（概率论与数理统计专业论文）b值随机级数的强可积性和收缩原理.pdf

中文摘要 摘要 在【1 】中j p 卡昂纳研究了随机级数e a i 的强可积性，其中v = c n u 。，乱n 是固定b 值向量，e l ，是r a d e m a c h e r 序列本文在此基础上研究一类随 机级数v = 厶，e 咿1 1 的强可积性，得出了类似的结果，其中p ( 厶= j 知) = 1 示1 ，j m = 1 ，歹1 ，尼= l ，m 3 1 q b 作者将【l 】中收缩原理推广到了随机级数矗乱n 上，本文利用类似简化 0 0 n = 1 原理的方法和随机级数厶上的收缩原理，得到了重要结论，关于可分b a n a c h n = l 空间上随机级数k 上的收缩原理也成立，其中歹k 与k 同分布 关键词：强可积性；a s 收敛；a s 有界；收缩原理 湖北大学硕士学位论文 a bs t r a c t s t r o n gi n t e g r a b i l i t yo fr a n d o ms e r i e se x p ( a i ) i ss t u d i e db yj e k a h a n e ，w h e r e o o v = e n u n ，u ni sf i x e db 。v a l u e dv e c t o r ，e l ，e n ，i sar a d e m a c h e rs e q u e n c ei n n = 1 o o 【l 】o nt h i sb a s e ，s t r o n gi n t e g r a b i l i t yo fak i n do fr a n d o ms e r i e sv = 靠，e a i i ， n = 1 w h e r ep ( 厶= 歹七) = 鬲1 ，j m = 1 ，j 1 ，七= 1 ，m ，i ss t u d i e da n ds i m i l a rr e s u l t sa r e o b t a i n e di nt h i sp a p e r t h ew r i t e ro f 【3 】e x t e n d st h ec o n t r a c t i o np r i n c i p l eo f 【1 】t or a n d o ms e r i e s i nt h i sp a p e r , w eu t i l i zt h em e t h o dw h i c hi ss i m i l a rt or e d u c t i o np r i n c i p l e ，a t o o 靠u n n = 1 t h es a m e t i m e ，w eu s et h ec o n t r a c t i o np r i n c i p l eo fr a n d o ms e r i e s 靠a n do b t a i ni m p o r t a n t t l = 1 c o n c l u s i o nw h i c hi sa l s os u i tt ot h ec o n t r a c t i o np r i n c i p l ea b o u tr a n d o ms e r i e s s e p a r a b l eb a n a c hs p a c e ，w h e r e 歹ka n dk h a v es a m ed i s t r i b u t i o n k e yw o r d s ： s t r o n gi n t e g r a b i l i t y ；a s c o n v e r g e n c e ；a s b o u n d e d n e s s ；c o n t r a c t i o n p r i n c i p l e i i 口k l 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 论文作者签名：孤粳 日期：z 0 0 8 年6 月午日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的e n , 嗣j 本和电子版本；学校有权保存并向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可 以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢利为目 的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容。