线性代数期末考试试卷答案合集.pdf

大学生校园网 VvSchool CN线性代数综合测试题 共 3 页第 1页 大学线性代数期末考试题大学线性代数期末考试题 一 一 填空题填空题 将正确答案填在题中横线上 每小题 将正确答案填在题中横线上 每小题 2 2 分 共分 共 1010 分 分 1 若0 221 50 131 x 则 2 若齐次线性方程组 0 0 0 321 321 321 xxx xxx xxx 只有零解 则 应满足 3 已知矩阵 nsij cCBA 满足CBAC 则A与B分别是阶矩阵 4 矩阵 3231 2221 1211 aa aa aa A的行向量组线性 5 n阶方阵A满足03 2 EAA 则 1 A 二 判断正误二 判断正误 正确的在括号内填 正确的在括号内填 错误的在括号内填 错误的在括号内填 每小题 每小题 2 2 分 共分 共 1010 分 分 1 若行列式D中每个元素都大于零 则0 D 2 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合 3 向量组 m aaa 21 中 如果 1 a与 m a对应的分量成比例 则向量组 s aaa 21 线性相关 4 0100 1000 0001 0010 A 则AA 1 5 若 为可逆矩阵A的特征值 则 1 A的特征值为 三 单项选择题三 单项选择题 每小题仅有一个正确答案 将正确答案题号填入括号内 每小题每小题仅有一个正确答案 将正确答案题号填入括号内 每小题 2 2 分 共分 共 1010 分分 1 设A为n阶矩阵 且2 A 则 T AA n 2 1 2 n 1 2 n 4 2 n维向量组 s 21 3 s n 线性无关的充要条件是 s 21 中任意两个向量都线性无关 s 21 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 s 21 中任一个向量都不能用其余向量线性表示 大学生校园网 VvSchool CN线性代数综合测试题 共 3 页第 2页 s 21 中不含零向量 3 下列命题中正确的是 任意n个1 n维向量线性相关 任意n个1 n维向量线性无关 任意1 n个n维向量线性相关 任意1 n个n维向量线性无关 4 设A B均为 n 阶方阵 下面结论正确的是 若A B均可逆 则BA 可逆 若A B均可逆 则A B可逆 若BA 可逆 则BA 可逆 若BA 可逆 则A B均可逆 5 若 4321 是线性方程组0 A的基础解系 则 4321 是0 A的 解向量 基础解系 通解 A 的行向量 四 计算题四 计算题 每小题 9 分 共 63 分 1 计算行列式 xabcd axbcd abxcd abcxd 解 3 000 000 000 1 1 1 1 1 xdcbax x x x dcb dcbax dxcb dcxb dcbx dcb dcbax dxcbdcbax dcxbdcbax dcbxdcbax dcbdcbax dxcba dcxba dcbxa dcbax 2 设BAAB2 且A 410 011 103 求B 解解 ABEA 2 111 122 112 2 1 EA 322 234 225 2 1 AEAB 大学生校园网 VvSchool CN线性代数综合测试题 共 3 页第 3页 3 设 1000 1100 0110 0011 B 2000 1200 3120 4312 C且矩阵 满足关系式 X CBE 求 4 问a取何值时 下列向量组线性相关 123 1 1 2 2 11 22 1 1 2 2 a a a 5 为何值时 线性方程组 2 2 3 321 321 321 xxx xxx xxx 有唯一解 无解和有无穷多解 当方程组有无穷多 解时求其通解 当当1 且且2 时 方程组有唯一解 时 方程组有唯一解 当当2 时方程组无解时方程组无解 当当1 时 有无穷多组解 通解为时 有无穷多组解 通解为 1 0 1 0 1 1 0 0 2 21 cc 6 设 7 7 10 3 1 3 0 1 3 1 9 2 0 1 4 1 4321 