材料力学扭转教学课件PPT.ppt

第三章扭转 3 5等直圆杆在扭转时的变形 刚度计算 3 2传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图 3 3纯剪切 薄壁圆筒的扭转 3 4等直圆杆在扭转时的应力 强度条件 3 1扭转的概念和实例 作用在垂直于杆件轴线的平面内的力偶矩 使得杆件的任意两个横截面都发生了绕轴线的相对转动 扭转变形 3 1扭转的概念和实例 扭转变形杆件的内力 扭矩 t 轴 主要承受扭矩的构件 实例 电动机传动轴扭转 工程上的轴是承受扭转变形的典型构件 如示的攻丝丝锥 桥式起重机的传动轴以及齿轮轴等 机器的传动轴 水轮发电机的主轴 石油钻机中的钻杆 桥梁及厂房等空间结构中的某些构件等 扭转是其主要变形之一 3 2传动轴的外力偶矩 扭矩和扭矩图 一 传动轴的外力偶矩的计算 图示的传动机构 通常外力偶矩m不是直接给出的 而是通过轴所传递的功率p和转速n计算得到的 若功率p采用公制马力 ps 表示 则外力偶矩为 轴在m作用下匀速转过角度 则功 1ps 735 5n m s 1hp 745 7n m s 1kw 1 36ps 3扭矩的符号规定 t 的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正 反之为负 二 扭矩及扭矩图1扭矩 构件受扭时 横截面上的内力偶矩 记作 t 2截面法求扭矩 4扭矩图 表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线 目的 绘制扭矩图基本步骤 确定外力建立轴线坐标根据外力确定外力影响控制面 分段应用截面法分段在各控制面内求扭矩绘制扭矩图 例题图示圆轴 受到四个绕轴线的外力偶矩的作用 各力偶的大小和方向如图所示 力偶矩的单位为n m 试画出该圆轴的扭矩图 解 1 确定控制面 分段2 应用截面法确定圆轴各段内的扭矩 讨论 如何布置外力偶使圆轴受力更合理 解 其计算简图如图所示 为求得横截面上的扭矩t 先计算外力偶矩m 由截面法求得横截面上的扭矩t 一水轮机的功率p 10000ps 连结水轮机与发电机的竖轴是直径d 650mm 长度l 6000mm的等截面实心钢轴 求当水轮机转速n 57 7r min扭转时横截面上的扭矩 例题 一传动轴如图所示 其转速n 300r min 主动轮输入的功率为有p1 500kw 若不计轴承摩擦所耗的功率 三个从动轮输出的功率分别为p2 150kw p3 150kw及p4 200kw 试做轴力图 a a b c d p1 p2 p3 p4 n 例题3 2图 例题 b c d p1 p2 p3 p4 n 解 1 计算外力偶矩 2 由计算简图用截面法计算各段轴内的扭矩 然后画扭矩图 最大扭矩在ca段内 例 试作轴的扭矩图 解 根据载荷分布情况 应分三段研究 ab段 mx 0 t1 3x 0 t1 3x bc段 mx 0 t2 9 3 0 t2 6kn m cd段 mx 0 t3 3 0 t3 3kn m 3 3薄壁圆筒的扭转 一 实验 1 实验前 预先在圆筒的表面画上等间距的纵向线和圆周线 从而形成一系列的正方格子 施加一对外力偶m 2 实验后 圆周线不变 纵向线变成斜直线 3 结论 圆筒表面的各圆周线的形状 大小和间距均未改变 只是绕轴线作了相对转动 各纵向线均倾斜了同一微小角度 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形 横截面保持为形状 大小均无改变的平面 相邻两横截面绕圆筒轴线发生相对转动 圆周线保持不变 纵向线发生倾斜 平面假设成立 相邻截面绕轴线作相对转动 横截面上没有正应力 只有剪应力 剪应力在截面上均匀分布 各点的剪 切 应力的方向必与圆周线相切 垂直于半径 结论 圆筒两端截面之间相对转动的角位移 称为相对扭转角 用 表示 圆筒表面上每个格子的直角的改变量 称为剪应变 用 表示 c d 无正应力 横截面上各点处 只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力 沿周向大小不变 方向与该截面的扭矩方向一致 微小矩形单元体如图所示 由静力关系 得到 得到 与 的关系 二 薄壁圆筒剪应力 大小 三 剪应力互等定理 上式称为剪应力互等定理 该定理表明 在单元体相互垂直的两个平面上 剪应力必然成对出现 且数值相等 两者都垂直于两平面的交线 其方向则共同指向或共同背离该交线 单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用 