( 保密论文在解密后遵 守此规定) 作者签名：张歉 指导教师签名勺辛褒 日期：础年6 月午日 日期：硼年月r 日 1 序言 1序言 随机级数最早是由e m i l eb o r e l 于1 8 9 6 年不十分明确地提出的，到2 0 世纪3 0 年 代开始作为理论进行研究，h s t e i n h a u s ，p a l e y , z y g m u n d 等发表几篇论文加以阐 述到2 0 世纪6 0 至7 0 年代以后才有较大的发展，对调和分析，复分析，分形几何等已 有重要的影响 r a d e m a c h e r 序列与r a d e m a c h e r 级数的概念是r a d e m a c h e r 在1 9 2 2 年提出来 的序列e 1 ，e 2 ，氏，定义为 1 n ( u ) = 1 ，【0 ，言) ， 1 e n ( u ) = - 1 ，t j n 【去，1 】 ( 扎= 1 ，2 ，) ，它称为标准的r a d e m a c h e r 序列与标准的r a d e m a c h e r 序列相似的 随机向量序列，称为r a d e m a c h e r 序列 r a d e m a c h e r 级数是形式为 洲n n = l ( e n ) 是r a d e m a c h e r 序列) 的随机级数 通常也将r a d e m a c h e r 级数写成下面的形式 o o 士 n = l o o 若r a d e m a c h e r 级数在b 中收敛( 或有界) ，则记v = c n u 仡( y = y ) ) n = i 一般情形， k = fe m 让。( k = k ) ) ，m = s u pi i y i i m = 1 n 定理1 1 如果随机级数让。a s 收敛( 或有界) ，则j i y l | ( 或m ) 属于所有的 n = 1 妒( q ) ( 1 p o , e x p ( , x l l v l l ) l 1 ( q ) 见【1 】中p 2 5 定理1 3 如果随机级数e n u na s 收敛( 或有界) ，并且_ ( k ) 是有界纯量序 n = 1 列，( k 是实的或复的依我们所考虑的b a n a c h 空间而定) ，则a n e n u na s 收敛( 或 有界) 见【1 】中b 3 b i l l a r d 在1 9 6 3 年发现并得到了收缩原理，并在文献【2 l 】中给出了r a d e m a c h e r 级数士让。的收缩原理，k a h a n e1 9 6 4 年在【2 2 】中进一步讨论了b i l l a r d 理论的 n = 1 简化形式【2 】中作者的毕业论文【3 】根据随机级数厶心。( 其中p ( 厶= j 七) = 示1 ，j ”= 1 ，j 1 ，( k = l ，m ) ) 的性质对【l 】中收缩原理定理1 3 进行了改进，得 到了随机级数靠u n 上的收缩原理 本文第二章给出了相关的知识介绍，第三章在r a d e m a c h e r 序列以及r a d e m a c h e r 级数的研究基础上，推广了定理1 1 和定理1 2 ，将两个定理中r a d e m a c h e r 序列的情形减弱为 厶) ( 厶) 为如前所述随机向量列) ，研究了随机级数v = 厶札n ，e a l 的强可积性，得出了与r a d e m a c h e r 级数类似的结果另外由本文的 证明知可以利用这种强可积性的判别方法来判定某些随机三角级数的强可积性 接着，在第四章利用类似简化原理的方法和b a n a c h 空间随机级数靠让n 上的收 n = l o o 缩原理得到了重要结论，关于可分b a n a c h 空间上随机级数k 上的收缩原理 也成立，其中歹k 与k 同分布 2 2预备知识 2 1 分布和相似 2预备知识 假定已给一概率空间( q ，4 ，p ) 和一个集合e ，e 的随机元素或随机对象是 从q 到e 的映射x 这时对每一u q ，有x ( u ) e 通常考虑e 的一子集b ，并 