求此向量组的秩和一个极大无关组 并将其余向 量用该极大无关组线性表示 7 设 100 010 021 A 求A的特征值及对应的特征向量 五 证明题五 证明题 7 7 分分 若A是n阶方阵 且 IAA 1 A证明0 IA 其中I为单位矩阵 大学生校园网 VvSchool CN线性代数综合测试题 共 3 页第 4页 大学线性代数期末考试题答案大学线性代数期末考试题答案 一 填空题一 填空题 1 52 1 3 nnss 4 相关 5 EA3 二 判断正误二 判断正误 1 2 3 4 5 三 单项选择题三 单项选择题 1 2 3 4 5 四 计算题四 计算题 1 大学生校园网 VvSchool CN线性代数综合测试题 共 3 页第 5页 3 000 000 000 1 1 1 1 1 xdcbax x x x dcb dcbax dxcb dcxb dcbx dcb dcbax dxcbdcbax dcxbdcbax dcbxdcbax dcbdcbax dxcba dcxba dcbxa dcbax 2 ABEA 2 111 122 112 2 1 EA 322 234 225 2 1 AEAB 3 1210 0121 0012 0001 1210 0121 0012 0001 1234 0123 0012 0001 1000 2100 3210 4321 1 1 BCEXBC BCBC 4 22 12 8 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 321 aa a a a aaa 当 2 1 a或1 a时 向量组 321 aaa 线性相 关 5 当1 且2 时 方程组有唯一解 当2 时方程组无解 大学生校园网 VvSchool CN线性代数综合测试题 共 3 页第 6页 当1 时 有无穷多组解 通解为 1 0 1 0 1 1 0 0 2 21 cc 6 6 0000 1100 2010 2001 131300 161600 2410 3121 7130 10430 2410 3121 7130 7311 10094 3121 4321 aaaa 则 3 4321 aaaar 其中 321 aaa 构成极大无关组 3214 22aaaa 7 0 1 120 010 001 3 AE 特征值1 321 对于 1 1 020 000 000 1 AE 特征向量为 1 0 0 0 0 1 lk 五 证明题五 证明题 AIAIAIAAAAIA 02 AI 0 AI 一一 选择题选择题 本题共本题共 4 4 小题小题 每小题每小题 4 4 分分 满分满分 1616 分分 每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中 只有一只有一 项符合题目要求 项符合题目要求 1 1 设 设A B为为 n n 阶方阵 满足等式阶方阵 满足等式0 AB 则必有 则必有 A A 0 A或或0 B B B 0 BA C C 0 A或或0 B D D 0 BA 大学生校园网 VvSchool CN线性代数综合测试题 共 3 页第 7页 2 2 A和和B均为均为n阶矩阵 且阶矩阵 且 222 2ABAABB 则必有 则必有 A A AE B B BE C C AB D D ABBA 3 3 设 设A为为nm 矩阵 齐次方程组矩阵 齐次方程组0 Ax仅有零解的充要条件是 仅有零解的充要条件是 A A A的列向量线性无关 的列向量线性无关 B B A的列向量线性相关 的列向量线性相关 C C A的行向量线性无关 的行向量线性无关 D D A的行向量线性相关的行向量线性相关 4 4 n阶矩阵阶矩阵A为奇异矩阵的充要条件是 为奇异矩阵的充要条件是 A A A的秩小于的秩小于n B B 0A C C A的特征值都等于零 的特征值都等于零 D D A的特征值都不等于零 的特征值都不等于零 二 填空题 本题共二 填空题 本题共 4 4 小题 每题小题 每题 4 4 分 满分分 满分 1616 分 分 5 5 若 若 4 4 阶矩阵阶矩阵A的行列式的行列式5A