（电磁场与微波技术专业论文）微波波导元件的模式匹配分析法.pdf

摘要 模式分析方法是基于场理论的全波分析方法。模式分析程序的快速和高效， 使得它可以配合现代各种优化算法进行波导电路甚至其它微波毫米波电路的计 算机辅助设计。本论文主要研究了模式分析法在波导无源电路计算机辅助分析中 的应用。 论文对广义导纳矩阵的推导、性质、级联和用计算机实现计算进行了研究。 并用广义导纳矩阵对一系列波导不连续性问题进行了多模网络描述。同时也对多 模网络的另一种表示方法一广义散射矩阵作了介绍。 论文重点分析了矩形波导中电磁场的本征模式展开，并据此计算了矩形波导 中的基本不连续性结构波导阶梯的多模耦合矩阵，推导了多模耦合矩阵与广义导 纳矩阵和广义散射矩阵之间的关系。并利用f o r t r a n9 5 程序设计语言编写了用来 计算波导阶梯的多模耦合矩阵、多模耦合矩阵与广义导纳矩阵的级联、广义导纳 矩阵之间的级联以及广义导纳矩阵和广义散射矩阵之间的互相换算等的矩形波 导平面不连续性模式分析的子程序。 论文利用矩形波导平面不连续性模式分析的这些子程序，编写了5 个程序， 分别用来分析矩形波导电感膜片滤波器，矩形波导e 面金属插片滤波器，h 面 矩形波导直角弯头，h 面矩形波导t 形结和矩形波导双工器。并用这些程序分 析了电感膜片滤波器、e 面金属插片滤波器、h 面直角弯头和波导t 形结。并将 分析结果与相应文献或者a n s o f th f s s 的仿真结果进行了对比，验证了程序的正 确性和模式分析方法分析波导电路的高效性。论文还就模式分析方法计算的收敛 性进行了讨论。 在论文的最后部分设计了两个e 面金属插片滤波器，并把它们作为通道滤 波器和h 面t 形结组成双工器，用矩形波导双工器的分析程序对它进行了分析， 给出了分析结果。 关键词：模式分析，模式匹配，微波滤波器，t 形结，双工器 m o d e - m a t c h i n ga n a l y s i so fm i c r o w a v ew a v e g u i d ec o m p o n e n t s z h o u b i n ( e l e c t r o m a g n e t i ct h e o r ya n dm i c r o w a v et e c h o n o l o g y ) d i r e c t e d b y p r o f e s s o rl i f a n g a b s t r a c t ：t h em o d a la n a l y s i sm e t h o di sa l la c c u r a t ea n de f f i c i e n tf u l l w a v em e t h o d b a s e dt h ef i e l dt h e o r i e s t h en u m e r i c a le f f i c i e n c yo ft h i sm e t h o da l l o w st h ea d v a n c e d s o p h i s t i c a t e ds y n t h e s i sp r o c e d u r e sw i t ht h ea d v a n c e do p t i m i z a t i o na l g o r i t h m sa n dt h e c o m p u t e ra i d e dd e s i g no ft h ew a v e g u i d ec i r c u i t s e v e nt h eo t h e rm i c r o w a v eo r m i l l i m e t e r - w a v ec i r c u i t sp e r f o r m e do np e r s o n a lc o m p u t e r t h eu t i l i z a t i o no ft h e m o d a l a n a l y s i si nc o m p u t e ra i d e da n a l y s i s ( c a a ) o f m i c r o w a v ea n dm i l l i m e t e r - w a v e w a v e g u i d ep a s s i v ec i r c u i t si ss t u d i e d i nt h i sd i s s e r t a t i o n g e n e r a l i z e da d m i t t a n c e m a t r i x ( g a m ) a n di t s c h a r a c t e r i z a t i o n ，c a s c a d i n g a n d c o m p u t i n g a r es t u d i e d t h em u l t i m o d en e t w o r kr e p r e s e n t a t i o n sf o