o 一- h ( v h ( y o ) ) ， 则由( 1 1 3 ) 式： 一 ( ( 珈) ) = 珈+ ( 一1 ) p + 1 c ( ( 珈) ) 胪+ 1 - 4 - o ( h p + 2 ) ， 一e = ( 一1 ) 叶1 c ( ( 珈) ) 胪+ 1 + d ( ，矿2 ) ， 一7 一 第l 章保结构算法理论 e = ( 一1 ) p c ( q o h ( y o ) ) h p + 1 + d ( 伊2 ) 妒h ( 珈) ) = y o + o ( h ) e = 一l l ( e ) = ( i + d ( ) ) e e 宰= ( 一1 ) p c ( y o ) h p + 1 + d ( ，舻2 ) ， 即得到( 1 1 4 ) 式若此方法是对称的，即哦= 九，所以c ( 珈) = ( - 1 ) p c ( y o ) 所以仅 当p 取偶数时成立，即其阶数只能是偶数时才是对称的 1 2 复合法 复合法在构造高阶精度的保结构算法发挥重要的作用，许多辛方法都是 一些比较简单的数值方法的复合，复合低阶i 拘r u n g e k u t t a 方法可增加刚体问 题的稳定性【2 8 】下面我们将考虑把几个已知的单步法在不同的步长下复合起 来，这种方法在提高原数值方法精度的同时又能保持原方法的性质 定义1 2 1 令九是一单步法，r 1 ，是实数，则我们称皿 为九在步 长r l h ，r s h 下的复合方法，即 1 皿_ i l = f 。 o o r l 定理1 2 1 令机是p 阶的单步法，若满足： r 1 + 您+ 十r s = 1 ， ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) 嵋+ 1 + 7 ；+ 1 + + r ；+ 1 = 0 ， ( 1 2 3 ) 则其伴随法阶至少为p + 1 证明：如图( 1 2 ) ，这里我们取8 = 3 与定理( 1 1 1 ) 证明类似，令 e 1 = 协1 h ( y o ) 一c r ，h ( y o ) = c ( 珈) 嵋+ 1 h p + 1 + o ( h p + 2 ) ， ( 1 2 4 ) 一8 一 图1 2 e 2 = 妒r 。 ( 加) 一r 。 ( 珈) = c ( 珈) 鸣+ 1 胪+ 1 + o ( h p + 2 ) ， ( 1 2 5 ) e 3 = 妒r 3 ( 珈) 一r 3 ( 珈) = c ( 珈) 砖+ 1 h p + 1 + o ( h p + 2 ) ， ( 1 2 6 ) 加是p 阶方法，故由假设 再如图( 1 2 ) 所示： e 1 = c ( 珈) 中1h p + 1 + o ( h p + 2 ) ， e 2 = c ( y 1 ) 嵋+ 1 胪+ 1 + o ( h p + 2 ) ， e 3 = c ( y 2 ) 矿1 胪+ 1 + o ( h p + 2 ) ， = 妒 ( 珈) 一妒r 2 h + r s h ( 可1 ) = 妒r 2 + r 3 ( 妒7 1 ，i y x ) = 妒r 2 h + r 3 h ( e 1 ) = e l + d ( ) ， e 2 = 妒r 2 h + r 3 h ( y 1 ) 一5 p r s h ( y 2 ) = 妒他h ( 妒r 2 h y 2 ) = i i o r s h ( ( 3 2 ) = e 2 + o ( 九) ， e a = 妒r 3 h c h ( y o hy o ) = e 3 ,。妒r 3 一j 2 这里玑= y o + d ( ) ，局= ( i + d ( 九) ) e t 一9 一 第1 章保结构算法理论 故对任意的i ，对于n = 1 有： 妒h ( y o ) 一c h ( y 0 ) = e z + 易+ e 3 = c ( 珈) ( 嵋+ 1 + 嚏+ 1 + 圬+ 1 ) 妒+ 1 + o ( h p + 2 ) = o ( h p + 2 ) 早在上个世纪九十年代，复合法就已经得到了极大的应用，尤其在提高数 值格式的精度，改善数值格式的稳定性上都有重要的作用在秦孟兆和朱文 杰 2 5 】文中，几乎所有的数值格式都存在偶数阶的自共轭格式，通过利用低阶 的自共轭格式进行复合，就可以构造出更高阶的数值格式 1 3l a n d a u l i f s h i t z 方程的哈密顿结构 l a n d a u l i f s h i t z 方程在铁磁物质中作为磁旋相流的集合，对于z r d ，在笛 卡尔坐标系中磁旋可表示为m ( z ，t ) = ( m