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第二章解线性方程组的直接法 数值分析 2 1消元过程与矩阵的三角分解 1 3基本的三角分解法 doolittle法 上式可记为 同样 由 综合以上分析 有 因此可以推导出 u的第一行 l的第一列 1 2 u的第r行 l的第r列 3 4 称上述 1 4 式所表示的分解过程为doolittle分解 对于线性方程组 系数矩阵非奇异 经过doolittle分解后 线性方程组可化为下面两个三角形方程组 上述解线性方程组的方法称为直接三角分解法的doolittle法 例1 用doolittle法解方程组 解 由doolittle分解 doolittle法在计算机上实现是比较容易的 第二章解线性方程组的直接法 2 2gauss列主元消去法 数值分析 2 2gauss列主元消去法 例1 用gauss消去法解线性方程组 用3位十进制浮点数计算 解 本方程组的精度较高的解为 用gauss消去法求解 用3位十进制浮点数计算 一 gauss列主元消去法的引入 9999 回代后得到 与精确解相比 该结果相当糟糕 究其原因 在求行乘数时用了很小的数0 0001作除数 主元 如果在求解时将1 2行交换 即 0 9999 回代后得到 这是一个相当不错的结果 例2 解线性方程组 用8位十进制尾数的浮点数计算 解 这个方程组和例1一样 若用gauss消去法计算会有小数作除数的现象 若采用换行的技巧 则可避免 经过回代后可得 事实上 方程组的准确解为 例2所用的方法是在gauss消去法的基础上 利用换行避免小主元作除数 该方法称为gauss列主元消去法 第二章解线性方程组的直接法 2 4平方根法 数值分析 2 4平方根法 一 对称正定矩阵的三角分解 cholesky分解 记为 1 因此 diagonal 对角 为非奇异下三角阵 为非奇异上三角阵 2 3 因此 所以 综合以上分析 则有 4 5 定理1 cholesky分解 且该分解式唯一 这种关于对称正定矩阵的分解称为cholesky分解 6 7 8 二 对称正定线性方程组的解法 线性方程组 10 11 则线性方程组 10 可化为两个三角形方程组 12 13 14 15 对称正定方程组的平方根法 例1 用平方根法解对称正定方程组 解 即 所以原方程组的解为 本例中出现了大量的根式运算 原因为 考虑改变分解方式 请求解例1 三 平方根法的数值稳定性 用平方根法求解对称正定方程组时不需选取主元 由 可知 因此 平方根法是数值稳定的 第二章解线性方程组的直接法 2 5追赶法 数值分析 2 5追赶法 对角占优矩阵 有一类方程组 在今后要学习的插值问题和边值问题中有着重要的作用 即三对角线方程组 其形式为 其中 1 以下以doolitt
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