ras e r i e so f w a v e g u i d e d i s c o n t i n u i t i e sa r ed e s c r i b e di nt e r m so f g e n e r a l i z e d a d m i t t a n c e m u l t i m o d em a t r i c e s a n o t h e rm u l t i m o d en e t w o r k r e p r e s e n t a t i o n ：g e n e r a l i z e d s c a t t e r i n g m a t r i xf o r m u l a t i o ni sa l s oi n t r o d u c e d w es t u d i e dt h em u l t i m o d ec o u p l i n gm a t r i xo ft h e k e yw a v e g u i d ed i s c o n t i n u i t y , w a v e g u i d es t e p ，w i t ht h em o d a lf i e l d se x p a n s i o n si nw a v e g u i d e s a n do b t a i n e dt h e r e l a t i o n sw i t ht h em u l t i m o d ec o u p l i n gm a t r i x ，t h eg e n e r a l i z e da d m i t t a n c em a t r i c e s a n dt h eg e n e r a l i z e d s c a t t e r i n gm a t r i c e s w eh a v ec o m p i l e ds o m es u b r o u t i n e s i n f o r t r a n9 5 p r o g r a m m i n gl a n g u a g e t o c o m p u t et h e m u l t i m o d ec o u p l i n gm a t r i x ， a d l 1 l i t t a n c em a t r i c e s s c a t t e r i n gm a t r i c e sa n dt h e i ro p e r a t e sw i t h e a c ho t h e r f i v ep r o g r a m sh a v eb e e nd e v e l o p e dw i t ht h es u b r o u t i n e sm e n t i o n e da b o v e t h e s e p r o g r a m sa r eu s e d t oa n a l y z er e c t a n g u l a rw a v e g u i d ei n d u c t i v ei r i sf i l t e r s ，r e c t a n g u l a r w a v e g u i d ee - p l a n em e t a l - i n s e r tf i l t e r s ，h - p l a n er e c t a n g u l a rw a v e g u i d er i g h tc o r n e r s ， h - p l a n er e c t a n g u l a rw a v e g u i d et - j u n c t i o n sa n dw a v e g u i d ed i p l e x e r s ，r e s p e c t i v e l y c o m p a r i s o n sb e t w e e n t h e s ea n a l y s i sr e s u l t sa n dt h ed a t ao fr e f e r e n c eo rs i m u l a t i o n s b yt h ec o m m e r c i a ls o f t w a r ep a c k a g e ，a n s o f fh f s s ，a r ep r e s e m e d , i n d i c a t i n gt h e a p p r o a c hp r o p o s e da c c u r a t ea n dc o m p u t a t i o n a l l yv e r ye f f i c i e ma n dt h ec o m p u t e r p r o g r a m s a l lr i g h t t h ec o n v e r g e n t p r o p e r t i e so f t h e m u l t i m o d em e t h o da r