问满足x ( w ) b 的u 集的概率是多少这时用简写形式 x b 】代替x 1 ( b ) 或 u ：x ) b 】，并且称为事件”x 属于b ”当在x b 上定义关系7 z ( x ) 时，我 们用 冗( x ) ) 代替 x j e 7 】- ，并称事件”x 满足冗( x ) ”如果这个事件是几乎必然 的，我们称”x 几乎必然满足冗( x ) ”，并且记为：7 z ( x ) a s 当e 等于r 时，如果对实轴上的每一个区间j ，有x - 1 ( ，) a ，则称从q 到 r 的映射x 是实随机变量更般地，如果e 是拓扑空间，并且对e 中的每个开 集g ，都有x - 1 ( g ) a ，则称从q 到e 的映射x 是e 中的随机变量一般有实 随机变量，复随机变量，舻中的随机变量以及线性拓扑空间中的随机变量对于由 e 的开集生成的仃一域召( e 的b o r e l 域) 中每一个元素b ，x _ 1 ( b ) 属于4 映射 日一p ( x _ 1 ( b ) ) ，定义了一个在( e ，b ) 上总质量为l 的正测度p x ( z ) ，称它为x 的 分布例如，实随机变量x 的分布是由递增函数 p x ( z ) = p ( x ( 一，z 】) 作成的测度 如果p x 定义在区间，上，且肛x ( z ) 与i 上的l e b e s g u e 测度成正比例，则称x 在，上是均匀分布的，也叫做等分布 在拓扑空间e 中有相同分布的两个随机向量称为为同分布的 若取由所有使得x 1 ( b ) a 的子集b 构成，对每一个b b x ，定义 似( b ) = p ( x 一1 ( b ) ) 则( e ，巩，p x ) 是概率空间给定两个在e 上取值，并定义在两个概率空间上的随 机对象x 1 和恐，如果( e ，取l ，p x 。) 和( e ，取2 ，p 飓) 是相同的概率空间，则称x 1 和x 2 相似 - 3 - 湖北大学硕士学位论文 如果e 是拓扑空问，则当且仅当b o r e l 域召包含在取中随机对象x 是随机 变量 如果e 是拓扑空间，x 1 和恐是在e 中同分布的随机变量，则它们相似反 之，如果是相似的随机变量，则它们是同分布的 2 2 标准模型，独立性，r a d e m a c h e r 序列，s t e i n h a u s 序列 设q = 兀q 。，其中，对每一礼，q n 是区问【o ，1 】，a 是l e b e s g u e 可测集所 组成的盯- 域，r 是l e b e s g u e 测度q 称为标准概率空间其元素记为u = ( u l ，u 2 ，) ，其中对所有n ，0 1 序列u 1 ，u 2 ，是定 义在q 上的随机变量序列，称为标准的s t e i n h a u s 序列序列1 ，s 2 ，e n ，定 义为 岛( u ) = 1 ，0 3 n f 0 ，去) ， 1 e n ( u ) = - - 1 ，0 3 n 【去，1 1 ( n = 1 ，2 ，) ，它称为标准的r a d e m a c h e r 序列 更一般的，考虑把整数任意分成不相交的类1 ，2 ，m ，并记 w n n n j 为u m 定义在q 上的任意随机对象序列x 1 ，k ，如果对 所有j ，玛仅依赖于w n j ，则这个序列称为独立对象的标准序列 任意给定另一个概率空间q 以及定义在q 上的随机对象k 的序列；如 果存在独立对象的标准序列与序列碥相似则称碥是独立的由此推出，如果 m ，砼，k ，是在拓扑空间e 1 ，易，玩，中取值的独立随机变量，则对 所有的n 及所有的b ，召，都有 p ( m b 1 ，k b 2 ，k 鼠) = p ( m b 1 ) p ( y 2 b 2 ) p ( k b k ) 反之，如果m ，蚝，碥是满足所有上述等式的实或复的随机变量，则它们是独 立的 与标准的s t e i n h a u s 或r a d e m a c h e r 序列相似的随机向量序列称为s t e i n h a u s 4 2预备知识 序列或r a d e m a c h e r 序列也就是说，s t e i n h a u s 序列是在【o ，1 】上均匀分布的独立随 机变量的序列，r a d e m a c h e r 序列是以相i 刊的概率取值+ l 或1 的相互独立的随机变 量序列 2 3 对称随机向量 在线性空间中取随机向量x ，如果一x 和x 相似，我们称x 是对称随机向量 显然，r a d e m a c h e r 变量序列e n ( p ( = 1 ) = j 1 ，p ( = - 1 ) = j 1 ) 是对称的如果q 是标准概率空间，则因为一e 2 ，r 咄= e 2 刑( 哟+ ) ，所以e 2 ”锄对于所有的j 是对称的 2 4 简化原理 如果x 1 ，恐，是独立的对称随机向量序列，要研究( u ) 的性 质，可以构造( u 7 ) x n ( u ) ，n = 土1 固定u ，则( 1 x 1 ，e 。