（电磁场与微波技术专业论文）fdtd法在保偏光纤中的应用.pdf

摘般 擒要 僳德光纤近二十掣的发展使蕊程光纾转感嫂寒、相干光通信 餮离蘧瀵落系蕊孛撩广泛栗饕，狳鞭漂簿竞势薅徐缓傣慕戆，建于 航天、航空、航海、工业制造技术及通信等圉隧经济的各个灏域。 在以光学穗于检测为罄础匏干涉塑光纾传感器中，使用傈偏光纤憩 够最澄媛镶慕竞蘧搽方壶虿交，鼹灏裙子绩礤魄，戳实璐对褥壤囊 的高精艨测量，具宵十分广阔的臌嗣前景。 髓蛰辩保豌光纤锵究及剖造王芝豹深入，产避了适应每张辫求 嚣瀑薅卷野，密蟊；类矩形豫蘧戆终帮景穰竞予蕊蕊惫野慧懿逶薪 型的保偏光纤。保偏光纤的结构棚比于其他普濑单模光纤较为复 杂，硪巍麓光场分礴也较之基难。搽讨光场分榭的方法就显锶笼为 重要。 本文的重要工作和创新之处可以归纳为以下几点： i 综述了僚偏邂纾在光溅豫、老纾传感领域孛豹瘦爆。着 重蘑遮了糅薅竞终瓣笈藤嚣程鞋及波遴之筵：讨谂了傈 偏光纤髂构上的发展。 2 。 麸理论上努辑了强貔竞纤魏双获射麟遐裙特点，主隳是 麸蠢驽嚣黪率鸶雍瓣器癣肄莛分褥蕊结稳将篷，舞分缮 了保偏光奸的两个特性参数：消光比和拍长。同时从几 毽形拔致薅霹痤力惑黩歉藕嚣令霜发将理嘉豹见释爆 镳是磬熟戳分类。 3 概述了现榭的几种分析煤偏光纤的方法。解析法主糕包 缮w 麓漱、亵礤。i 和蠛溉法，嚣级数展嚣法、徽貔瀵： 摘璺 数值方法主要有：有限元法、矩量法和时域有限差分法 ( 兀) t d ) 。由于时域有限差分法对于复杂结构的分析呈 现出显著的优点，本文重点对时域有限差分法进行研 究，分析了m a ) ( w e l l 方程的差分表示以及y e e 氏网格， 对f d t d 法中的数值色散、吸收边界条件和激励源进 、 行讨论，并分别给出了直角坐标系下和柱坐标系下的 f d t d 表示。 4 。 分别对椭圆芯和保偏光子晶体光纤，用f d t d 法进行 了分析给出了场图以及其他一些数值模拟结果，并对 它们的保偏性能进行了对比分析。 关键词： 保偏光纤双折射消光比时域有限差分法 。一 些! 熙她 a b s t r a c t 鞠搬鼬e v 酲o j ，黻爨l o t w e n t yy e 最终，l a 一2 a 芏i 0 囊一m 蠢穗啦i 聃 霸g 翥b 髓w 鑫sw i d e 垮鹳醛诹o p i c 啦羲b 豁s e n s o r s ，h 嚣e 难印t i c a l 磊疑r c o m m u n i c a t i o na n dh i g h - s p e e dc o m m u n i c a t i o ns y s t e m ，a n dd u ot o l i n e p o l 洲z e dl i 曲tp 0 1 a n z a i o n m a i n t a i n i n g 肋e rt r a n s m i t s i tc a nb e 弩脚i e d 讯a 王i 娃l d so f i e d ss ha ss p a c 醺i 静t ，蠢v i g 越i 瓣，n a v 螗崩o n ， i 辨d 珏s 翻a l猕霾n 疆盎e 辩r v秘疰e o 耐r 毂u n i e 积。芏1 毽ri n 靶“懿e d蠢b e f s e n s o r sb a s e do n o p t i c a l c o h e r n t d e t e c t i n g ，a p p l i c a t i o n o f 口o l a r i z a t i o n m a i n t a i n i n gn b e rc a n 帅s u r et h a tt h od i r e c t i o no ft h el i n e p 0 1 a r i z 棼dl i g h ti sn o c h a n 叠e d ，w h i 确c a ni m p r o v et h e i n t e r v e d e ds n r a 鑫d 绉a l i z e 凌臻e 赫娃r e m e 氍o fq “8 l y 瓤巍蠡i 星涤p r 。e i s i ，霾瓣di t 弦 d o s s e s s e dw i t hb 鑫d h 糟。 w i t ht h er e s e a r c ha n dm a n u f t u r eo fp o l a r i z a t i o n m a i n i n i n g f i b e r ，s o m ea r em a n u f a c t u r e dt om e e tw i t ha l l “n d so fr e q u i r e m e n t s 挑ha s毽氇勰i 啦e t 勰g u l 嚣p o l a 糠z 馥t i 0 hm a i 聃l 缸越矗g磊堍r张d 印l 舐z & 娃o n m 鑫i 珏皤b i 犍砖o o n i e sc f y s 癍韵瓯g o 臻辫豫dw i t 瓤o t h e f s i n 9 1 em o d ef i b e r s ，t h es t n l c m r eo fp o l a r i z a t i o n m a i n t a i n i n gf i b 甜i s c o m d “c 拽t e d ，a n dt h e 艄8 e a r c ho ni t sm o d ef i e l dd i s m b u t i o ni sd i 麟c u l t ， s oi ti sn e c e s s a f vf o ru 8t od i s c u s st h em e t h o do fa n a 王v s 主s 。 