高中数学 124从解析式看函数的性质课件 湘教版必修1.ppt

课标要求 1 2 4从解析式看函数的性质 理解函数单调性的定义 了解有界函数 无界函数的定义 运用函数单调性的定义判断函数的单调性 通过对一些熟悉函数图象的观察 分析 体会函数最大值 最小值与单调性之间的关系及其几何意义 会利用函数的单调性求函数的最值 1 2 3 4 函数的性质 以下设d是函数f x 的定义域 i是d的一个非空的子集 如不加说明 我们认为i是个区间 1 上界和下界如果有实数b使得f x b对一切x d成立 称b是函数f的一个 upperbound 如果有实数a使得f x a对一切x d成立 称a是函数f的一个 lowerbound 既有上界又有下界的函数叫 函数 boundedfunction 否则叫 函数 unboundedfunction 自学导引 上界 下界 有界 无界 2 函数的最大 小 值定义如果有a d 使得不等式f x f a f x f a 对一切x d成立 就说f x 在x a处取到最大 小 值m f a 称m为f x 的 a为f x 的 3 函数的单调性定义如果对于i上任意两个值x1 x2 当x1 x2时都有f x1 f x2 那么就说f x 是区间i上的 函数 increasingfunction 如图1 如果对于i上任意两个值x1 x2 当x1 x2时都有f x1 f x2 那么就说f x 是区间i上的 函数 decreasingfunction 如图2 最大小值 最大 小 值点 递增 递减 如果函数y f x 是区间i上的递增函数或递减函数 就说f x 在i上 strictlymonotone 区间i叫作f x 的 区间 图1图2 严格单调 严格单调 在上述定义中 记x x1 x h x2 条件x1 x2可以写成 f x1 f x2 可以写成 f x1 f x2 可以写成 差式f x h f x 叫做函数在区间i上的 difference 如果不加说明 总认为h 0 这样 差分为正的函数就是 函数 差分为负的函数就是 函数 h 0 f x h f x 0 f x h f x 0 差分 递减 递增 函数最大值或最小值的几何意义是什么 提示函数最大值或最小值是函数的整体性质 从图象上看 函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标 自主探究 1 注意 1 在给定的区间内 当某个代数式的符号无法确定时 如本题中x1x2 a 可取极端情况 如x1 x2 入手分析 以此为界分类讨论 若函数f x 在r上是递增函数 则有 a f 5 f 7 c f 5 f 7 d f 5 f 7 解析因为函数f x 在r上递增 所以由5 7 得f 5 f 7 答案a 预习测评 1 函数y f x 的图象如图所示 其中为递增函数的区间是 a 4 4 b 4 3 1 4 c 3 1 d 3 4 答案c 2 答案无 答案递增递减 函数单调性的理解如果一个函数在某个区间上是递增函数或递减函数 就说这个函数在这个区间上具有单调性 证明函数的单调性 必须严格按照单调性的定义证明 定义中的x1 x2有三个特征 1 任意 性 不能由两个特殊值代替 2 二者有大小 通常规定x1 x2 3 同属一个区间 函数的单调性是函数在某个区间上的性质 1 这个区间可以是整个定义域 如y x在整个定义域 是递增函数 名师点睛 一 1 2 3 2 这个区间也可以是定义域的真子集 如y x2在定义域 不具备单调性 但在 0 是递减函数 在 0 是递增函数 区间端点的写法对于单独的一点 由于它的函数值是唯一确定的常数 没有增减变化 所以不存在单调问题 因此写单调区间时 如果端点在定义域内 可以包括端点 也可以不包括端点 但对于某些点无意义时 单调区间就不包括这些点 4 求函数的单调区间 就是求函数保持同一单调性不变的最大区间 函数单调性的判断与证明函数单调性的判断方法有三种 一是依据函数单调性的定义 二是依据函数的图象 三是依据已知函数的单调性判断 如已学过的一次函数 二次函数 反比例函数的单调性情况 函数单调性的证明方法 依据定义进行证明 其步骤如下 取值 即设x1 x2是该区间上的任意两个值 且x1 x2 作差变形 即作差f x1 f x2 并通过因式分解 配方 有理化等方法 向有利于判断差的符号的方向变形 5 二 1 2 定号 确定差f x1 f x2 的符号 当符号不确定时 需要分情况讨论 判定 依据定义得出结论 求函数最值的方法求函数最大 小 值的常用方法有 1 值域法 求出函数f x 的值域 即可求其最值 注意必须确保存在函数的最值 2 单调性法 通过研究函数的单调性来求函数的最值 三 1 当一般的求最值方法难以奏效时 不妨研究函数的单调性试一试 单调性法是求有些非常规函数最值的有效方法 1 一般地 若y f x 与y g x 有相同的定义域 且在定义域内有相同的单调性 则函数y f x g x 与它们也有相同的单调性 2 函数y f x 的最大值和最小值也可用下列符号表示 用y大或ymax表示y f x 的最大值 用y小或ymin表示y f x 的最小值 2 题型一证明单调性 例1 典例剖析 变式1 题型二求最值 例2 点评 1 函数的单调性是确定函数在某个区间 特别是闭区间 上最值的重要依据 2 求最值问题往往依赖于函数的单调性 由于这个函数并不是我们所熟悉的函数 可考虑先判断一下单调性 再求最值 变式2 分别作出下列函数图象 写出它们的单调区间 1 y x2 2x 2 y 2 x 3 y x2 2 x 3 题型三利用图象求单调区间或最值 例3 函数y x2 2 x 3在 1 0 1 上是递增函数 在 1 0 1 上是递减函数 点评函数的单调区间可以是开的 也可以是闭的 也可以是半开半闭的 对于闭区间上的连续函数来说 只要在开区间上单调 它在闭区间上也单调 因此 只要单调区间端点使f x 有意义 都可以使单调区间包括端点 但要注意 不连续的单调区间必须分开写 不能用 符号连接它们 已知函数f x 3x2 12x 5 当自变量x在下列范围内取值时 求函数的最大值和最小值 1 x r 2 0 3 3 1 1 解f x 3x2 12x 5 3 x 2 2 7 1 当x r时 f x 3 x 2 2 7 7 当x 2时 等号成立 即函数f x 的最小值为 7 无最大值 变式3 2 函数f x 3 x 2 2 7的图象如图所示 由图可知 函数f x 在 0 2 上递减 在 2 3 上递增 并且f 0 5 f 2 7 f 3 4 所以在 0 3 上 函数f x 3 x 2 2 7在x 0时取得最大值 最大值为5 在x 2时取得最小值 最小值为 7 3 由图象可知 在 1 1 上单调递减 f x max f 1 20 f x min f 1 4 错解 令t x2 3 当x 0时此函数为增函数 x 0时为减函数 所以函数f x 的增区间为 0 减区间为 0 错因分析解答过程中忽视了函数定义域x2 3 0 所以结果错误 误区警示因忽略函数的定义域而出错 例4 纠错心得函数的单调区间必须是定义域的子集 因此讨论函数的单调性时 必须先确定函数的定义域 函数的单调区间必须是定义域的子集 因此讨论函数的单调性时 必须先确定函数的定义域 课堂总结 1 求单调区间的方法 1 图象法 2 定义法 3 利用已知函数的单调性 用单调性的定义证明函数的单调性分四个主要步骤 3 4 即 取值 作差变形 定号 判断 这四个步骤 若f x 0