（水工结构工程专业论文）软岩基座上高陡危岩体的稳定性分析方法及其工程应用.pdf

摘要 摘要 边坡稳定性分析一直是土木工程中的重要研究课题，在岩土工程或其它工程领域占 据相当重要的地位。本文在乌江索风营d r 2 危岩体稳定性分析与加固的基础上，通过用 不同的方法对可能发生座滑、倾倒、滑移等多种失稳形式的对比分析，验证了所用计算 分析方法以及加固方案的可行性与合理性。 本文的主要研究内容包括： 1 、简单介绍了有限元的基本理论和有限元的求解思路，以及用矩形或长方体的常 规实体单元描述平面或空间岩体问题中的软弱结构面的思路； 2 、阐述了边坡稳定分析常用的几种方法，即刚体极限平衡分析法、常规有限元法、 逐步降低抗剪强度有限元法和非线性有限元迭代法，并对以上方法进行了分析 比较，考虑实际边坡工程的特殊性，本文对危岩体进行降低抗剪强度有限元法 和非线性有限元迭代法两种分析； 3 、研究该危岩体加固前、加固过程中及加固后的稳定性，为合理评价加固措施的 合理性和加固效果提供科学依据。研究中不仅考虑各种复杂的地质条件( 地形 地貌，地层岩性，地层构造、断层，夹层及裂隙) 和复杂的施工条件( 废水渗 漏引起的危岩体底部基座软岩加速软化及裂隙处理过程中流态混凝土产生的侧 向压力等) ，还考虑复杂加固措施( 锚固洞锚索，固结灌浆及抗滑桩等) 的影 响。 4 、研究成果给出了危岩体加固前、加固过程中及加固后的稳定性，对危岩体加固 方案进行进一步优化。提出合理，系统的危岩体稳定及加固分析方法。 关键字：危岩体、有限元、稳定分析、加固 a b s t r a c t a b s t r a c t s l o p es t a b i l i t ya n a l y s i sh a sa l w a y sb e e na r ti m p o r t a n tr e s e a r c ht o p i ci nc i v i le n g i n e e r i n g i t o c c u p i e sav e r yi m p o r t a n tp o s i t i o ni ng e o t e c h n i c a le n g i n e e r i n ga n d o t h e re n g i n e e r i n gf i e l d s b a s e do nt h ew u j i a n gr i v e rs u o f e n g y i nh y d r o p o w e rd a n g e r o u sr o c k s s t a b i l i t ya n d r e i n f o r c e m e n t 1 i k e l yt ou s ead i f f e r e n tm e t h o do fs l i d i n gb l o c k s ，d u m p e ds l i pa n d o t h e rf o r m s o fi n s t a b i l i t yc o m p a r a t i v ea n a l y s i sc o m et oa g r e e m e n ti nt h ef e a s i b i l i t ya n a l y s i sa n dr e i n f o r c e d r e a s o n a b l e i nt h i sp a p e r , t h em a i ns t u d yi n c l u d e s ： 1 、i nt h i sp a p e r im a d eab r i e fi n t r o d u c t i o nt ot h eb a s i ct h e o r yo ff i n i t ee l e m e n ta n di t s s o l u t i o ni d e a s ，a n du s et h ec o n v e n t i o n a ls o l i de l e m e n to fr e c t a n g l eo rc u b o i d st od e s c r i b e t h ew e a ks t r u c t u r eo f t h ep l a n eo rs p a c er o c ke n t i t i e s ； 2 、e x p o u n d i n gm a n yc o m n l o nm e t h o d so fs l o p es t a b i l i t ya n a l y s i s ：r i g i dl i m i te q u i l i b r i u m a n a l y s i s ，t h ec o n v e n t i o n a lf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，g r a d u a l l yr e d u c i n gt h es h e a rs u e n g t h o f t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o da