高中数学 §4 反证法课件 北师大版选修12.ppt

4反证法 小华 不可能 我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢 上述对话中 小华要告诉妈妈的命题是什么 小芳没有全家外出旅游 妈妈 小华 听说邻居小芳全家这几天正在外地旅游 小华是如何推断该命题的正确性的 假设小芳全家外出旅游 那么今天不可能碰到小芳 与上午在学校碰到小芳和她妈妈矛盾 所以假设不成立 所以小芳没有全家外出旅游 这种思维方法就是我们今天要学习的 反证法 1 了解反证法是间接证明的一种重要的方法 2 理解反证法的思考过程与特点 掌握反证法的步骤 重点 3 能正确应用反证法解决一些简单问题 难点 探究点1反证法 在数学证明中 有直接证明和间接证明 在上一节 我们学习的综合法和分析法都是直接证明的方法 这一节 我们将学习一种间接证明的方法 反证法 先看几个实例 例1已知 a是整数 2能整除 求证 2能整除a 在本例中 我们要讨论的是2和整数a的整除关系 2能整除a 2不能整除a 二者必居其一 由于不易直接证明 2能整除a 不妨先假设 2不能整除a 在这个前提下 我们得到了与已知条件矛盾的结论 由此可以说明开始的假设是错误的 从而证明 2能整除a 例2在同一平面内 两条直线a b都和直线c垂直 求证 a与b平行 在本例中 两条直线a与b要么相交 要么不相交 二者必居其一 由于不易直接证明 两条直线a b平行 不妨先假设 两条直线a b相交 在这个前提下 我们得到了与已知定理矛盾的结论 这说明假设 两条直线a b相交 不正确 那么假设的反面就是正确的 即 两条直线a b平行 思考 在上述的证明过程中 它们的证明有什么共同特点 提示 在证明数学命题时 要证明的结论要么正确 要么错误 二者必居其一 我们可以先假定命题结论的反面成立 在这个前提下 若推出的结果与定义 公理 定理相矛盾 或与命题中的已知条件相矛盾 或与假定相矛盾 从而说明命题结论的反面不可能成立 由此断定命题的结论成立 这种证明方法叫作反证法 反证法的证题步骤是 1 作出否定结论的假设 2 进行推理 导出矛盾 3 否定假设 肯定结论 提升总结 一些常见的结论的否定形式 不是 不都是 不大于 大于或等于 一个也没有 至少有两个 至多有 n 1 个 至少有 n 1 个 存在某x 不成立 存在某x 成立 不等于 某个 13 例3求证 是无理数 证明假设不是无理数 即是有理数 那么它就可以表示成两个整数之比 设且p q互素 则 所以 2p2 q2 故q2是偶数 q也必然为偶数 不妨设q 2k 代入 式 则有2p2 4k2 即p2 2k2 所以 p也为偶数 p和q都是偶数 它们有公约数2 这与p q互素矛盾 这样 不是有理数 而是无理数 例4已知a1 a2 a3 a4 100 求证 a1 a2 a3 a4中 至少有一个数大于25 证明假设结论不对 即a1 a2 a3 a4均不大于25 那么 a1 a2 a3 a4 25 25 25 25 100 这与已知条件矛盾 所以 a1 a2 a3 a4中 至少有一个数大于25 例5求证 1 2 不可能是一个等差数列中的三项 证明假设1 2 是公差为d的等差数列的第p q r项 则2 1 q p d 1 r p d 于是 因为p q r均为整数 所以等式右边是有理数 而等式左边是无理数 二者不可能相等 推出矛盾 所以1 2 不可能是一个等差数列中的三项 证明 例6已知直线a平行于平面 1 写出用 反证法 证明下列命题的 假设 1 互补的两个角不能都大于90 2 abc中 最多有一个钝角 假设互补的两个角都大于90 假设 abc中 至少有两个钝角 3 若a2 b2 则a b 假设a b 2 用反证法证明命题 a b n ab可被5整除 那么a b中至少有一个能被5整除 时 假设的内容应为 a a b都能被5整除b a b都不能被5整除c a b不都能被5整除d a不能被5整除 b 3 用反证法证明 形如4k 3 k n 的数不能化成两整数的平方和 时 开始假设结论的反面成立应写成 4 命题 任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形 的结论的否定是 假设4k 3 m2 n2 m n为整数 k n 没有一个是三角形或四边形或五边形 有一个多面体的面 5 求证 定义在实数集上的单调减函数y f x 的图像与x轴至多只有一个公共点 证明 假设函数y f x 的图像与x轴有两个交点 设交点的横坐标分别为x1 x2 且x1 x2 因为函数y f x 在实数集上单调递减 所以f x1 f x2 这与f x1 f x2 0矛盾 所以假设不成立 故原命题成立 反证法的一般步骤 假设命题不成立 引出矛盾 假设不成立 求证的命题正确 假设 归谬 结论 从假设出发