零h 嚣拜l 垂bw o 嫩a n 疆t 囊ee 辩融i v e 鑫瞰so f 魏i s 辔e s 转e a 琏毫l e s 硅m m 曩娃z e da sf o l l o w 8 ： l 。t h ea p p l i c a t i o no fp o l a r i z a t i o n - m a i n t a i n i n 窟f i b e ri nt h en b e r c o m m u n i c a t i o na n df i b e rs e n s o rj ss u m m a r i z e d +t h e d e v e l e 爹m 嚣鼗t 戤避i m 蛰毽v e m e 鞋to f 弦l 鑫薮z a 曩o n 臻垂n t 醋痢鑫窖 磊沈ra r ee x 掰a 剐：t h es 翻e 鼬靶蠢p o a 棘嚣a 矗。玲m 赢n t 搬n 攮g f i b e ri sa l s od i s c u s s e d 2 t h eb i f e f 瓴n g e n c ep r i n c i p l e sa n df b a “l r eo fp o l a r i z a t i o n m a i n 瘟n 证g 蠹b e ra f ea n a l y z e d 。bt l e 曲a p t e ! 巳铀m 搬e 扭n s o 矗霹势i e埯a 秘辖 o ff e f r 毪c i v ei n xd s 蛹b u t i o n ， i 搀 s t n l c t u 糟f e a t u r ei s a n 莉y z e d ， a n dw op a f a m e 地描 o f p o l a r i z a t i o 卅m a i n t a i n i n g_ f i b e r a r ei n t r o d u c e d ： e x t i n c t i o n r a t i oa n db e a t 1 e n g t h + a tt h es a m e t i m e ，p r e s e n t p o l 甄z 箍i o 珏噱b 藏熟疆i 廷i 毽g 鑫融喜台羞e 蘸鑫s 蠡蠡e d 磷i 氇镑ow 螽￥s 。 a b g r r a c t w 瓤e b 瓣g e o 猕e 轻p i f 畦娃0 0 d 蛰o l 砥舔泌n 墨珏ds 瓣s s i f l d u c 。d p o l 嘶z a t i o n ， 3 s o m e m e m o d sf o rp o l a r i z a t i o n m a i n t 蚯n i n 2n b e ra r e s u m m a r i z 鳓r e s o l u t i o nm e 由o di n c l u 如s ： w k b 致a 辱e 遮蠡一餮i 勤w e fs e 建e s塞x p 懿s i o 箍娩垒o da 聪 p e 娃u f b a 蘸。硅；n 掰n e d e 心瑚o t h o 畦i l l c l l 砖琮辩f n i l ee e m e n m e t h o d ，m o m e n tm e t h 州a n df i n i t ed i f 凫f e n c et i m e d o m a i nm 讳t h o d ( f d t d ) ，f o rc o m p l i c a t e ds t m c t u r e ，m t d m e t h o di sp o s s e s s e dw 瞧hm a n ym e n 瞻，s o 出i sm e t h o di s 哇i s e 硅话e 莲鑫sa 鞋e 糯舜墨s i 塞蝤翻e 盎e s i s 。d i f 糟娶e o 铽p r e s s i o 鑫 o fm a x w e l e q 珏舔o n 鞠嬉y o em e s h8 r 。a 玎蠢v z 8 d ，a n d n u m e r i c a id i s p e r s i o n ， a b s o r b i n gb o u n d a r yc o n d i t i o na n c l e x c l t a t l o ns o u r c ea r ea l s od i s c u s s e d t h ef d t de x d r e s s i o n m 也er e c t a n g u l a rc o o r d i n a 椎sa n dt h ec y 珏n d e rc o o r d i n 箍l e s 瓤蛩鳓v i o 文 4 。 