高中数学（自主初探+核心归纳+案例展示）第三章 3.2.1 直线的点斜式方程课件 新人教A版必修2.ppt

3 2直线的方程3 2 1直线的点斜式方程 直线的点斜式方程和斜截式方程 斜率k 截距b 纵坐标b 判断 正确的打 错误的打 1 当直线的倾斜角为0 时 过 x0 y0 的直线l的方程为y y0 2 直线与y轴交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念 3 直线的点斜式方程不能表示坐标平面上的所有直线 提示 1 正确 当直线的倾斜角为0 时 此时tan0 0 即k 0 这时直线l与x轴平行或重合 l的方程就是y y0 0或y y0 2 错误 距离和截距是两个不同的概念 距离非负 而截距是一个数值 可正 可负 可为零 3 正确 只能表示斜率存在的直线 答案 1 2 3 知识点拨 1 剖析直线的点斜式方程 1 直线的点斜式方程的前提条件是 已知一点p x0 y0 斜率必须存在 只有这两个条件都具备 才可以写出点斜式方程 2 方程y y0 k x x0 与方程k 不是等价的 前者是整条直线 后者表示去掉点p x0 y0 的一条直线 3 当k取任意实数时 方程y y0 k x x0 表示恒过定点 x0 y0 的无数条直线 2 直线的点斜式与斜截式方程的关系 1 直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情况 即过定点p 0 b 它们都不能表示斜率不存在的直线 2 在直线方程的各种形式中 点斜式是最基本的形式 它是推导其他形式的基础 3 点斜式与斜截式是两种常见的直线方程的形式 点斜式的形式不惟一 而斜截式的形式是惟一的 3 直线方程的斜截式与一次函数解析式的区别与联系 1 斜截式方程中 k 0时 y kx b即为一次函数 k 0时 y b不是一次函数 2 一次函数y kx b k 0 一定可以看成一条直线的斜截式方程 类型一直线的点斜式方程 典型例题 1 一条直线经过点p1 2 3 斜率为2 则这条直线的方程为 2 经过点 2 1 且垂直于y轴的直线方程为 3 求经过点 2 5 且倾斜角为45 的直线方程 解题探究 1 写直线的点斜式方程的两个前提条件是什么 2 垂直于y轴的直线的斜率存在吗 3 一条直线的倾斜角与其斜率有何对应关系 探究提示 1 1 已知一点p x0 y0 2 斜率必须存在 2 垂直于y轴的直线 即与x轴平行或重合的直线的斜率等于0 3 当直线的倾斜角 90 时 直线的斜率k tan 解析 1 由直线的点斜式方程得y 3 2 x 2 即2x y 7 0 答案 2x y 7 02 直线垂直于y轴 故其斜率为0 所以此直线方程为y 1 答案 y 13 因为倾斜角为45 所以直线斜率为tan45 1 由点斜式方程得y 5 x 2 即y x 3 互动探究 在题1中 若将 斜率为2 改为 斜率为k 写出这条直线的方程 由此你能写出直线y 3 k x 5 一定过哪一个点吗 解析 斜率改为k 则直线方程为y 3 k x 2 直线y 3 k x 5 中不论k取何实数 当x 5 0 即x 5时 y 3 0 故y 3 所以y 3 k x 5 一定过点 5 3 拓展提升 求直线的点斜式方程的方法步骤 变式训练 已知直线l经过点 6 4 且与直线y 3 x 2 平行 求直线l的点斜式方程 解题指南 根据直线l与直线y 3 x 2 平行 可得直线l的斜率 由点斜式可得直线l的方程 解析 由于直线l与直线y 3 x 2 平行 可得直线l的斜率为 又直线l过点 6 4 由直线的点斜式方程可得 直线l的方程为 y 4 x 6 类型二直线的斜截式方程 典型例题 1 斜率为 1 在y轴上的截距为1的直线方程为 2 倾斜角为60 在y轴上的截距为 2的直线方程为 3 求倾斜角为150 与y轴的交点到原点的距离为3的直线方程 解题探究 1 斜截式方程有怎样的基本形式 2 已知直线的倾斜角 如何求其斜率 3 距离与截距有何区别 探究提示 1 若直线的斜率为k 且在y轴上的截距为b 则直线的斜截式方程为y kx b 2 直线的斜率k tan 其中 90 3 截距为直线与坐标轴的交点的横坐标或纵坐标 截距可正 可负 也可以为零 而距离为非负 