ed i s c u s s e d i f i n a l l yad i p l e x e re m p l o y i n gh - p l a n et - j u n c t i o na n d p r e a s s i g n e de p l a n em e t a l i n s e r t b r a n c h i n gf i l t e r si sg i v e n a n dt h es c a t t e r i n gp a r a m e t e r so f t h eo n - o p t i m i z e dd i p l e x e r w e r eo b t a i n e d b y t h e c o m p u t e rp r o g r a m i n d e xt e r m s ：m o d a l a n a l y s i s ，m o d e m a t c h i n g ，m i c r o w a v ef i l t e r , t _ j u n c t i o n ，d i p l e x e r 第一章绪论 1 1 发展概况 第一章绪论 现代通讯和雷达系统的微波天馈子系统中要用到许多各种各样的波导 元件，尽管现在在微波天馈子系统中带线、微带线、鳍线等平面传输线的应 用越来越多，但在频率很高并且要求损耗低或者功率很大时，波导传输线是 其它平面传输线所无法替代的。典型的波导元件有滤波器( 低通、高通、带 通、带阻) ，定向耦合器、极化器、正交模变换器、移相器、环行器、隔离器 和开关等。而构成这些元件的一些常用的构件有波导段、波导弯头、波导接 头( 包括功分器) 、阻抗变换器和转接器等等。 微波天馈子系统的所有单元都可以用不同的微波技术来实现，无论哪种 技术，在它们设计时总要涉及计算机辅助分析和设计( c a a c a d ) ，因为对 系统的性能要求越来越高，用于元件设计的传统方法就变得不再经济。这是 因为系统的日益复杂化，它的开发需要较长的周期，从而使它的最终成本增 加到不可接受的限度。传统的c a a c a d 方法通常基于( 单模) 等效电路原 理，用简单的集总电路元件来描述复杂的波导不连续性问题 1 。二战期间， 著名的麻省理工学院( m i t ) 的辐射实验室的成员们的研究使得波导绐和不连 续性这种等效电路模型的电磁场分析有了重大的进展【2 】。m i t 所完成的该理 论工作无疑是一伟大的成就。利用这种等效电路模型，工程设计人员通过简 单的计算就可以解决复杂的电磁场问题。大量的对各种各样的波导和波导不 连续性的单模等效电路的网络描述可以在波导手册【3 】中找到。许多这样的等 效电路模型现今仍旧被运用，而且仍旧在讨论波导不连续性的文章中作为参 考。尽管单模等效电路模型是非常有价值的工程应用工具，但是它有致命的 缺点，就是它的应用有着很多严格的限制。其中一个基本限制就是这些模型 只有在一定几何尺寸范围内才有效。这个限制主要来源于基于波导基模的对 波导不连续性的集总电路描述，而这种等效电路模型对高阶模的耦合影响无 能为力，高阶模在不连续性附近是可能被激励的。因此当不连续性之间的距 离不是足够大的时候，高阶模就会相互激励和耦合，则单模等效网络描述就 不再正确。另一个很重要的限制就是，大部分经典的网络描述只针对规范形 状的波导不连续接构，它们的闭式形式的分析解很容易获得。这些因素和其 它限制可能导致理论模型和实验测量之间产生严重的不一致。现代的微波毫 微波波导元件的模式匹配分析法 米波设备需要元件的极端小型化，就得使用复杂的非规范形状的波导结和波 导节。这就需要用能够解决任意形状和考虑所有高阶模相互作用的更先进的 “多模”描述来代替“单模”等效电路描述。现代高速计算机的出现允许工 程人员用简单的方法解决复杂的电磁场问题。基于场理论的电磁场全波分析 方法出现了，其中最普遍的有：有限时域差分法( f d t d ) 【4 ，有限元法( f e m ) 弘 及传输线矩阵法( t l m ) 6 】等，它们都可以考虑任意形状的不连续性，在 计算的定义域内可计算任何位置的电磁场的任一分量，是纯粹的数值方法， 计算量非常大，对计算能力的要求非常高。 模式分析方法【7 或者称模式匹配方法是基于场理论的数值技术。最早由 pj b c l a r r i c o a t s 和k r s l i n n 描述了模式分析技术，并提出了广义散射矩 阵的概念 8 】，很快w e x l e r 就对模式分析技术作了更系统地表达，并提出了“模 式分析”一词 9 】。模式分析法的简要历史回顾在【10 】中给出。在分析与设计微 波天馈系统中的微波无源元件时，如果所涉及的结构具有固定的横截面边界 以及其不连续性只在垂直传播方向上，那么模式匹配法就尤其适合分析此类 问题。模式分析的一个主要好处是它能够包括高次模的激励和相互作用，因 而考虑了消失的t e 和t m 模对总的电磁场的贡献。在横截面内场可用已知 的麦氏方程的解( 本征模) 在该区域的加权和来描述。