通信原理的随机信号分析.ppt

3 1随机过程的基本概念3 2平稳随机过程3 3高斯随机过程3 4平稳随机过程通过线性系统3 5窄带随机过程3 6正弦波加窄带高斯过程3 7高斯白噪声和带限白噪声 第3章随机过程 作业P61 3 33 53 83 93 14 3 1随机过程的基本概念自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类 一类是其变化过程具有确定的形式 用数学语言来说 其变化过程可以用一个或几个时间t的确定函数来描述 这类过程称为确定性过程 另一类过程没有确定的变化形式 也就是说 每次对它的测量结果没有一个确定的变化规律 用数学语言来说 这类事物变化的过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描述 这类过程称为随机过程 图3 1样本函数的总体 由此我们给随机过程下一个更为严格的定义 每一次试验都有一条时间波形 称为样本函数或实现 记作xi t 所有可能出现的结果的总体 x1 t x2 t xn t 就构成一随机过程 记作 t 简言之 无穷多个样本函数的总体叫做随机过程 在纵向 是随机变量 是样本 随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合 无穷多个样本函数的总体叫做随机过程 在横向 仅是一个实现 或者说是样本函数 设 t 表示一个随机过程 在任意给定的时刻t1 T 其取值 t1 是一个一维随机变量 而随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述 我们把随机变量 t1 小于或等于某一数值x1的概率P t1 x1 简记为F1 x1 t1 即F1 x1 t1 P t1 x1 3 1 1 式 3 1 1 称为随机过程 t 的一维分布函数 如果F1 x1 t1 对x1的偏导数存在 即有 3 1 1随机过程的分布函数 则称f1 x1 t1 为 t 的一维概率密度函数 显然 随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性 而没有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系 为此需要进一步引入二维分布函数 任给两个时刻t1 t2 T 则随机变量 t1 和 t2 构成一个二元随机变量 t1 t2 称F2 x1 x2 t1 t2 P t1 x1 t2 x2 3 1 3 为随机过程 t 的二维分布函数 如果存在 则称f2 x1 x2 t1 t2 为 t 的二维概率密度函数 同理 任给t1 t2 tn T 则 t 的n维分布函数被定义为Fn x1 x2 xn t1 t2 tn P t1 x1 t2 x2 tn xn 若 则称fn x1 x2 xn t1 t2 tn 为 t 的n维概率密度函数 显然 n越大 对随机过程统计特性的描述就越充分 但问题的复杂性也随之增加 在一般实际问题中 掌握二维分布函数就已经足够了 3 1 2随机过程的数字特征分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程的统计特性 但在实际工作中 有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数 而它的某些数字特征却比较容易估算出来 并且在许多实际问题中只需要知道这些数字特征就可以了 1 数学期望随机过程 t 的数学期望为 a t 是时间t的函数 它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心 2 方差 D t 常记为 2 t 它表示样本偏离均值的程度 称E 2 t 为均方值 称方差的平方根 t 为标准差 均方差或均方根差 3 自相关函数和自协方差函数均值和方差都只与随机过程的一维概率密度函数有关 因而它们描述了随机过程在各个孤立时刻的特征 为了描述随机过程在两个不同时刻状态之间的联系 还需利用二维概率密度引入新的数字特征 衡量同一随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联程度时 常用协方差函数B t1 t2 和相关函数R t1 t2 来表示 自协方差函数定义为 式中 t1与t2是任取的两个时刻 a t1 与a t2 为在t1及t2时刻得到的数学期望 f2 x1 x2 t1 t2 为二维概率密度函数 特例 当t1 t2 t时 B t1 t2 D t 用途 用协方差来判断同一随机过程的两个变量是否相关 自相关函数定义为 二者的关系 B t1 t2 R t1 t2 a t1 a t2 用途 a用来判断广义平稳 b用来求解平稳随机过程的功率谱密度及平均功率 B t1 t2 E t1 a t1 t2 a t2 B t1 t2 R t1 t2 a t1 a t2 若a t1 0或a t2 0 则B t1 t2 R t1 t2 若t2 t1 并令t2 t1 则R t1 t2 可表示为R t1 t1 这说明 相关函数依赖于起始时刻t1及t2与t1之间的时间间隔 即相关函数是t1和 的函数 由于B t1 t2 和R t1 t2 是衡量同一过程的相关程度的 因此 它们又常分别称为自协方差函数和自相关函数 