[毕业设计精品]不等式的几种特殊证明方法.doc

学士学位论文 本科毕业设计 论文 设计 论文 题目 不等式的几种特殊证明方法 指导教师 学 号 姓 名 院 部 专业 届 xxx 教务处制 年 月 日 统计与数学学院数学与应用数学 2007 201122 学士学位论文 xxxxxx 学士学位论文原创性声明学士学位论文原创性声明 本人郑重声明 所呈交的学位论文 是本人在导师的指导下进行研究工 作所取得的成果 除文中已经注明引用的内容外 本论文不含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的研究成果 对本文的研究做出重要贡献的个人和 集体 均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 本声明的法律结果由本 人承担 学位论文作者签名 年 月 日 xxxxxx 关于论文使用授权的说明关于论文使用授权的说明 本人完全了解 xxx 有关保留 使用学士学位论文的规定 即 学校有权 保留 送交论文的复印件 允许论文被查阅 学校可以公布论文的全部或部 分内容 可以采用影印或其他复制手段保存论文 指导教师签名 论文作者签名 年 月 日 年 月 日 学士学位论文 不等式的几种特殊的证明方法 摘要 不等式的证明方法通常涉及到数学的各分支领域 其理论性和技巧性一般比 较强 因此不等式的证明已成为各类数学竞赛的热门题型 如何寻求不等式的证 明思路是正确求证不等式的关键所在 该文从证明不等式的几种常见的基本方法 和几种特殊方法出发 逐层深入 引进一些证明不等式的高观点的方法 并通过 一些具体例子 介绍一些典型的不等式的证明方法与变形技巧 从而灵活地运用 和掌握基本地解题技巧 同时也拓宽了学习数学的知识面和强化了证明不等式 的灵活性 以列举典型例题进行逐层深入研究 然后再针对一些特殊的证明方法 进性分析证明和应用举例 从而把各类不等式的理论来源和研究方法展示出来 关键词 不等式 证明 方法 技巧 special method and skill in proving inequality abstract the proof method of inequality usually involves to mathematics various branches domain its theory and skillful are generally stronger therefore proof of the inequality has become the popular topic of various competition how to seek the proof mentality of the inequality often is the key to solve the problem this article embarks from several common essential methods and several special methods of proof of inequality which is thorough by the level introduces some proof inequalities of the high viewpoint of method and through some concrete examples introduces some models of which the inequality proof method and the distortion skill therefore to utilize and to grasp basically skill of solving the inequality problem and also to study aspect of mathematics knowledge and to strengthen the proof inequality of flexibility by enumerates the typical example to carry on by the level thorough research then aims at some special proof method entering analyses to prove and to apply again gives an example thus demonstrated each kind of inequality theory origin and the research technique keywords inequality proof method skill 学士学位论文 目录 摘要 1 引 言 1 一 一元函数微分学中不等式的证明方法 2 1 直接利用拉格朗日中值定理证明不等式 2 2 利用函数的单调性证明不等式 3 3 利用函数的最值和极值证明不等式 4 4 利用函数的凹凸性证明不等式 5 5 泰勒中值定理在不等式证明中的应用 5 6 利用幂级数展开证明不等式 7 7 利用柯西中值定理证明不等式 7 二 有关积分领域涉及到的不等式证明 8 1 利用积分性质证明不等式 8 2 利用积分中值定理证明不等式 10 参考文献 11 学士学位论文 引引 言言 不等式是数学的重要组成部分 他几乎遍及数学的每一个学科分支领域 正 如 d s 密特利诺维奇在文 1 解析不等式 一书中所说的 今天 不等式在 数学的所有领域里起着重要的作用 并且提供了一个非常活跃而又有吸引力的研 究领域 最初由柯西 贝努利兄弟 费马 施瓦兹等著名数学家们的提出到今 天的日趋完善 经历了一个极其漫长和复杂的过程 因此不等式在数学的所有领 域中起着重要的作用 同时也吸引着众多数学家们的研究兴趣 由于它本身具有 完美的形式及证明的困难性和方法的多样性 往往可以考察分析能力和应变 能力 因此不等式已成为各类数学竞赛的热门题型 不等式即为用不等号 连接起来的式子 虽然 其定义简捷明了 