这样得到的两区域的 场在该不连续的平面上要匹配，由此可以推导出广义散射矩阵或者广义导纳 矩阵。然后和其它不连续性的矩阵相级联而组成无源构件或元件。和其它数 值解法一样，模式匹配法只能对给定的结构进行分析，而不能直截了当的进 行综合设计，不过这可以通过优化来达到目的。和f e m 等纯数值方法相比， 模式匹配方法有计算速度快，精度高的优点。 模式匹配方法分析波导大致可分为两大类：求广义散射矩阵( g s m ) 法【l “ 和求广义导纳矩阵( g 谴m ) 法f 1 2 1 。它们都是使不连续面上的切向电场和磁场分 别匹配然后进行推导求出广义网络矩阵。另外还有不用电场和磁场在不连续 处的匹配而用复功率守恒的方法使电场和复功率连续进行推导的，叫做复功 率守恒法【1 3 】。然而这仅仅在于推导广义散射矩阵的方法不同，实际用来编程 的方程与广义散射矩阵法是完全一样的。 】中已经证明，从下列方法中导出 的关系中的任何一个都可以从另两个中化得： 1 横向电场匹配( 相对于传播方向) ， 2 横向磁场匹配， 3 复功率的连续性。 广义导纳矩阵方法和广义散射矩阵方法相比有一个好处，就是广义导纳 2 第一章绪论 矩阵公式在计算机上运算比广义散射矩阵公式速度快。这是因为，比如说， 有限长度的不连续性( 即波导短截线) ，若用广义散射矩阵，则需要两次矩阵 求逆，而使用广义导纳矩阵则不需矩阵求逆就可算出。它们计算的时间差都 可以有5 8 倍之多 1 扪。 模式匹配法的一个缺点是解的收敛特性决定于模式数量，这就需要某些 准则 1 “。在本文所作的计算中，电感膜片滤波器在1 0 个模式就收敛得比较 好了，金属插片滤波器要2 5 个模式才完全收敛，而波导弯头和t 形结的计 算则只需5 个模式就可以了。通常我们可以在优化时使用较少的模式数而在 最后的验证分析时使用较多的模式【l ”。 1 2 应用现状 很多年来在很多文献 18 , 1 9 】中使用模式匹配法来分析波导喇叭特别是皱纹 波导喇叭的性能。这种方法现在已经很成熟并富有生机，国际上有很多团队 在利用它分析各种各样的复杂的结构象波导滤波器、耦合器、隔膜偏振器等 等。模式匹配法的分析结果与实验测量结果能够很好的吻合。 1 9 9 5 年成立的g w t ( g u i d e dw a v et e c h o n o l o g y ) 能通过互联网在线对几 种波导滤波器如膜片滤波器、金属插片滤波率、鳍线滤波器等运用模式匹配 法进行全波分析，其分析速度相当快。加拿大维多利亚大学电子工程与计算 机系的j e n sb o m e m a n n 教授领导的c a d m i c ( c o m p u t e r - a i d e dd e s i g no f m i c r o w a v ei n t e g r a t e dc i r c u i t s ) 小组就致力于模式匹配法等微波技术的研究， 并将其应用于波导无源器件的综合c a d 中，发表了很多关于模式匹配法设 计波导器件的文章 2o ，”】。德国的p e t e rwk r a u b 和j a nm r e i t e r1 9 9 8 年创建 了m i c i a n 公司，他们和他们的合作者长期致力于模式匹配法的研究【2 2 ，” ， 并基于模式匹配法开发了电磁场综合和优化c a d 软件i t w a v ew i z a r d 【2 4 j 。该 软件应用模式匹配法、混合模式匹配边界周线法、混合模式匹配有限元法 等先进场理论方法而设计，用户界面友好，能快速而精确的对完整的一类方 形和圆形波导进行分析，能设计分析一些典型的波导结构，如滤波器、多工 器和耦合器，以及如皱纹喇叭天线和集束馈电天线等。 现在模式匹配方法除了分析一些规则的波导的不连续性问题，还能分析 一些不规则的波导不连续性。例如，文献 2 5 利用阻抗多模耦合矩阵和导纳多 模耦合矩阵分析了e 面和h 面矩形波导圆角弯头，这是直波导变弯曲波导的 关键构件：文献口6 1 运用模式分析方法分析了圆形波导和矩形波导组成的x 形 结，利用广义导纳矩阵( g a m ) ，在结区域使用1 0 0 个模式在典型的中等计算 3 微波波导元件的模式匹配分析法 能力的工作站上进行计算，每个频率点大约需要l 一4 秒的时间。也有基于模 式匹配法的滤波器综合设计 2 7 】，采用“预矫正”特性多项式的概念，可以 综合出任意的频率响应的滤波器。模式匹配法与其它数字方法的混合应用 【2 8 】，以及分析介质波导口9 1 和光波掣3 0 1 器件也是现在的研究热点。 1 3 本文主要内容 本文主要研究了模式分析法在波导无源电路的计算机辅助分析中的应 用。第二章介绍了模式匹配法的数学基础：正交函数展开，并对波导中的电 磁场的展开和波导中电磁场模式矢量的归一化和正交性进行了研究。第三章 对广义导纳矩阵和广义散射矩阵的定义作了一个介绍，并对它们的一些性质 以及它们之间的级联、两种不同的模式矩阵之间的换算进行了研究。第四章 对波导中最基本的平面不连续性结构波导阶梯进行了详细的分析，分析 了波导阶梯的耦合矩阵与广义导纳矩阵的级联。