（理论物理专业论文）原子核转动惯量q公式.pdf

摘要 本文在原子核集体运动模型的基础上，仔细地研究了低激发转 、一 一，一 给冉了屡王攘的毽塑匿量坌叠 唯象的转动观念出发，利用b o l - aa n dm o t t e l s o n 总结出的 谱规律，考虑到量子代数的多体统计效应，将原子核低激 发转动谱与理想转子加+ 的偏离，归结为原子核的g 一变形转动惯 量公式中。由量子代数两种不同形式的等价表示，得到正常) l ；变 ( n o r m a l d e f o r m e d ，n d ) 核转动惯量和超形变( s u p e r - d e f o r m e d ，s d ) 核 转动惯量的不同表达式，以及相应的三参数转动谱公式。首次以，f i 尉 j 彭式的转动惯量区别了n d 和s d 核，从而克服了用同一个转动谱二： c 描述n d 和s d 核态所带来的困难。 根据物理的图象，文章分析了原子核转动惯量口一公式的合理 阡，目时得出量子代数的应用条件，台理地解碍了s v ，口j 模型对原子 核转动谱描述的偏差，以及广义 骼f 圳，模型给出的三个公式 中，仅有个公式是最好的四参数能谱公式的原因。 应用n d 核转动惯量g 一公式，首先系统地计算了锕系区( 1 4 条) 和稀土区( 1 5 条) 偶偶核的2 9 条基态转动能谱，对计算结果、参 数取值的合理。陛、以及公式体现的壳效应进行了详细地讨论。 艇用s d 桉转动惯量玎一公式，计算了a 一，1 9 0 和1 5 0 区7 0 ：多条 s i ) 核带e 2 跃迁v 能谱，动力学转动惯量随转动频率的变化，讨论丁 转动惯量( ，一圣? 式体现的多体栩互作用效应、对力效应、c o r i o l i s 反配 列：玫应和堵塞蛰应。首次提出腹，- f 核专i ：裹每偶差的概念，提出另一+ 种 町能的方法判别晕s 9 带自旋值的呵靠性，并且对“全同带”和“对 偶带”作出新的解释。) ， a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h ec h a r a c t e ro f l o w l y i n gr o t a t i o n a le n e r g ys p e c t r ai s i n v e s t i g a t e db a s e do nt h ec o l l e c t i v em o t i o nm o d e lo fn u c l e i ，a n dan e w f o r m u l ai sp r o p o s e da st h em o m e n to f i n e r t i a ( m o i ) o f n u c l e i b e g i n n i n gw i t hp h e n o m e n o l o g i c a lr o t a t i o n a lc o n c e p t ，c o n s i d e r i n g b o t ht h er e g u l a r p a t t e r n ，w h i c hw a ss u m m e du pb yb o h r a n dm o t t e l s o n ， o ft h er o t a t i o n a l e n e r g ys p e c t r a a n dt h em a n y b o d ys t a t i s t i c se f f e c to f q u a n t u ma l g e b r a ，t h ed e v i a t i o n o fr o t a t i o n a l e n e r g ys p e c t r af r o mt h e i d e a l r o t o ri ( i + 1 ) i st h o u g h ta st h em o io fn u c l e ii sn o tac o n s t a n tb u ti n v a r i a b l eq - d e f o r m e df o r m a p p l y i n gt w ok i n d sd i f f e r e n te x p r e s s i o no f q u a n t u ma l g e b r a ，t h eq - m o if o r m u l a s o fn o r m a l 。