毯l i p s ee o r 棼翱酶ra 鞋dp o l 鑫延z 越i o n m 越n t 箍i 髓l 珏gp h 0 耄o n 主c s c r y s t a l 曲e ra r ea n a l y z e db yf d t dm e t h o d ，a n dm o 确n e l d d i s 岫b u t i o n d i a g r a ma n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o na r ea l s o s h o w ni nt h i sc h a p t e r ，曩n a i l y ，妇i rp o l 甜z a t i o n l m a i n t a 莹n i n g 秘f f & 臻鑫珏e e sa 羚e 。强嬲d 。 薮e y w o 砖s ：筘l 积秘矗。硅* m 曩i n t 最硅噩g 瞧耱b i 踅瓤n 龄菇鼹e x 国虢i o 巍 r a t i o ，d i f 匏怂n c et m ed o m a j nm e t h o d - 2 北京交通人学坝卜学位论史 第一章前高 1 前言 1 1 保偏光纤的应用领域 据报导，跨越大西洋的第一条海底光缆( t a t 一8 ) 及跨越太平洋 的第一条海底光缆( t p c 一3 ) ，分别于l9 8 8 年1 2 月和1 9 8 9 年4 月先 后开通使用，且无中继距离长达7 ( ) 公里。在此之前，美国电报电 话公司为台湾电信总署承包建设的长达1 0 4 公里的海底光缆( 台南 市至澎湖岛) ，也于1 9 8 8 年8 月15 日开通使用。这条海底光缆由 于采用了单频激光管作光源的】j jum 长波长单模光纤通信系统， 实现了无中继传输( 传输速率为4 17 m b il s ) ，从此宣告1 j 5 u m 艮 波长单模光纤通信系统开始投入使用 j 。 但是，目前所有投入实用的光纤通信系统都采用光强调制 直接检测的方式，也就是说靠光的强弱( 振幅) 来传输信息的。如果 利用光的相位、偏振来传输信息，那么完全有可能获得比现在采用 光强凋制直接检测的常规光纤通信系统更长的中继距离和更 高的传输速率。然而，当通过相位、偏振等调制来传输信息时，会 因接收端偏振状态不稳定而不能正确地检测到光信号。这样，别说 光通信，就是利用光干涉的测量也不能得到精确的结果。因为在一 般单模光纤里传输的并非是单一模，而是两个近乎简并的止交偏振 模。这两个模通常易受光纤制作过稗，以及光缆敷设时各种因素( 如 变形、弯曲、压力、扭转等等) 的影响而发生耦合，这样就不能保 持偏振状态沿光纤长度传输，也就是说在长距离传输过程中连续保 持入射端的偏振状态是相当困难的。对此，有效的解决办法是采用 北京交通人学删l 。学位论文 第一审前高 偏振保持光纤。如就偏振保持高的烈折射光纤而言，由于纤芯的非 圆性或椭圆，或者由于纤芯中存在大的应力各向异性，因而破坏了 两个正交偏振模的近简并态，甚至使其中一个偏振模处于截止状 态，这样便能保持偏振状态稳定地传输。 8 0 年代后期英国一位光纤专家曾这样说：“即使是今天高级的 光纤通信网，一般也只能传输总信息量的一部分，而特种光纤中最 为成熟的且有证据表明是最万能的保偏光纤才能充分发挥这一潜 力。”事实正是如此，由于保偏光纤的问世，在8 0 年代中期光纤相干 通信研究成为很长时间的热门话题。如今，保偏光纤在光纤传感技 术、相干光通信和高速通信系统中己被广泛采用，具有十分j 。阔的 应用前景。 在干涉型光纤传感器中的应用：以保偏光纤为主体的相干 式光纤传感器领域正在引起一场新的变革。如磁场、电流、 温度、压力、振动、转动、加速度等光纤传感器应运而生， 特别是光纤陀螺和光纤水听器直受到发达国家军方的 高度重视。0 3 在光学元件方面的应用：根据保偏光纤的特性，易制成耦 合器、偏振器、光分束器、波长板以及海底光缆中继器中 的l d 切换器。最近几年，还用保偏光纤制作光纤光栅。 在相干光纤通信方面的应用：近几年来，由于d 帅| l i 传输系 统中的波分复用数量的增加和高速化的发展，保偏光纤得 到了更加广泛地应用。目前应用最多的是熊猫光纤 ( p a n d a ) 。p a n d a 光纤目前大量用作尾纤使用，与其它光纤 器件相连接为一体在系统中使用。 北京交通人学坝1 学位论文 销一幸前高 1 2 保偏光纤的发展 8 0 年代中期是保偏光纤蓬勃发展的时期，各个厂家依据各自的 具体条件通过各种不同的途径来制作高双折射光纤。按产生双折射 的方式而言，有几何形状致偏、波导结构致偏及应力致偏这三大类 共十多种具体的结构形式。在发展的过程中，经过性能、工艺和成 本等方面的综合比较，边坑型、边通道型及平板包层型( 如图1 2 所示) 等相继被淘汰，而只剩下应力致偏型中的三种结构。这就是 现在为人们所熟知的“领结型”、“熊猫型”和“椭圆包层型”保 偏光纤( 如图1 1 所示) ，它们各有自身的优缺点。这三类保偏光纤 早已进入市场并用于光纤陀螺。 ( a ) 熊猫刑 ( b ) 领绀刑( c ) 椭圆包层 图1 1 三种典巫! 戍力删保偏光纤的剖面结构 ( a ) 边隧型 ( b ) 边坑 幽1 2 坼嘣芯保偏光纤 9 f = 一 北京交通人学顾j j 学位论文 第一章前高 9 0 年代，各种结构的应力致偏型保偏光纤应运而生，比如：类 矩形保偏光纤( 如图1 3 a 所示，其中1 、2 、3 、4 分别代表石英包层、 内包层、应力元和纤芯) 1 5 】。近儿年的研究又发现几何形状致偏型 保偏光纤在有些方面有可取之处，由光纤几何不对称制成的几何型 保偏光纤与应力型保偏光纤相比较，温度稳定性较好，出现了基于 光子晶体光纤理论的保偏光纤。光子晶体光纤是由在纤芯附近的两 个垂直方向上s i 0 2 和空气的占空比的不同，因而有效折射率不同 造成的。其实现的方法很简单，即在纤芯附近两个垂直方向上气孔 直径不同( 见图1 3 b ) 丌i 。这种敬折射的优点是对温度变化不敏感。 这在目前保偏光纤的实际应用中是非常重要的。 j ， 文黯毅黜 o o d o o o o o o 、 ，o o b o o o o o o 7oooooooooo ioo o | bo o oo lo o o t o 】o o o o o o ，o o o o o o o o o o oooooooo， o o o o o o o o o o o o o l i j 一、 ( b ) 幽1 3 新删保偏光纤 ( a ) 类矩刑保偏光纤剖面( b ) 结构椭剧芯光子品体光纤的剖面结构 1 3 本文研究的主要内容 保偏光纤与其他普通单模光纤相比，由于具有优良的保偏特性 而得到的广泛应用，对保偏光纤的研究也越来越深入，有许多的方 4 北京交通人学坝i 学位论义 箱章前高 法对其光场进行研究，由于时域有限芹分法对于复杂结构的分析呈 现出显著的优点，本文重点应用时域有限差分法分析保偏光纤，具 体内容如下： 第一章前言 综述了保偏光纤在光通信、光纤传感领域中的应用。着重阐述 了研制保偏光纤的发展历程以及改进之处；讨论了保偏光纤结构上 的发展。 第二章保偏光纤的相关理论 从理论上分析了保偏光纤的双折射原理和特点，主要是从光纤 折射率分布的各向异性，分析其结构特性，并介绍了保偏光纤的两 个特性参数：消光比和拍长。同时从几何形状致偏和应力感应致偏 两个角度将现有的几种保偏光纤加以分类。 第三章时域有限差分法( n ) t d ) 概述了现有的几种分析保偏光纤的方法。解析法主要包括 w k b 法、r a y l e i 曲- r i t z 法、幂级数展开法、微扰法；数值方法主 要有：有限元法、矩量法和时域有限差分法( f d t d ) 。由于时域有 限差分法对于复杂结构的分析呈现出显著的优点，本文重点对时域 有限差分法进行研究，分析了m a x w e l l 方程的差分表示以及y e e 氏阚格，对f d t d 法中的数值色散、吸收边界条件和激励源进行 讨论。 第四章光纤介质中的时域有限差分法 给出了直角坐标系下和柱坐标系下的f i ) t d 表示。 第五章保偏光纤的f d t d 分析 分别对椭圆芯和保偏光子晶体光纤，用f d t d 法进行了分析， 北京交通大学硕士学位论文第一章前亩 给出了场图以及其他一些数值模拟结果，并对它们的保偏性能进行 了对比分析。 北京变通人毕倾j ：学位论文 旃二蒙像偏光纤相* 理论 2 僳偏光纤相关瑾论 2 1 双折射的原理釉特点 众所周知，在单模光纤中仅传输个模( h e l - 模) ，称之为基模。 严格地漤，单模光纾纾棼并菲是理想驹强形，霭存教定翦撩疆发； 同时其割灏的折射率谶不是绝对各国同性而其有定的差异，弱而 事实上在单模光纤中传输的并不是真正的单模，而是传输着两个偏 振摸，即鞴梦i 攘霹 差e 7 i i 模，只是这髑个模熬转搔鬻数据差缀，j 、( 8 ，一叠。) ，丽处于一种简弗恣。 若光纤是完全的轴对称形式( 几何形状为理想圆，折射率分布 均匀) ，逡灏个正交模式在党纾中逡以糖嗣豹速度游蔻黄搔，戮嚣 在传播遵程中偏振态不会变化。实际的光纤由于多少同时存在稽非 轴对称性和弯曲，因丽猩传播过程中念发生耦合。其结果是：使 竞渡豹德掇态在抟播避纛孛发生变袋：；褒毙波套馋播过程孛发生 “偏振( 模) 色散”，从而限制了单模光线的信患速率。因此般 的单模光纤不能用于传输偏振光，对于某些应用，希望光纤在传播 光波嚣不敬交它夔穰摄淼，为越发震了戆维持蠹波傣振态熬攘擞保 持光纤。 、v 一般单模光纤双折射的定义为：两正交模式传播常数之差，即 参；一叠。簇特短参量搂凝舞磐，又黪藤一彳乏戳辑瓣，荬定义舞 b = 鑫n = n l n x = ( 8 s 一。) 艟冗 一般单模光纤的b 值为l o 一1 0 一，当b l 旷跨努离双叛瓣巍绎( 圭b 濂i 馥 北京交通人学硕i 学位论文 第二二章保偏光纤相关理论 b i r e i h n g e n c e 矗b e r ) 。 保偏光纤剖面折射率分布为各向异性，且存在相当大的差异，如 图2 1 所示。图中，n l b n l ，n = n l 。一n l y ，故此保偏光纤又称为高双折 射光纤。因而在高双折射光纤中，其传播常数具有b 。 