n dt h en o n l i n e a rf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，a n da l s om a k i n ga n a n a l y s i sa n dc o m p a r i s o no ft h em e t h o d sa b o v e c o n s i d e r i n gt h ep e c u l i a r i t yo fa c t u a l s l o p e w e a kr o c ka r ea n a l y z e dw i t ht w om e t h o d s 1 1 1 ef i n i t ee l e m e n tm e t h o da n dt h e n o n 1 i n e a rf i n i t ee l e m e n tm e t h o d 3 、s t u d y i n gt h es t a b i l i t y o fd a n g e r o u sr o c k si nt h r e es t a t e ：b e f o r e ，d u r i n ga n da f t e rt h e p r o c e s so fs t r e n g t h e n i n gs oa st op r o v i d eas c i e n t i f i cb a s i sf o re v a l u a t i n gt h er e a s o n a b i l i t y a n de f f e c to ft h es t r e n g t h e n i n gm e t h o dr e a s o n a b l y t h es t u d yc o n s i d e r sal o to ff a c t o r s ， n o to n l yc o m p l e xg e o l o g i c a lc o n d i t i o n s ( t o p o g r a p h y , s t r a t i g r a p h y , l i t h o l o g y , s t r u c t u r a l f a u l t sa n df i s s u r e sa n dd i s s e c t i o n 、a n dc o m p l i c a t e dc o n s t r u c t i o nc o n d i t i o n s ( c a u s e db y t h el e a k a g eo fd a n g e r o u sr o c k si nt h eb o t t o mo ft h eb a s ew a s t e w a t e rs o f tr o c kf i s s u r e s a n da c c e l e r a t et h ep r o c e s sm i d s t r e a ma t t i t u d es o f t e n e dc o n c r e t et h el a t e r a lp r e s s u r e ， e t c ) b u ta l s ot h ei n f l u e n e e so fc o m p l e xr e i n f o r c e m e n tm e a s u r e s ( a n c h o rc a b l e ，a n d c o n s o l i d a t i o ng r o u t i n gh o l e sa n ds l i d i n gp i l e ，e t c ) 4 、s t u d yr e s u l t sw i l lb eg i v e nt h es t a b i l i t yo ft h es t r e n g t h e n i n ga n dr e i n f o r c e m e n to ft h e p r o c e s so fs t r e n g t h e n i n g t h es t a b i l i t y , s t r e n g t h e n i n gf u r t h e ro p t i m i z a t i o no ft h e d a n g e r o u sr o c k s ，a n da l s os o m ea d v i c eh a sb e e ng i v e no nt h er e i n f o r c e m e n tm e t h o d b e c a u s et h e r ea r es t i l ls o m ep r o b l e m s k e y w o r d s ：d a n g e r o u sr o c k s ，t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d s ，s t a b i l i t ya n a l y s i s ，r e i n f o r c e m e n t 学位论文独创性声明； 本人所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同事对本研究所 做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。