，) 中元素已 知固定，又k 与k 均为对称随机序列，同分布性质相同，故可由几 的性质知k 的性质此即简化原理 5 湖北大学硕士学位论文 3b 一值随机级数的强可积性 3 1 引言 在本章中，设b 是复b a n a c h 空间现在我们讨论随机级数 矗让。 ( 3 1 ) 其中 p ( 厶= 歹七) = 磊1 ，。m = 1 ，j 1 ，七= 1 ，m ) ( 3 2 ) 显然歹厶与矗同分布特别地，m = 2 时， 厶) 为r a d e m a c h e r 序列 若级数( 3 1 ) 在b 中收敛( 有界) ，记 在一般情形下，记 y = y ( u ) = 厶( u ) u n n = l k = k p ) = 厶) 札n ， n - - - - - 1 m = m p ) = s u pi i k ) i i 3 2 随机向量的和：两个引理 引理3 1 靠u na s 收敛，对于每个r 0 ，有p ( m p ) r ) m p ( 1 l v ( w ) l i t l = 1 r ) 见【2 】 引理3 2 若随机级数靠u na s 收敛，且对某些r 0 和a 0 ，满足 则 p ( i i p ( i i v l v i i r ) 2 r ) 0 9 lq o ，满足 p ( m r ) 2 咏筹q 2 ( 3 5 ) ( 3 6 ) 见【3 】 证明：在第一个假设下，应用引理3 1 ，则由( 3 3 ) 可得n ( 3 5 ) 关键是要证 , y j ( 3 4 ) 式，定义下列事件： a 7 = m r ) ， 。o b 7 = 矗“n 收敛，- 且l l w l l r ) ， = 厶乱。收敛，a 1 i iv i i 2 r 则不等式( 3 3 ) ，( 3 5 ) 可写成 再定义 p ( b ，) r ) ( s = 1 ，2 ，) n - - - - 1t l = 8 显然q 是a 的一个分划 7 湖北大学硕士学位论文 有a 7 = u 以， 且由定义易知：q 仅仅依赖于l ，已，已，a 仪仪依赖于已，+ 1 ， 于是 p ( a ：n q ) = p ( 6 = j 1 ) na ：nq ) + p ( 已= j 2 ) na ：nq ) + + p ( 已= 尸) n 以n a ) = p ( 已= j 1 ) ) p ( a ：nq 1 【已= 歹1 ) ) + + p ( 已= 歹m ) ) p ( a ：nq i 已= 歹m ) ) = 击p ( a ：) 尸( q ) + + 磊1 一 t 。，rl l 。) = p ( a ：) p ( q ) 对每个s ，由厶的独立性知，在已固定时事件以和事件q 是独立的又a ：和c 7 可 推出事件q ， 故 4 n c 7cq ， 则 a ：n c ca ：n c ；，p ( a ：n ) p ( a ：n q ) 相应地，可以得到 故 p ( c 7 ) = p ( a 7 n c 7 ) = p ( ( ua ：) n c 7 ) s = 1 0 0 o o = p ( u ( a ：n c ：) ) = p ( a ：n ) 8 = 1s = l o oo o p ( a ：n c j ) = p ( a ：) p ( q ) s = lj = l a o p ( a 。) s u pp ( c j ) = p ( a ，) s u pp ( c ：) ， p ( c 7 ) p ( a 7 ) s u pp ( c ：) ( 3 7 ) 3 3 b 一值随机级数的强可积性 令 y ( 1 ) = j l ( 1 札1 + + 6 1 讥一1 ) + 厶， y ( 2 ) = j 2 ( l u l + + 已一1 u ，一1 ) + 靠， y 阳) = 歹”( f 1 让l + + 已一1 一1 ) + 矗u 忭 则y ( 1 ) ，y ( ，y ) 同分布 易知y ( m ) 与y 同分布， 而j 1 + j 2 + + 歹m = o ，由事件q 可推出 l i v ( 1 i l + l i v ( 2 i l + + i i v ( m 0 i i v ( 1 + y ( 2 ) + + y ( m ) l i = i i ( j 1 + j 2 + + j r n ) ( , l u l + + 已一1 u 。