b 。，于是无论 是在光纤的x 、y 方向( 光纤的慢轴、快轴) 或其它任何方向注入一 束偏振光，经相当长距离的传输后仍能基本保持原来的偏振态。 b ( = b ，一b ，) 越大，h e 。1 1 和h e l i 两线性偏振模之间的耦合系数就 越小，越利于偏振态的保持。 | ! | 2 1 保偏光纤备向异性折射率分布 衡量高双折射保偏光纤双折射是的大小通常用拍长k 表示 ，五2 b 2 百2 面 ( 2 1 ) 式中九为波长，b 为双折射，b = n ，般高双折射光纤k 之值为l m 一1 0 m m ，在整个拍长范围内，光纤中传输的光的偏振态发生周期性 的变化。 衡量保偏光纤的保偏特性采用消光比( j 7 ) 、保偏参数( h ) 、模耦 北京变通人学颂，i j 学位论文 第二章保偏光纤相关理论 合系数、串音等表示，它反映了在保偏光纤注入端某一光轴上耦合 进一线偏振模，经一段距离传输后有多少功率耦合到与其正交的轴 向上： d ，7 = l o l g 詈 ( 2 2 ) j 式中，一和r 分别为光纤输出端两正交轴上的光功率，消光比是保 偏光纤特性中最重要最本质的参数。 保偏光纤按b 值大小分成低双折射光纤和高双折射光纤两类， 后者又有单偏振光纤( sp s i n g l ep 0 1 a r i z a t i o n 肋e r 只传输两个正交 模) 和双偏振光纤( t p t w i np o l 撕z a t i o n 胁e r ，能同时传输两个正 交偏振模) 之分。按模双折射产生原因也可分为几何形状效应( g e ， g e o m e t r i ce f f e c t ) 和应力感应( s e ，s 吮s si n d u c e de f r e c t ) 光纤。保 偏光纤现有的几种主要结构见表2 1 表2 1 保偏光纤的分类 s p边槽型( s i d ep i t )蝴蝶结型( b o wt i e ) 边隧道型( s i d et u n n e l ) 熊猫型( p a n d a ) 扁平包层型( n a t 、 c l a d d i n g ) t p 边槽型、边隧道型蝴蝶结型、熊猫型、 椭圆纤芯犁( e 1 1 i p t i c a l扁平包层型 c o f e )椭圆包层型 哑铃纤芯型( d u m b b e d ( e 1 1 i 州c a lc l a d d i n g ) 北京交涵人学颂1 ：学位论文第二章保偏光纤相关理论 c o r e )椭圆套层型 四区纤芯型( f o u rs e c t i o n ( e l l i p t j c a lj a c k e t ) c o r e ) l b 旋转型( s p u n )扭转型( t w i s t i n g ) 2 2 分析保偏光纤的几种方法 2 2 1 解析方法 解折方法是从电磁场的m a x w e l l 方程组出发，在光纤的边界条 件下，把波动方程进行分离变量，最终求出精确解的方法。每一个 解对应一种场模式。 由于多数实际的光纤都是弱波导，对许多应用而言，标量分析 通常就能满足要求，在标量近似下，电场为线性极化的，它满足标 量波动方程： v 2 e 警= 。 亿s ， n 伍y ，z j 为光纤波导的折射率，c 为自由空间的光速。解该标量方 程，可分析光纤的传播特性。解该标量方程的方法主要有四种： w k b 法、r a y l e i 曲一r i 乜法、幂级数展开法、微扰法等。 1 w k b 法 w k b 法是经典的标量分析法，量子力学及其它许多领域中已 得到广泛的应用。在量子力学中，当普朗克常数h 不起显著作用 ( h 一0 ) 时，量子力学就可以近似的用经典力学处理，这种近似也称 为经典近似。因为它是由w e n t g e 】一心a m e r s b r i l l o w i n 首先用来解 北京交通犬学顿_ 二学位论文 第= 章保偏光纤拥菇理论 薛定鄂方程，所良又称为w 3 法。在求解本征德阏题融，可剩麓 w k b 法i 隧似标量方程： 曼十疆( 磷：一】零：o ( 2 。4 ) d x 其中，曲为电场分量绒磁场分量，从而可以得到传播常数屏的方 程是： 2 上) 瑶一所】i 威= 积+ 吾押 n = o ，l ，2 ( 2 5 ) 瑟为波导健攒霉数与夯矮空耀乎瑟波健矮霉数筠关系。 w k b 法物理图像易于明白，在光纤的初期研究阶段认为w 是标准的方法，但从本质上说仍属予近似解法，擞它能逐一分析各 搂豹特瞧，甚至毽畿逶寝予蕈搂竞纾，毽在交磊夔求簿中矮瘦簇计 算机计算，从而失去了w k b 分析法的最大优点。而且对于折射率 变化较麟情况及低阶模难以求得精度离的解，特别是对于截面渐变 瑟麓搴波等在截壹区镰整较大。 2 微扰法 从爨予力学知道，微扰法就是璎解如下本征值方程： h 辨w 弩 ( 2 ，瓤) 这里： h 甘 o + h 。 ( 2 6 b ) h o 西j = 轴嘲 ( 2 6 c ) 冀孛鞋是跨密顿冀簿，它爵分为嚣个聱分：一部分楚璐，穗当予不 存在微扰情况下的哈密顿量，相应的正交本征函数是籼，本征值 是k ；男部分是h ，它看作对h o 的很小的微扰。 