这种应力状态称为纯剪切应力状态 t m 剪切虎克定律 当剪应力不超过材料的剪切比例极限时 p 剪应力与剪应变成正比关系 四 剪切虎克定律 式中 g是材料的一个弹性常数 称为剪切弹性模量 因 无量纲 故g的量纲与 相同 不同材料的g值可通过实验确定 钢材的g值约为80gpa 剪切弹性模量 弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数 对各向同性材料 这三个弹性常数之间存在下列关系 推导详见后面章节 可见 在三个弹性常数中 只要知道任意两个 第三个量就可以推算出来 外力的功 功能原理 v w 单位体积的剪切变形能 应变能密度 剪切应变能 3 4等直圆杆在扭转时的应力 强度条件 等直圆杆横截面应力 变形几何方面 物理关系方面 静力学方面 1 横截面变形后仍为平面 2 轴向无伸缩 3 纵向线变形后仍为平行 等直圆杆扭转实验观察 一 横截面上的应力 1 变形几何关系 距圆心为 任一点处的 与到圆心的距离 成正比 扭转角沿长度方向变化率 t 2 物理关系 虎克定律 代入上式得 剪应力方向垂直于半径 根据剪切胡克定律 当剪应力不超过材料的剪切比例极限时 2 物理关系 剪切虎克定律 极惯性矩 3 静力学关系 3 静力学关系 令 代入物理关系式得 横截面上距圆心为 处任一点剪应力计算公式 4 公式讨论 仅适用于各向同性 线弹性材料 在小变形时的等圆截面直杆 式中 t 横截面上的扭矩 由截面法通过外力偶矩求得 该点到圆心的距离 ip 极惯性矩 纯几何量 无物理意义 单位 mm4 m4 尽管由实心圆截面杆推出 但同样适用于空心圆截面杆 只是ip值不同 d d o o d 应力分布 t t max t max t max t 实心截面 空心截面 工程上采用空心截面构件 提高强度 节约材料 重量轻 结构轻便 应用广泛 确定最大剪应力 wt 抗扭截面系数 抗扭截面模量 几何量 单位 mm3或m3 应力公式 1 横截面上任意点 2 横截面边缘点 其中 一厚度为30mm 内直径为230mm的空心圆管 承受扭矩t 180kn m 试求管中的最大剪应力 使用 1 薄壁管的近似理论 2 精确的扭转理论 解 1 利用薄壁管的近似理论可求得 2 利用精确的扭转理论可求得 例题 在强度相同的条件下 用d d 0 5的空心圆轴取代实心圆轴 可节省材料的百分比为多少 解 设实心轴的直径为d1 由 得 0 8 0 8 1 192 0 8 0 512 例题 二 等直圆杆扭转时斜截面上的应力 低碳钢试件 沿横截面断开 铸铁试件 沿与轴线约成45 的螺旋线断开 因此还需要研究斜截面上的应力 1 点m的应力单元体如图 b a b t t c 2 斜截面上的应力 取分离体如图 d d d n t 转角规定 轴正向转至截面外法线 逆时针 为 顺时针 为 由平衡方程 解得 分析 当 0 时 当 45 时 当 45 时 当 90 时 t 由此可见 圆轴扭转时 在横截面和纵截面上的剪应力为最大值 在方向角 45 的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力 根据这一结论 就可解释前述的破坏现象 低碳钢扭转破坏 铸铁扭转破坏 三 圆轴扭转时的强度计算 强度条件 对于等截面圆轴 称为许用剪应力 强度计算三方面 校核强度 设计截面尺寸 计算许可载荷 某汽车主传动轴钢管外径d 76mm 壁厚t 2 5mm 传递扭矩t 1 98kn m t 100mpa 试校核轴的强度 解 计算截面参数 由强度条件 故轴的强度满足要求 例题 故轴的强度满足要求 同样强度下 空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一 故空心轴较实心轴合理 由上式解出 d 46 9mm 空心轴与实心轴的截面面积比 重量比 为 功率为150kw 转速为15 4转 秒的电动机转子轴如图 许用剪应力 30mpa 试校核其强度 t m 解 求扭矩及扭矩图 计算并校核剪应力强度 此轴满足强度要求 x 例题 一传动轴如图所示 其转速n 300r min 主动轮输入的功率为有p1 500kw 若不计轴承摩擦所耗的功率 三个从动轮输出的功率分别为p2 150kw p3 150kw及p4 200kw 试做轴力图 a a b c d p1 p2 p3 p4 n 例题3 2图 例题 解 1 计算外力偶矩 同前面例题 实心等截面直轴 d 110mm 1 试求截面 上距轴线40mm处的点的剪应力 2 若已知 40mpa 试校核轴的强度 