d e f o r m e d ( n d la n d s u p e r d e f o r m e d ( s d ) n u c l e i ，a n dc o r r e s p o n d i n g t h e t h r e e p a r a m e t e r e n e r g yf o r m u l ah a v eb e e no b t a i n e d i ti st h ef i r s tt i m et od i s t i n g u i s hn d a n ds dn u c l e if r o mt h e i rm o i ，a n da v o i dt h ep u z z l ew h yb o t ht h en d a n ds db a n d sm a yb ed e s c r i b e di no n ef o r m u l a o nt h ep o i n to fv i e wi np h y s i c s ，t h er e a s o n a b i l i t yo f 玎m o m e n to f i n e r t i af o r m u l ai s ，i nd e t a i l s ，i n v e s t i g a t e d ，a n dt h ea p p l y i n gc o n d i t i o no f q u a n t u ma l g e b r a i s c o n s e q u e n t l y d e d u c e d w i t ht h ec o n d i t i o n t h e r e a s o n sw h ys o o 陀jm o d e li sn o ts u i t a b l ef o rd e s c r i p t i o no fr o t a t i o n a l e n e r g ys p e c t r ao fn u c l e i ，a n dw h yo n l yo n eo f t h et h r e ef o r m u l a sd e r i v e d f r o mt h eg e n e r a lf 俗u o r 2 j ) m o d e li st h eb e s tf o u r p a r a m e t e rr o t a t i o n a l e n e r g ys p e c t r af o r m u l ah a v eb e e ng o tw e l le x p l a n a t i o n a st h ea p p l i c a t i o no f q - m o i ，14 ，i na c t i n i u ma n d 15 ，i nr a r e e a r t h r o t a t i o n a le n e r g ys p e c t r ao fe v e n - e v e nn u c l e ih a v eb e e nc a l c u l a t e db yt h e r o t a t i o n a lf o r m u l ao f n d ，a n dt h ec a l c u l a t e dr e s u l t sa n dt h ep a r a m e t e r s v a l u e sh a v eb e e nd i s c u s s e d w i t ht h e 口m o io fs dn u c l e i ，t h ee 2t r a n s i t i o nv r a ye n e r g i e s ，t h e d y n a m i c a lm o ia n dt h er o t a t i o n a lf r e q u e n c yo fn e a r8 0s db a n d si n a 1 9 0a n d15 0r e g i o n sa r ec a l c u l a t e d t h ec a l c u l a t e dr e s u l t ss h o wt h a t t h em a n y - b o d yi n t e r a c t i o ne f f e c t ，t h ep a i r i n ge f f e c t ，c o r i o l i sa n t i p a i r i n g e f f e c t ，a n db l o c k i n ge f f e c ta r ea p p e a r e di nq m o if o r m u l a b ya n a l y s i s o nt h ep a r a m e t e r s ，t h ec o n c e p ta b o u tt h eo d d e v e nd i f f e r e n c eo fn u c l e a r s t i f f n e s si s ，i nf i r s tt i m e ，p r o p o s e d f i n a l l y ，an e wm e t h o df o rj u d g i n gt h e r e l i a b i l i t y o ft h e s p i na s s i g n m e n t ，a n d an e we x p l a n a t i o nf o rt h e “i d e n t i c a lb a n d s a n d “s i g n a t u r ep a r t n e r b a n d s ”a r ea l s o s u g g e s t e d r e s p e c t i v e l y 致谢 望蹰。