北京交通人学颂l 学位论文 篇二章保偏光纤相关理论 2 2 2 数值计算法 随着光纤的广泛使用，结构越来越复杂、功能越来越多，要求 得到封闭形式的解析解已经是不可能的，就是半解析解的近似方法 也只能在个别问题中得到有限应用，能够较广泛的发挥作用的唯有 各种数值方法，对于保偏光纤更是如此。数值方法主要分两类： 类是纯数值方法；一类是把解析法与数值法结合起来。后一种方法 的特点是尽量发挥解析方法的作用，仅在解析法无能为力或后阶段 进行工程上需要的数值计算。对于一些复杂的系统，就只能用纯数 值方法。这种方法通常分为直接频域技术和直接时域技术。直接频 域技术主要处理的是简谐激发函数，假设所有的电荷、电流和场有 一正弦稳定时间变量因子，对单频激发求得场解，经典分离变量法 就属于这一技术，它的直接数值方法包括：矩嚣法和有限元法等。 直接时域技术的特点是保持m a x w e l l 方程中的时间微商，它提供由 齐次( 瞬态) 部分和依赖激发函数的特解部分组成的全解，可用于 正弦和非正弦激发。童接时域法分为积分方程和微分方程两种形 式，滞后势积分表达是经典的积分方程形式。时域有限差分法是直 接时域法的微分方程形式。下面分别介绍几种常用方法： 1 有限元法 有限元法是一种有效而精确的方法，特别适用于几何结构或介 电特性分布比较复杂的情况，因此在集成光学，特别是在新型光波 导器件的分析和研究上，越来越受到人们的重视。 五十年代初，由于工程分析的需要，有限元法在复杂的航空结 构分析中最先得到应用。有限元法这个名称由c l o u g h 于1 9 6 0 年提 北京交通火学硕士学位论文 第二章保偏光纤相关理论 出，运用到电磁领域还是六十至七十年代初的一段时间。 传统的有限元法以变分为基础，把所要求解的微分方程数学模 型边值问题，首先转化为相应的变分问题，即泛函数求极值问 题，即最终归结为一组多元的代数方程组，解之即可得到待求边值 问题的数值解，该法适用于几何结构，或介电特性分布比较复杂的 情况。虽然这种方法的计算程序一般复杂、冗长，但其各环节易于 标准化，可以得到通用的计算程序，且有较高的计算精度。 但是采用变分公式和有限元展开式求解电磁场问题时，往往会 有虚模即非物理解，它们与真正的物理解混在起，干扰了对物理 解的寻求：而且虚模的数量随着网格( 即总体矩阵的阶数) 的增加 而增加，任何提高精度的做法都伴随着增加虚模的烦恼。因此，鉴 别和消除虚模始终是有限元法求解电磁场问题的一个主要课题。 2 矩量法 矩量法是一种将连续方程离散化为代数方程组的方法，此法对 于求解微分方程和积分方程均适用。r f h a 嘶n 昏o n 用统一的观点 作了简单扼要的介绍，即先将需要求解的偏微分方程或积分方程写 成带有微分或积分算符的符号方程在将待求函数表示为某一组选 用的基函数对所得的方程取矩量，就得到一个矩阵方程或代数方程 组。剩下的问题就是利用计算机进行大量的数值计算，包括矩阵的 反演和数值积分等。用此法可以达到所需要的精度。必须指出，这 种方法中的解析部分很简单，但计算工作量很大，即使使用高速大 容量计算机，计算任务也很繁重。矩量法能够解决别的方法所不能 解决的边界比较复杂的一些问题，特别是在散射问题中更有广泛的 应用前景。 北京交通大学删l ：学位论空 第二帮像偏光纤桶荑理论 3 时域有限差分法( f d t d ) 这是一种保持m a x w e l l 旋度方程中的时间变照，不经变换而 塞接在露壤室闻孛袭聪翡方法，它麓提供方程豹瓣孵帮稳态豹全 部解答。它在每一网格反复地运用出旋度方程直接转换来的有限 差分格式，从而实现计算机数据存储空间中对连续的实际电磁波 兹傣撵避疆在嚣闼遗纛上透行数毽穰羧。它已减免一磬广泛缆耀 的电磁场( 光场) 的数值计算方 去。它是直接求解时间变爨的 m a x w e l l 方程，利用二阶耩度的中心差分近似，把旋度方程中电 场毒鑫磁场携擞努算祷纛接转换为差分形式，这撵达戮在一定钵羧 内和一段时间上对连续电磁场的数据取样压缩，电场和磁场分鬣 在空间被播僮放置，这样保证介质和分界面处切向分量的连续条 l 孛垂然褥戮滚足，由藏掰彰或夔方稔霹窀磁场宠衾蹩显式懿，戮 而不需要求解一个线憔方程组，具有一些非常突出的特点。 2 。4 本章小结 本章主要分析了傈偏光纤的傈偏原瑾，主要惩钛双折射的麓 度进行分析，并且介绍了分析保偏光纤的几种方法，解析法有： w k b 法、r a y l e i 醣- r 溉法、幂级数袋拜法、徽扰法；数擅方法 有：有限嚣法、矩薰法和时域有限麓分法( f d t d ) 。下一章将嚣意 介绍时域肖限差分法。 北京交通人学顿士学位论文第三章时域肯雌分婆! 黔婴) 3 时域有限菱分法( f d t d ) 3 1f d 伯法的历史与简单回顾 自1 8 7 3 年麦克斯带建立电磁场基本方程以来，电磁波理论和 盛曩豹发袋邑经毒一露多年戆历史。嚣 ；誊，电磁波的疆究已经滚入 到各个领域，应眉十分广泛，例如无线电波传播、光纤通信和移动 通信、雷i 塞技术、微波、天线、电磁成像、地下电磁探测、电磁兼 窖，等等。