如不实，本人负 全部责任。 论文作者( 签名) ： 学位论文使用授权说明： 肜日 河海大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术期刊( 光 盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件或电子文档，可以 采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文 的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅。论文 全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权河海大学研究生院办理。 笾因啤莎， 河海人学颀j 学位论文 第一章绪论 1 1 边坡工程研究概况 边坡工程是人类参与自然和改造自然活动中的一个古老而又常新的话题，并一直是 岩土力学、工程地质学和相关学科的一个重要丽基本的领域。它涉及交通、水利水电、 建筑、江河路堤、能源及采矿等各类工程活动。其研究已有1 0 0 多年的历史【i l 。我国从 二十世纪5 0 年代以来，进行了大量的边坡稳定性研究，取得了一系列的基础理论研究和 工程实践成果。随着社会经济的快速发展，大型工程的建设项目不断涌现，对边坡工程 的研究日益广泛深入。如何经济、有效地保证边坡工程的稳定性就显得十分迫切地需要， 并对其稳定性进行研究和评价也有着巨大的社会效益和经济效益。 1 2 边坡稳定性研究进展概况 边坡稳定性分析一直是土木工程中的重要研究课题，在岩土工程或土木工程领域占 据相当重要的地位。到目前为止，边坡稳定性分析方法经历了三个阶段，即传统的定量 分析评价方法阶段、数值分折方法阶段和目前采用的综合评价方法阶段f 2 1 。 第一阶段采用的主要是工程地质分析法，类比法和极限平衡法。类比法实质是一种 经验方法。极限平衡法通过潜在滑体的受力分析，引入莫尔一库仑强度准则，根据滑体 的力( 力矩) 平衡，建立边坡安全系数表达式，进行定量评价分析，这种方法由于安全 系数的直观性至今仍被广泛采用。 第二阶段始于上世纪6 0 年代，数值方法被引入到边坡稳定性分析中。数值方法包括； 从早期的有限差分法、有限单元法、边界单元法到近些年出现的主要针对岩土介质的离 散元法、关键块体理论、非连续变形分析、运动单元法、刚体有限元法、快速拉格朗日 分析法【3 i 、数值流行方法等。数值方法能从较大范围考虑介质的复杂性全面分析边坡 的应力应变状态，有助于对边坡变形和破坏机理进行分析，较极限平衡法有很大的改进 和补充。 第三阶段始于上世纪7 0 年代，这个阶段一些新的理论和现代评价方法在边坡分析中 得到应用，如可靠性理论、模糊数学、随机过程、概率论与统计、灰色预测理论、混沌， 凳一章绪论 分叉、分形等非线性理论，以及人工智能与神经网络、损伤力学等，显示了良好的应用 前景，并在边坡稳定性的非线性动力学理论模型、滑坡系统的自组织特性、边坡变形的 分析特征、边坡失稳的分岔与突变模型、边坡稳定判别的灰色系统理论等方面取得了若 干成果。这些新理论和方法大大推动了边坡稳定的研究进展，但由于这些方法仍处于探 索阶段，因此仍然存在很多不足，如：滑坡系统参数的选择往往受到实际监测资料的限 制，资料自身的误差影响滑坡过程中的非线性方程的建立；对于滑坡的自组织特性，由 于边坡系统内部和外部之白j 的相互作用和耦合机制不清楚，难以建立模型来进行分析和 研究，只能通过系统的一些宏观参数的数值分析来研究系统的复杂性。 我国从建国至今，边坡稳定性的研究大致可分为以下几个阶段1 4 j 。 5 0 年代，以研究铁路路堑边坡和引水渠道边坡为主，采用工程地质类比法给出边坡 角，作为边坡设计的依据。 6 0 年代，开始形成了岩体结构及控制的观点( 岩体为不连续结构体，岩体结构控制 岩体变形和破坏规律，结构的控制作用远远大于岩体组成成分的控制作用) ，划出了边坡 岩体结构类型，并在应用赤平极射投影的基础上，提出了实体比例投影方法用以进行块 体破坏的计算，判断边坡的稳定性。 7 0 年代，开始进行边坡的破坏机理研究。在计算方面，随着计算机的发展，在极限 平衡原理和弹塑性力学理论的基础上，广泛应用有限单元法来分析边坡变形破坏条件及 评价边坡稳定性。到7 0 年代末。已经形成了一套比较完整的地质力学学术观点和方法。 在研究边坡稳定性问题上，积累了较丰富的实践经验。 8 0 年代以来，边坡稳定性研究进入了比较全面的发展阶段。建立了典型边坡“工程 地质模型”，是对岩质边坡稳定性工程地质认识的一个飞跃；另一方面，随计算理论及计 算机技术的发展，数值模拟技术已广泛应用于边坡稳定性研究中，且逐步从定性过渡到 半定性、半定量研究边坡变形破坏过程及内部作用机制过程，并从整体上认识边坡变形 破坏机制，认识边坡稳定性的发展变化。