A 是是 A A 的伴随矩阵 则的伴随矩阵 则 A 6 6 A为为nn 阶矩阵 且阶矩阵 且 2 20AAE 则 则 1 2 AE 7 7 已知方程组 已知方程组 4 3 1 21 232 121 3 2 1 x x x a a无解 则无解 则a 8 8 二 次 型 二 次 型 222 1231231213 2322f x x xxxtxx xx x 是 正 定 的 则是 正 定 的 则t的 取 值 范 围的 取 值 范 围 是是 三 计算题 三 计算题 本题共本题共 2 2 小题 每题小题 每题 8 8 分 分 满分满分 1616 分 分 9 9 计算行列式 计算行列式 1111 1111 1111 1111 x x D y y 1010 计算 计算n阶行列式阶行列式 12 12 12 3 3 3 n n n n xxx xxx D xxx 四 证明题 本题共四 证明题 本题共 2 2 小题 每小题小题 每小题 8 8 分 满分分 满分 1616 分 写出证明过程 分 写出证明过程 1111 若向量组 若向量组 123 线性相关 向量组线性相关 向量组 234 线性无关 证明 线性无关 证明 1 1 1 能有能有 23 线性表出 线性表出 大学生校园网 VvSchool CN线性代数综合测试题 共 3 页第 8页 2 2 4 不能由不能由 123 线性表出 线性表出 1212 设 设A是是n阶矩方阵 阶矩方阵 E是是n阶单位矩阵 阶单位矩阵 EA 可逆 且可逆 且 1 f AEA EA 证明证明 1 1 2Ef AEAE 2 2 f f AA 五五 解答题解答题 本题共本题共 3 3 小题小题 每小题每小题 1212 分分 满分满分 3232 分分 解答应写出文字说明或演算步骤解答应写出文字说明或演算步骤 1313 设 设 200 032 023 A 求一个正交矩阵 求一个正交矩阵P使得使得 1 P AP 为对角矩阵 为对角矩阵 1414 已知方程组 已知方程组 04 02 0 3 2 21 321 321 xaxx axxx xxx 与方程组与方程组12 321 axxx 有公共解 有公共解 求求a的值 的值 1515 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3 3 已知 已知 1 2 3 是它的三个解向量 是它的三个解向量 且且 5 4 3 2 1 4 3 2 1 32 求该方程组的通解 求该方程组的通解 解答和评分标准解答和评分标准 一 选择题一 选择题 1 1 C C 2 2 D D 3 3 A A 4 4 A A 二 填空题二 填空题 5 5 1 125 25 6 6 2 7 7 1 1 8 8 5 3 t 大学生校园网 VvSchool CN线性代数综合测试题 共 3 页第 9页 三 计算题三 计算题 9 9 解 第一行减第二行 第三行减第四行得 解 第一行减第二行 第三行减第四行得 00 1111 00 1111 xx x D yy y 第二列减第一列 第四列减第三列得 第二列减第一列 第四列减第三列得 000 110 000 101 x x D y y 4 4 分 分 按第一行展开得按第一行展开得 10 00 01 x Dxy y 按第三列展开得按第三列展开得 22 0 1 x Dxyx y y 4 4 分 分 1010 解解 把各列加到第一列把各列加到第一列 然后提取第一列的公因子然后提取第一列的公因子 n i i x 1 3 再通过行列式的变换化再通过行列式的变换化 为上三角形行列式为上三角形行列式 2 2 1 2 1 13 3 13 n n n ni i n xx xx Dx xx 4 4 分 分 2 1 1 030 3 003 n n i i xx x 1 1 33 n n i i x 4 4 分 分 大学生校园网 VvSchool CN线性代数综合测试题 共 3 页第 10页 四 证明题四 证明题 1111 证明 证明 1 1 因为因为 332 线性无关 所以线性无关 所以 32 线性无关线性无关 又又 321 