高中数学 411数学归纳法原理课件 新人教A版选修45.ppt

第一节数学归纳法第1课时数学归纳法原理 课标要求 1 了解数学归纳法的原理 2 了解数学归纳法的使用范围 3 会用数学归纳法证明一些简单问题 核心扫描 1 对数学归纳法应用的考查是本节的热点 2 常与数列问题 不等式问题一起综合考查 难点 1 由有限多个个别的特殊事例得出的推理方法 通常称为 2 一般地 当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时 可以用以下两个步骤 1 证明当时命题成立 2 假设当时命题成立 证明时命题也成立 在完成了这两个步骤后 就可以断定命题对于从初始值n0开始的所有自然数都正确 这种证明方法称为数学归纳法 自学导引 一般结论 归纳法 n取初始值n0 n k 1 n k 想一想 1 在用数学归纳法证明数学命题时 只有第一步或只有第二步可以吗 为什么 提示不可以 这两个步骤缺一不可 只完成步骤 而缺少步骤 就作出判断可能得出不正确的结论 因为单靠步骤 无法递推下去 即n取n0以后的数时命题是否正确 我们无法判定 同样 只有步骤 而缺少步骤 时 也可能得出不正确的结论 缺少步骤 这个基础 假设就失去了成立的前提 步骤 也就没有意义了 2 利用数学归纳法时 第二步为什么必须利用归纳假设 提示第二步实际上是证明一个条件命题 假设n k k n0 k n 时命题成立 证明当n k 1时命题也成立 其本质是证明一个递推关系 若不用归纳假设 就是没有证明这种递推关系 所以归纳假设是必须要用的 假设是起桥梁作用的 桥梁断了就通不过去了 基础自测 1 用数学归纳法证明 1 a a2 an 1 a 1 在验证n 1时 左端计算所得的项为 a 1b 1 ac 1 a a2d 1 a a2 a3 答案c 2 用数学归纳法证明 1 2 22 2n 1 2n 1 n n 的过程中 第二步假设n k时等式成立 则当n k 1时应得到 a 1 2 22 2k 2 2k 1 2k 1 1b 1 2 22 2k 2k 1 2k 1 2k 1c 1 2 22 2k 1 2k 2k 1 1d 1 2 22 2k 1 2k 2k 1 2k 答案d 3 数列 an 中 已知a1 1 当n 2时 an an 1 2n 1 依次计算a2 a3 a4后 猜想an的表达式是 答案an n2 题型一利用数学归纳法证明等式 例1 通过计算下面的式子 猜想出 1 3 5 1 n 2n 1 的结果 并加以证明 1 3 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 9 思维启迪 由前几个特殊的计算而猜想出一般的结论 而这个结论如果与n有关 一般都用数学归纳法来证明其正确性 但前几个特殊的计算结果一定要显示出规律性 解上面四个式子的结果分别是2 3 4 5 由此猜想 1 3 5 1 n 2n 1 1 nn下面用数学归纳法证明 1 当n 1时 式子左右两边都等于 1 即这时等式成立 2 假设当n k k 1 时等式成立 即 1 3 5 1 k 2k 1 1 kk当n k 1时 1 3 5 1 k 2k 1 1 k 1 2k 1 1 kk 1 k 1 2k 1 1 k 1 k 2k 1 1 k 1 k 1 即n k 1时 命题成立 由 1 2 知 命题对于n n 都成立 规律方法用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题关键在于 先看项 弄清等式两边的构成规律 等式的两边各有多少项 项的多少与n的取值是否有关 由n k到n k 1时 等式的两边会增加多少项 增加怎样的项 思维启迪 判断和用数学归纳法证明问题是否正确 是要看有无归纳基础 是要看由n k到n k 1所增加的项数是否正确 是证明n k 1时是否应用了归纳假设 规律方法在推证 n k 1 命题也成立时 必须把 归纳假设 n k时的命题 作为必备条件使用上 否则不是数学归纳法 对项数估算的错误 特别是寻找n k与n k 1的关系时 项数发生什么变化被弄错是常见错误 题型二用数学归纳法证明不等式 思维启迪 与用数学归纳法证明等式一样 用数学归纳法证明不等式也必须注意其基本步骤和其基本注意事项 规律方法 1 由n k到n k 1时的推证过程中应用了 放缩 的技巧 使问题简单化 这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一 2 数学归纳法的应用通常与数学的其他方法联系在一起 如比较法 放缩法 配凑法 分析法和综合法等 方法技巧用数学归纳法证明代数恒等式 方法点评 1 用数学归纳法证明代数恒等式的关键有两点 一是准确表述n n0时命题的形式 二是准确把握由n k到n k 1时 命题结构的变化特点 2 应用数学归纳法时的常见问题 第一步中的验证 对于有些问题验证的并不是n 1 有时需验证n 2 n 3 对n k 1时式子的项数以及n k与n k 1的关