l ，m 2 ，m 3 ) t ，满足： m t = m 【a m + d m + q 】， ( 1 3 1 ) 这里代表中的拉普拉斯算子，d = d i a g ( d 1 ，d 2 ，d 3 ) 是各向异性物质，q 是外 磁场 l a n d a u l i f s h i t z 方程在铁磁物质中也是一个带有非典型哈密顿结构的偏微 分方程，而且我们可以通过一些数值格式得至u l l e 的多辛形式首先将l l e 写 成具有哈密顿结构的形式，考察在笛卡尔坐标系下，一般的哈密顿偏微分方程 的形式如： 轨叫可) 等， ( 1 3 2 ) 这里剪( z ，) r p ，h 是一泛函，等是h 对y 的变分导数，b ( y ) 是一个泊松结构矩阵， f l p b ( y ) 是一个反对称且满足雅可比等式的矩阵 若b ( y ) 是一泊松结构的矩阵，且对于y 是连续的，则存在一局部变换雪= 雪( 可) ，可使( 1 1 1 2 ) 变成一典则结构： 等b c 秒，等= j = 量一曼。 ( 1 3 3 ) 第1 章保结构算法理论 其中p = 2 p l + p 2 ，如，是1 1 维单位阵对于( 1 3 1 4 ) 哈密顿系统泛函代表总能 量： 且泊松矩阵： 日= 三i v z m l 2 + m 。仇+ 2 q 仇如， ( 3 4 ) 跏胁= b 0 并 3 固以蝴2 l = 2 三。一叶 0 3 5 满足：谎t = b ( m ) 焉6 h ，即l l e 是一典则的哈密顿方程 若我们选择极坐标形式m = ( m l ，m o ，m ；) t ，即m 1 = m l c o s m o ，m 2 = m _ f s i n m o ，m 3 = m = ，这里m o 代表仇f 和m 2 之间的夹角对应于典则形 式( 1 1 1 3 ) p l = p 2 = 1 ，m l = i m l 是一守恒量在( 1 3 1 1 ) 式中，d 和q 是与x 、t 无关 的，即( 1 3 1 1 ) 为时间和空间上的不变量 动量守恒的证明：当d = i ，q = 0 ，d = l 时，对于动量 p = r _ ( m z v z m 2 一m 2 v z m ，) 如， ( - 3 6 ) 是守恒的，并满足 11 o t + k = 0 ，n = 言( m 3 m 缸一m 口m 3 。) ，b = 去( m 口m 3 t m 3 m o t ) 一i m z l 2 ) ( 1 3 7 ) 证明： m ) ，则 对于简化的情形当d = i ，q = 0 ，d = l 时，( 1 3 1 ) 式即为：m t = m z ( m z z + 锄= 三( m s t m ，a z + m 。m 。一m 巩m 。一m 。仇。) ， k = 五1 ( m 缸m 3 + m 口m 缸一m 3 z m 6 l t m 3 仇口z t 一2 m z m z $ ) ， a t + k = m a t m o z m o t m 3 z m 茁m z 霉， m t 。一m z m z z ，m z 三1 ， m p t = 一7 n 3 z 霉m 3 t = 丁n p $ ， 第1 章保结构算法理论 代入有： n t + = 0 ， 得证 能量守恒的证明：对于简化的情形，总能量( 1 3 4 ) 满足： e t + 厶= 0 ， e = 互1 m 傀z ，= 三( m 正m t m m 耐) ( 1 3 8 ) 证呱 11 e t 2 互m t m $ z + 互m m z 耐， 111 厶2 互m m 疵一互m z m 耐一互m 仇z z ， e t + 厶= m m z 。= ( m z m ) m z z = 0 得证 在数值模拟中，对于l a n d a u l i f s h i t z 方程及一些相关方程能够保持磁旋长 非常重要，但是一般的数值方法不能满足保持磁旋长，这就有必要强加一些条 件予以限制，或者将数值解反复的投射到一限制的流形上在几何积分技术的 支持下，可以构造一些数值积分方法，其数值结果也是保持磁旋长度的例如 对高斯勒让德龙格库塔方法保持二次不变量( 磁旋长，能量等) 此外，利用的 隐中点方法处理微磁模拟的工作也非常常见，m o n k 和v a c u s 在文献 3 2 】中的工 作就很好的证明了这一点 第2 章二阶精度的g a u s s s e i d e l 格式 首先我们考虑方程 2 1 简单的分步步骤 m 2 一m m ， 为了克服此方程的非线性性，我们考虑一简单的分步格式： 又由外积得性质得到： m*-mn：m，at 。