线性相关 故线性相关 故 1 能由能由 32 线性表出 线性表出 4 4 分分 123 3r 2 2 反正法 若不 则 反正法 若不 则 4 能由能由 321 线性表出 线性表出 不妨设不妨设 3322114 kkk 由 由 1 1 知 知 1 能由能由 32 线性表出 线性表出 不妨设不妨设 32211 tt 所以所以 3322322114 kkttk 这表明这表明 432 线性相关 矛盾 线性相关 矛盾 1212 证明证明 1 1 1 Ef AEAEEA EAEA 1 2EAEA EAEAEAEAE 4 4 分 分 2 2 1 f f AEf AEf A 由 由 1 1 得 得 1 1 2 Ef AEA 代入上式得 代入上式得 11 111 222 f f AEEA EAEAEAEA EAEA 11 22 EAEAA 4 4 分 分 五 解答题五 解答题 13 解 解 1 由 由0EA 得得A的特征值为的特征值为 1 1 2 2 3 5 4 4 分 分 大学生校园网 VvSchool CN线性代数综合测试题 共 3 页第 11页 2 1 1 的特征向量为的特征向量为 1 0 1 1 2 2 的特征向量为的特征向量为 2 1 0 0 3 5 的特征向量为的特征向量为 3 0 1 1 3 3 分 分 3 因为特征值不相等 则 因为特征值不相等 则 123 正交 正交 2 2 分 分 4 将 将 123 单位化得单位化得 1 0 1 1 2 1 p 2 1 0 0 p 3 0 1 1 2 1 p 2 2 分 分 5 取 取 123 010 11 0 22 11 0 22 Pp pp 6 1 100 020 005 P AP 1 1 分 分 1414 解 该非齐次线性方程组 解 该非齐次线性方程组bAx 对应的齐次方程组为对应的齐次方程组为 0 Ax 因因3 AR 则齐次线性方程组的基础解系有 则齐次线性方程组的基础解系有 1 1 个非零解构成 即任何一个非零解都是它个非零解构成 即任何一个非零解都是它 的基础解系 的基础解系 5 5 分 分 另一方面 记向量另一方面 记向量 2 321 则 则 022 2 321321 bbbAAAAA 直接计算得直接计算得0 6 5 4 3 T 就是它的一个基础解系就是它的一个基础解系 根据非齐次线性方程组解的结构根据非齐次线性方程组解的结构 知 原方程组的通解为知 原方程组的通解为 大学生校园网 VvSchool CN线性代数综合测试题 共 3 页第 12页 5 4 3 2 6 5 4 3 1 kkx Rk 7 7 分 分 15 解 解 将将 与与 联立得非齐次线性方程组联立得非齐次线性方程组 12 04 02 0 321 3 2 21 321 321 axxx xaxx axxx xxx 若此非齐次线性方程组有解若此非齐次线性方程组有解 则则 与与 有公共解有公共解 且且 的解即为所求全部公共解的解即为所求全部公共解 对对 的增广矩阵的增广矩阵A作初等行变换得作初等行变换得 1121 041 021 0111 2 a a a A 1100 0 1 2 00 0110 0111 aa aa a 4 4 分 分 1 1 当当1a 时时 有有 23r Ar A 方程组方程组 有解有解 即即 与与 有公共解有公共解 其全部公共解即其全部公共解即 为为 的通解 此时的通解 此时 0000 0000 0010 0101 A 则则方程组方程组 为齐次线性方程组 其为齐次线性方程组 其基础解系为基础解系为 1 0 1 所以所以 与与 的全部公共解为的全部公共解为 1 0 1 k k k为任意常数为任意常数 4 4 分 分 2 2 当当2a 时 有时 有 3r Ar A 方程组 方程组 有唯一解有唯一解 此时此时 0000 1100 1010 0001 A 大学生校园网 VvSchool CN线性代数综合测试题 共 3 页第 13页 故方程组故方程组 的解为的解为 0 1 1 即即 与与 有唯一公共解有唯一公共解 0 1 1 x 4 4 分 分 线性代数习题和答案 好东西 第一部分选择题 共 28 分 一 