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7正切函数7 1正切函数的定义7 2正切函数的图像与性质 1 了解任意角的正切函数概念 2 能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像 3 根据正切函数的图像熟练推导出正切函数的性质 4 能熟练掌握正切函数的图像与性质 常见的三角函数除正弦函数 余弦函数外还有正切函数 在前两次课中 我们学习了任意角的正 余弦函数 并借助于它们的图像研究了它们的性质 今天我们类比正弦 余弦函数的学习方法 在直角坐标系内学习任意角的正切函数 在直角坐标系中 如果角 满足 r k k z 那么 角 的终边与单位圆交于点p a b 唯一确定比值 一 正切函数的定义 根据函数定义 比值是角 的函数 我们把它叫作角 的正切函数 记作y tan 1 正切函数的定义 其中 r k k z 比较正 余弦和正切的定义 不难看出 tan r k k z 由此可知 正弦 余弦 正切都是以角为自变量 以比值为函数值的函数 我们统称为三角函数 2 正切线 如右图 单位圆与x轴正半轴的交点为a 1 0 任意角 的终边与单位圆交于点p 过点a 1 0 作x轴的垂线 与角的终边或终边的延长线相交于t点 从图中可以看出 当角 位于第一和第三象限时 t点位于x轴的上方 当角 位于第二和第四象限时 t点位于x轴的下方 不论角 的终边在第几象限 都有 使得角 的正切值与有向线段at的值相等 因此 我们称有向线段at为角 的正切线 由于 3 正切函数的周期 所以是正切函数的周期 是它的最小正周期 1 想一想正弦函数是如何借助其正弦线做出的图像 2 我们能否借助正切线做出正切函数的图像 如何做 2 找横坐标 把x轴上到这一段分成8等份 二 正切函数的图像与性质 1 正切函数的图像 作法如下 1 作直角坐标系 并在直角坐标系y轴左侧作单位圆 3 在单位圆右半圆中作出正切线 4 平移 5 连线 1 正切函数的图像 全体实数r 正切函数在开区间上是增加的 x y o 2 正切函数的性质 1 定义域 2 值域 3 周期性 正切函数是周期函数 t 正切函数是奇函数 正切曲线关于原点o对称 4 奇偶性 5 单调性 例1求函数的定义域 例2 不通过求值 比较下列各组中两个正切函数值的大小 与 与 又 且是单调递增的 即 例3求的单调区间 的增区间为 的增区间为 a b c d 以上都不对 1 已知则 a a b cb c b ac b c ad b a c c c 1 正切函数的定义2 正切函数的图像3 正切函数的性质1 定义域 2 值域 3 周期性 4 奇偶性 5 单调性 全体实数r 奇函数 正切函数在开区间内都
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