距离指的是线段的长度 解析 1 由直线的斜截式可知 所求直线的方程为y x 1 答案 y x 12 直线的倾斜角为60 所以斜率为 直线方程为y x 2 答案 y x 23 直线的倾斜角为150 所以斜率为 因为直线与y轴的交点到原点的距离为3 所以在y轴上的截距b 3或b 3 故所求的直线方程为y x 3或y x 3 拓展提升 直线的斜截式方程的求解策略 1 用斜截式求直线方程 只要确定直线的斜率和截距即可 同时要特别注意截距和距离的区别 2 直线的斜截式方程y kx b不仅形式简单 而且特点明显 k是直线的斜率 b是直线在y轴上的截距 只要确定了k和b的值 直线的图象就一目了然 因此 在解决直线的图象问题时 常通过把直线方程化为斜截式方程 利用k b的几何意义进行判断 变式训练 已知直线l1的方程为y 2x 3 l2的方程为y 7x 3 直线l与直线l1平行且与直线l2在y轴上的截距相同 求直线l的方程 解析 因为l1 l 故直线l的斜率为 2 又l与直线l2在y轴上的截距相同 故l在y轴上的截距为 3 所以直线l的方程为y 2x 3 类型三两直线平行与垂直的判断 典型例题 1 若直线l1 y x 2a与直线l2 y a2 2 x 2平行 则a 2 当a为何值时 直线l1 y 2a 1 x 5与直线l2 y 4x 8垂直 解题探究 1 题1中的直线方程的形式是什么形式 2 利用该形式如何判断两直线垂直 探究提示 1 斜截式方程 2 由斜截式方程中k b的几何意义及直线垂直的条件 建立关于a的方程 组 求出a的值 解析 1 因为l1 l2 所以a2 2 1 且2a 2 解得a 1 所以a 1时两直线平行 答案 12 由题意知 k1 2a 1 k2 4 因为l1 l2 所以4 2a 1 1 解得a 所以a 时 直线l1 y 2a 1 x 5与直线l2 y 4x 8垂直 拓展提升 两条直线平行和垂直的判定 1 平行的判定 2 垂直的判定 变式训练 已知直线l y a2 2 x 2a 9与直线y x 1垂直 与直线y 3x 5在y轴上的截距相同 求a 解题指南 由两直线垂直 两直线的斜率之积等于 1 可求得l的斜率 由斜截式方程得出在y轴上的截距 根据与直线y 3x 5在y轴上的截距相同 求出a 解析 直线l与y x 1垂直 所以直线l的斜率为2 直线l与直线y 3x 5在y轴上的截距相同 所以直线l在y轴上的截距为5 故解得a 2 易错误区 利用斜截式方程求参数的误区 典例 已知直线l1 y 2x 3a l2 y a2 1 x 3 若l1 l2 则a 解析 因为l1 l2 所以a2 1 2 a2 1 所以a 1 又由于l1 l2 两直线l1与l2不能重合 则3a 3 即a 1 故a 1 答案 1 误区警示 防范措施 1 等价条件的转化一些题目中的等价转化是解决问题的关键 如本例中由两直线平行可转化为两直线的斜率相等 2 特殊情况的处理在处理两直线平行问题时 要注意两直线是否重合的情况 如本例中若忽略重合情况 则会得a 1的错误答案 类题试解 已知直线l1 y x a l2 y a2 3 x 1 若l1 l2 则a的值为 a 4b 2c 2d 2 解析 选c 因为l1 l2 所以a2 3 1 a2 4 所以a 2 又由于l1 l2 两直线l1与l2不能重合 则a 1 即a 2 故a 2 1 斜率为 2 过点 3 2 的直线方程是 a y 2 2 x 3 b y 2 2 x 3 c y 2 2 x 3 d y 2 2 x 3 解析 选b 由直线的点斜式知 方程为y 2 2 x 3 2 直线y 2x 3的斜率和在y轴上的截距分别等于 a 2 3b 3 3c 3 2d 2 3 解析 选d 直线y 2x 3为斜截式方程 其中斜率为2 在y轴上的截距为 3 3 过点p 2 1 且倾斜角是直线l x y 1 0的倾斜角的两倍的直线方程为 a x 2y 1 0b x 2c y 1 2 x 2 d 2x y 1 0 解析 选b 直线l x y 1 0即为y x 1 所以斜率为1 倾斜角为45 故所求直线的倾斜角为90 直线方程为x 2 4 纵截距为 3且斜率为 的直线方程为 解析 由斜截式方程知直线方程为y x 3 答案 y x 3 5 1 求经过点 0 2 且