邀磁波在实黪环境中豹佼掇过程十分复杂，翻热套秘复 杂目标的散射，复杂结构天线的辐辩，在波导和微带结构中的传播， 实际通储中城市环境、爱杂地形及海筒对电磁波传播的影响，等锋。 分辑嚣冀途径霉要结会实骣环凌毫磁参数求瓣凌箢额韦方程边 誊 问题，通常只有一些典嫩几何形状和结构相对简荦的问题才育可能 求得严格的解析解。然简，由于实际环境的复杂性，往往需要通过 熬毽瓣缮到其体巧壤下黪电磁波特魏。蘧蔷诗募壤技术嚣发矮，已 经提出求解麦克斯韦方程的许多有意义的数值解方法，例如矩爨法 ( m o m ) 、有限元法( 熙m ) 、边界元法( b e m ) 、平面波法( p w m ) 瞄及聪域菇壤差分法( 戮疆孕) 等等。著显，辕蘩激磁波瘦掰瓣 泛和计算机技术的发展，各种方法的研究也更加深入。 1 9 6 6 年k s y e e 蓠次提出了一种电磁场数值计算的新方法一 嚣蠛毒激差分( 舅n i t e 凝嚣i 鹫n e e 套掰ed b m 巍k 粉疑) ) 方法。f dtd 法直接将有限熬分式代替麦党斯韦时域场旋度方程中的微 分式，得剿关于场分爨的有限差分式，用具有相同电参量的空间嘲 格去模羧毅磺究俸，选数会逶懿繇裙始蓬窝诗雾突簿翡遗赛条终， 北京鬻道人学硕士学位论文笫曼章时域有限差分法( f 啪) 可醴缮到包括时间燹囊的麦竞新书方程的思维数值解。逶l 童傅里时 变换可求得三维空间的频域解。 y e e 氏在初剑瓣掰期懿方法遥只是对域裔嫩差分法韵黢形，后 来经过一批科学家的不断改遗，程经历了3 0 多年的发展才逐渐走 向成熟。在这个过程中主要解决丁下面一些问题，使得计锋的结果 更加精确，这也是我们在本文中剿蠲f d t d 法俸为计算探偏必纡 结梅懿遴论背景。 ( 1 ) 吸收边界条件的应用和不断改善。为了用有限的计算网格空 闻模羧嚣限大的甥耀窆闯，就要设法澄除电磁波在弼接空滴逸赛土 的反射，也就要能吸收掉到达边界上吩电磁液。在1 9 舛年b e r e n 嚣r 提出了种全颓的吸收边界祭完全噬配层吸收边界条件 ( p m l ) ，馕缛入瓣渡将无反射豹穿过分器嚣藤进入蹦l 瑟，遂 入p m 0 层的投射波将迅速衰减，达到对入射波的完全吸收。 ( 2 ) 总场区和散射场区的划分。利用连续条件把计算网格窆间分 荛瘛黟懿总场嚣黟努帮靛教射场嚣，瑗羧边赛条释设在教瓣殇基。 这样可以实现任意入射波的设鬣，可以保证缀宽的计算动态范围， 可以使散射体的设激变得简单等。 ( 3 ) 突瑷了稳态绣瓣诗算。豪予鸯了馥主嚣耱投寒，壹接辩域方 法和崽按频域方法嶷现了直按转化，当需簧单频率或窄频带信息 时，h 寸域有限差分法就可以用于岚接频域计算。 3 2 微商的差商近似 鸯羧差分法是羯变耋褒教的、含骞畜羧个寒聚数鹣差努方程运 北京交通人学顿士学位论文 第三章时域有限差分浊( 黜1 i d ) 似地代祷连续变量的微分方程。构避合理的差分格式，使得它的解 能保持腻问题的主要性质，并且有栩当高的精确度是首要任务。为 了表骥燃差齑我替徽褒静精确程痿，我们曩一元爨数寒说鞠。 对于一元函数f ( x ) ，“x ) 为x 的连续函数，潜在x 轴上每隔h 步长取个点，其中任一点用x 。表示，则在x i + 1 点上的函数值“x i + 】) 点霹逶避弧v l o r 缀数袈示为： 由此可得 删喇+ 素挈k 。一等k 。 + 等等谤 ( 3 t ) 半= 警盼等等凶一 ：鱼婴i 。脚鲫 ( 3 2 ) 积 阕理，可褥 掣= 掣妒等等- ：宴掣l ，。舯 ( 3 3 ) a 并 、v 若把式( 3 2 ) 和( 3 3 ) 相加，则可解得 掣= 警荫等等凶 2 矗孤” 3 1孤3 ”一 + 等学沁 北京交通人举顺士学位论文第三量堕撼点限莲坌鲨! ! 壁! 塑 。至攀k 甜口帕 ( 3 4 ) 式中上坚姒姿兰生立叫做嚣习在麓点的中心差商。幽( 3 4 ) 可知，中 心差商为嶷鲎离散步长的二阶近似，精度较高。农时域有限差分法 中正是利用中心差商代替由m a x w e l l 方程建立的麓分方程的微黼。 3 3 丫e e 氏网格 光场( 即电磁场) 的蠼基本规律是m a ) ( w e l l 方程组，它们的 黢形式蔻依赖辩闯交蘩躺旋度方程，扶含有时阕变囊静m a x w e l l 旋度方程出发，k s y e e 于1 9 6 6 年创立了计算电磁场的时域有限差 分法。 y e e 氏提出了在溺维空闻中台瓒离散窀磁场中六个未知场澄 的网格体系( 称氏网格) 。在坐标系中，该潮格体系的特点熄： 电场秘磁场番分量在空潮鞠取嬗点被交叉地放置，使褥在每个搬标 平面上每个电场分蠢的蹭周由磁弱分麓环绕，同时每个磁场分爨的 四周由电场分量环绕，如图3 1 所示： 北京交通人举颤j ：学位论文第三章时城有限差分 去( f 附0 ) x 幽3 + 1 一个氏网格单元及电磁场各分撼在网格空间鬻敞点的关系 这样的电磁场空间配置符合电磁场的基本规律f a r a d a y 电 磁感应定律和a m p e r e 环路定律。正怒由于电磁场分量在空间网格 孛魏这耱瓣鬟，霞霉鬟孵壤毒疆差分滋在诗雾掇斡存储窆润中可以 模拟电磁波的传播及散射体的相互作用过程。在这种电磁场的配鬣 下，当空间出现介质突变面时，可以使突变面上场分量的边界条件 童熬缛曩滚是，因嚣菇些复杂臻籀魏电磁场计冀怒踅謦来缀大方 便。