对于两个或更多个随机过程 可引入互协方差及互相关函数 设 t 和 t 分别表示两个随机过程 则互协方差函数定义为B t1 t2 E t1 a t1 t2 a t2 互相关函数定义为R t1 t2 E t1 t2 3 2平稳随机过程 3 2 1定义设随机过程 t t T 若对于任意n和任意选定t1 t2 tn tk T k 1 2 n 以及 为任意值 且x1 x2 xn R 有 fn x1 x2 xn t1 t2 tn fn x1 x2 xn t1 t2 tn 3 2 1 则称 t 是严平稳随机过程或狭义平稳随机过程 该定义说明 平稳随机过程的概率密度函数并不随着时间的推移而变化 即狭义平稳随机过程是统计特性与时间起点无关的随机过程 具体到它的一维分布和二维分布 f1 x1 t1 f1 x1 t1 f1 x1 3 2 2 即一维分布与时间t无关f2 x1 x2 t1 t2 f2 x1 x2 t1 t2 f2 x1 x2 3 2 3 二维分布只与时间间隔 有关 数字特征 可见 1 其均值与t无关 为常数a 2 自相关函数只与时间间隔 有关 对于随机过程 t 若满足 1 a t a 2 R t1 t1 R 则 t 为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程 可见狭义平稳必定是广义平稳 广义平稳不一定狭义平稳 通信系统中所遇到的信号及噪声 大多数可视为平稳的随机过程 以后讨论的随机过程除特殊说明外 均假定是平稳的 且均指广义平稳随机过程 简称平稳过程 3 2 2各态历经性平稳随机过程在满足一定条件下 有 各态历经性 这种平稳随机过程 它的数字特征 均为统计平均 完全可由随机过程中的任一实现的数字特征 均为时间平均 来替代 假设x t 是平稳随机过程 t 的任意一个实现 它的时间均值和时间相关函数分别为 如果平稳随机过程以概率1使下式成立 则称该平稳随机过程具有各态历经性 各态历经 的含义 随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态 任一实现都能代表整个随机过程 因此 我们无需 实际中也不可能 获得大量用来计算统计平均的样本函数 而只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征 从而使 统计平均 化为 时间平均 使实际测量和计算的问题大为简化 注意 具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程 但平稳随机过程不一定是各态历经的 在通信系统中所遇到的随机信号和噪声 一般均能满足各态历经条件 3 2 3平稳随机过程的自相关函数设 t 为实平稳随机过程 则它的自相关函数 R E t t 具有下列主要性质 1 R 0 E 2 t S t 的平均功率尽管平稳随机过程的总能量是无穷的 但平均功率为有限值 2 R E2 t t 的直流功率 3 R 0 R 2 方差 t 的交流功率当均值为0时 有R 0 2 R R 0 R 的上界R 0 自己和自己相关值最大 因此 0的相关值小于R 0 5 R R 的偶函数R E t t E t t R 平稳过程的自相关函数只与时间间隔有关 间隔 3 2 4平稳过程的功率谱密度随机过程中的任一实现是一个确定的功率型信号 因此随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的 而对于任意的确定功率信号f t 它的功率谱密度为 FT 是f t 的截短函数fT t 所对应的频谱函数 我们可以把f t 看成是平稳随机过程 t 中的任一实现 过程的功率谱密度应看做是任一实现的功率谱的统计平均 即 t 的平均功率S则可表示成 虽然上式给出了平稳随机过程 t 的功率谱密度P 但我们很难直接用它来计算功率谱 那么 如何方便地求功率谱P 呢 我们知道 确知的周期功率信号的自相关函数与其谱密度是一对傅氏变换关系 对于平稳随机过程 也有类似的关系 称为维纳 辛钦公式 或 2 各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度 也就是说 每一样本函数的谱特性都能很好地表现整个过程的的谱特性 R 0 表示随机过程的平均功率 它应等于功率谱密度曲线下的面积 3 功率谱密度P f 具有非负性和实偶性 即有 1 P 0 非负性 2 P P 偶函数 3 例3 1 3 2 某随机相位余弦波 t Acos ct 其中A和 c均为常数 是在 0 2 内均匀分布的随机变量 1 求 t 的自相关函数与功率谱密度 2 求 t 的平均功率 3 讨论 t 是否具有各态历经性 t 的数学期望为 解 1 先考察 t 是否广义平稳 t 的自相关函数为 可见 t 的数学期望为常数 而自相关函数只与时间间隔 有关 所以 t 为广义平稳随机过程 根据平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换 即 而 所以 功率谱密度为 2 功率 方法一 方法二 统计平均 时间平均 因此 随机相位余弦波是各态历经的 3 t 的时间平均 3 3高斯随机过程 3 3 1定义若随机过程 t 的任意n维 n 1 2 分布都是正态分布 则称它为高斯随机过程或正态过程 式中 ak E tk 2k E tk ak 2 B 