粕 本文自始至终是在阮图南教授、李先胤教授的悉心指导下进行 的。值此机会向阮先生和李先生表示衷心感谢。 在沦文工作期问，作者得到了北京大学吴崇试教授、北京高能 所邹冰松教授、中国科学技术大学井思聪教授、安徽大学徐辅新教 授、孙增灼教授和郭建友老师的热情支持和帮助，在此深表谢意。 作者1 9 9 9 11 第一章引言 由a 个核子组成的原子核是一个复杂的多体量子系统。迄今为止，人们对核力的认 识尚不清楚，如果再计及核子的3 a 个空间坐标和自旋、同位旋自由度，根本无法精确求解 体系的运动方程。有关原：f 核的大量实验事实呈现出许多规律，因此在一定的实验事实基 础上，对核子间的相互作用性质作一些假设，建立特定的模型，是研究原子核结构最基本 的方法。 早在四十年代末，人们为解释：1 ) 原子核中质子数或中子数等于幻数( m a g i cn u m b e r s ) 2 8 ，2 0 2 8 ，5 0 ，8 2 1 2 6 ，时，原子核显示出特殊的稳定性：2 ) 质子数或中子数等于这些数时， 最后一个核子的结合能特别大：3 ) 质子数或中子数比这些数多一时，最后一个核子的结合 能特别小提出了原子核的壳模型”j 。该模型假定，原子核中的每一个核子在其余核子的平 似t 口t q 十寸1 上 月x 圳j 也肝t fj 矗j 姒口y 1 千1 上、i 口j ，贝开h e 乐曲p 杖，日e 儿二删珀口 八多姒仫 的基态自旋和宇称等。但对于远离双幻核区中的原子核特性的解释遇到很大困难。 实验发现，在远离满壳核区中的原子核具有如下一些特征：1 ) 具有较大的形变；2 ) 低 激发能谱具有简单的规律性：3 ) 同带内的y 跃迁几率比单粒子值大得多。这表明原子核内除 存在核子的独立运动外，还存在整体上的振动和转动。五十年代ab o l l r 和brm o t l e l s o n i h 提出了综合模型( b m m ) 或称为集体运动模型。该模型假定：核子在平均场中作近似独立运 动( 壳模型) 平均场随时间的变化非常缓慢，基本上不影响原子核的内禀态特征，在绝热近 似条件下平均场的形变产生了振动和转动等集体运动。这种近独立运动与集体运动的竞 争和耦台表现出原子核低激发能谱的特征。综合模型给原子核的集体运动以直观、形象 地描述，成功地解释了原子核的振动和转动型能谱等特性。 七十年代，a r i m a 和l a c h a l l 0 1 3 1 提出另一种描述集体运动的模型称为相互作用玻色子 模型( i n t e r a c t i n gb o s o nm o d e l ，i b m ) 。该模型把原子核的集体四极激发唯象地用相互作用着 的六类玻色子所构成的体系来描述。这些玻色子分别携带角动量和宇称j “为o + 和2 + 称为 s 及d 玻色子。玻色子的总数守恒。因此就某个确定的原子核而言，只能发生六类玻色子之 间的转化其中s ，d 玻色：f 之间的转化可产生或加大四极形变。a r i m a 和l a c h a l l o 认为s ，d 玻色j ：携带的核子数均为2 ，所以总玻色子数等于价核子数的一半。s 和d 玻色子张成的六 维字间构成集体运动的子空间，并具有u ( 6 ) 对称性。考虑到角动量是好量子数条件，u ( 6 ) 群应包含空间转动子群o ( 3 ) ，因此只有u ( 5 ) 、s u ( 3 ) no ( 6 ) 三条群链，对应三种动力学对 称性。成功地解释了中重原子核的能谱与跃迁规律。 b m m 和s ，di b m 是通过不同的途径描述原子核的集体运动。详细的研究表明，两者 可以统一为原子核集体运动的四极声子模型，即两种方案的实质是等价的1 4 】。i b m 称为集 体运动的代数模型，b m m 为几何模型。i b m 中的三种动力学对称性分别对应b m m 中的非 谐振动，轴对称转动和y 一不稳定三种集体运动。作为唯象理论，原子核集体运动模型的研 究便于对大量实验事实进行分析。经过综合研究，肯定了模型所体现的动力学对称性对 于了解原子核内部结构起着重大作用。因此嘹子核集体运动的研究一直是核结构理论领域 中的重要课题。 与处理分子的转动相似，假定原子核为为轴对称刚性转子，其转动能可以粗略的表述 为e l a 叩+ ，更细致一点，可把西表成一，伊砂占，。伊矿，b a ，就能够较好地描述 is1 0 的能级，第二项可理解为振动带来的修正。对于偶偶变形，实验观测到它们的基带转 动谱1 ”= 0 + ，2 + 、4 + 。为了统一地描述类似的、具有转动谱典型特征的低激发谱，提出 原子核转动的概念：“原子核具有一个稳定的变形，并在空间转动”口j 。由此建立了众多的 模型和公式【2 32 4 4 6 , 4 t $ 6 - s 9 , 9 6 , 9 9 , 1 0 0 , ”，成功地解释了低自旋转动谱带结构。