第五章定积分.doc

第五章 定积分一、 内容提要1概念与性质定积分 设在上有界.(极限存在时)其中是任意分割为个小区间，所得的第个小区间的长度，,是第个小区间上的任意一点.设函数在a,b上可积，定积分有以下性质：性质1 =（为常数）.性质2 .性质3 =，规定.性质4 =+.性质5 若在上，则.性质6 .性质7 估值定理 若在上的最大值和最小值分别为和，则.性质8（定积分中值定理）若在上连续,则在上至少存在一点，使得，.无穷限的广义积分 设在连续，若右边极限存在，则称无穷限广义积分收敛，否则称其发散（不收敛）.无界函数的广义积分 设在连续，若右边极限存在，则称无界函数的广义积分收敛，否则称其发散（不收敛）.2.定理与公式牛顿莱布尼茨公式 其中在 a ,b 上连续，是在a,b上的一个原函数. 换元积分公式 式中在上单调，有连续导数，且，.分部积分公式=式中在上具有连续导数. 变上限定积分求导公式式中是连续函数，在a,b皆可导.二、例题分析1.定义与性质例5.1 计算下列极限（1）；（2）；（3）.分析 由定积分定义知 由此可求一些和式的极限. 解 （1）（2） （3）例5.2 求（1998年数学考研试题）.分析 解此类题一般有两种方法，一是夹逼定理，二是化为定积分的和式.本题是两种方法的结合，先用夹逼定理，再将夹逼定理中不等式的左、右两边再化成定积分形式.解 由于所以 而 于是 例5.3 估计下列各积分的值：（1）；（2）.分析 求出被积函数在积分区间上的最大、最小值.解 （1）在上单调递增且大于零，所以在上也单调递增，故，即 （2）记，则.令，得唯一驻点.又，,所以 ， 即 例5.4 设及在上连续，证明 （1）若在上，且，则在上，；（2）若在上，且，则在上，.证明（1）（方法一） 用反证法 假设在上，则至少存在某点，使（不妨设，若是区间端点证明类似），由于在上连续，则存在的某个邻域，使得对邻域内一切都有（是某个常数），因此这与假设矛盾，所以在上.（方法二）设，（），则，因为在上连续，且，故 ，.又因 =，所以 （），因此 ，即 （）.（2）令，则在上，且，由上面的结论知，即在上.例5.5 设在上连续，在内可导，且，求证:.分析 由已知的导数与M的不等关系，要证明的定积分与M之间的不等关系，首先用拉格朗日中值定理建立与其导数之间的关系，然后用定积分中性质5的推论（1）证之.证明 在内任取一点，因为在上连续，在内可导，所以在上满足拉格朗日中值定理的条件，则在内至少存在一点，使得又因，所以将上述不等式两边从到积分，得即 例5.6 设函数在上连续，内可导，且证明在内至少存在一点，使分析 在上连续，内可导，证明在内至少存在一点，使成立，一般常用罗尔定理.但这里缺少条件，注意到由积分中值定理, 所以 其中，故罗尔定理的条件满足.证明 由积分中值定理知，至少存在一点，使即，故在上满足罗尔定理的条件，于是在内至少存在一点，使例5.7 设在区间上连续，在区间上连续且不变号，证明至少存在一点，使下式成立：（积分第二中值定理）分析 ，所以只要证明其中分别为在上的最大、最小值.证明 由于在上连续，故可设分别为在上的最大、最小值.（1）若，则，即（2）若，则同样有 由介值定理的推论知，必存在，使得故 例5.8 设在区间上均连续，证明：（1）（柯西-施瓦茨不等式）；（2）（闵可夫斯基不等式）.分析（1）将看作是二次多项式根的判别式.则相应的二次多项式为因为，所以只要证明 （2）两边平方整理得，由（1）的结论知上式成立.证明 （1）因为 即 上式左端是关于的二次多项式，从而有判别式，即 所以 （2） 由（1）的结论知 即 于是 即 所以 2微积分基本公式例5.9 计算下列各导数：（1）；（2）.解 （1）（2）例5.10 计算（1）；（2）；（3）.解（1）定积分对于变量来说，是一个常数，所以（2）定积分对于变量来说，是变上限的定积分，因此，=（3）定积分对于变量来说，是变下限的定积分，因此，=例5.11 设连续，则. ; ; ; .(1998年数学考研试题)分析 欲求，将通过变量代换，把被积函数中的转化到积分限上,再求导.解 令，则，故选.例5.12 设函数连续，且（A为常数），求并讨论在处的连续性.(1997年数学考研试题)分析 与例5.11类似，当时，将通过变量代换，把被积函数中的转化到积分限上,再求.当时，由的定义知.根据知.由导数定义求出.再根据函数连续性的定义判断在处的连续性.解 令，则 = 由及的连续性知:，从而.由导数定义得 故 又 所以在处连续.例5.13 求下列极限（1）；（2）.解 (1) .(2) .例5.14（1）求；（2）设，求.分析 被积函数出现根式、绝对值、分段函数等形式，计算时首先去掉根式、绝对值记号或分段记号，这时特别要注意被积函数在不同区间上的正负号或不同表达式，以免导致错误.解 （1）=（2）, 所以+=+=7例5.15 设,求在上的表达式，并讨论在内的连续性.分析 由于的定义域被分成两段，故的表达式也要相应地分成两段来讨论.解 当时，；当时，=+.所以 显然，在内连续，只需讨论它在处的连续性.因为 故在处连续，从而在内处处连续.例5.16 设,求在内的表达式.