为归一化协方差矩阵的行列式 即 其n维正态概率密度函数表示如下 B jk为行列式 B 中元素bjk的代数余因子 bjk为归一化协方差函数 3 3 2重要性质 1 由上式可以看出 高斯过程的n维分布完全由n个随机变量的数学期望 方差和两两之间的归一化协方差函数所决定 因此 对于高斯过程 只要研究它的数字特征就可以了 2 如果高斯过程是广义平稳的 则它的均值与时间无关 协方差函数只与时间间隔有关 而与时间起点无关 由性质 1 知 它的n维分布与时间起点无关 所以 广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的 3 如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的 即对所有j k有bjk 0 这时上式为 f x1 t1 f x2 t2 f xn tn 结论 如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的 那么它们也是统计独立的 4 高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程 即若线性系统的输入为高斯过程 则系统输出也是高斯过程 a为高斯随机变量的数学期望 2为方差 3 3 3高斯随机变量 高斯过程在任一时刻上的样值是一个一维高斯随机变量 其一维概率密度函数可表示为 图3 3正态分布的概率 3 且有 f x 具有如下特性 1 f x 对称于x a这条直线 f a x f a x 2 x f x 0 在点a处达到极大值 4 a表示分布中心 表示偏离的程度 f x 图形将随着a的变化左右平移 随着 的减小而变高和变窄 一维正态概率密度函数 5 当a 0 1时 称f x 为标准正态分布的密度函数 N 0 1 概率分布函数 正态分布函数 这个积分无法用闭合形式计算 我们要设法把这个积分式与可以在数学手册上查出积分值的特殊函数联系起来 一般常用以下特殊函数 1 误差函数 它是自变量的递增函数 erf 0 0 erf 1 erf x erf x 它是自变量的递减函数 erfc 0 1 erfc 0 erfc x 2 erfc x 实际应用中只要x 2即可近似有 2 补误差函数 3 Q函数 4 概率分布函数 3 4平稳随机过程通过线性系统 通信系统中的信号或噪声一般都是随机的 对于平稳随机过程通过线性系统 其输出过程类似于确知信号通过线性系统 即 3 4 2 若vo t Vo vi t Vi h t H 则有Vo H Vi 3 4 3 如果把vi t 看作是输入随机过程的一个样本 则vo t 可看作是输出随机过程的一个样本 显然 输入过程 i t 的每个样本与输出过程 o t 的相应样本之间都满足式 3 4 2 的关系 就整个过程而言 便有 3 4 4 假定输入 i t 是平稳随机过程 E i t a 常数 自相关函数为Ri 系统的输出过程 o t 的统计特性 1 输出过程 o t 的数学期望 求得 直流传递函数 所以 输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与直流传递函数H 0 的乘积 且E o t 与t无关 2 输出过程 o t 的自相关函数 可见 o t 的自相关函数只依赖时间间隔 而与时间起点t1无关 由以上输出过程的数学期望和自相关函数证明 若线性系统的输入过程是平稳的 那么输出过程也是平稳的 而 则 3 输出过程 o t 的功率谱密度 令 则有 即 可见 系统输出功率谱密度是输入功率谱密度Pi 与系统功率传输函数 H 2的乘积 这是一个很重要的公式 当我们想得到输出过程的自相关函数Ro 时 比较简单的方法是先计算出功率谱密度Po 然后求其反变换 这比直接计算Ro 要简便得多 4 和的互相关函数与互功率谱密度 5 输出过程 o t 的概率分布 一个线性系统的输入过程是高斯型的 则系统的输出过程也是高斯型的 总结 高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯的 与输入正态过程相比 输出过程的数字特征改变了 例2带限白噪声 试求功率谱密度为n0 2的白噪声通过理想矩形的低通滤波器后的功率谱密度 自相关函数和噪声平均功率 理想低通的传输特性为 解 输出功率谱密度 可见 输出噪声的功率谱密度在 H内是均匀的 在此范围外则为零 如图所示 通常把这样的噪声称为带限白噪声 a b 带限白噪声的功率谱和自相关函数 其自相关函数为 式中 H 2 fH 由此可见 带限白噪声只有在 k 2fH k 1 2 3 上得到的随机变量才不相关 噪声平均功率带限白噪声的自相关函数Ro 在 0处有最大值 这就是带限白噪声的平均功率 1 2 3 互功率谱密度 例3 已知 t 的自相关函数R 求 t 和的相关函数和功率谱 奇函数 3 5窄带随机过程 窄带系统 是指其通带宽度 f fc 且fc远离零频率的系统 实际中 大多数通信系统都是窄带型的 通过窄带系统的信号或噪声必是窄带的 如果这时的信号或噪声又是随机的 则称它们为窄带随机过程 图3 4窄带过程的频谱和波形示意 窄带随机过程 t 可用下式表示 表示方法1 t a t cos ct t a t 0 3 5 1 表示方法2 t c t cos ct s t sin ct 3 5 2 其中 c t a t