随着自旋的增大， 多数模型公式对转动谱描述的偏差也基本上系统的增大。 最近几年，超形变( s u p e r - d e f o r m e d ，s d ) 原子核态的研究蓬勃地开展起来，成为核结构 研究最热门的前沿领域。在近十几年内已取得了可观的成果。在核结构研究的进程中，这 是继壳结构、原子核转动和振动、原子核对关联与超导性和高自旋等之后的另一个里程碑。 自1 9 8 6 年发现第一条超形变带以来p j ，迄今为止已观察到二百多条s d 带，在某些核中甚 至已观测到多达8 条s d 带。十几年的大量实验研究1 6 1 揭示出超形变核态一些特殊的性质， 如：多数s d 带的动力学转动惯量s 口随转动频率 平缓变化，某些s d 带的动力学转动惯 量3o 随转动频率h ( 1 ) 的变化具有“返转”现象i 7j 、“全同带”现象”j 、“a i = 4 j j 岔”现象p j 等。目前普遍认为超形变核态的性质很强地依赖于高n 单粒子侵入“轨道”。为解释s d 带的特性，从微观角度，用密度依赖的h a r t r e e f o c k 方法”和推转相对论平均场方法处 理。由于大量的单粒子性质需要进行自洽变分处理，增加了数值计算方面的困难，因此， 这些理论尚来广泛地应用于超形变核态的研究。半唯象的推转n i l s s o n s t r u t i s k v 方法、推转 w o o d s s a x o n - s t r u t i s k y 方法和投影壳模型1 12 - 1 4 计算工作量很大，并且计算结果也不尽人意。 在唯象研究方面，考虑到s d 带与n d 带有相似的带结构，大部分的工作将描述正常形变核 的能谱公式进行推广2 ”4 4 6 , ”8 6 “9 9 6 , 9 9 1 0 0 ”，作为超形变核态的能谱公式，并且取得了较 显著的成累其中最为成功的是a b c 三参数公式m 6 i 。 实验资料表明，尽管低自旋的n d 带与高自旋的s d 带结构相似但微观激发机制却 不同。用n d 核的能谱公式描述s d 核带，显然忽视了两种核态在物理本质上的差别。我们 的目的是建立新的唯象公式，它既能显示两种核带的相似性，又能自然地表现出两种核带 的不同之处。 量子代数s u 。( 2 ) ，首先由s k l y a n i n 以及k u l i s ha n dr e s h e t i k h i n 在研究y a n g b a x t e r 方 程中独立引入的p 。众所周知这些方程在经典和量子可积系统中5 ”1 起着决定性的作 用，随着量子代数”、”1 ( 量f 群) 及其表示理论的发展，s u 。( 2 ) 代数在物理学领域中得到越来 越r j 泛的应用。“。在原予核结构的研究中，核子间对力的量子代数描述b 、口变形s u ( 2 ) 模型8 3 。j ，q 变形吴- 曾公式i = ”、g - 变形s , di b m 2 6 2 9 1 等，获得巨大的成功。这些研究表明， 对于多体系统，量子代数的多体统计效应在一定程度上改善计算结果 本文详细地研究了n d 核带和s d 核带的结构，引用唯象的转动概念，计及量子代数 的多体统计效应发现原于核转动谱偏离i a + 1 ) 规律，可以通过把原子核的转动惯量变成 q 一变形转动惯量，而得到改善。利用量子代数两种不同形式的等价表示，得到正常形变 ( n o m l a l d e f o r m e d ，n d ) 核转动惯量和超形变( s u p e r d e f o r m e d ，s d ) 核转动惯量的不同表达 式，以及相应的三参数转动谱公式。由于引进不同形式的转动惯量区别了n d 和s d 核，困 而就不存在用同一个转动谱公式描述n d 和s d 核态所带来的疑问。 利用两个新能谱公式，分别系统地计算了锕系区1 4 条和稀土区1 5 条偶偶核的基态转 动能谱、a 1 9 0 和1 5 0 区近8 0 条s d 核带的e 2 跃迁y 能谱，动力学转动惯量随转动频率的 变化。研究结果显示： l 、计算结果与实验数据大面积的符合除个别较特殊的例外，误差均在实验允许范 围内； 2 、参数的取值合理： 3 、两个公式互换应用，平均系统误差将增大一倍： 4 、n d 核的计算结果，支持了壳模型下的空穴理论； 5 、s d 核态的计算误差敏感地依赖于自旋指定，定出的带首自旋值并不是严格意义 上的整数或半整数。其中 i g ( 1 ) 和”p b ( 1 ) 自旋指定值与实验完全一致。 6 、s d 核态的新三参数能谱公式能够复现动力学转动惯量随转动频率的单调上升、 下降以及“返转”现象； 7 、转动惯量口一公式可以体现多体相互作用效应、对力效应、c o r i o l i s 反配对效应和 堵塞效应； 8 、更详细的分析可以给出一些有意义的推论。 本文共分七章。第一章，引言；第二章，综述原子核集体运动的几何模型、代数模型 2 s介绍正常獬黧雾岩垒黼嬲嚣漏蓍嚣赢券鬃篇嬲(。