解 内力分析 由扭矩图得知t2 9 56kn m 危险横截面在ac段 tmax 9 56kn m 应力计算 例题 强度计算 若ad轮互换位置 试校核轴的强度 解 互调ad轮位置后 扭矩图如图所示 强度不符合要求 tmax 15 9kn m 例题 若bd轴改用内外径之比为9 10的空心轴 在保证同样强度条件下 试确定空心轴的内外径d与d 并计算空心与实心轴的材料消耗之比 解 由 得 d 0 9d 141mm 例题 一 扭转时的变形 相对扭转角 gip 抗扭刚度 表示杆抵抗扭转变形能力的强弱 3 5等直圆杆在扭转时的变形刚度条件 单位长度的扭转角 或 图3 6所示等直圆杆 ab两截面的相对扭转角为 图3 6 图3 7所示阶梯圆杆 如各段材料也不同 ab两截面的相对扭转角为 图3 7 从中取dx段 dx段两相邻截面的扭转角为 ab截面相对扭转角为 从中取dx段 该段相邻两截面的扭转角为 ab截面相对扭转角为 式中 二 刚度条件 取值可根据有关设计标淮或规范确定 或 称为许用单位扭转角 刚度计算的三方面 校核刚度 设计截面尺寸 计算许可载荷 有时 还可依据此条件进行选材 下列框图表示了求解过程 解 刚度计算 所以刚度符合要求 tmax 9560n m 例题 变形计算 计算变形时 扭矩t应取代数值 轴两端截面之间的相对扭转角为 长为l 2m的圆杆受均布力偶m 20nm m的作用 如图 若杆的内外径之比为 0 8 g 80gpa 许用剪应力 30mpa 试设计杆的外径 若 2 m 试校核此杆的刚度 并求右端面转角 解 设计杆的外径 例题 40nm x t 代入数值得 d 0 0226m 由扭转刚度条件校核刚度 40nm x t 右端面转角为 图 实心圆轴受力如图示 已知材料的试设计轴的直径d 例题 扭矩图 解 一 绘制扭矩图如图 二 由强度条件设计d 解得 三 由刚度条件设计d 从以上计算可知 该轴直径应由刚度条件确定 选用d 102mm 解得 某传动轴设计要求转速n 500r min 输入功率n1 500马力 输出功率分别n2 200马力及n3 300马力 已知 g 80gpa 70mpa 1 m 试确定 ab段直径d1和bc段直径d2 若全轴选同一直径 应为多少 主动轮与从动轮如何安排合理 解 图示状态下 扭矩如图 由强度条件得 t x 7 024 4 21 knm 例题 由刚度条件得 t x 7 024 4 21 knm 综上 全轴选同一直径时 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理 所以 1轮和2轮应该换位 换位后 轴的扭矩如图所示 此时 轴的最大直径才为75mm t x 4 21 knm 2 814 解 1 计算力偶距 2 根据强度条件计算直径从扭矩图上可以看出 齿轮2与3间的扭矩绝对值最大 例题 若上题规定 且已知 按刚度条件确定轴的直径 并求齿轮3对齿轮1的转角 解 例题 分析轴的扭矩 解 外力偶计算 强度校核 621 1432 该轴满足强度要求 扭转轴刚度设计 刚度校核 621 1432 该轴满足刚度要求 扭转轴刚度设计 提高圆轴扭转强度和刚度的措施 为了使与下降 有两条途径 使tmax降低 通过调整主动轮的位置 提高wt和ip b 采用空心轴 a 加大直径 若d 2d 则wt 8wtip 16ip 1 a 5o2 d d 可以用直杆公式进行计算 弹簧丝横截面上的应力 3 6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 剪力q在截面上均匀分布 扭矩t在截面上产生的应力与直线圆轴相同 弹簧丝横截面上的应力 3 6圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 考虑第一项剪应力的非均匀分布 弹簧丝的强度条件 弹簧丝横截面上的应力 3 6圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 弹簧的变形 3 6圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为 d 125mm 簧丝直径为 d 18mm 受拉力p 500n的作用 试求最大剪应力的近似值和精确值 若g 82gpa 欲使弹簧变形等于6mm 问 弹簧至少应有几圈 解 最大剪应力的近似值 例题 最大剪应力的精确值 弹簧圈数 圈 矩形截面杆的扭转 3 7 非圆截面杆的扭转 横截面将发生翘曲 矩形截面轴的扭转变形特征 矩形截面杆的扭转 矩形截面杆的扭转 矩形截面杆的