单项选择题 本大题共 14 小题 每小题 2 分 共 28 分 在每小题列出的四个选项中只有一个是符 合题目要求的 请将其代码填在题后的括号内 错选或未选均无分 1 设行列式 aa aa 1112 2122 m aa aa 1311 2321 n 则行列式 aaa aaa 111213 212223 等于 A m nB m n C n mD m n 2 设矩阵 A 100 020 003 则 A 1等于 A 1 3 00 0 1 2 0 001 B 100 0 1 2 0 00 1 3 C 1 3 00 010 00 1 2 D 1 2 00 0 1 3 0 001 3 设矩阵 A 312 101 214 A 是 A 的伴随矩阵 则 A 中位于 1 2 的元素是 A 6B 6 大学生校园网 VvSchool CN线性代数综合测试题 共 3 页第 14页 C 2D 2 4 设 A 是方阵 如有矩阵关系式 AB AC 则必有 A A 0B B C 时 A 0 C A 0 时 B CD A 0 时 B C 5 已知 3 4 矩阵 A 的行向量组线性无关 则秩 AT 等于 A 1B 2 C 3D 4 6 设两个向量组 1 2 s和 1 2 s均线性相关 则 A 有不全为 0 的数 1 2 s使 1 1 2 2 s s 0 和 1 1 2 2 s s 0 B 有不全为 0 的数 1 2 s使 1 1 1 2 2 2 s s s 0 C 有不全为 0 的数 1 2 s使 1 1 1 2 2 2 s s s 0 D 有不全为 0 的数 1 2 s和不全为 0 的数 1 2 s使 1 1 2 2 s s 0 和 1 1 2 2 s s 0 7 设矩阵 A 的秩为 r 则 A 中 A 所有 r 1 阶子式都不为 0B 所有 r 1 阶子式全为 0 C 至少有一个 r 阶子式不等于 0D 所有 r 阶子式都不为 0 8 设 Ax b 是一非齐次线性方程组 1 2是其任意 2 个解 则下列结论错误的是 A 1 2是 Ax 0 的一个解B 1 2 1 1 2 2是 Ax b 的一个解 C 1 2是 Ax 0 的一个解D 2 1 2是 Ax b 的一个解 9 设 n 阶方阵 A 不可逆 则必有 A 秩 A nB 秩 A n 1 C A 0D 方程组 Ax 0 只有零解 10 设 A 是一个 n 3 阶方阵 下列陈述中正确的是 A 如存在数 和向量 使 A 则 是 A 的属于特征值 的特征向量 B 如存在数 和非零向量 使 E A 0 则 是 A 的特征值 C A 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量 D 如 1 2 3是 A 的 3 个互不相同的特征值 1 2 3依次是 A 的属于 1 2 3的特 征向量 则 1 2 3有可能线性相关 11 设 0是矩阵 A 的特征方程的 3 重根 A 的属于 0的线性无关的特征向量的个数为 k 则必有 A k 3B k3 12 设 A 是正交矩阵 则下列结论错误的是 A A 2必为 1B A 必为 1 C A 1 ATD A 的行 列 向量组是正交单位向量组 13 设 A 是实对称矩阵 C 是实可逆矩阵 B CTAC 则 A A 与 B 相似 B A 与 B 不等价 C A 与 B 有相同的特征值 D A 与 B 合同 14 下列矩阵中是正定矩阵的为 A 23 34 B 34 26 大学生校园网 VvSchool CN线性代数综合测试题 共 3 页第 15页 C 100 023 035 D 111 120 102 第二部分非选择题 共 72 分 二 填空题 本大题共 10 小题 每小题 2 分 共 20 分 不写解答过程 将正确的答案写在每小题的空 格内 错填或不填均无分 15 111 356 92536 16 设 A 1 1 1 1 1 1 B 1 1 2 2 3 4 则 A 2B 17 设 A aij 3 3 A 2 Aij 表 示 A 中 元 素 aij的 代 数 余 子 式 i j 1 2 3 则 a11A21 a12A22 a13A23 