su 槲q ( l 翳篙篙淼誓辫黼訾篆鬣8 需、尝鬈矣釜棼 焉翟薹曼晶耋燃n 论d 鬻s 到d 蒜黼鬻箍塞箍0 端蒜藩釜 别用转动惯量q 一公式对 和 核带进行大面积拟苗尹与献多i t 隹象笛a 删匕 刚“戳8 后对拟台参数值的合理性作了详细地分析。第七章，结论。 21 几何模型 第二章原子核集体运动模型 早在五十年代，ab o b x 和brm o t t e l s o n 鉴于壳模型的局限性以及众多的实验事实 提出了变形核的概念，即远离满壳原子核常常具有非球形基态。利用不可压缩流体力学和 e 则量子化方法得到描述原子核集体运动的哈密顿量和定态方程f “。 按照自治场理论，原子核中核子是在所有其余核子的平均势场作用下的运动。对小同 的核的基态需要考虑不同的单粒子势。某些原子核存在形变要考虑形变单粒子势。同t 核的不同激发态也需要考虑不同的单粒子势。原子核的集体激发正是这种单粒子势变化的 结果。这里有两个要解决的问题：1 ) 确定原子核基态( 或其他内禀态) 的单粒子势：2 ) 研究 唯粒子势变化时的运动。 详细的资料分析表明，核子受其余核子作用的平均势场除球对称外，还包括非球对称 部分。在实验室坐标系中 球对称势为； 8 v = 口 zp ) y ( 口，妒) ( 2j 。j ) “ 仅考虑a 0 的四极场，并略去下标 ，由势场的厄米性： 8 v = 5 v + = 口。f ( ，) y ? ：( 口，p ) p 和 ，2 ：( 臼，妒) = ( 一) ” ，2 一。( 臼，妒) ， 得到 口：= ( 一) 一口一。 取体坐标系或主轴坐标系，粒子在体坐标系中的坐标为，臼7 ，妒，则 ( 2 1 2 ) ( 2 t 3 ) f 2 1 4 ) 8 v = 口：f ( ，) ，3 ，( 0 ，p ) 。( 21 - 5 ) v 6 v 应对空间转动变换保持不变，实验室坐标系( ，曰，妒) 到体坐标系或主轴坐标系 ( ，护，妒) 的变换为： y 。( 0 ，妒) = d 苫：( 仃) y 2 ，( 0 ，p ) ( 21 - 6 ) 这里q ；( - 0 1 , 6 2 2 ，力j ) 为欧拉角。因此有： r ” 口，= d j ；( 力) 口。( 21 - 7 ) 一 口，对于空间转动变换的性质与j ，2 , u ( 目，妒) 对于空间转动变换的性质致。口，虽然是复 数，但因存在( 21 4 ) 式的关系，实际上只有五个独立的实变量。 考虑上述四极形变平均势场为可变化的情况。若形变平均场的变化很缓慢，基本上不 影响原子核的内禀特征，即单粒子能级的占有特征。则平均势场变化所给出的影响可按微 扰方法处理。 取参量q o ( t ) 表述原子核的某种集体性质，它们是，的缓慢的变化函数。假定单粒子 势中包含有这些参量，则原子核的哈密顿量也包含有这些参量，相应的含时s c h r 6 d i n g e r 方程为( v a 下计算式中约定 = 1 ) 4 f l y ( ，；g ，) ) = h ( g 。) l ( ，；q ，) ) ， ( 2 1 - 8 ) c f 这里j ( ，：q ) ) 一方面显含t ，另一方面还可通过q 。而随时间变化。由r 原子核的集体运 动要比内部运动慢得多，涉及口，的项就司以按微扰方法一绝热近似处理。令 l y ( ，；q ，) ) = i ( q ，) ) p 一叫7 ，( 2 1 9 ) 由( 21 _ 8 ) 式得： 爿l ( g 。) ) + f z q ，掣：h ( q ，) l 妒( g ，) ) y 盯， 所以零级近似的本征方程为： ( 2 1 1o ) h ( q ) z 。( g 。) ) = s 。( q ，) i z 。( q 。) ) ，( 21 1 1 ) 弋中占，( 9 、，) 及i z 。( q 。) ) 分别是4 和l 。( g 。) ) 的零级近似结果。一级近似基态波函数为 i n ( q 。) ) = i z o ( q 。) ) + c 。i z 。( q ，) ) ，( 2 1 12 ) j c 1f 。，满足： 。”= ( 州| 7 砂杀) 傺湘沪“) ( 2 1 - 1 3 ) i 这荩态波函数求得原子核能量 e d = ( d ( g ，) ih ( q ，) 1 妒o ( g ，) ) = o ( g ，) + 【s ，。( g ，) 一o ( g ，) 】c ：c ，。( 21 1 4 ) t 0 将( 21 13 ) 式所示的c 。代入，得到 e n = o o n ( q 。) + | z d ( g ，) i y o ，秒汐可，i z 。，( q ，) ) l2 e 卅( g ，) 一6 0 ( q 。) 】。 ( 2 1 15 ) 口f # 0 i v l ( 2i - 15 ) 式表f 纠原f 核的能量不仅! 。9 。有_ 戈，而且与4 ，有关，e o 中与q 。0 ，有关的部分 是原f 核集体运动能量，与g 。有关的部分是原子核集体运动的势能，与口，有关的部分是原 子核集体运动的动能。 对于四极形变核，有5 个独立的变量，因此取集体坐标g 沩a 。a 和力。