这一点保证了f d 了d 应屙的广泛性。 电磁场的计算与计搏空间媒质的电磁性质有溅罂关系，在网格 空淫中除了蠖定毫磁场豹离散取蓬患缢努，还螫矮麓露绘塞各囊数 点相应媒质的电磁参爨，即电磁离散点处的介电常数和电导率以及 磁场离散点处的磁导率和等效磁阻率。这也说明，通过赋予空间点 毫磁参数瓣方法虿奁鼷臻空瓣孛模援各； 孛媒霞空瓣及冬释亳磁络 北京交通人学坝1 ：学位论义第三带时域有限差分泣( f d l ) 构，这便使得用f d t d 模拟电磁波与各种复杂的电磁结构的相互 作用变得比较容易。 在氏嬲揍中，每令坐标季蠹方两主强努量耀稳距半令嬲擦窆 问步长，因而同一种场分量之间相隔正好为一个象间步长。为了保 证计算的稳定性，时间离散的步长与空间步长必须满足一定的关 系，嚣鬻步长霹选受穗磁渡接援一个空霆步长j 舞爨要豹露趣熬一 半。这样，在实际运用f d t d 法时，网格的空间步长选定后，时 间变量的离散规则也就完全确定了。也就是说，在选定了空间网格 绥穆矗，羧可摄据差分迓纭翡基本麓翊来建立酝爨貔差分方獠。 3 。4m a w e ll 方程的差分表示 一、m a x w e 髓方程缀 m a x w e l l 方程组概括了宏观电磁场的基本规律，它由两个旋度 方程和两个散发方程构成。对域有限差分法是在时域计算电磁场的 一耱数馕方法，鑫然应该觚含对阔交豢的两个m a x w e l l 旋度方獠蹬 发。 在叙述原理阶段，我们把闽题尽蹩篱化，以便突出关键趣题。 因髭，骰建我蝣警辩限定所研究的电磁场闻题只涉及各向同毪、线 性且与时间无关的媒质，单可以存谯电和磁的损耗。于是在无源区 域，m a ) ( w e l l 方程的鼹个旋瘦方程为： v 一一警一嚣 v 日= 苎争以饼 ( 3 5 a ) ( 3 5 b ) 在譬蹬差分方程辩，要簌电磁场备分耋满跫静方程密发，秘避 北京交通 学坝j 二学位论文第_ 三章时城有限差分法( f ) 需要写墩方程等价的电磁场的六个分量所满足的方程。在童角艇标 系中，电磁场可表示为： e = 最8 x + 易冬磊赴 h = 纸a 一塌a ，玩a z 吴中，酃磁筇捌刀麓冀：= 甲鬟梯蹦睾 豆炎纂。娜袋才力獠强3 ， 可得： 鲁= t 一等+ 等一嘱， 嘲 鲁= 扣鲁十警一噶， s n ， 等= 等一等鄙：， 警= 去t 鲁一熹一吒剐 强，a ， 等= 去c 等一鲁q 川 n ， 警= 吉c 等一鲁一艮擘：， ，c ， 二、几个近似 在融氏圈搀中蠢予溪量之瓣籀薤尧睾令登阉步长，爨虢 f “k 、张x 育向的中一h 喾商百t 依r 4 、而呈蜘 北京交通大举颤士学位论文第三章时城有限差分法( 肋t d ) 氅掣；! 立竺! ：趋觚：) n 。) 融缸 囊理，对黪瓣擞鹰也来翅中心差齑矮毅，虽也是穰黼半个步长避行 计算时就可剿： 望譬盥；生塑丛学二塑趔州驴)( 3 9 ) 蕊& 7”“ 用式( 3 8 ) 和( 3 9 ) 这种形式的中心差髑近似遗替代m a x w e 】l 旋度方 程中的微商，就可获得y e e 所给出的麓分方程。在送两个表达式中 含有半- 爪瓣溺步长，这鲶编程若囊了不蠖，冒终魏下避经： f ”j ( f ，t ) = 委【f ( f j ，t ) + 尸”( f ，j 。女) 】 ( 3 1 0 ) 三、差分方程 y e e 氏于1 9 6 6 年蓠先导出了m a x w e i l 旋度方程的有限差分方 程。为表豕方便，在采用图3 1 那种氏网格时，用血，y ， 分裂代表夜x ，y 移z 璧繇方囱懿丽辏空闻步长，弼格点翡空淘黛稼 简单的表永为： ( 1 ，j ，素) = ( i j 妙，女z )( 3 1la ) 其中i ，j ，k z ，分掰震淤x 、鬏帮z 搬标方向的网格标号或空间步 长的个数，时间步长用a 袭示，用n 表示时间步长的个数。一个 射闻参囊一般遮蕺与空淘坐标鸯美，毽与辩阕交鬟露关。为了袋示 方便把时间璧写在代表符号的右上角，并采用下筒的简化表示方 法： f 4 9 ，j ，蚕) = f “黜，j ，囊z ，羚矗1 )( 3 。l l b ) - 2 2 北京交通人学硕士学位论文第三章时域有限差分法( f d t d ) 其中f 为任意时变参量。 在 7 l + 三】时间步对 f + 吉_ t 】点的己利用中心差商近似可由 方程( 3 6 a ) 经整理得到： 口l “t ，工助 厨e ，工妨 御t ，工助碰如焉志 。 部# 淌御o ，汹 f 3 1 2 a 1 其中：a ( f ，j ，女) = 1 + 筹；b ( 1 ，女) = l 一揣； 同理可得 州助= 瓮黝毛瑚毒高 。 她j + 主，固能j e ， 。尘丛生壁堕! ：圭 墅! ! 哇，! 毛：竺= i u ，- 毛固 2 3 ( 3 1 2 b ) 北京交通人学颂士学位论文第三章时域有限差分法( 靴栉0 ) 叫爱黝t 专南南 。乎a 泓吗一g 耻专州吒，t 专一州 ，t 垒 。 缸曲 1 ( 3 1 2 c ) 关于三个磁场分囊成满足的方程，由于( 3 。6 ) 与( 3 7 ) 的对称憔， 缑容易从对院中求褥。考虑蜀弼稽中磁场分量的馕