2 a21A21 a22A22 a23A23 2 a31A21 a32A22 a33A23 2 18 设向量 2 3 5 与向量 4 6 a 线性相关 则 a 19 设 A 是 3 4 矩阵 其秩为 3 若 1 2为非齐次线性方程组 Ax b 的 2 个不同的解 则它的通解 为 20 设 A 是 m n 矩阵 A 的秩为 r n 则齐次线性方程组 Ax 0 的一个基础解系中含有解的个数 为 21 设向量 的长度依次为 2 和 3 则向量 与 的内积 22 设 3 阶矩阵 A 的行列式 A 8 已知 A 有 2 个特征值 1 和 4 则另一特征值为 23 设矩阵 A 0106 133 2108 已知 2 1 2 是它的一个特征向量 则 所对应的特征值为 24 设实二次型 f x1 x2 x3 x4 x5 的秩为 4 正惯性指数为 3 则其规范形为 三 计算题 本大题共 7 小题 每小题 6 分 共 42 分 25 设 A 120 340 121 B 2 2 3 4 1 0 求 1 ABT 2 4A 26 试计算行列式 3112 5134 2011 1533 27 设矩阵 A 423 110 123 求矩阵 B 使其满足矩阵方程 AB A 2B 28 给定向量组 1 2 1 0 3 2 1 3 2 4 3 3 0 2 1 4 0 1 4 9 试判断 4是否为 1 2 3的线性组合 若是 则求出组合系数 大学生校园网 VvSchool CN线性代数综合测试题 共 3 页第 16页 29 设矩阵 A 12102 24266 21023 33334 求 1 秩 A 2 A 的列向量组的一个最大线性无关组 30 设矩阵 A 022 234 243 的全部特征值为 1 1 和 8 求正交矩阵 T 和对角矩阵 D 使 T 1AT D 31 试用配方法化下列二次型为标准形 f x1 x2 x3 xxxx xx xx x 1 2 2 2 3 2 121323 23444 并写出所用的满秩线性变换 四 证明题 本大题共 2 小题 每小题 5 分 共 10 分 32 设方阵 A 满足 A3 0 试证明 E A 可逆 且 E A 1 E A A2 33 设 0是非齐次线性方程组 Ax b 的一个特解 1 2是其导出组 Ax 0 的一个基础解系 试证明 1 1 0 1 2 0 2均是 Ax b 的解 2 0 1 2线性无关 答案 答案 一 单项选择题 本大题共 14 小题 每小题 2 分 共 28 分 1 D2 B3 B4 D5 C 6 D7 C8 A9 A10 B 11 A12 B13 D14 C 二 填空题 本大题共 10 空 每空 2 分 共 20 分 15 6 16 337 137 17 4 18 10 19 1 c 2 1 或 2 c 2 1 c 为任意常数 20 n r 21 5 22 2 23 1 24 zzzz 1 2 2 2 3 2 4 2 三 计算题 本大题共 7 小题 每小题 6 分 共 42 分 25 解 1 ABT 120 340 121 22 34 10 大学生校园网 VvSchool CN线性代数综合测试题 共 3 页第 17页 86 1810 310 2 4A 43 A 64 A 而 A 120 340 121 2 所以 4A 64 2 128 26 解 3112 5134 2011 1533 5111 11131 0010 5530 511 1111 550 511 620 550 62 55 301040 27 解AB A 2B 即 A 2E B A 而 A 2E 1 223 110 121 143 153 164 1 所以B A 2E 1A 143 153 164 423 110 123 386 296 2129 28 解一 2130 1301 0224 3419 0532 1301 0112 013112 1035 0112 0088 001414 1035 0112 0011 0000 1002 0101 0011 0000 所以 4 2 1 2 3 组合系数为 2 1 1 解二考虑 4 x1 1 x2 2