一1 ) + m 矗u n i l = | l m 靠u i i m n 故y ( 1 1 ，y ( ，y ( m ) 中至少有一个向量在忙i i r 之外，相应有 即 0 0 硎厶札。i i r ) n = 8 e h ( 3 7 ) 和( 3 8 ) 得 = p ( m | i 厶u n i l m r ) n = s p ( i i v ( 1 i i ) + p ( i i v ( 2 l i ) + + p ( 1 i v ( m i i ) = m p ( i i v ( m i l r ) = m p ( i i v i l r ) ， p ( q ) m p ( b ，) p ( c 7 ) p ( a ，) m p ( b 7 ) ( 3 8 ) 湖北大学硕士学位论文 等m 詈 2 _ m 2 q 2 ， 4 7 于是( 3 4 ) 得证 以同样的方法证明定理的第二部分，这里假设( 3 5 ) 成立 即 p ( a ) 2 r ) ，d ：= s u pl i k + p k 一1 | i r ， p u 代替事件c 7 和事件c ， 代替( 3 7 ) ，有 p ( d 7 ) p ( a 7 ) s u pp ( d ：) ， 代替( 3 8 ) ，有 p ( 或) m p ( a ，) 因此 引理3 2 证毕 3 3 强可积性 p ( d ，) m ( p ( a ，) ) 。 m ( 警) 2 = 百m 3 q 2 定理3 1 如果随机级数靠u 。a s 收敛( 或有界) ，则j i y l l ( 或m ) 属于所有的 p ( q ) ( o p o ，使得( 3 3 ) 成立，其中q 嘉 由引理3 2 ，p ( 2 n + 1 7 ) m 2 p 2 ( 2 ”r ) 又 若 一一帅砟) = 卧o o 2 ，n + l r 刊 妒( 2 1 r ) - p ( 2 n + l r ) + p ( 2 “7 ) 】 妒( 2 “+ 17 ) p ( 2 “r ) ， p ( 2 佗7 ) 妒( 2 州r ) o 。 ( 3 9 ) n = 1 成立，则厶妒( 1 i y ) 1 1 ) p ( 山) o 。，s l j ，o ( 1 l v ( , , , ) 1 1 ) 三1 ( q ) 特别地，取妒( t ) = t p ， 若从某项开始p ( 2 “7 ) = o ，则i i v l l p l 1 ( q ) 显然成立，进而l i yj l 属于所有的 护( q ) ( 0 p + ) 成立 若p ( 2 n 7 t ) 0 ，死l ，则 甄譬器簖 仨2 v p ( 2 1r ) 2 恶 薪 j l i m 2 v m p 2 ( p 2 n 2 ( r 2 ) n r ) ，n 一，i z “rj = 。l i m2 p r 0 2 p ( 2 “r ) n + 。o = 2 p m _ l 。甄i mp ( 2 1 r ) = 0 o o 其中厶u na s 收敛，l i m p ( 2 n r ) = 0 由级数收敛的判别准则知( 3 9 ) 成 n = l n 。 立，进而i i v l l p l 1 ( q ) ( 1 p o 。) 综上所述，l l v l i 属于所有的护( q ) ( 0 0 ，使得( 3 5 ) 成立，其中q 焉2 v m u 由引理3 2 ，p l ( 2 n + 1 r ) m p l 2 ( 2 n r ) 又 若 z 删耻) 2 至上r 。2 ，1 刊d p l ( ，o o o o n+r q a ( 2 n + l r ) - p l ( 2 n + l r ) + p l ( 2 n r ) 】 n = 1 0 0 p 1 ( 2 “r ) 妒( 2 州r ) 0 0 n = i 成立，则矗妒( m ( u ) ) p 1 ( 山) 0 0 ，即妒( m ) ) l 1 ( q ) 特别地，取妒( ) = t p ， ( 3 1 0 ) 若从某项开始r ( 2 n 7 ) = o ，则m p l 1 ( q ) 显然成立，进而m 属于所有的 护( q ) ( o p + o o ) 成立 若p l ( 2 n 7 ) 0 ，n 1 ，则 j l i m 。