7 m n + l = m n m n m + ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 这里m 代表一中间步骤得到，它是在中间磁区域应用的一种投影方法下面我 们可通过一个简单的例子对投影方法进行说明：对于( 0 0 9 ) 可等价形式与 m = a m + a m ， ( 2 1 4 ) 这里入= i v m l 2 作为限制磁旋长l m i = 1 的拉格朗日乘子首先m + 在忽略入的情 况下得到，然后在下一步将m 投影到s 2 上得到一个数值解已知m n ，m n + 1 可通 过如下算法得到： s t e p1 ：解 m*-mn：m+at ( 2 1 5 ) 第2 章：阶精度的g a u s s s e i d e l 格式 在边值条件 s t e p2 ： 考查方程 类似于( 2 1 5 ) ( 2 1 7 ) 有： i o r n * i r ：0 面l r 2 。 f f n + l = 罱， f f t2 一mx ( m a h m ) m*-mn：h(tn+1)，at ，7 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) f f n + l 高( 2 1 1 0 ， ，是以单位阵，l 代表拉普拉斯算子逼近，这里将用五点逼近得到( 2 1 3 ) 式又 可写作： m 几十1 = m n m nx ( i a r a b ) 一1 m n ( 2 1 1 1 ) 在( 2 1 1 ) 式中我们将隐式步线性化，这样实现起来更为容易 对于这种新格式，对于时间方向上，( 2 1 4 ) 式是一阶精度的，下面可证 明( 2 1 5 ) ( 2 1 。7 ) 是无条件稳定且收敛于一阶精度的格式 引理2 1 1 假设 ( ，一) u = f ，( 2 1 1 2 ) 缸o ， 1 4 ( 2 1 1 3 ) 第2 章二阶精度l 拘g a u s s s e i d e i 格式 一 这里u = m 1 ，u 2 ，u 3 ) ，f = ( ，厶，3 ) 则 警警i 外( 2 1 1 4 ) 定理2 1 1 令m ( z ，t ) 三( 【o ，卅，h 3 ) 是( o 0 8 ) 的光滑解，且初值 m ( z ，0 ) = m o ( z ) ， ( 2 1 1 5 ) 令m 为( 2 1 5 ) ( 2 1 7 ) 的一个数值解，在同样的初值条件下，则有 罢签i m ( z ，t n ) 一m a t ( z ，扩) i c ( 矿2 ) ，( 2 1 1 6 ) 这里俨= n a t ，c ( t ) 仅与m 有关 但是直接的数值试验得至l j ( 2 1 1 1 ) 式是不稳定的，并且很难发现原因，所以 这里我们将利用二阶精度i 拘g a u s s s e i d e l 技术改进这个格式 令 考查 2 2 二阶精度的g a u s s s e i d e l 技术 首先我们先回顾一下王筱平等人得到的g a u s s s e i d e l 技术，考虑方程 m t = 一m a m 卯= ( j a t a h ) - 1 砚n ，i = 1 ，2 ，3 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 笏m 仇 一 一 一 n 3 1 1 嘴r 严 鳢m m +0叶。 吁+ 0 盯曙+ 盯 n 3 m l l m m m 第2 章二阶精度的g a u s s s e i d e l 格式 或 一1 一鳢 01 oo 以上便是隐式的g a u s s s e i d e l 技术，下面我们将提出二阶精度的g a u s s s e i d e l 技术在这一节里我们将对三个不同的格式进行比较，这里主要针对一 维无阻尼的l a n d a u l i f s h i t z 方程： r z t2 一m m r z z 对于前欧拉格式其一阶格式： 对于显g a u s s s e i d e l 格式，其一阶格式为： ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 【4 】文中先后对比了这三个格式的数值稳定性：对于前欧拉格式，时间步长可 以取得很小就可以得到一稳定解；对于显g a u s s s e i d e l 格式相对于前欧拉更稳 定。但需要在c f l 条件下c = 0 4 ；隐式的g a u s s s e i d e l 格式则是无条件稳定的在 构造出二阶格式之前，我们先引入下面定理： 引理2 2 1 令皿i l 是f l q ( 1 2 1 ) 定义的数值方法， 皿l i = 九， o 呢 o o 惦 o 九。