由( 2 1 1 5 ) 式得到原子核集体运动动能的表达式 i1 r = i ( z d ( g ，) l f ( a o 2 + a 2 i l + x _ o ，j 岳_ i z 。( qv ) ) l2 e m i s o ) ( 2 1 1 6 ) ”，f i “o0 c 捌2 l c ，j z ， l 以。表示沿三个主轴方向的角速度，| 9 。表示沿三个主轴转动的角度，c 。f 表示沿力，的 转动轴的单位矢量在三个主轴方向的投影，则有： = 。，口f f - s i n ( 2 2c o s 0 3s i n c 2 3 0 c “，= is i n _ ( 2 2s i n , o sc o s 0 3 0 lc o s ( 2 0 ， ( 2 1 1 7 ) ( 2 1 1 8 ) 移矗2 麦刊( 2 1 - 1 9 ) 其中j 。= 一i 秒汐1 9 。是体坐标系中角动量的三个分量。于是( 2 1 - 1 6 ) 式为 7 1 = z 。( g 。) j ( d 。o+ d ? ? ) 一o ) u j 。z 。( q ，) 3 e m - 。】 。( 2 1 2 0 ) m o d a od a 2po 四极形变核对于主平面是对称的，绕任一主轴转动棚j ，与z 。，保持不变，但垂直丁该 土轴的山却改变符号，集体运动动能t 应对这种转动保持不变，所以不存在 f h 6 1 6 a o ，i h 0 d a 2 与丘的交叉项，也不存在山的相互交叉项。集体运动动能可以分 解为振动动能和转动动能两部分： 其中振动动能： 7 1 。6 = ：b 。d 2 0 + ：b 。d ；+ 口0 3 d od 2 f f j 庸的 动z 力能为 k ，= ：吾s 。珊筏髫u “z j 式中的系数 口。：? z o 矽2 a o z m f i ，j 9 2 i ：2 z o 6 1 6 d ? l j m 2 f f j6m - - e f i ”t 0 占”f - - e 0 b 旷2 卫旦鱼鱼( z t a 1 8 d a 2 x oj 皇生 o e m - - e 0 以腰 凡，= 3 ，。，3 。= 2 ；：互哩j ，r z m 3 r e ；t o 埘- - e 0 蹦t 莨锋铸f 们天系式 ( 2 1 2 1 ) ( 2i _ 2 2 ) ( 2 1 2 3 1 ( 2 1 2 4 ) ( 2 1 - 2 5 ) z of 一，z = ( 占，。一占o ) z daz 。 ( 21 ，2 6 ) 由此刁i 难看出，在汁算系数矩阵元时，只需考虑日中涉及集体坐标a m 啦和刀的部分： 6 v = f ( r ) a o y 2 0 ( o , 妒) + a 2 y 2 2 ( 0 , 妒) + y 2 一。( 臼，妒) )( 21 - 2 7 ) 利用关系式( 2 1 - 2 6 ) 和( 2 】2 7 ) ，可求得： ：2 堕幽些丝掣趟，( 2 ，锄。) w 口 f 占i l l - - e o ) 。 占2 7 ：2 邑i ( z o i f ( r ) y 2 2 ( _ o , 妒 ) _ + y 广2 - e ( o , 9 ) 一l z m ) 1 2 ， ( 2i 2 8 b ) ”。o 【占一e o ) b 0 2 = 2 是c g 系数，q i i 是( f m i g 。l i 聊) 的约化矩阵元，( 2 2 1 2 b ) 和1 ( 2 2 1 2 c ) 坌别为对力及四极对力的贡献，( 2 2 - 1 2 d ) n ( 22 1 2 e ) 分别是四极- 四极力的直接项和交换 坝。 仔细观察( 2 2 - 1 1 ) 式不难看出，双线型费米算符口：口；， 作f 是封闭的，因此构成群的生成元，相应的群元可写成： 姒z ) = e x p ( 兰荔z 口4 d ：) r ，( z ) = e x p ( - 燕。 z 7 。口口；口。) 口：口口，a 。口，在对易关系操 ( 2 2 - 1 3 a ) ( 2 2 13 b ) 州z ) = e x p ( ；丕z a f t a f ta a ) 、(22-13c) 将群元作用于费米空间的满壳态0 ) 上，生成费米空间的函数( 简称生成函数) ： 、 1 矿( z ) = 月，( z ) o j ：e 。p j 丢z a p d 弑) o ) 月j ( z7 ) o = r 3 ( z ”) d 、= 0 ( 22 1 4 a 1 ( 2 2 1 4 b ) “r h 是由烈线耻费米算符口：日；，日：臼卢，a a 日口构成，生成函数( 22 1 4 a ) 式义是完备 的，冈此h 所描述的集体运动态可以按( 2 2 1 4 a ) 式展开： = f d z f ( z ) ( z ) 、 ，固称为权重函数。定义： g ( z ) = ( z ) y = = j d z f ( z ) ( z ) 庐( z7 ) 则集体运动的本征方程为： ( ：) h 妒一e o ( z ) 由( 22 1 4 a ) x - 可得： z a p = - z p c , ；差_ 喾： 、多；。8 ，z a 。= 6n d 一6 。