( 2 ( 2 。+ 十2 r 7 ) v ) p p f l l ( 2 ( 2 + n r l r ) ) 下：2 p p l ( 2 ”+ 1 r ) 恶1 衙 t = 2 p m 只2 ( 2 ”r ) 恶 丽 n o o 1 i z “7 j l i m2 9 m 毋( 2 n r ) t l 。+ o 。 = 矿m l i m 只( 2 n r ) = 0 n a s 有界，l i m p 1 ( 2 n r ) = 0 由级数收敛的判别准则知( 3 1 0 ) 成 n - - 0 0 立进而m p l 1 ( q ) ( 1 p o o ) 1 2 一 矗 f l 中其 3 b 一值随机级数的强可积性 综上所述，m 属于所有的驴( q ) ( o o ，存在r o ，满足 p ( i i v i l r ) 詈再取a 7 ) 詈及入 o , e x p ( x l l v l l ) l 1 ( q ) 见【1 】中马5 对于下述引理3 3 需要引进一些记号设h 是实或复h i l b e r t 空间，如果x 是h 中的随机向量，那么i i x l l 是随机变量如果i i x | i l 2 ( q ) ，则我们记x l h 2 ( q ) e ( x ) = 矗x ) d w 为x 的期望，x 的方差定义为v a r ( x ) = e ( i i x - e ( x ) 1 1 2 ) 引 理3 3 中x 1 ，恐，k ，是h 中的独立随机向量序列 1 3 湖北大学硕士学位论文 0 0 引理3 3 对每个n ，k l 日2 ( q ) ，e ( ) = o ；又设v a r ( x 。) 0 0 那么 n = l 级数在h 中a s 收敛特别地，如果i l u 。1 1 2 o , e x p ( a i i v i i ) l 1 ( q ) 推论3 3 取b = q 一。，。】，设y = 厶z n c o s ( n t + ) ，其中z n 和是给定的 n = 1 0 0 实数， 矗) 是满足( 3 2 ) 的随机变量列，z n 2 o , e x p ( , x l l v i i ) n = o l 1 ( q ) 证明：由于厶是复变量，由复随机变量求期望及方差的定义，有 e 厶= 熹0 1 + 歹2 + + j m ) = 磊1 丞 三弓= 。， y 。r 厶= e i 矗一e 厶1 2 = e k 。1 2 = 去( 1 + 1 + + 1 ) = 1 ， 1 4 2 n z 删 n z 脚 竹 妒 +lnsdc n z n edy l 而 。o n = 1v a r ( 矗z n c o s ( n t + 妒n ) ) = z 。2 c d s 2 ( 疵+ 妒。) y o r ( 矗) n = 1 0 0 z n 2 几= 1 又z n 2 o , e x p ( a m ) 己1 ( q ) 证n g ：n 为矗a s 有界，由引理3 2 知对任意q o ，存在7 o ，满足 p i ( m r ) 等q 再取a 0 ，e x p ( a m ) l 1 ( q ) 5 n = 1 证明：由定理3 3 可得 1 6 4 在可分b a n a c h 空间关于随机级数的收缩原理 4在可分b a n a c h 空间关于随机级数的收缩原理 p ( 厶= j 七) = 素，( j m = 1 ，j 1 ，k = l ，m ) ( 4 1 ) 引理4 1 如果随机级数厶u 。a s 收敛( 有界) ，并且a n 是有界纯量序列，则随机 n = l o o 级数矗k u 。a s 收敛( 有界) ( a 取实值或复值根据我们所考虑的b a n a c h 空间 而定) ( 厶) 满足( 4 1 ) ) 见【3 】 证明：先证厶u na s 有界 。k a s 有界 k 是复数情形的结果可由a 。是实数的情形导出，而当a 。是实数的情形，可 化为0 k 1 的情形因此，只需要证明0 入仡1 的情形证明即可 如果k 仅取值0 或l ，结果显然成立这是因为 靠入n = 击( ( 一j ) 矗乱n + 厶( a 。