如此同时学科之间的相互渗透使许多与现代科 学有关的系列理论方法，如系统论、非线性科学、不确定性等研究方法被引入边坡稳定 性的研究中，从而使其进入一个新阶段。在这期间，我国在边坡稳定研究某些方面作出 了重大的贡献，其主要标志l 钉： 7 0 年代潘家铮提出了滑坡极限分析的两条基本原理极大值原理和极小值原理， 并在1 9 8 0 年指出国外有些文献中将“极大”改为“极小”的错误。并同时指出，这两条 2 i 4 海人学颀i 学位论文 原理是相辅相成的，是指导滑坡极限分析的理论准绳。 1 9 7 8 年张天宝提出了在确定最危险滑弧位置方面较费兰纽斯的m m 线，方捷耶夫的 扇形面积等经验方法更为准确的方法。 1 9 8 1 年，孙君实利用虚功原理，根据d c d r u c k e r 公设，证明了潘家铮的极大值定 理；利用模型数学工具，提出了安全系数的模糊解集概念。同时于1 9 8 5 年，他根据索科 洛夫斯基推导的极限稳定边坡原理，提出“等k 边坡”榉念。 1 3 边坡稳定性评价方法的概况 边坡稳定性研究进入力学机制和内部作用研究阶段在边坡稳定性计算分析方面基本 上沿两种途径进行，一是传统的极限平衡法，如瑞典条分法、j a n b u 法、b i s h o p 法、s a r m a 法、s p e n c e r 法、通用条分法等【2 1 ，其理论基础是将滑动区域可能的滑动体视为刚体， 设在滑动面( 带) 上的岩土体处于塑性极限平衡状态，而后利用刚体力学的观点分别计 算滑动体所受的抗滑力( 或力矩) 和滑动力( 或力矩) ，利用二者的比值作为边坡稳定性 的衡量标准，其值即为安全系数。在计算时作了许多假定 1 3 - 1 6 1 ： ( 1 ) 假定了一定形状的滑动面； ( 2 ) 沿整个滑面上的安全系数是常量； ( 3 ) 划分的条块是一系列刚性体； ( 4 ) 滑面上的抗剪强度采用了莫尔一库仑准则，滑面上的土体为刚塑性材料。 该法的优点在于理论基础简单，便于实现，且得出的安全系数易于为人们所接受， 但其缺点是忽视了边坡岩土体本身是变形体，边坡的破坏过程是其内部应力分布和变形 不断调整的过程。鉴于此，利用近现代发展起来的基于弹塑性理论计算边坡稳定性的各 种数值分析方法，已受到了人们的重视。在诸多数值分析方法中有限元方法得到了极大 的应用，其计算理论已从早期的弹性发展到弹塑性或粘弹塑性。几何非线性有限元方法 能够较准确地模拟岩土体实际地质状况，并能考虑岩土体的非线性本构关系，可以比较 真实地反映边坡的实际变形和应力分布规律。一是有限元边坡稳定分析方法，与传统的 刚体极限平衡法相比，有限元边坡稳定分析方法有以下优点【1 7 - 1 9 】： ( 1 ) 能够全面满足静力平衡、变形协调以及应力、应变之间的本构关系，不必引入 假定条件，保持了严密的理论体系。 ( 2 ) 基本不受边坡几何形状的不规则和材料的不均匀性的限制，可以较真实地模拟 第一章绪论 边坡的地形地貌以及边坡内复杂的地质条件。 ( 3 ) 无需事先假定破坏面的形状和位置，破坏很“自然地”发生在边坡岩土体抗剪强 度不能抵抗剪应力的位置。 ( 4 ) 可以分析边坡破坏的发生和发展过程，模拟边坡开挖及加固的施工过程，考虑 岩土体与支挡结构的共同作用及其变形协调。 ( 5 ) 有限单元法可以提供应力、应变、位移等变量的全部信息。 正是由于有限元法上述优点，边坡稳定分析的有限元法近年来受到众多学者的关 注。但由于传统的有限元法无法直接得到工程实践广泛应用的安全系数和滑动面形状及 位簧，因此如何将其计算成果与传统的边坡稳定安全系数联系起来，已成为边坡稳定有 限元中的一个重要研究课题，不少学者进行了比较全面的研究。例如现在应用较多的为 强度折减法来确定滑动面安全系数、形状及位置。 1 4 问题的提出 我国西部水电资源丰富，随着“西电东送”项目的实旌，许多大型水电工程纷纷上 马。西部地区地势险峻，山势陡峭，高度2 0 0 米左右的岩质陡壁较多，并且该地区的地 质条件复杂，岩体内部被许多软弱结构面切割，岩体基座的力学性质差等情况较为普遍。 这些危岩体处理的成败可能关系到整个水利枢纽的正常运行，特别是我国缺乏近2 0 0 米 垂直岩质高陡边坡的处理经验，故需利用更为有效的分析理论和手段对高陡危岩体加固 前后的稳定性利用更为有效的分析理论和手段进行深入系统的研究及综合评价。 刚体极限平衡条分法力学模型简单，把岩土体视为刚体，忽略它的形变，把岩土体 之间的作用简化为单纯的力或力矩的作用。该方法无法考虑塌滑体及其基岩力学特性的 不均匀性和滑动面上应力分布的影响等，也无法给出边坡在接近临界失稳状态下的变形 规律，并且无法考虑危岩体的不均匀变形，只能单独的计算某一种破坏形式下的安全系 数，而不能确定唯一可能发生的破坏形式，因此建立在刚体极限平衡法基础上的计算结 果只能是一种近似结果。 有限元法能考虑岩土体的应力应变性质，求出边坡失稳时岩土体内部各点的应力 和变形值，也能考虑塌滑体与基岩之间不同材料的分区特性，较方便的解决各种荷载( 如 自重、渗流及地震等) 的综合作用的问题。运用有限元方法，滑动面上的法向力和切向 力可直接从有限元应力成果上获得，这样可避免人为的粗糙假定，克服了极限平衡分析 4 4 海人学顾i 学位论文 法的大部分缺陷，但在如何合理地模拟滑动面上的力学特性方面仍存在一些问题。