，lo 妨。 ， ( 2 2 7 ) 1j 鳢矿1 一 -。_-_-_l i i 1j 1 1 l + + + m m m 。lr-j 0 0 1 1 + o 1 卯 一 rij 、，、，、， 作2 n 3 竹1 仇 m m 、i，、i，、l， n 3 n 1 n 2 m m m ，fi、，i、，i 一 一 一 n 3 n 1 n 2 m m m 、，、l，、l， n 2 n 3 n 1 仇 m m ，fi、，fl，i，i，fi、 + + + n l n 2 n 3 m 仇 m 。l = 10j 1 1 1 1 + + + 仇 m m l 嵋r 矿嬲枷 “耥m “趾嘏 第2 章_ 阶精度的g a u s s s e i d e l 格式 若满足 p l + 口l + 位+ + 风+ 口8 = 1 ，( 2 2 8 ) ( 一1 ) p 钟+ 1 + 钟+ 1 + ( 一1 ) p 腭+ 1 + + ( 一1 ) p 卢矿1 + a ；+ 1 = 0 ，( 2 2 。9 ) 则l i l 是p + i 阶的 证明：与定理2 1 的证明类似，这里取s ：3 e 1 = ( 一1 ) c ( y 0 ) z i + 1 h v + 1 + o ( h p + 2 ) ， e 2 = c ( y 1 ) 一1 h v + 1 + o ( h p + 2 ) ， e 3 = ( 一1 ) p c ( y 2 ) 鹾+ 1 h v + 1 + o ( h p + 2 ) ， e 4 = c ) 醴+ 1 h v + 1 + o ( h p + 2 ) ， e 5 = ( 一1 ) p c ( 玑) 劈+ 1 h v + 1 + o ( h p + 2 ) ， e 6 = c ( 蜘) 嵋+ 1 ，矿1 + d ( 矿+ 2 ) ) ， 这里犰= y o + d ( ) ，i = 1 ，5 ，e i = ( j + o ( h ) ) e i 对于卢1 + a l + 侥+ + 凤+ o l 。= 1 ，( 一1 ) p 钟+ 1 + 硝+ 1 + ( 一1 ) p 腭+ 1 + + ( 一1 ) p 腭+ 1 + 醒+ 1 = 0 ， 可得到：v h ( y 0 ) = e 1 + + 既= c ( 珈) ( ( 一1 ) p p v + 1 + 钟+ 1 + ( 一1 ) p 腭+ 1 + + ( - 1 ) p j s p + 1 + q 詈+ 1 ) + o ( h p + 2 ) = o ( h p + 2 ) 下面我们分别对前欧拉( 简称f e ) ，显g a u s s s e i d e l 方法( 简称e g s ) ，隐g a u s s s e i d e l ( 简称i g s ) 三种格式分成两步进行：首先得到原格式的伴随格式，然后将 得到的伴随格式与原格式进行复合 1 7 第2 章阶精度的g a u s s s e i d e l 格式 对于前欧拉格式，我们将考虑分成2 譬，令九t2 等。砂每，即有： 第一步毡( m n ) = m n + j 即： 巨 第二步妒譬( m n + ) = m n + 1 即： (2。， 譬( ( 仇；+ z 1 ) m 3 n + ；一( m ；+ ；) m + 5 ) 譬( ( ，l m ；+ i 1 ) m ：+ 一( | i l m r 5 ) 仇他3 + 5 ) i ( 2 2 1 1 ) 譬( ( f , n 1 + i 1 ) m ；+ 一( m r _ z 1 ) m n 。+ o ) j 前欧拉格式作为基本的简单的数值格式在时间方向上对时间步长的限制 是比较小的，这在我们后面的数值实验结果里面可以体现在理论上我们可以 由引理( 2 1 ) 得到，i r p = l ，s = l ，o 1 = p 1 = 时满足引理( 2 1 ) 的条件下面我们将 对显g a u s s s e i d e l 格式进行处理 首先我们考察e g s 格式： 仇? + t ( ( m 呈) m 多一( m 呈) m 呈) m + ( ( h m 警) m r l 一( m ? + 1 ) 价雪) 憾+ a t ( ( a h m l + 1 ) m 7 + 1 一( a h m r ；+ 1 ) m r l ) ( 2 2 1 2 ) 这里是直接将g a u s s s e i d e l 技术应用到前欧拉格式中去，如在( 2 2 1 4 ) 式子中，在 后