( 1 - j ) + 歹) u 。) ( 4 2 ) n = l jn = 1 n = l 由厶的定义知，歹厶与厶相似，且当k 仅取值0 s j l 时，( k ( 1 一j ) + 歹) 厶与厶 相似，故级数厶( 入。( 1 一j ) + 歹) 让n ) 与厶u n 相似进一步，如果记 n = ln = l m 铀) = s u pi i 厶( u ) a n 乱。i i 则由( 4 2 ) 司推出 矗s u pi i 靠k 札n i lp ( d w ) = i 击l 矗s u pi l ( 一歹) n u 。+ 厶( k ( 1 一j ) + 歹) 札。i | p ( d w ) i 南i 。五s u pi i ( 一歹) 靠乱n | | p ( d w ) + i 南i 矗s u pi i 靠( 入佗( 1 一j ) + 5n = ljn = l j ) u n | lp ( d w ) = l 南i j 矗s u pl i 厶乱n i ip ( d w ) 十l 南l 厶s u pi | 厶让n i ip ( d w ) j n = l5n = l = i 南i 1 j l e ( m ) + i 南i e ( m ) = i 南i ( i j l + 1 ) e ( m ) = l 南i e ( m ) 1 7 湖北大学硕士学位论文 故 e ( m ，) l 巧2 i e ( m ) 若靠“。a s 有界，由定理3 1 知 m 扩( 1 p + 。) ， 故( 4 3 ) 式右边也是有限的 在一般情形0 k 1 下，记 则有 0 0 a n = 2 一七a 竹七，k 七= o 或1 ， o 。 厶k 仳n = 2 “矗a 删n ， 记 磁( u ) = s u pi i 矗( “，) 入删n | 1 8 t i = l 并在( 4 3 ) 式中用峨代替m 7 ，可得 因此 a 0 e ( 喜2 “嘭) = 砉2 “e ( 哞) i 巧2l-e(m)1七= 七= 1 。 m 7 = f2 “呱 o s ， 一一 于是靠k u na 8 有界 n = 1 0 0 现证靠u no s 收敛爿厶k u na , 8 收敛 n = 1n - - - - - 1 1 8 一 ( 4 3 ) 4 在可分b a n a c h 空间关于随机级数的收缩原理 如果矗u 竹a 8 收敛，可定义 n = 1 f 主t ( 4 3 ) ，我们有 进一步，对每一u ，有 m ( ”( u ) = s u p s u m 如) = s u p 8 口 i | 厶( “，) u 。i | ， i 厶( u ) k u n m e ( 删) 1 l 一2 _ l _ j i e ( m ( t ，) 0 ，有 p ( i m 和i 列竿 1 9 湖北大学硕士学位论文 故当口_ 。o 时，m 伽) 依概率收敛于0 则由 ”一1o 。 a n 厶仳n = k 厶乱n + k 矗仳n t i = 1n = 1n = 1 t 可知 k 矗u n 依概率收敛 ，l = 1 由【4 】中岛7 定理l 知， k 厶u 。依概率收敛= 号a n 厶a s 收敛 n = l n = l 故 a n 厶缸na s 收敛 引理4 1 证毕 定理4 1 设b 为一可分b a n a c h 空间， k ) 是b 值独立随机向量序列，且j k 与碥( 这里j 仇= t ) n 分布，随机变量列 k ) 满足s u pi k ) l + o 。a s 若k n un = 1 a s 收敛( 有界) ，则k ka s 收敛( 有界) 证明：设q y 是一个概率空间，【碥 定义在q y 上，q f 是另一个概率空间， 厶) 是定义在q f 上的满足( 4 1 ) 的随机变量列，考虑乘积空间( 哦xq y ) 上的随机级数 厶k n = 1 a 0 依定理条件知k 与矗k 相似，又 k ) 是独立随机向量列，从而k n = l o 。 与靠k 相似，且由ka s 收敛得矗k 在( q q y ) 上a s 收敛，又 s u pi a n ) l + a s 所以对一个固定的u 而言，入。) 