cos t 3 5 3 s t a t sin t 3 5 4 式中 a t 及 t 分别是 t 的随机包络和随机相位 c t 及 s t 分别称为 t 的同相分量和正交分量 它们也是随机过程 显然它们的变化相对于载波cos ct的变化要缓慢得多 3 5 1同相和正交分量的统计特性 前提 设窄带过程 t 是平稳高斯窄带过程 且均值为0 方差为 2 将证明 它的同相分量 c t 和正交分量 s t 也是零均值的平稳高斯过程 而且与 t 具有相同的方差 E t E c t cos ct E s t sin ct 0 3 5 5 则 E c t 0E s t 0 3 5 6 E t E c t E s t 0 1 数学期望 2 自相关函数R t t E t t E c t cos ct s t sin ct c t cos c t s t sin c t R c t t cos ctcos c t R c s t t cos ctsin c t R s c t t sin ctcos c t R s t t sin ctsin c t R 3 5 7 令t 0 则式 3 5 7 应变为 3 5 8 这时 显然应有 则式 3 5 8 变为 3 5 9 再取使t 2 c 同理可求得 3 5 10 R s t t R s R s c t t R s c 由以上的数学期望和自相关函数分析可知 如果窄带过程 t 是平稳的 则 c t 与 s t 也必将是平稳的 故有R c R s 3 5 11 R c s R s c 3 5 12 同相分量 c t 和正交分量 s t 具有相同的自相关函数 3 5 9 3 5 10 式 3 5 9 和式 3 5 10 应同时成立 即 R 0 R c 0 R s 0 平均功率 3 5 16 则 2 2 c 2 s 3 5 17 这表明 t c t 和 s t 具有相同的平均功率或方差 因为均值为0 将上式代入式 3 5 12 可得R s c R s c 3 5 13 同理可推得R c s R c s 3 5 14 即 c t s t 的互相关函数R s c R c s 都是 的奇函数 在 0时R s c 0 R c s 0 0 3 5 15 即 c t s t 在同一时刻的取值互不相关 R c s R s c 根据互相关函数的性质 应有 c t s t 也是高斯随机过程 同一时刻不相关 统计独立 总结 一个均值为零的窄带平稳高斯过程 t 同相分量 c t 和正交分量 s t 均值都为零 方差相同 同相分量 c t 和正交分量 s t 也是平稳高斯过程 同相分量 c t 和正交分量 s t 具有相同的自相关函数 且在同一时刻上得到的 c和 s是互不相关的或统计独立的 取t t1 0 t1 c t1 取t t2 2 c t2 s t2 例4 求平稳随机过程同向分量和正交分量的自相关函数及功率谱密度表达式 已知 带通低通 带宽 平均功率 3 5 2包络和相位的统计特性由于 c和 s统计独立 联合概率密度函数为 设a 的联合概率密度函数为f a 则利用概率论知识 有 而 得到 于是 注意 这里a 0 而 在 0 2 内取值 再利用概率论中边缘概率密度知识将f a 对 积分 可求得包络a 的一维概率密度函数为 可见 a 服从瑞利分布 同理 f a 对a 积分可求得相位 的一维概率密度函数为 可见 服从均匀分布 且有 f a f a f 综上所述 我们又得到一个重要结论 一个均值为零 方差为 2 的窄带平稳高斯过程 t 其包络a t 的一维分布是瑞利分布 相位 t 的一维分布是均匀分布 就一维分布而言 a t 与 t 是统计独立的 即有下式成立f a f a f 3 5 22 窄带随机过程 结论 一个均值为零的窄带平稳高斯过程 其同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程 而且均值都为零 方差也相同 在同一时刻上的同相分量与正交分量是不相关的或统计独立的 其包络的一维分布是瑞利分布 而其相位的一维分布是均匀分布 并且就一维分布而言 包络和相位是统计独立的 3 6正弦波加窄带高斯过程 信号经过信道传输后总会受到噪声的干扰 为了减少噪声的影响 通常在接收机前端设置一个带通滤波器 以滤除信号频带以外的噪声 因此 带通滤波器的输出是信号与窄带噪声的混合波形 最常见的是正弦波加窄带高斯噪声的合成波 这是通信系统中常会遇到的一种情况 所以有必要了解合成信号的包络和相位的统计特性 设合成信号为r t Acos ct n t 3 6 1 式中 n t nc t cos ct ns t sin ct为窄带高斯噪声 其均值为零 方差为 2n 正弦信号的A c均为常数 是在 0 2 上均匀分布的随机变量 于是 r t Acos nc t cos ct Asin ns t sin ct zc t cos ct zs t sin ct z t cos ct t 3 6 2 式中zc t Acos nc t z t cos t 3 6 3 zs t Asin ns t z t sin t 3 6 4 合成信号r t 的包络和相位为 利用上一节的结果 如果 值已给定 则zc zs是相互独立的高斯随机变量 且有 zc t Acos nc t zs t Asin ns t 所以 在给定相位 的条件下的zc和zs的联合概率密度函数为 利用上一节相似