8 ，一6 。s 一6 。d j ：式表明，若令 a a a 20 o z n 口，爿五= z a p ( 22 1 9 ) 则爿。0 和爿叩满足玻色子的对易关系，称为理想玻色子的产生算符和消灭算符，并且下标 的反对称性体现出了p a u l i 原理。n , n ( 2 2 - 1 7 ) ，( 2 2 1 8 ) 和( 2 2 1 9 ) 式，可得到下述一系列关 系： ( o ( z ) l a ：。；i p ) = b 厶g ( z ) i ( z ) 口：a p i y ) = 丢4 。；r 爿卢g ( z ) ( z ) a c ta py 2 a a 口g ( z ) ( z ) 口：d n y ，2 丢爿厶爿。p g ( z ) 占易刊易一。驴a 勰和胪 通过上述一系列的变换公式，可得到f e r i l l i 空间的h 变换表达式 ( 2 2 - 2 0 a ) ( 22 2 0 b ) 7 妒( z ) i h j i t ) = ( 4 7 j ，a 。，) g ( z ) = e g ( z ) ( 2 2 - 2 1 ) 类似于o a - i 方案”的思想，h ( a p ，a a , a ) 就是f e r m i 空间崎的玻色子像。为了得到与 i b m 唯象方案一致的形式，取1 0 ) 是理想玻色子的真空态，也就是f 口) 的玻色子像。则有： 1 2 彤 忉 盼 盼 叫 i 0 仁 口 、( z ) j hj _ 0 ) 2h ( a 厶，d a f t ) ：( ：) j 口) j 妒) ( 2 2 2 2 ) 令： u 2 坝= ) 。) = i 口f e x p ( ；五爿a + s a f l aa f 口) ( 2 2 - 2 3 ) 并注意到0 ) 与d ，互易，( 2 2 2 2 ) 式可写成： u h 妒2h ( a + ，a ) uy 、 f 2 2 2 4 ) 粤些，7爨#fermi算符的玻色变换算符，实际上也就是dyson玻色子展开方案中的usui 变换算符【 。 。 + 。一一 为了算出己，的具体形式，可将( 2 2 2 3 ) 式展开成多项式：1 肚三赢2 。荔爿易a a a ，) o ) ( 2 2 - 2 5 ) 窭孽丰，u 算苎茔西苎刍壬堂。当系统粒子数保持不变时，( 22 2 5 ) 式中仅有n 等丁- 粒子数的 项不为零。相应的单项式有； u ? = c f n j u 即对应的是幺正变换。 ( 2 2 - 2 6 ) 。为了引入宁称量子数平角动量量子数删，首先将每个理想坡色子掉符进行角动量耦 爿易= 爿f 。川圳? = 再，m j l m l j 2 n 1 2 + 占j ，? 爿w ， ( 2 2 - 2 7 ) 1 。，” 7 ，。? “ 然后将爿：f ) j ，进行线性组合成具有确定宇称的算符： q r = ，r r r “do 一，( 2 2 2 8 ) 式中r 是区别j m 相同而能量不同的坡色子引进的量子数。能量由小到大的次序分别对应r 2 0 ，1 ，2 。考察具有确定的删椭q 玻色子算符( 2 2 2 8 ) 式的对易关系，有： q ，。m ，q ，。0r m t 】=p * r ”j p r t t j 4 j 肼，a j 0 = p * r z j p r z j 万，万b ，。万吖m 巧j ，( ，一j 。占j ，。甜) ( 2 2 2 9 ) 注意到当f ，= 屯时，j 必须为偶数。因此只要有 z p * r r j p 7 ”。= 占，占口口，占j j ( 2 2 3 0 ) q 玻色子算符就是标准的玻色子算符。 由( 2 2 1 9 ) 、( 2 2 2 8 ) 以及( 2 ，2 3 0 ) 式，玻色子数算符为： n b = 三4 ：口4 。，= 乏q ，：j 肘q ，。j 吖 ( 2 2 3 1 ) 口pr e j m 当系统粒子数守恒时，m 是好量子数，与对易，因此地的本征态q ，：j ，ld ) 也就是 以符号标记量子数，。石，j ，综合( 22 2 0 ) 、( 2 2 2 2 ) 、( 2 2 2 9 ) 和( 2 2 3 0 ) 式，不难得到 j 3 u h f = h b u 6 = 占。mq：m9。m(22-32) 口m + v ( a 0 - 20 3 盯4 ) 【( q j q ：。) ，o ( q 。q 。) f ，。】。 口口j d g r # 1 作宅间截断，取退耦近似，则j 为偶数，相应的为+ ，r = o 。在这种近似条件下，乒0 ，2 的 q 玻色子分别称为s ，d 玻色子，即 f + = q 。乙o ，d + = q 。+ ；m ，m = 0 ，2 f 22 3 3 ) 相应风的s d 玻色亍二表不为： 6 = 占，f + 5 + f d d ：d i n + j 7 巧c ， ( j 。o + ) ( 孑彳) ， 。 + 吾矿， s 十s + ( f f d ) o + h c ) + j ；矿。 s + 【d + ( 孑孑) ? 】。+ 南c ) ( 2 2 - 3 4 ) + 矿j 5 + j + 5 s + 矿j5 + s y d , 7 , d 。 