而且 常规的有限元分析方法当滑动面全部处于屈服状念时无法求解。文献1 2 0 1 中的静力法是目 前有限元分析中的一种常用方法，即求解在实际荷载作用下边坡的应力、变形，然后按 安全系数的定义求解抗滑稳定安全系数，但这一方法求得的结果与具有“材料强度储备 系数”意义的抗滑稳定安全系数定义并不完全相符，因为用这一安全系数降低抗剪强度 后对边坡进行重新分析，并不能保证滑动面上的所有点正好都处于临界稳定状态。此外， 当边坡的实际抗滑稳定安全系数小于1 时，这种方法无法求解。因此，需要采用一种能 解决上述问题而又具有普遍意义的边坡抗滑稳定分析方法。 对于岩质边坡加固后稳定性的评价，许多文献 2 1 - 2 3 都是对加固前后的位移量、位移 速度或塑性区进行比较从而作出定性的判断结论，而未对加固后边坡的稳定性进行定量 的判断。目前大多边坡加固工程都是通过工程类比法或根据工程经验制定加固方案。因 边坡( 特别是大型高边坡) 的稳定性将极大地影响整个工程的安全，故大多边坡一般都 采取较为保守的加固措施，这样就可能会造成经济上的不合理。所以有必要对加固后边 坡的稳定性进行量化评价，而最直接的定量评价指标即为稳定安全系数。因此如何计算 加固边坡的稳定安全系数即成为具有普遍意义的问题。 本文正是在此种背景之下，就此课题进行了研究，在总结前人的优秀研究成果的基 础之上，采用合理模拟以央层、结构面等为滑动面的薄层单元及相应的非线性分析方法， 引用了由李同春、卢智灵i 纠提出的塌滑体抗滑稳定安全系数的有限元迭代解法。本文用 逐步降低抗剪强度法判断出危岩体可能发生的破坏模式，并用有限元迭代解法对已知滑 动面的情况进行三维非线性有限元计算，分析危岩体天然状态下的稳定性。在天然状态 稳定分析的基础上，对加固后的岩质边坡进行稳定性分析，得到此状态下的稳定安全系 数，并将此方法应用于乌江索风营水电站d r 2 危岩体进行了三维非线性有限元分析中， 得到了危岩体在天然状态和加固后的稳定安全系数。 1 5 本文的主要研究目的和内容 d r 2 危岩体位于乌江索风营电站右坝肩t l m 灰岩陡壁上，在电站施工及运行期任一 阶段其失稳都将给工程带来不可估量的损失。因此本文主要是在结合工程实际的基础上 对危岩体进行稳定分析。其主要内容包括： l 、简单介绍了有限元的基本理论和有限元的求解思路，以及用矩形或长方体的常 s 第章绪论 规实体单元描述平面或空间岩体问题中的软弱结构面的思路： 2 、阐述了边坡稳定分析常用的几种方法，即刚体极限平衡分析法、常规有限元法、 逐步降低抗剪强度有限元法和非线性有限元迭代法，并对以上方法进行了分析 比较，考虑实际边坡工程的特殊性，本文对危岩体采用降低抗剪强度有限元法 和非线性有限元迭代法两种方法进行分析； 3 、研究该危岩体加固前，加固过程中及加固后的稳定性，为合理评价加固措施的 合理性和加固效果提供科学依据。研究中不仅考虑各种复杂的地质条件( 地形 地貌地层岩性，地层构造、断层夹层及裂隙) 和复杂的施工条件( 废水渗 漏引起的危岩体底部基座软岩加速软化及裂隙处理过程中流态混凝土产生的侧 向压力等) ，还考虑复杂加固措施( 锚固洞，锚索固结灌浆及抗滑桩等) 的影 响。 4 、研究成果给出了危岩体加固前，加固过程中及加固后的稳定性，对危岩体加固 方案进行进一步优化，提出合理系统的危岩体稳定及加固分析方法。 6 i 1 1 i 海人学硕l j 学位论文 第二章本文所用的有限元理论基础 2 1 有限元方法 有限单元法最初是在五十年代作为处理固体力学问题的方法出现的。它是所谓的结 构分析矩阵方法i n 吉星斯( a r g y r i s ) 1 9 5 5 ，1 9 5 8 ；列维斯雷( l i v e s l e y ) 1 9 6 4 的一个 分枝。而矩阵法本身又是在1 9 4 5 1 9 5 5 这十年中由于研究那些分析包含有大量的构件的 复杂结构的系统的方法而发展起来的。 “有限单元法”这一名称是克拉夫( c l o u g h ) 在1 9 6 0 年首次引用的。它是一种数值 模拟方法( 用于边坡稳定性分析始于6 0 年代) ，用矩阵形式在电子计算机上进行计算。 有限元应力分析满足静力平衡条件，而且可以考虑由于岩土体的不同弹性、边坡的非均 质性和几何形状所引起的应力变化。有限单元法还可以进一步考虑变形体中泥化夹层的 渗流效应、孔隙水压力与岩土体颗粒之间的相互作用，滑动面上的压、剪应力随时间的 增减变化过程、塑性屈服过程、加工硬化与膨胀软化过程等力学形态。因此，用有限元 方法进行边坡稳定分析逐渐成为一种发展趋势。 有限元分析的实质是将连续的实体变换成为一个离散化的结构物，它由有限多个有 限大小的构件在有限多个结点相互联系而组成，这些有限大小的构件称为有限单元，也 可简称为单元。单元可以理解为由相互铰接的链杆组成，用结构力学解题方法，逐个分 析单元的力与位移关系，再根据边界条件分析整体结构的力与位移关系，从而解出各结 点的位移，然后根据这些位移求出各单元的应力和应变。 2 1 1 有限元法的求解思路 有限单元法的基本思路：根据总势能最小原则导出表示结点力和结点位移关系的单 元刚度矩阵，然后将单元刚度矩阵叠加起来，便形成该系统的总刚度矩阵，集成整个结 构的综合等效结点荷载列阵后，求解建立在整体刚度矩阵上的联立方程组，得到每个结 点的位移，然后便可以确定每个单元的应力和应变。 