高中数学 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（二）课件 新人教A版必修4.ppt

1 4 2正弦函数 余弦函数的性质 二 正弦函数 余弦函数的图象与性质 思考 正弦函数在定义域上是增函数 而余弦函数在定义域上是减函数 这种说法对吗 提示 不正确 正弦函数在每个闭区间上是增函数 并不是在整个定义域上是增函数 同样的 余弦函数在闭区间 2k 2k k z 上是减函数 并不是在整个定义域上是减函数 知识点拨 1 解读正弦 余弦函数的单调性 1 正弦 余弦函数在定义域r上均不是单调函数 但存在单调区间 2 求解 或判断 正弦函数 余弦函数的单调区间 或单调性 是求值域 或最值 的关键一步 3 确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂的函数单调性时 要注意使用复合函数的判断方法来判断 2 解析正弦函数 余弦函数的最值 1 明确正 余弦函数的有界性 即 sinx 1 cosx 1 2 对有些函数 其最值不一定是1或 1 要依赖函数定义域来决定 3 形如y asin x a 0 0 的函数的最值通常利用 整体代换 即令 x z 将函数转化为y asinz的形式求最值 类型一正 余弦函数的单调性问题 典型例题 1 下列函数 在上是增函数的是 a y sinxb y cosxc y sin2xd y cos2x2 函数y cosx在区间 a 上为增函数 则a的取值范围是 3 求函数的单调递增区间 解题探究 1 在 0 2 上正 余弦函数的单调区间各是什么 2 当知道三角函数在某区间上的单调性 求其端点时应注意什么 3 复合函数的单调性有什么规律 探究提示 1 正弦函数在上递增 在上递减 在上递增 余弦函数在 0 上递减 在 2 上递增 2 应注意所给区间与三角函数的单调区间的包含关系 3 对复合函数而言 当内外函数单调性一致时复合函数为增函数 相反时为减函数 解析 1 选d 因为y sinx与y cosx在上都是减函数 所以排除a b 因为所以 2x 2 因为y sin2x在2x 2 内不具有单调性 所以排除c 2 因为y cosx在 0 上是增函数 在 0 上是减函数 所以只有 a 0时满足条件 故a 0 答案 0 3 方法一 由得 即亦即所以原函数的单调递增区间为 方法二 由得 所以原函数的单调递增区间为 互动探究 题3中若函数为则其单调递增区间又是什么 解析 由得 所以原函数的单调递增区间为 拓展提升 求与正 余弦函数有关的单调区间的策略及注意点 1 结合正 余弦函数的图象 熟记它们的单调区间 2 在求形如y asin x a 0 0 的函数的单调区间时 应采用 换元法 整体代换 将 x 看作一个整体 z 即通过求y asinz的单调区间而求出原函数的单调区间 求形如y acos x a 0 0 的函数的单调区间同上 3 0后求解 若a 0 则单调性相反 变式训练 求函数y 1 sin2x的单调区间 解析 求函数y 1 sin2x的单调区间 转化为求函数y sin2x的单调区间 要注意负号的影响 由得即函数的单调递增区间是同理可求得函数的单调递减区间是 类型二比较三角函数值的大小 典型例题 1 若则 a a bb a bc ab 1d 2 的大小顺序是 3 比较下列各组数的大小 1 sin2与cos1 解题探究 1 比较函数值的大小可借助函数的什么性质 2 当三角函数名称不一样时如何比较大小 3 比较三角函数值大小时的注意问题是什么 探究提示 1 比较函数值的大小一般可利用函数的单调性 2 当三角函数名称不一样时可通过诱导公式转化为同名三角函数来比较 3 比较大小一般用函数的单调性 故应注意把角放在同一单调区间 解析 1 选a 因为所以而正弦函数y sinx 是增函数 所以所以即a b 2 因为y cosx在 0 上递减 所以故有答案 3 1 因为又且y sinx在上单调递增 所以即sin2 cos1 2 因为即又y sinx在上单调递增 所以 拓展提升 比较三角函数值大小的方法 1 利用诱导公式转化为求锐角三角函数值 2 不同名的函数化为同名函数 3 自变量不在同一单调区间化至同一单调区间 变式训练 比较下列各式的大小 2 sin194 和cos160 解题指南 利用诱导公式把角化至同一个单调区间再比较 但必须是同名函数 解析 1 由于又而y sinx在上单调递增 所以即 2 因为且y sinx在上是增函数 所以所以即sin194 cos160 类型三正 余弦函数的最值问题 典型例题 1 函数y 2sinx的值域是 a 2 2 b 1 1 c 0 1 d 0 2 2 2013 深圳高一检测 函数的值域是 3 已知函数的定义域是值域是 5 1 求a b的值 解题探究 1 求解函数值域时首先应注意什么 2 对于y asin x 型函数来说 求解其值域时可采用什么思想 3 对于y asin x b a b为参数 若已知值域求a b时 用到什么思想 探究提示 1 求解函数值域时首先应看函数的定义域 在函数定义域内来求值域 2 对于y asin x 型函数来说 求解其值域时可采用整体代换的思想 3 要用到分类讨论思想对a的正负进行讨论 解析 1 选c 因为0 x 所以所以0 2sinx 1 即函数的值域是 0 1 2 因为所以所以从而所以0 y 2 即值域是 0 2 答案 0 2 3 因为所以所以当a 0时 当a 0时 因此a 2 b 5或a 2 b 1 拓展提升 求正 余弦函数最值问题的关注点 1 形如y asinx 或y acosx 的函数的最值要注意对a的讨论 2 将函数式转化为y asin x 或y acos x 的形式 3 换元后配方利用二次函数求最值 变式训练 2013 天津高考 函数在区间上的最小值是 a 1b c d 0 解析 选b 因为x 所以根据正弦曲线可知 当时 f x 取得最小值 易错误区 应用换元法求三角函数最值的常见误区 典例 函数y cos2x 4cosx 5的值域是 解析 令t cosx 由于x r 故 1 t 1 y t2 4t 5 t 2 2 1 当t 1 即cosx 1时函数有最大值10 当t 1 即cosx 1时函数有最小值2 所以该函数的值域是 2 10 答案 2 10 误区警示 防范措施 换元法求函数的值域在利用换元法求解有关 二次函数型 函数值域问题时 要特别注意换元后 新元 的范围 即为新函数的定义域 以便求解函数的值域 如本例 若忽略余弦函数的有界性 即不注意新元的范围极易致错 类题试解 函数y 2sin2x 2cosx 3的最大值是 a 1b c d 5 解析 选c y 2sin2x 2cosx 3 2cos2x 2cosx 1 1 设m和m分别表示函数的最大值和最小值 则m m等于 a b c d 2 解析 选d 函数的最大值为最小值为所以m m 2 2 若f x cosx在 b a 上是增函数 则f x 在 a b 上是 a 奇函数b 偶函数c 减函数d 增函数 解析 选c 因为f x cosx在r上为偶函数 所以根据偶函数的性质可知f x 在 a b 上是减函数 3 函数y cos2x在下列哪个区间上是减函数 a b c d 解析 选c 函数y cosx x r在 0 上是减函数 所以函数y cos2x在上是减函数 4 已知函数y 3co