第2章_控制系统状态空间表达式的解.ppt

现代控制理论 张涛 自动化专业学位课程 华北科技学院自动化系 2 1线性定常齐次状态方程的解 自由解 2 2矩阵指数函数 状态转移矩阵 2 3线性定常系统非齐次方程的解 2 1线性定常系统齐次状态方程的解 自由解 所谓系统的自由解 是指系统输入为零时 由初始状态引起的自由运动 此时 状态方程为齐次微分方程 1 2 给定初始时刻t0时的状态x t0 x0 则上式有唯一确定解 2 1线性定常系统齐次状态方程的解 自由解 3 给定初始时刻t0 0时的状态x 0 x0 则上式有唯一确定解 证明 和标量微分方程的求解相似 先考察标量齐次微分方程的幂级数解法 假设其解为一幂级数 将此式代入上式得 等式两边t的同次幂的系数相等 因此有 而t 0时 则解为 模仿标量齐次微分方程的解法 假设线性定常系统齐次状态方程的解为 将此式代入 1 式 因为 由于 则线性定常系统齐次状态方程 1 的解为 则 将上式代入 1 式验证 和 矩阵指数函数又称为状态转移矩阵 记作 由于系统没有输入向量 是由初始状态激励的 因此 这时的运动称为自由运动 的形态由决定 即是由矩阵a惟一决定的 线性定常系统齐次状态方程的解为 或 其几何意义是 系统从初始状态开始 随着时间的推移 由转移到 再由转移到 的形态完全由决定 2 2矩阵指数函数 状态转移矩阵 2 2 1状态转移矩阵 矩阵指数函数又称为状态转移矩阵 记作 t1 x0 t 0 x t2 t t2 t2 t1 x t1 t t1 t2 状态空间表示法的一个特点 优点 状态的变化在时间上可以分段求取 由此得状态转移矩阵的一个性质 组合性质 1 不发生时间推移下的不变性 证明 状态转移矩阵定义中 令t 0即可得证 2 传递性 组合性 2 2 2状态转移矩阵 矩阵指数函数 的基本性质 3 可逆性 证明 总是非奇异的 必有逆存在 且 转移矩阵的逆意味着时间的逆转 4 分解性 设a为n n阶矩阵 t1为t2两个独立自变量 则有 5 微分性和交换性 对有 即 这个性质说明 矩阵与a矩阵是可以交换的 6 性质六 对于方阵a和b 当且仅当ab ba时 有而当ab ba时 则 这个性质说明 除非距阵a与b是可交换的 它们各目的矩阵指数函数之积与其和的矩阵指数函数不等价 这与标量指数函数的性质是不同的 则有 1 若为对角矩阵 2 2 3几个特殊的矩阵指数函数 证 由定义知 则 2 若a能通过非奇异变换为对角阵时 即 3 若a为约旦矩阵 则 则有 则有 5 若为 1 根据的定义直接计算 2 2 4状态转移矩阵的计算 对所有有限的t值来说 这个无穷级数都是收敛的 2 2 4状态转移矩阵的计算 2 变换a为约旦标准型 1 a特征根互异 其中t是使a变换为对角线矩阵的变换阵 有 2 2 4状态转移矩阵的计算 解 1 特征值 例2 2已知矩阵 试计算矩阵指数 2 计算特征向量 3 构造变换阵p 则有 2 a特征根有重根 设具有个重特征值则有 解 将矩阵a变换为约旦标准形的变换矩阵为 3 利用拉氏反变换法求 证明齐次微分方程 两边取拉氏变换 即 故 对上式两边取拉氏反变换 从而得到齐次微分方程的解 4 应用凯莱 哈密顿定理求 1 由凯莱 哈密顿定理 方阵a满足其自身的特征方程 即 所以有 同理 以此类推 都可用线性表示 2 在定义中 用上面的方法可以消去a的n及n以上的冥次项 即 a所有高于 n 1 次的幂都可以由a的0 n 1 次幂线性表出 其中 为t的标量函数 可按a的特征值确定 a的特征值互异时 则 3 的计算公式 证明根据a满足其自身特征方程的定理 可知特征值和a是可以互换的 因此 也必须满足前面推导出来的式子 从而有 上式对求解 即得证 a的特征值均相同 为时 则 证明同上 有 上式对求导数 有 再对求导数 有 重复以上步骤 最后有 由上面的n个方程 对求解 即得证 解 应用凯 哈定理计算 a的特征值为 于是 状态转移矩阵 从而可联立求得 因为 1是重根 故需补充方程 由此可得 2 3线性定常系统非齐次方程的解 现在讨论线性定常系统在输入作用下的强制运动 此时状态方程为非齐次矩阵微分方程 式中 当初始时刻为 初始状态为时 其解为 式中 系统的动态响应由两部分组成 一部分是由初始状态引起的系统自由运动 叫做零输入响应 另一部分是由控制输入所产生的受控运动 叫做零状态响应 证明采用类似标量微分方程求解的方法 将状态方程写成 等式两边同左乘 得 即 对上式在区间内进行积分 得 也可从拉氏变换法求得 对原状态方程进行拉氏变换 有 即 上式左乘 得 注意上述等式右边第二项 其中 两个拉氏变换函数的积是一个卷积的拉氏变换 即 以此代入原等式 并取拉氏反变换 即得 在特定控制作用下 如脉冲函数 阶跃函数和斜坡函数的激励下 则系统的解可