7 第二章奉义所用的有限，理论苹础 2 1 1 1 等参单元的位移模式及形函数 2 s 】 3 ，么j ：l a 6 4 5 2 2 3 ( a )( b )( c )( d ) 图2 1 单元模式 经过几十年的发展变迁，边坡稳定分析已逐渐由二维有限元分析发展到对边坡进行 三维有限元分析。二维有限元分析主要采用四结点单元和三结点单元，而三维有限元分 析主要采用八结点六面体单元、六结点五面体单元和四结点四面体单元，本文将以三维 有限元分析为主。三维有限元分析中三种单元的母单元模式如图2 1 所示。 八结点六面体单元( 图2 1 a ) 位移模式： 甜= n j u ，( “，v ，w ) ( 2 - 1 ) 坐标变换式：x = n , x ，( x ，y ，z ) ( 2 - 2 ) 形函数为： = 吉( 1 + 专孝) ( 1 + 矾彳) ( 1 + 幺f ) ( f = 1 ，2 , - - - , 8 ) ( 2 3 ) 0 其中，为结点f 的插值形函数。 六结点五面体单元( 图2 i b ) 位移模式； “= m 坼( h ，v ，w ) ( 2 - 4 ) 坐标变换式：工= f 弘力 ( 2 - 5 ) 8 一 盘。叭i二 ，缸 f i j 海人学硕l 学位论文 形函数为： l = 吉( i 均( 1 一手刊 2 = 圭( 卜f 滔 3 = 三( 卜锄 4 = 吉( 1 + 似1 一f 刊 虬= 圭( 1 峋手 6 = 圭( 1 + 铆 四结点四面体单元( 图2 1 c ) 位移模式： u ：圭j y 虬( 1 ，v ，们 2 2 “1 玑v wj t = l 坐标变换式：x ：圭m ( x ，y ，z ) r t = l 形函数为： j = 厶( f = l ，2 ，3 ，4 ) 其中为体积坐标。 2 1 1 2 单元的应变、应力矩阵 由于有限元法是从求解基本未知量入手的， 变) 用基本未知量( 一般是结点位移) 来表示。 的应力和应变公式 2 4 - 2 5 1 。 ( 2 6 ) ( 2 - 7 ) ( 2 - 8 ) ( 2 - 9 ) 因此必须将其它的未知量f 如应力和应 具体地讲，就是要建立用结点位移表示 基本未知量一般采用结点位移列阵 p = b 巧哦点】7 = k m w 吩吩一致唯心嵋】7 ( 2 1 0 ) 式中n 为结点数，下同。 空间问题的应变列阵为： 吣卜 r 如0 v0 w 2 医万一a z 9 0 w a , 1 否+ 副 ( 2 1 1 ) r叫盟钞 口 鱼玉 ， p 加一苏 ， 巳 跏一钞 第一二审奉文所用的有限几理论耩础 把相应的位移模式代入上式可得：扛 6 x i = 【b 】m 。p 陋弘9 为单元的应变矩阵。陋】= 马岛吃 陋k = 盟oo 积 。盟。 加 o a n ， 勿 o a n , 勿 o o n , 缸 a n 出 o o n , 受 0 o n , 砂 o n , 缸 式中：空间问题的应力列阵为： o = 1 , 2 ，力 ( 2 一1 2 ) ( 2 - 1 3 ) ( 2 - 1 4 ) p 。= 【d j 。叠 。，= f d 】。陋j 。，。 万= b 】。， 占 二。( 2 - 1 5 ) 式中p 】为单元弹性矩阵 【d 】= 五+ 2 g 五 a o o o o 五+ 2 g 五 0 o o o0 0o 且+ 2 g0 og o0 00 o o o o g 0 o o o o o g 这里的旯和g 为拉密常数，它们和弹性常数e 和u 有关， 五= ( 1 + ) ( 1 一和) g ：上 2 0 + ) bl 为单元应力矩阵，且f s 】= p 】陋】，可写成分块形式 小： l k 乙= 【d k 暖】5 。 1 0 ( 2 1 6 ) ( 2 - 1 7 ) ( 2 - 1 8 ) ( 2 - 1 9 ) i i , i 海人学碳i 擘位论文 2 1 1 3 单元的荷载列阵 根据有限元的离散思想，所有有关的量均要转换为结点的量，荷载也是如此，必须 将其转换为等效的结点荷载。等效转换必须按照静力等效的原则进行，因为这样才能使 得出于荷载移覆而g l 起的应力误差是局部的，不影响整体的应力( 圣维南原理) 。对于变 形体，包括弹性体在内，所谓静力等效是指原荷载与结点荷载在任何虚位移上的虚功都 相等，即满足能量等价条件。在一定的位移模式下，这样移置( 转换) 的结果是唯一的， 而且总能满足通常所理解的、对刚体而言的静力等效原则，即原荷载与结点荷载在任一 轴上的投影之和相等，对任一轴的力矩之和也相等，也就是说在向任意点简化时，它们 将具有相同的主矢量及主矩。荷载移置具体实旅是分片( 单元) 进行的。 i 集中荷载 当单元受集中荷载p 作用时，设其沿x ，y ，z 方向的分量分别为只，只，罡，则 = k只】7 设转换后的单元结点上的等效结点荷载列阵为 豫 。= 【一kz 。x ：kz ：以圪乙r 1 ( 2 2 0 ) 利用虚功相等条件来求忸 。 假设单元发生了虚位移，各结点的虚位移为 占 。，单元内任一点的虚位移 ， 。 则由式( 2 1 ) 可知 ， = i n l a ；。 ( 2 2 1 ) 按照等效转换原则，单元结点荷载与原荷载在上述虚位移过程中的虚功必须相等， 则有 怡 咿忸y = ， 7 p ( 2 啦) 由于虚位移是任意的，则由式( 2 2 1 ) 和式( 2 - 2 2 ) 可得 忸 = 【】7 p ( 2 2 3 ) 2 分布的体力 当单元受到集度为p 的分布体力作用时，设其沿工，y ，z 方向的分量分别为x ，y ， 第二章奉文所用的有限i 理论摧础 z ，则扫 = 防，z r 。它转换到单元结点上的等效集中荷载列阵用 r c 表示。如将 微分体积出咖出上的体力 p ) 出方如当作集中荷载p ，则可利用式( 2 2 3 ) 的积分得到： 时= j j f 【】2 t d v 7 ( 2 - 2 4 ， 采用局部坐标可将上式化为： 埘= “f i 【】 p 4 d c d , 7 , t f ( 2 - 2 5 ) 3 分布面力 当单元在某一边界面上( 例如在f ：1 的玎f 面上) 受到集度为p 的分布面力作用时， 设其沿x ，y ，z 方向的分量分别为i ，一y ，乏，则j 。它转换到单元结点上的等效集中荷 载列阵用 r ) 。表示如将微分体积d 玎d f 上的体力莎扣班蟛当作集中荷载p ，则可利用式 ( 2 - 2 3 ) 的积分得到： 忸) 一：【瞻：d k 2 2 6 如果上述分佰面力为静水压力q ，则 鼢= 千kg 珑符。t ， ( 2 哪) 其中k ，m 嘭，聆幅为局部坐标面盯f 的法线方向余弦，于是可得 埘= “【叫考 i 卸 i 砂 l 缸 2 1 1 4 单元劲度矩阵和平衡方程 ( 2 - 2 8 ) 在有限单元法中，各单元上的面力按静力等效原则被移置到结点上而成为结点力， 同时各单元上的荷载也按静力等效原则被移霞到结点上而成为结点荷载。 结点i 的平衡方程为 蟛 矽 f_ili旧lj 出一铆缸一却钞一研砂一笛钯一西苏一西瑟一西t毽一西钞一篮 河海人学坝f 学位论文 z f , - - z r ， er ( 2 2 9 ) 其中y 表示对那些环绕结点i 的所有单元求和。 e 因为基本未知量为结点位移，所以需寻求“力”和“位移”之间的关系，一般从分 析单元的结点力( 注意它不同于单元的等效结点荷载) 和结点位移之问的关系入手。在 每一个单元上，利用虚功原理建立结点力和结点位移的一般表达式： 时= k 1 时 ( 2 3 0 ) 其中 陆1 = f j j 时【d 】陋h 结点i 的平衡方程转变为 纠碱 = ( 2 - 3 1 ) ( 2 - 3 2 ) 将结构上各结点的平衡方程集合在一起，即得整个结构的平衡方程组 = ( 2 3 3 ) 式中陋】是结构的整体刚度矩阵，是由所有的单元劲度矩阵肛r 叠加得到的 k 】= k r - = l 单元劲度矩阵的形式为： k l 。= k l l k 1 2 k 2 lk 2 2 吒。吒： k h 也。 ： ： ； ： k 。 i 砰 i k k 2 喀笔小舻l ，2 ，一 其中嘲的计算公式为： k 】3 。= 删陋r 【d 】陋扮= f f 。陋】7 【d 】陋m 却彤 ( 2 - 3 4 ) ( 2 - 3 5 ) ( 2 - 3 6 ) ( 2 - 3 7 ) 第一二章奉文所用的f f 限几理论基础 旺 = g i 8 凰乩。陋】6 。，咖= “f ；叫。【d 】6 。【e 】6 ，i j i d 孝d r d ( ( r ，s = 1 , 2 ，珂) 2 1 。2 单元的数学分析 2 1 2 1 雅可比( j a c o b i ) 矩阵及其逆矩阵 ( 2 - 3 8 ) 在进行空间等参单元的力学分析时，需要用到各个形函数对于整体坐标的导数。根 据复合函数求导的规则，有： 0 n 缸却龙, o n ,a n , o n 一一一一 a 瓠8 a ) ) 8 a z a ( 2 3 9 ) 所以有： a n ， 笛 a n ， a 玎 a n , a 求逆后得 其中： p l = 缸 a 芎 衙 a 疗 蠡 西 = pr l 0 n , 西 a n , a 玎 a n ， 西 鸳 如 a 如 a f f 洲， l i = 圳警 o n , 【i 1 4 ( 2 - 4 0 ) ( 2 - 4 1 ) ( 2 - 4 2 ) 粥i烈一钞烈一瑟 瑟一西如一却受一西锣一曾砂一却钞一西 钞鸳砂一却砂暂 吖一苏柳一砂讲一如 苏一管苏一铆缸一暂 i i l i 海人学坝i 擘位论文 这里的【，】称为雅可比( j a c o b i ) 矩阵。要求得这个矩阵，只需将形函数代入，于 是有： = a n 越 a n i a 力 a n i a 乞 a n 2 凿 a 2 a t l a 2 a f a n n a 手 a n ， 却 a n a f x 1y lz 1 x 2j ，2z 2 x hy 月z ” ( 2 4 3 ) 求出各个形函数对于局部坐标的导数( 其中挥为结点数，下同) ，代入上式，即可求 出矩阵p 】和r a 应变矩阵陋】= 纠【】，可根据上述公式，按复合函数求导法则，利用坐标变换式 ( 2 2 ) ，先由形函数m 对局部坐标f ，r ，f 求导，再由局部坐标善，7 ，f 对整体坐标x ，弘z 求 导，复合而成，计算中用到的雅可比矩阵p 】和它的逆矩阵p 】- l 亦可按上述公式求得。 