但是对于它的理论研究也逐渐形成一门新的学科分支 不等已 成为一大热点和难点问题 本文将主要通过一些典型的实例 介绍不等式的其几 种证明方法和变形技巧 不等式的证明也是一门艺术 它具有自己独到的丰富的技术手法 因此 我们在证明不等式时要充分运用函数的思想和数形结合的思想 充分利用微分 与积分的知识来证明不等式 使一些复杂的不等式得到更加简洁的证明 也使 得一些不等式的证明方法多样化 因此在证明不等式时关键在于要抓住不等式 的特点 从而迅速有效地解决问题 下面我将从微积分所涉及到的几个不同方面的不等式来阐述其特殊的几种方 法微积分是高等数学的重要组成部分 是一种实用性很强的数学方法和工具 在自然科学和工程技术等方面都有着广泛的应用 同时在微积分领域同样存在 着证明不等式的几种特殊的方法和技巧 xxx 学士学位论文 1 一一 一元函数微分学中不等式的证明方法一元函数微分学中不等式的证明方法 1 直接利用拉格朗日中值定理证明不等式直接利用拉格朗日中值定理证明不等式 定理 1 拉格朗日中值定理 如果函数满足 xf 1 在闭区间上连续 ba 2 在开区间内可导 ba 那么在开区间内至少有一点 使等式 ba ba abfafbf 利用拉格朗日中值定理证明不等式的一般思路 设在上连续 在 xf ba 内可导 由拉格朗日中值定理知存在 a 3 n 2 n n x e x x 2 1 1 说明 当要证得不等式中含有上面几个重要初等函数之一时 可用幂级数展开式法进行证 明 7 利用柯西中值定理证明不等式利用柯西中值定理证明不等式 定理3 柯西中值定理 设满足 xgxf xxx 学士学位论文 7 1 在区间上连续 ba 2 在区间内可导 ba 3 和不同时为零 x f x g 4 bgag 则至少存在一点 使得 g f ag bg af bf ba 例7 1 设 证明 2 ebae 2 22 4lnln eab bb 证明 设则xxgxxf ln 2 1 ln2 xg x x xf 对于在上应用柯西中值定理有 xgxf ba ln2lnln 22 ba ab bb 设考察 ln2 t t t t 2 ln1 2 t t t 显然当时 即 以在时单调递减 从而 et 0ln1 t0 t t et 2 e 即 故 22 2 2lnln ee e 2 22 4lnln eab bb 说明 柯西中值定理是研究两个函数变量关系的中值定理 当一个函数取作自变量自 身时 它就是拉格朗日中值定理 所以能用拉格朗日中值定理证明的不等式一定能用柯西 中值定理来证 反之则不然 二二 有关积分领域涉及到的不等式证明有关积分领域涉及到的不等式证明 1 利用积分性质证明不等式利用积分性质证明不等式 定积分的性质 性质1 若f在上可积 为常数 则在上也可积 且 ba kkf ba xxx 学士学位论文 8 dxxfkdxxkf b a b a 性质2 若都在上可积 则在上也可积 gf ba gf ba b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf 性质3 若在区间上 有 那么 ba xgxf b a b a dxxgdxxf 性质4 在上可积的充要条件是 任给在与上都可积 f ba c ba f ca dc 此时 又有等式 b a c a b c dxxfdxxfdxxf 性质5 设为上的可积函数 若 f ba baxxf 0 b a dxxf 0 例1 1 证明不等式 0 lnba ab ab a b 分析 积分和微分是互逆运算 积分本身具有单调性 问题关键在于把不等式两边构 造成积分形式 使用微积分基本不等式 再利用积分性质便 afbf b a dxxf 可得到 证明 不等式的左边 右边 ab a b lnlnln b a lnxd dx x 1 b a ab b a dx 令在上是可积函数 由积分性质有 1 1 xg x xf ba 0 dx x b a 2 1 进而 2 b a b a b a dx x dx x dx 02 2 因此有成立 即0 11 ln4 4 2 2 2 ba ab a b dx x dx x dx b a b a b a 而于是有 2 ln a b ab ab ba ab 2 11 0 0 0lnbaab a b 成立 即证 ab ab a b ln 例1 2 证明 0 6 1 sin 3 xxxx xxx 学士学位论文 9 证明 因为所以所以得 0 x sinxx 2 00 2 1 sincos1xxdxdxxx xx 1 两端在此积分得 即 xcos 2 2 1 x 3 00 2 6 1 2 1 cosxxdx x xdx xx 即证 3 6 1 sinxxx 2 利用积分中值定理证明不等式利用积分中值定理证明不等式 定理2 若函数在上可积 且存在原函数 则至少存在一点 使 xf ba ba 得 abfdxxf b a 例2 1 证明不等式 11083 分析 此不等式若用平方法证明比较简单 这里利用积分中值定理来进行证明 把不等式 作差转换成积分中值定理的形式 证明 不等式变形为 左边 81013 1 3 1 3 1 11 2 1 13 dx x xd 同理右边 注意到8 1即 2 10 8 1 810 xd10 2 3 1 亦有 因此有成立 12 11 81013 11083 xxx 学士学位论文 10 参考文献参考文献 1 d s 密特利若奇 著 张小萍 王龙 译 解析不等式 m 北京 科学出版社 2 徐文兵 不等式的证明方法与技巧 j 3 徐文兵 用 零件不等式 证明一类积式不等式 j 数学通讯 2004 5 北京大学数学系几何与代数研究前代数小组编 高等代数 m 第三版 北京 高等教育 出版社 6 任念兵 解不等式问题的一些高观点方法 j 中学数学研究 7 华东师范大学数学系编 数学分析 m 上 下册 第三版 北京 高等教育出版社 8 缪铨生 概率与数理统计 m 第二版 上海 华东师范大学出版社 9 吴传生主编 数学分析习题精解 中国科技大学出版社 10 人民教育出版社中学数学室 高中数学课程标准 m 人民教育出版社 11 数学复习全书 李永乐主编 国家行