利用波导阶梯的耦合矩阵、 有限长度波导段的广义导纳矩阵和模式矩阵之间的级联关系，分析了波导中 一系列不连续性问题，如波导错位阶梯，波导膜片，波导短截线等。 第五章中，利用f o r t r a n9 5 程序设计语言，编写了矩形波导平面不连续性 模式分析的一系列子程序，并利用这些子程序，编写了5 个程序，分别用来 分析矩形波导电感膜片滤波器，矩形波导e 面金属插片滤波器，h 面矩形波 导直角弯头，h 面矩形波导t 形结和矩形波导双工器。并将它们的分析结果 与相应文献或者a n s o f th f s s 的仿真结果进行了比较，获得了非常满意的结 果。 d 第二章模式匹配法 2 1 直观的介绍 第二章模式匹配法 设有两个函数z ( x ) ，x o ，x o 丰n 正( x ) ，x e x 19 】，其中【而，x 2 c 【o ，x o 】，并令 当z 【o ，x 1 ) u ( x 2 ，】时正( x ) = 0 。假设它们可以用f o u r i e r 级数表示成： 肌) = 喜叫n 【引 ( 2 - ) 胁) = 扣n c 旦x 2 一x t 卜 ) ( 2 2 ) ，- 】 、， 其中作为f o u r i e r 级数的展开函数基分别为定义在【o ，】和【，而】 上的正弦函数构成一个正交函数系。分别用s i n ( 詈x ，s i n ( 磊k y t ( x 一_ ， 去 乘上面( 2 1 ) 、( 2 2 ) 等式的两边并对x 积分得 = 静n 旧x 卜 ， 阮三h旦x2-xix0 x卜一) 抄胁(24)ix 2 。 l 由：( 石) ， ( x ) 在公共区域匹配即z ( x ) = ( x ) ，工 x t ，毪】得 旷昙喜岛h 刊咖 蠡卜，卜 亿s ， 玩= 未算i s i n ( 0 詈x s i n ( 蠡卜一归 皿s ， 对上两式的无穷级数进行截断 旷丢粪岛h 引s i n ( 蠡卜_ 归 ， 微波波导元件的模式匹配分析法 以=詈粪吼isin(0引sin(ikrc0玉归 o ；l o“2 一 l 并记 【a = i a j 铲 【6 】_ fb lb z t b n bi 则有 【】= 【一】【6 】 b 】_ h 1 m 其中【a 】为乜的矩阵，其矩阵元素 呜= 静n s i n ( 轰c 工 ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 于是【d ，【6 】的关系可求出。 电场和磁场的切向分量在不连续面上的匹配基本与此类似，只不过电场 或者磁场是用它们对应的本征函数来展开的，它们的本征函数也构成一个正 交函数系。由第四章波导阶梯的电压电流耦合矩阵定义式可以看出，这里的 【口】，p 】类似于电压和电流，而【4 】则类似于耦合矩阵。 2 2 电矢位、磁矢位和赫兹矢量 由电磁场的对偶原理【3 1 】， 只有磁流源时 所考虑的问题中只有电流源时 v h = 多e + j v e = 2 h h = v a v e = j h + m v h = i e e = 一v f ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 式中的j 叫磁矢位，f 叫电矢位，多= d + j c 0 0 和j = 印分别称为媒质的导 纳和阻抗，而子、占、丘分别为媒质的复数电导率、复数介电常数和复数磁 导率。 6 第二章模式匹配法 在均匀线性媒质中，一般情况同时有电流源和磁流源，则 雹= 雹+ 雹“嚣= 雹+ 君 其中有 v x 豆f = 雹| + j v x 雹t = 2 叠 v x - ? = 雹一v x 雹“= 箍 砬 由( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 式可得 罾= 一v f + 多。1 ( v v x j 一了) ， 再= v x j + j 。1 ( v v f 一丽) 式中 耳f - 1 ：上 、， 4 石 r 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 在电磁理论包括微波理论中，还经常采用另外两个位函数即赫兹电矢量 和赫兹磁矢量来计算电场和磁场，引入如下定义嘲： n 。：_ 生 7 竺( 2 1 8 ) 兀。= n 。、n 。分别叫做赫兹电矢量和赫兹磁矢量，赫兹电矢量的作用类似于 磁矢势，赫兹磁矢量的作用类似于电矢势。则在无源均匀线性媒质中( 2 1 6 ) p - j 以写为： 露= v v 兀e 一朋几 9 ) 雷= v x v 兀 + j c o e v n 。 作为例子，在空心矩形波导不连续性结构中( 见图2 1 ) ，各个子区域电磁 场可写为 7 燮鎏量垂堡盟堡茎堕里坌堑鎏 其中i = i i ， 西7 _ v ( 磕蠢) + - - ，。- 1 v w ( a 再) ， = v ( 墨；= ) - l j 。