2 1 2 2 高斯求积法 在推求空间等参数单元的荷载列阵及劲度矩阵时，用到了如下形式的积分： f i 彤办f ) 彤却西( 2 叫) 显然，被积函数，一般是很复杂的，即使能得出它的显式，求它的积分也是很繁杂 的。因此，一般都用数值积分来代替函数积分，即在单元内选出某些点，称为积分点， 算出被积函数，在这些积分点处的函数值，然后用一些加权系数乘上这些函数值，再求 出总和，就作为近似的积分值。应用高斯求积法，与其它的求积法相比，可以用同样数 日的积分点达到较高的精度，或者说，可以用较少的积分点达到同样的精度。下面分别 给出一维、二维和三维的高斯求积公式。 眦茁吣却毗西。 只 片 烈一够烈一却烈一够 r x x 巩一鸳眦一却眦一暂 。d。h。 第一章奉义所用的有限理论壮础 一维的高斯求积公式： 鼽孝) 霹= 喜町( 鲁) 二维的高斯求积公式： 。厂够，覃) d 善d r i = 窆窆只h ，( 参，7 ，) ，= l ，= i ( 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) 三维的高斯求积公式： i 。f 。f 厂( f 儿彳) 嘶却5 喜言耋q 只砜八舌，仉，f j ( 2 4 7 ) 上述式子中的日，、h 、玩为加权系数。 2 1 3 位移有限元的应力计算 2 1 3 1 空间等参单元的最佳应力点 在以结点位移为基本未知量的位移有限元法中，从结构支配方程解得的是结点的位 移值p ) ，而实际的工程问题中所需要的往往是应力的分布，特别是最大应力的位置和数 值。为此，要利用以下公式由结点位移求出单元内的应力： 斜= 【b 弦 。 = l d 】 口】时 ( 2 - 4 8 ) ( 2 4 9 ) 应变矩阵【b 】是对插值函数【】进行求导运算而得的，每求导一次，插值多项式次数 就降低一次，所以通过导数运算得到的应变扛 和应力扫 精度比位移缸 低 文献3 指出，有限元应力和应变的近似解将在其真解上下振荡，对于等参单元这样 的非常应变单元，单元内各点的应力精度并不高。单元内存在着某些点，在这些点上的 应力比其它点上的应力具有较快收敛速度，我们称应力的这种性质为超收敛性，单元内 具有应力超收敛性的点称为应力最佳点，这些点上的应力称为最佳应力。 文献【2 6 l 还指出，利用位移有限元进行有限元应力分析可归结为求泛函万的极小值问 题，即： 1 6 i t g 海人学坝i j 学位论史 勋g ，“) 2 喜i ，( e 一“) 7 d 6 0 甜p 矿= 。 。：一。) 式中：以为结构离散的单元总数；“为位移的真解：“为位移的近似解；上为微 分算子。 假如近似解甜+ 为p 次多项式，是m 阶微分算子，令。：p 肌，则o + 1 ) 阶高斯积 分点为等参单元的应力最佳点。 空间八结点等参单元的最佳应力点就是栉2 l 的一个高斯积分点孝：叩：f ：0 。【2 刀 2 1 3 2 应力的坐标变换 有限元法计算的最后成果是以结构整体坐标系为参考的。沿整体坐标方向的应力分 量和结构变形、材料强度都没有直接联系。与结构的变形和材料强度直接相关的是应力 在其作用截面的法向及切向的应力分量，故有限元成果分析中，常需要把结构在整体坐 标下的应力分量转换到某一特定的局部坐标系中去，这就需要利用坐标变换。如边坡塌 滑体与基岩接触面( 即滑动面) 上的应力必须经过坐标变换力能求得，主应力和应力方 向也需要经坐标变换得到。 文献1 2 s j 基于反映斜面上应力分量和应力张量关系的柯西( c a u c h y ) 公式，利用射影 几何学原理，导出了空间坐标旋转的旋转矩阵，并给出了求主应力应力主向的公式。 娩 - 。2 _ 图2 2 坐标交换图 如图2 2 所示右手坐标系，在一般情况下，空间绕一点( o ) 的旋转可以由三个平面 绕着过( 0 ) 点的直线( 轴) 旋转变换的乘积来实现。这三次变换所旋转的角度称为坐标 变换的欧拉( e u l e r ) 角。 第一章奉文所甩的有限，理论基础 若令口角以逆时针旋转为正，顺时针为负，且记c = c o s f l ，s = s i n , 8 ， 自j 坐标旋转，有如下旋转矩阵阻】： 绕z 轴逆时针旋转口角 陆雕00 ：1 【 j 绕y 轴逆时针旋转口角 陆翟 绕。轴逆时针旋转口角 怍雌兰 2 1 。4 非线性有限元基本原理 则对于空 ( 2 - 5 1 ) ( 2 - 5 2 ) ( 2 - 5 3 ) 本文在此不再赘述。 线弹性体的有限元分析在理论上是完善的，在应用上也是成熟的。而非线性问题的 有限元法则是根据非线性应力应变关系，把它逐段地化为一系列线性问题，用迭代法求 解，因此线性分析是非线性分析的基础。非线性问题主要有两种：一种是由材料非线性引 起的，叫做材料菲线性；另一种是结构的大变形所引起的，q 几何非线性。对材料非线 性问题进行有限元分析，单元的几何关系式和平衡条件与线性有限元的分析是相同的， 不同之处，仅仅是物理关系不再是虎克定律了，而是复杂的非线性关系所代替。用有限 元方法分析非线性问题时，分析方法和过程都和弹性有限元方法一致，只是根据最小势 能原理得到的有限元支配方程 k 】p ) = 忸 ( 2 5 4 ) 由以上的线性方程组变成了非线性方程组： k ( 弘