高中数学 2.3 函数的单调性多媒体教学优质课件 北师大版必修1.ppt

3函数的单调性 1 了解单调函数 单调区间的概念 能说出单调函数 单调区间这两个概念的大致意思 2 理解函数单调性的概念 能用自已的语言表述概念 并能根据函数的图像指出单调性 写出单调区间 3 掌握运用函数单调性定义解决具体问题的方法 能运用函数单调性的定义证明简单函数的单调性 建立函数的目的是研究函数值与自变量的关系 自变量的变化对函数值变化的影响是经常受到关注的问题 例如水位的涨落随时间变化的规律 是防涝抗旱工作中必须解决的实际问题 下面我们开始研究函数在这方面的一个主要性质 函数的单调性 画出下列函数的图像 观察其变化规律 1 从左至右图像上升还是下降 2 在区间 上 随着x的增大 f x 的值随着 f x x 增大 上升 1 在区间 上 f x 的值随着x的增大而 2 在区间 上 f x 的值随着x的增大而 f x x2 0 0 增大 减小 画出下列函数的图像 观察其变化规律 如图 你能说出它的函数值y随自变量x的变化情况吗 怎样用数学语言表达函数值的增减变化呢 在函数y f x 的定义域内的一个区间a上 如果对于任意两数x1 x2 a 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么 就称函数y f x 在区间a上是增加的 有时也称函数y f x 在区间a上是递增的 1 增函数 2 减函数 在函数y f x 的定义域内的一个区间a上 如果对于任意两数x1 x2 a 当x1f x2 那么 就称函数y f x 在区间a上是减小的 有时也称函数y f x 在区间a上是递减的 3 单调区间 单调性 单调函数 如果y f x 在区间a上是增加的或是减小的 那么称a为单调区间 如果y f x 在定义域的某个子集上是增加的或是减小的 那么就称函数y f x 在这个子集上具有单调性 如果y f x 在整个定义域内是增加的或是减小的 我们分别称这个函数为增函数或减函数 统称为单调函数 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质 是函数的局部性质 注意 2 必须是对于区间a内的任意两个自变量x1 x2 当x1f x2 分别是增函数和减函数 例1说出函数的单调区间 并指明在该区间上的单调性 解 0 和 0 都是函数的单调区间 在这两个区间上函数是减小的 证明 设x1 x2是 0 上任意两个实数 且x1 x2 则 因此f x 1 x在 0 上是减函数 练习 证明 函数在 0 上是减函数 f x1 f x2 由于x1 x2 得x1x2 0 又由x10 所以f x1 f x2 0 即f x1 f x2 例2证明函数在r上是增函数 证明 设是r上的任意两个实数 且则 在r上是增函数 1 任取x1 x2 a 且x1 x2 2 作差f x1 f x2 3 变形 通常是因式分解和配方 4 定号 即判断差f x1 f x2 的正负 5 下结论 即指出函数f x 在给定的区间d上的单调性 利用定义证明函数f x 在给定的区间d上的单调性的一般步骤 注意 函数的单调性是对某个区间而言的 对于单独的一点 由于它的函数值是唯一确定的数 因而没有增减变化 因此 在考虑它的单调区间时 端点有定义时包括端点 端点无定义时不包括端点 1 如图 已知y f x 的图像 包括端点 根据图像说出函数的单调区间 以及在每一单调区间上 函数是增函数还是减函数 2 1 0 1 上是减函数 1 1 1 2 上是增函数 2 函数y x 2 的单调减区间是 2 1 3 函数的单调增区间是 证明 根据单调性的定义 设 是定义域 上的任意两个实数 且 4 物理学中的玻意耳定律 k为正常数 告诉我们 对于一定量的气体 当体积v减小时 压强将增大 试用函数的单调性证明之 即 讨论函数的单调性必须在定义域内进行 即函数的单调区间是其定义域的子集 因此讨论函数的单调性 必须先确定函数的定义域 根据定义证明函数单调性的一般步骤是 设是给定区