o u v v 隐- ；，, 1 f 2 2 0 ) 墨= 宝q = l 石t , i ( w ) 嚏e x p ( 一心= ) + 吃e x p ( + 强：) ( 2 z ，) 镌2 蕃墨聋似办 嚆e x p ( 一呜z ) + 畸e x p ( + 心z ) ( 2 - 2 2 墨= ( ) ( 龟) = 纯，瑶= ( ) 心) = 纥分别为波阻抗和导纳， 嘭霸占分别为t e 模式和珈模的前向波和后向波的波幅度，墨b ，) 和 聋r y ) 为相应波导结构的横截面本征函数，如图( 2 1 ) 所示结构有： ：搿篙刁 眨瑚 琏_ s 缸【等x h 等y j 巩户万1 西 占是克罗内克尔咂r 0 d 把r ) 占函数： = 任篆； l、lf ( a ) 横截面 ( b ) 侧视图 图( 2 1 ) 矩形波导阶梯 一8 - r 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 第二章模式匹配法 2 3 波导中电磁场的模式展开 在文献【3 3 】中专门论述了波导中的电磁场正交模式展开。对规则波导、非 常规波导、弯曲波导、不均匀填充波导、对称锥形波导以及任意非均匀截面 波导中的电磁场模式展开分别进行了论述。 2 3 1 空心波导中的t e 、t m 和t e m 模 对一般的波导，其边界假设为理想电导体( p e c ) ，中空或者填充均匀线性 介质，按惯例选择z 轴为参考纵向，如图( 2 2 ) 所示。 图( 2 2 ) 从m a x w e l l 方程组可以得出，横向电场和磁场可以表示为一些正交函数 模式场量的级数口4 】： 耳( 毋，g ：，：) = 瓦( q l , q 2 ，z ) ( 2 2 6 ) m = l 耳( 吼，吼，= ) = 万埘( 吼，9 2 ，z ) ( 2 2 7 ) m = l 其中秀。，面。分别为第m 个模式的横向电场和磁场，鲫，q 2 为横向座标。所 有的模式可以分成两大类：t = 0 和皿= 0 ，分别称为横电模e ) 或者h 模和 横磁模盯岣或者e 模。横向场可以写成 霹埘= 圪( z ) ；，( 吼，吼) ( 2 2 8 ) 9 - 微波波导元件的模式匹配分析法 瓦m = ( z ) i 。( q l ，q 2 ) 其中圪和l 满足电报方程，可以写为 ( 2 2 9 ) 搽筹嚣2 亿，。， l ( z ) = e e 叫即+ p 。肿 、。 这里的模幅度匕和l 可以解释为第m 个模式的等效电压和电流。对应的特 性阻抗为 = 善一号 ( 2 s - ) 这个特性阻抗是可以任意选择的。 横向场矢量磊和x 。可以由波导横截面的本征值问题的解获得，在横截 面s 上有： v ；丸+ 磋。丸= 0 ( 2 3 2 ) 在s 的边界c 上满足边界条件： 警o ，对t e 模， ( 2 3 3 ) o i j ) j 丸= o 难j t m 模 其中矗是第m 个模式的本征值，岔踟是沿边界c 的外法向；n 的偏微分。一 旦标量本征函数丸求出，就可以计算横向场分量 ：i ；：v ，九对t e 模， “2 1 一v ，丸 对t m 模 r 2 3 4 ) f 2 3 5 ) 其中u 一：为z 方向的单位矢量， 亿= 爱急箍 偿s s ， 亿2 1 成确 对刚模 u 。” 为第m 个模式的波阻抗，成= 、= 两为相位常数。当= q 。时尾= o ， 1 0 _ “ 堑 = 一 第二章模式匹配法 k c ， o ) c , m2 意 称为截止频率，当珊 o ) c 。时，成为纯虚数， j 8 m = 口m = 届而 口。称为衰减常数，这时模式波阻抗也变为纯虚数，该模式称为渐消模式a 由( 2 3 0 ) 、( 2 - 3 1 ) 和( 2 3 5 ) ，模式横向场( 2 2 8 ) 和( 2 2 9 ) 式变为 秀”( 毋，q 2 ，z ) = ( 嘭e 1 凡2 + 屹- c + j , 8z ) ；m ( g ，g ：) 万mq t , q 2 , z ) = ( 曙e 一眠2 一曙e + 眠2 ) ；z 一e m ( q l , q 2 ) ，z f 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) | 2 3 9 ) r 2 4 0 ) 对于模式特性阻抗可以有不同地取值，但在大部分情况把它取成与模式 波阻抗相等： 则有 则有 其中 z c 。= r ：。 h = u ：x e m 另一个很有用地选择就是是特性阻抗归一化 z o 。= 1 ( 2 4 1 ) 佗，4 2 ) r 2 4 3 ) j ；。：上磊：一e 。( 2 4 4 ) 仉。 纵向电场和磁场分量则分别表示为只含有t m 和t e 项的级数： t = 一力l ( z ) t ，。( q l , q ：) ( 2 4 5 ) 且= 一丢( ：) h z ，。( 孙g ：) ( 2 - 4 6 ) ，m = i 巳，。= 警丸，对t m 模 f 2 4 7 ) 微波波导元件的模式匹配分析法 h z ，。= 兰尹丸，对t e 模 ( 2 4 8 ) 上面四式中叩= 万是媒质的波阻抗，而尼- - 0 4 面是相应的波数。 如果波导横截面的边界c 由几部分组成，比如同轴波导、同轴线等，则 波导中可以存在横电磁模( t e m ) ，这种模式疋= 0 ，h = 0 。