其中s 、，s d 为s , d 玻色子单粒子能量，n b = 一| v d = s + s + a r ：d 。为玻色子数。( 22 3 4 ) 式就是i b m - 1 的微观表达式，( 22 - 3 3 ) 式也就是s , d 玻色子的微观解释。由于f e r m i 子数算 符为n r = 。口：日。，利用( 22 - 2 0 d ) 式不难得到 ( 矿o ) l 。日：a 。f 妒) = i 爿易爿。p g ( ：) = 2 爿易爿。p g ( z ) ( 22 3 5 ) 口口口( 口 ( 22 3 5 ) 式表明b o s o n 子数是f e r m i 子数的一半。 综【一所述，原子核集体态空间可以通过u s u i 变换在b o s o n 空间中求解，变换后的b o s o n f 数是f e n n i 子数的一半，理想波色子算符4 。i 下标的反对称性体现了p a u l i 原理。因此， 只要确定单粒子能量和( 22 - 9 ) 式中有效相互作用的强度系数，则哈密顿量表达式( 22 3 4 ) 中 的各项系数均可求出。值得提出的是，考虑到核子对跨壳激发，该方案还能够描述中重、 近满壳核“形态共存”现象【3 6 ”，删。 23 原子核的转动 原子核的转动完全是唯象的概念。一般将近似等间距的能带结构视为振动带，准线性 间距的能级谱称为转动谱。这一节在集体运动理论的基础上，讨论原子核的转动以及能谱 公式。 首先考察b m m 中的基本方程( 21 4 9 ) ，由于角动量r 。是用欧拉角表示，可取陀螺波 函数。 。 d 二k ( 力，) = ( i m l 五f 田，蠢= p 1 n 。e 1 l q e 1 n ， ( 23 1 ) 这里j ，= ，2 ，3 是内禀运动角动量的三个分量，j r 是总角动量量子数，髟是总角动量在 体坐标系的第三坐标轴上的投影量子数， 彳是总角动量在实验室坐标系的第三坐标轴上的 投影量子数，詹为转动算符，它的导数： 7 焘一1 qe 1 山q 咖1 亿，7 云一1 功加1 鸲e 1 na n l 一 a q ， i 1 z a n ： e 1j ? oj 2e t j n 4 = j ls i n - q | + j2c o s - q l e t j ：n 2 j3e 一| j3 n ! = 一j is i n q 2 + j3c o s c 22 e l j ! n 。j 矿j l n i = jlc o s j q l j2s i n ( 2 i f 23 - 2 1 ( 2 3 - 3 ) 可得： ，矽刍，娥小i n 力3 + j 2c o s 矧，矛惫= 肌 去： ( - d l s i n 即。m 3 + d 2s i n 蛐力3 + j 3c o 啪， 。3 4 由此给出： ( r ，+ - i r3 ) = 月i 晨= 一k ( j ，? ) = 一直j ! ，r 3 盖= 一蠢j j 求对易关系： r ir = 一r j i ，r 2 r = 一r j 2 ，r jr = 一r j j ， r lr2 = 一r i & j 2 = j | j 2 ， r 2r | = 一r2 j | = 爱j 2jj 得剑角动缝的对易关系： r 1 ，r 2 】= 一i r 3 ，【r l ，r 3 = 一i r ， r 3 ，r ，】= 一i r i ， o r 【r ，r ， - - i c ，r ， 由以上结果可得 r jr = r r j 相应的矩阵元为： r ；d i , 厅= d k ，( 1 k j r ；j ，足) ， r r ；d i , k 。丢d k j i k “r ；，k 、，r ；d o k = d j , kk 2 利_ j 公式： ( 23 5 ) ( 2 3 - 6 ) r 2 3 - 7 a ) ( 2 3 7 b ) r 2 3 一s a ) ( 2 3 - 8 b ) j + ，k 、= 口二! ，足+ j ，一，k ) = a ；一，k d ，j j ，k j = 足1 ，k )( 23 9 ) 可得： i ，；，k ) = 口上j + | ，k + ) = a 二口f + 1 ，j ，k + 2 ) ， ，! ，足) = 口r 一1 ，j j ，k j ) - o 。1 一口k 一1 2 1 ，k 一2 ) ， ，+ i ，一f ，目= 口k 1 一，+ f ，k 一，) = ( 口k 一1 j ) 2 f ，k ) = ( ，( ，+ ，) 一k ( k 一1 ) r i ，足) ， ，一，+ f ，脚= 口羔j i ，k + i ) = ( 口：) 2 f ，k ) = ( ( ，( j r + ，) 一k ( k + i ) i i ，髟) ， t j + j 一十j j + ) j 1 ，k 1 = 2 k ll i 十1 ) 一k 2 j i i k 、 ( 1 ，+ j 一十，一j + ) 1 ，k ) = 2 f ( ，( ，+ ，) 一k 2 1 1 ，k