是一有界纯量序列，由 引理4 1 知 f k ) 矗( u 7 ) 碥p ) 在q f 上o s 收敛， t 1 = 1 因此 o o 而k k 与k 矗k 相似，所以k k 在f 2 v _ k a s 收敛 n = ln = l n = l 一2 0 敛收 s0 上 y c ： c ：在k n n 入 脚 4 在可分b a n a c h 空间关于随机级数的收缩原理 同理可证有界的情形 定理4 1 证毕 定理4 2 设b 为一复b a n a c h 空间， 札。) 为b 中一向量列， ) 和 k ) 是 两个独立的随机变量列，歹与同分布，歹碥与碥同分布，这里j m = 1 且 满足s u p1 ( u ) i o 如果碥仳na s 收敛( 有界) ，则级数 n u n - - - - 1 u 。a s 收敛( 有界) n = l 证明：设q 是一个概率空间，_ 【厶) 是满足( 4 1 ) 的随机变量列，且靠定义在q 上，因为歹k 与同分布，j k 与k 同分布，所以与矗k u 竹相似，碥缸n 与 厶碥让。相似，义冈为 ) 和 k ) 是两个独立的随机变量列，所以级数钆n n - - - - - l o qo o 与级数厶k 让n 相似，级数k n 与级数厶y u 。相似 n = l，l = 1f l = 1 o o 若级数碥a s 收敛，则级数厶k u 。a s 收敛，又由 n = ln = 1 s u p1 ( u ) i 0 ， 可知 令入n = 鲁，由定理4 1 知 翟i 裂i 慨 主厶k 乱n = 霎厶鲁k u 舶s 收敛， n = 1n = 1 伸 从而级数x u na s 收敛 同理可证有界的情形 定理4 2 证毕 定理4 3 设 u 凡) 是可分复b a n a c h 空间一向量列， 矗) 是满足( 4 1 ) 的随机变 量列， ) 是s t e i n h a u s 序列，则对于随机级数 o o 厶蚶饥2 ，与 2 1 丌2 一似 u 耐 湖北大学硕士学位论文 如果它们中有一个a s 收敛( 有界) ，那么另一个也是a s 收敛( 有界) 证明：设q 1 是一个概率空间，靠定义在q l 上，并设q 2 也是概率空间，定义 在q 2 上考虑乘积空问q ，q 2 上的随机级数 矗蚶伽。吨嘶， n = 1 ( 4 4 ) 因为厶e 一2 丌附n 与e - 2 7 r i m n 有相同分布，又e - - 2 1 r i 是在圆周上均匀分布的 独立随机变量，所以厶e 一捌是在圆周上均匀分布的独立随机变量，所以级 数( 4 4 ) 与让。e 讯( 扣2 丌) 相似 n = l 0 0 设n u n e 讥a s 收敛，不论o j l ，o d 2 ，是什么值，由引理4 1 知级 n = 1 数( 4 4 ) a s 收敛( q 1 ) ，因此级数( 4 4 ) a s 收敛( q 1xq 2 ) ，于是u n e 伽( 一2 n a n ) a s 收 敛如果用有界代替收敛，也可同样论证 反之，若e 伽( 卜2 ”) a s 收敛，则级数( 4 4 ) a s 收敛( q 1 q 2 ) ，选取 w 1 ，忱，u n ，使得级数( 4 4 ) a s 收敛( q 1 ) ，设k = e 2 r i ，由引理4 1 得 靠札n e 伽。a s 收敛如果用有界代替收敛，结论同样成立 n = 1 o o 故厶u 仃e 讯2 与u n e 饥( t - 2 1 r ) a s 收敛或有界等价成立 n = 1l r g = - 1 定理4 3 证毕 引理4 2 在复b a n a c h 空间中，考虑随机级数 其中l ，e 2 ，岛，是r a d e m a c h e r 序列，u 1 ，忱，是s t e i n h a u s 序列如 果它们中有一个a s 收敛( 有界) ，那么另一个也是a s 收敛( 有界) 见 1 l d p p 2 4 定 理2 6 定理4 4 设( u n ) 是可分复b a n a c h 空间一向量列， 靠) 是满足( 4 1 ) 的随机变 量列， 是s t e i n h a u s 序列，则对于随机级数 u n e 伽卜2 ，与 n = l 一2 2 0 0 n ， n = l n 珏 n 幻丌2 e 脚 及 n ue 删 4 在可分b a n a c h 空间关于随机级数的收缩原理 如果它们中有一个a s 收敛( 有界) ，那么另一个也是a s 收敛( 有界) 证明：若e 讥( 。一2 “n ) a s 收敛( 有界) ，取a 。= e - i n t , 由f i e m i 三1 n - - - 一1 o o