分析 由于的定义域被分成三段，故的表达式也要相应地分成三段来讨论.解 当时，；当时，当时，=+所以 例5.17 设在上连续，在内可导，且，证明在内有.证明 （方法一） （方法二）例5.18 设，证明.分析 注意到，.所以，只要证明时，即可.证明 因为时，所以 及 , 即 因此 而 所以 3.定积分的换元法例5.19 计算.解（方法一）（方法二）.注意 换元积分中，新的变量不写出，则上、下限不能变；新的变量一旦写出，则上、下限一定要变.例5.20 计算.解 (方法一) 用三角代换（对于三角变换，通常取反三角函数的主值，以保证单值，满足换元积分的条件）令 ，当时，；当时，=（方法二） 令，则，且当时，；时， 例5.21 计算解 作变换，则， .例5.22 求（1）；（2）.解 （1）常见错解 (1) 作代换，则，且当时，；当时，.由=，移项得 .错误原因 代换在处不连续，当然也不可导，在引用变量代换时，必须满足单值且有连续导数的条件.（2）因，所以注意 遇到对称区间上的定积分时，首先要考虑被积函数的奇偶性.例5.23 设，则（ ）. （1994年数学考研试题）解 考察被积函数的奇偶性得，故 ，选.例5.24 证明 .分析 本题由上、下限易看出所作的变量代换为证明 令，则例5.25 证明 分析 本题由上、下限可想到先将左边分为积分区间为和的积分，然后再通过变量代换（由上、下限易看出）将上的积分化为上的积分.证明 令，则由同济四版上册第300页例6知所以 例5.26 设，求.解 令，则例5.27 计算.分析 本题考虑用变量代换使得原积分再现，即将上、下限分别为的积分化为上、下限分别为的积分.由积分上、下限知所作变换应满足.解 令，则所以 例5.28 若是连续函数且为奇函数，证明是偶函数；若是连续函数且为偶函数，证明是奇函数.分析 记，要证明是偶函数，只要证,即（所需变换由上、下限易看出）.证明 记，则.若为奇函数，则,所以是偶函数；若为偶函数，则所以是奇函数.例5.29 设是以为周期的连续函数，证明的值与无关.分析 （方法一）由定积分的几何意义直观地可看出，与无关.为证得上式，须将分成再证明（所需变换由上、下限易看出）.（方法二）要证与无关，只要证.证明 （方法一）因为=,而所以,即的值与无关.（方法二）因为，所以的值与无关.例5.30 设，则(A) 为正常数 (B) 为负常数(C) 恒为零 (D) 不为常数（1997年数学考研试题）解 因为被积函数以为周期，故故选（A）.4定积分的分部积分公式例5.31 计算解 利用定积分的分部积分公式得 +移项整理,得=+=+=+注意 本题也可以作代换，利用换元积分法来计算，但是换元后要求出的原函数，计算就复杂的多.例5.32 计算定积分（为自然数）.解（方法一）（用分部积分法得出递推公式，再求之.） .记，则而 ， 所以为正偶数时，；为大于1的奇数时，.即 （方法二）令，则由同济四版上册第305页例3知 例5.33 计算解 由同济四版上册第300页例6（2）与第303页习题5-4.8得.又由同济四版上册第305页例3得又当时，.当时，.例5.34 计算；解 .例5.35 设，求.分析 （方法一）因为的原函数不能用初等函数表示，直接求定积分有困难.对积分用分部积分法.而由，可知， ，问题便得到解决.（方法二）将看作二重积分，交换积分次序即可求得.解 （方法一）图5-1=.（方法二）.例5.36 设为连续函数，证明.证明 （方法一）由分部积分公式得所以 （方法二）令，则所以（常数）,又因为，故.所以 图5-2（方法三）时，将右边看作二重积分，交换积分次序得；当时，二重积分 图5-3所以 当时，结论显然成立.综上所述知 .5广义积分例5.37 计算解 例5.38 计算解 例5.39 计算解 例5.40 计算解 因为,所以发散.常见错解 因为为奇函数，所以.例5.41 讨论的收敛性.分析 如果忽略是的无穷间断点，而把它误认为定积分来计算，就会得到错误的结果.解 因为 所以发散，从而发散.例5.42 计算解 例5.43 讨论的收敛性.解 因为是的无穷间断点，所以+又因为 所以发散，从而发散.注意 对于例5.43这种类型广义积分要化成上、下限只有一个是无穷或无穷间断点的广义积分之和讨论.和式中每一个广义积分都收敛，则原广义积分收敛，否则原广义积分发散.例5.44 当为何值时，广义积分收敛？当为何值时，这广义积分发散？又当为何值时，这广义积分取得最小值？解 当时，当时， 故当时，广义积分发散；当时，广义积分收敛 收敛时广义积分的值为：则 令，得唯一的驻点.当时，；当时，所以当时，.例5.45 利用递推公式计算广义积分.解 由洛必达法则,对，有因而 依次类推得 而 故 三、自测题（满分100分，时间 90分钟）；一、 填空题 1. 设在上连续，则+ ；2. ；3. ，则 ；4. ； ；5. 设，且，则 ；6. 对于函数在闭区间上应用定积分中值定理，则定理结论中的 .二、 选择题 1. =（ ）（A）；（B）；（C）；（D）2. （ ）（A）；（B）；（C）；（D）发散3. （ ）（A）；（B）；（C）；（D）4. 若，则（ ）（A）；（B）；（C）；（D）5. 设在上连续，则下列积分正确的是（