高中数学 阶段复习课 第四讲 用数学归纳法证明不等式课件 新人教A版选修45.ppt

阶段复习课第四讲 答案速填 整除问题 几何问题 贝努利不等式 类型一利用数学归纳法证明恒等式数学归纳法证明恒等式的要点分析数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题 证明时 它的两个步骤缺一不可 它的第一步 归纳奠基 n n0时结论成立 第二步 归纳递推 假设n k时 结论成立 推得n k 1时结论也成立 它可用有限的步骤 两步 证明出无限的命题成立 典例1 用数学归纳法证明 证明 1 当n 1时 左边 右边 左边 右边 所以等式成立 2 假设n k k n 时等式成立 即有 则当n k 1时 所以当n k 1时 等式也成立 由 1 2 可知 对于一切n n 等式都成立 类型二利用数学归纳法证明不等式利用数学归纳法证明不等式的关键策略应用数学归纳法证明不等式的关键是在运用归纳假设时 应分析p k 与p k 1 的差异及联系 利用拆 添 并 放等手段 从p k 1 中分离出p k 再进行局部调整 也可考虑寻求二者的结合点 以便顺利过渡 利用归纳假设 经过适当放缩 恒等变形 得到结论需要的形式 典例2 求证 证明 1 当n 1时 因为所以原不等式成立 2 假设n k k 1 k n 时 原不等式成立 即有当n k 1时 因此 欲证明当n k 1时 原不等式成立 只需证明成立 即证明从而转化为证明也就是证明即从而于是当n k 1时 原不等式也成立 由 1 2 可知 对于任意的正整数n 原不等式都成立 类型三利用数学归纳法证明整除问题利用数学归纳法证明整除问题的思路与方法 1 在使用数学归纳法证明整除问题时 一般说来 第一步验证比较简明 而第二步归纳步骤情况较复杂 熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的 其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题 归纳假设 p k 成立 是问题的条件 而 命题p k 1 成立 就是所要证明的结论 因此 合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键 2 用数学归纳法证明数或式的整除性问题时 常采取加项 减项的配凑法 而配凑的方法很多 关键是凑成n k时假设的形式 典例3 证明n为正奇数时 xn yn能被x y整除 证明 1 当n 1时 xn yn x y 它能被x y整除 所以n 1时命题成立 2 假设当n k k为正奇数 k 1 时 命题成立 即xk yk能被x y整除 当n k 2时 xk 2 yk 2 x2 xk y2 yk x2 xk yk y2 yk x2 yk x2 xk yk yk y2 x2 x2 xk yk yk y x y x 由归纳假设知 xk yk能被x y整除 y x y x 也能被x y整除 所以x2 xk yk yk y x y x 能被x y整除 即xk 2 yk 2也能被x y整除 故对n k 2时命题也成立 由 1 2 知命题对一切正奇数都成立 类型四数学归纳法与数列的综合应用运用数学归纳法时的注意事项 1 对项数要估算正确 特别是寻找n k与n k 1的关系时 项数发生什么变化容易被弄错 2 必须利用归纳假设 3 关键步骤要清晰明了 假设n k时结论成立 利用此假设证明n k 1时结论也成立 是数学归纳法的关键一步 也是证明问题最重要的环节 注意证明过程的严谨性 规范性 典例4 已知正项数列 an 满足 1 求a1 a2 a3并推测an 2 用数学归纳法证明你的结论 解析 1 由知当n 2时 所以整理得 由即又a1 0 所以a1 1 即所以即所以可推测 2 由 1 知a1 1 满足故当n 1时 成立 假设n k时 当n k 1时 即所以即当n k 1时 由 知数列 an 的通项公式为 跟踪训练 1 用数学归纳法证明 对于任意x 0的正整数n 都有xn xn 2 xn 4 n 1 时 需验证的使命题成立的最小正整数值n0应为 a n0 1b n0 2c n0 1 2d 以上答案均不正确 解析 选a n n n的最小值为n0 1 2 某个命题与正整数有关 如果当n k时 该命题不成立 那么可推得n k 1时命题也不成立 现在当n 5时 该命题成立 那么可推得 a 当n 6时该命题不成立b 当n 6时该命题成立c 当n 4时该命题不成立d 当n 4时该命题成立 解析 选d 依题意当n 4时该命题不成立 则当n 5时 该命题也不成立 而当n 5时 该命题成立却无法判断n 6时该命题成立不成立 故选d 3 设0 a 1 定义a1 1 a 求证 对一切n n 均有 证明 用数学归纳法 1 当n 1时 a1 1 又显然成立 2 假设n k k 1 k n 时 当n k 1时 由递推公式 知同时 故当n k 1时 有综合 1 2 可知 对一切正整数n 均有 4 用数学归纳法证明 an 5n 2 3n 1 1 n n 能被8整除 证明 1 当n 1时 a1 5 2 1 8 命题显然成立 2 假设当n k k 1 k n 时 ak能被8整除 即ak 5k 2 3k 1 1是8的倍数 那么当n k 1时 ak 1 5k 1 2 3k 1 5 5k 2 3k 1 1 4 3k 1 1 5ak 4 3k 1 1 因为ak是8的倍数 3k 1 1是偶数 即4 3k 1 1 也是8的倍数 所以ak 1也是8的倍数 即当n k 1时 命题成立 由 1 2 知对一切正整数n an能被8整除 5 设数列 an 的前n项和为sn 对一切n n 点都在函数的图象上 1 求a1 a2 a3的值 2 猜想an的表达式 并用数学归纳法证明 解析 1 因为点在函数的图象上 故所以令n 1 得所以a1 2 令n 2 得所以a2 4 令n 3 得所以a3 6 2 由上面的计算猜想 an 2n 用数学归纳法证明如下 当n 1时 由上面的求解知 猜想成立 假设n k k 1