如果波导横截 面边界c 由 件1 个部分组成，则波导中存在有个线性独立的t e m 模式。 实际上，t e m 模可以由t m 模获得，只要令t m 模满足附加条件e ，= 0 即可。t e m 模的的电场和磁场模式矢量可以根据( 2 3 4 ) 、( 2 3 5 ) 式写为 e t = 一v ，( 2 4 9 ) 死：l v ，庐；： ( 2 5 0 ) n ： 由( 2 4 5 ) 、( 2 4 7 ) 式易知t e m 模式的本征值为0 ，由式( 2 3 2 ) 可知t e m 模 式在横截面s 上的标量势满足： v 勿= 0 ( 2 5 1 ) 而在边界线c 上满足的边界条件为 掣：0( 2 5 2 ) 西 。 。 a a f 表示沿边界线c 的切线方向；，的微分。上式表示在边界线的每一部分上 的势都是常数。同时由式( 2 3 6 ) 可以得出波阻抗 r l , = p z | s = , o u p ：= 0 蚌| q s t e m 模的电场分布跟静态场分布是一样的，跟t e m 模式相关的电压可 以由两个导体之间的电场线积分来单值地定义，对应地特性阻抗也可以由两 导体间的电压和在两导体间流动地纵向电流之比单值定义。 2 3 2 模式矢量的性质 对标量本征函数丸和它的共轭正运用格林第一恒等式并利用边界条件 式( 2 3 3 ) 可得 1 2 第二章模式匹配法 k 。2 蚶d s = 肌九1 2 d s ( 2 5 4 ) 从上式可知本征值砝。0 ，因此t 。是一个实数。i n 而( 2 3 4 ) 一( 2 3 5 ) 式中的标 量本征函数和模式本征矢量可认为是实的量。 模式矢量e 。和i 。的一个最重要的性质就是它们在波导的横截面s 上构 成了一组正交完备基。模式矢量的正交性可以表示为 e e m h 一d s = 0 ，当m 行 ( 2 5 5 ) p d s = 0 ，当疗 ( 2 - 5 6 ) ) ；m ，j ；一搬= o ，当m n ( 2 5 7 ) 由于等效传输线是导波模式的理想模型，跟模式场量关联的功率流必须 等于相应的等效传输线关联的功率流，因此，模式矢量的归一化条件 上p m 。h m “：d s 2 1 ( 2 5 8 ) 弦e 。嬲= 笋 ( 2 5 9 ) 弦i m 扯卺 ( 2 6 0 ) 由上面两式可以看出，z 。, z 。必须是实的正数。因为波阻抗叩。在截至频 率以下是纯虚数在截至频率以上是实数，同样地，特性阻抗4 。也是在截至 频率以下是纯虚数在截至频率以上是实数。 把( 2 3 4 ) 式代入( 2 5 9 ) 可以得出归一化条件地另一种表示形式 娥船2 茏2 爵1 ( 2 s - ) 由式( 2 2 6 ) 、( 2 2 7 ) 及正交、归一化条件式( 2 5 5 ) 一( 2 6 0 ) 可求得通过波导横 截面的功率流 p ：如赋五据= 圭砉嘶) 牝) = 圭喜掣s z ， 由上式可以看出，在具有理想导体壁的波导中，功率是由各个模式独立 携带的。 一1 3 微波波导元件的模式匹配分析法 2 3 3 矩形波导中的模式矢量 图2 3 矩形波导 矩形波导的几何结构示于图( 2 3 ) ，在矩形坐标下求解本征值问题( 2 3 2 ) 、 ( 2 3 3 ) 可得矩形波导中t e 模和t m 模的标量势 t e 模，m ，l = 0 ，l ，2 ， ( 2 6 3 ) t m 模，m ， = 1 ，2 ，3 ， 指标对m ，n 分别表示在x 和y 方向上场的最大值的个数。t e 模的m 或者” 可以为零，而t m 模的m 和h 都不能为零。 常数 。由归一化条件式( 2 6 1 ) 确定： 厶= 忐序 其中 f 1 矿i = 0 铲1 2 ，矿f o 丁模是矩形波导中的基模，它的截止频率为 工厂去 f 2 6 4 ) r 2 6 5 ) f 2 6 6 ) c 0 是所考虑的媒质中的光速。 把标量势的表达式( 2 6 3 ) 带入式( 2 3 4 ) 、( 2 3 5 ) 、( 2 4 7 ) 、( 2 4 8 ) 则可求得t e 模和t m 模的模式电场和模式磁场的各个分量。它们的具体表达式可以见附 录。为方便查阅，附录中还给出了矩形波导中的l s e 模和l s m 模的模式本 1 4 矧料 、-、j 等芋 ，lll，l 拿 洫 k 厶 置 第二章模式匹配法 征矢量及圆形波导和同轴波导t e 模和t m 模的模式本征矢量。 1 5 第三章模式矩阵 3 1 广义导纳矩阵 第三章模式矩阵 3 1 1 广义导纳矩阵的定义 对一个波导结构，我们可以用端口的电路来描述它。图( 3 1 a ) 示出了 一个一般形式的2 端口的波导不连续性结构，该结构由两端连接的均匀波导 和中间金属壁包围的区域组成。图( 3 1 a ) 所示只是一个示例，更般的情况如 多端口或者中间区域被磁壁包围，从这个图可以很容易理解。两个参考平面 乃和乃定义在不连续区域与输入、输出波导之间。 1 l 矿( 1 ) 正1 l 以1 ) 球一 删 t 1 ( a ) 波导不连续性 l l k ( 垲 j ；| | ， 删 咒，” 霪i ；i 攀；i i ：! 舞誊j 攀+ 鎏董i ( b ) 多端口网络描述( c ) 简化的两端口网络描述 图( 3 1 ) 一般的两端口波导结构及它的多模网络描述 波导中的场分布可以由它们的简正模式的叠加得到，虽然原则上这是一 个相关模式的无穷级数，但是实际上可以对这个级数进行截断，只需要有限 一1 7 p 垆 一咿一矽 微波波导元件的模式匹配分析法 个模式我们就可以达到指定的精度。因此各个端面上的电磁场可以用有限数 量的电压和电流幅度来描述。 设m 表示在第i ( f = 1 ，2 ) 个端口参考平面上考虑的模式数，则这个不连 续性的多端口网络描述包括+ m 个电压和同样数目的电流。由麦克斯韦方 程的线性性可知这些电压和电流可以用1 + m 个方程来关联。由电磁场的唯 一性定理，该不连续性结构中的总的电磁场分布决定于各个端面上的切向电 场或磁场，也可以说是决定于m + ，个电压或者电流，也即广义的克希荷夫 定律。 模式分析方法有助于微波网络描述，不连续性结构用模式电压和电流描 述成多端口网络，如图( 3 1 b ) 。在图( 3 i b ) 所示的等效电路中每个端口对应一 个不连续结构端面上的一个被激励的模式。 电压和电流方程可以有很多种形式，其中一种就是用电压来表示电流 i = 【y 】 y 】 ( 3 1 ) 其中【，】是电流向量， 矿】是电压向量，【y 】是导纳矩阵。i + 2 个电压幅度 和电流幅度并不都需要对应传播模式，相反地，在大多数实际情况下在每个 馈电波导中只有一个模式在截至频率以上，而其它在截止频率之上的渐消的 高阶模式通常并不携带有功功率。只有在这个不连续结构与其它不连续结构 靠得足够近时两个不连续结构中的高阶模式才发生相互作用。象( 3 1 ) 式中考 虑了渐消模的电压和电流的导纳矩阵我们把它称作为广义导纳矩阵( g a m ) 或 者模式导纳矩阵。 图( 3 1 a ) 所示的两端口网络，电流向量可以写为 h 制 ：， 其中旺】为第i 个端面( f = l ，2 ) 上的电流向量 m = “一，删 7 n i 为第i 个参考端面上的所考虑的模式数。相应地，电压向量可以写为 吲钢 1 8 ( 3 3 ) ( 3 4 ) 第三章模式矩阵 吲= ”，彬，嘣丁 ( 3 5 ) 而广义导纳矩阵则相应写为 m 也糊 s ， 当该不连续结构与其它不连续结构靠得足够远时，则它们之间的高阶模 式不发生相互作用，则在每个端面上只要考虑相应波导中的主模就可以了， 则图( 3 1 b ) 描述的多口网络就化简为两端口网络，如图( 3 1 c ) 所示。为了从 ( n l + 2 ) ( l + 2 ) 的广义导纳矩阵求出2 x 2 的导纳矩阵，只要使其它高阶 模式端口进行匹配，如图( 3 1 c ) 所示，则有 e = 一曩：碟( 3 7 ) 其中墨：= 1 z 。0乏盘为第i 个参考端面上第m 个模式的等效传输线的特性 阻抗，可以假定它等于该模式的波阻抗采曼。对( 3 6 ) 式中的广义导纳矩阵按 照基模和高阶模重新进行排列 m 懈跚 n s ， 其中用下标，表示基模，下标h 表示高阶模。则图( 3 1 c ) 所示网络的2 端口导 纳矩阵【f 】为 y 】= 一 珞 - ( 【】+ 眨】) 一 ( 3 9 ) 其中睡】是由高阶模式的特性导纳组成的对角矩阵 【i 】- d i a g ( 螋，哦，嗡，哦 ) ( 3 1 0 ) 3 1 2 广义导纳矩阵的级联 很多复杂的波导元件或者不连续性结构都可以化简成为一些简单 的波导阶梯和波导段的级联。 一1 9 微波波导元件的模式匹配分析法 嵋啦 呓 图( 3 2 ) 两个两端口网络的广义导纳矩阵的级联 【】- 时m 】+ 蹬 【巧】 ( 3 1 1 ) 一_ 搿】+ 蟛 蚴 ( 3 ，2 ) 厶】= 即 k 】+ 【吲 ( 3 1 3 ) = 删 匕】+ 掣m 】 ( 3 1 4 ) 因为在导纳矩阵的定义中规定，电流是以流入网络为正的，在式( 3 1 2 ) 中， 由于产对网络4 来说是流出网络，所以需要给【厶】加一个“一”号。经过简 单的处理消去旺】和哦】我们就得到级联后的导纳矩阵： m = 粥薪搿3 。搿耀别 = ( 蟛 + 眇 ( s - s ) 可见我们在计算两个导纳矩阵的级联导纳矩阵时需要计算一个2 2 2 0 第三章模式矩阵 图( 3 3 ) 两端口与三端口网络导纳矩阵的级联 两端口恻络与三端口嗍络，义导纲矩阵明缴妖，这种彤式阴缴联用得也 比较多，比如双工器。网络拓扑结构如图( 3 3 ) 所示，两端口网络的2 端口 与三端口网络的1 端口级联，则各个端口的电压和电流幅度的关系如下： = 时弘】+ m ( 3 1 7 ) - 【小 群 【小 蟛m ( 3 1 8 ) 【，】= x 7 i v + z 字 【k 】+ x 字 - r d ( 3 1 9 ) k 】= 搿h 矿】+ 蟛 - 【吒】+ 蟛 - 【巧】 ( 3 2 0 ) k 】- 搿 m + 蟛 圪】+ 蹬 - 【啊 ( 3 2 1 ) 消去【，】和【矿】得级联后的三端口散射矩阵形式如下： 其中