高中数学（自主初探+核心归纳+案例展示）第三章 3.1.1 倾斜角与斜率课件 新人教A版必修2.ppt

第三章直线与方程3 1直线的倾斜角与斜率3 1 1倾斜角与斜率 一 直线的倾斜角1 倾斜角的定义 1 当直线l与x轴相交时 取x轴作为基准 x轴 与直线l 之间所成的角 叫做直线l的倾斜角 2 当直线与x轴 时 规定它的倾斜角为0 2 倾斜角的范围直线的倾斜角 的范围为 正向 向上方向 平行或重合 0 180 思考 一条直线的倾斜角为0 这条直线一定与x轴平行吗 提示 不一定 也可能与x轴重合 二 斜率的概念以及斜率公式1 定义 倾斜角不是 的直线 它的倾斜角 的 叫做这条直线的斜率 记为k 即k 90 正切值 tan 2 斜率与倾斜角的对应关系 90 k 0 k 0 k 0 3 经过两点的斜率公式直线经过两点p1 x1 y1 p2 x2 y2 x1 x2 其斜率k 判断 正确的打 错误的打 1 倾斜角是描述直线的倾斜程度的惟一方法 2 任何一条直线有且只有一个斜率和它对应 3 一个倾斜角 不能确定一条直线 4 斜率公式与两点的顺序无关 提示 1 错误 除了倾斜角 还可以用坡度 比 描述倾斜程度 2 错误 倾斜角不是90 的直线有且只有一个斜率和它对应 3 正确 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素 一个点p和一个倾斜角 4 正确 斜率公式与两点的顺序无关 即两纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换 答案 1 2 3 4 知识点拨 1 对直线的倾斜角的理解 1 倾斜角定义中含有三个条件 x轴正方向 直线向上的方向 小于180 的非负角 2 从运动变化的观点来看 直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角 3 倾斜角是一个几何概念 它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度 4 平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角 且倾斜程度相同的直线 其倾斜角相等 倾斜程度不同的直线 其倾斜角不相等 2 理解斜率公式应注意的事项 1 当x1 x2时 公式右边无意义 直线的斜率不存在 倾斜角 90 直线与x轴垂直 2 斜率k与p1 p2的顺序无关 即y1 y2和x1 x2在公式中的前后次序可以同时交换 但分子与分母不能交换 3 斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得 4 当y1 y2 x1 x2时 斜率k 0 直线的倾斜角 0 直线与x轴平行或重合 3 斜率与直线的倾斜程度的对应关系 1 当直线的斜率为正时 直线从左下方向右上方倾斜 呈上升趋势 2 当直线的斜率为负时 直线从左上方向右下方倾斜 呈下降趋势 3 当直线的斜率为0时 直线与x轴平行或重合 呈水平状态 类型一直线的倾斜角 典型例题 1 已知直线l的倾斜角为 15 则下列结论中正确的是 a 0 180 b 15 180 c 15 180 d 15 195 2 已知直线l1的倾斜角为 1 则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角 2为 解题探究 1 直线倾斜角 的范围是什么 2 关于x轴对称的两条直线的倾斜角能互补吗 探究提示 1 0 180 2 不一定互补 倾斜角的范围中包含0 不包含180 解析 1 选d 因为直线l的倾斜角为 15 所以0 15 180 即15 195 2 当 1 0 时 2 0 当0 1 180 时 2 180 1 答案 0 或180 1 拓展提升 求直线倾斜角的方法及关注点 变式训练 已知等边三角形abc 如图所示 若直线ab平行于y轴 则 c的平分线所在的直线的倾斜角为 另两边ac bc所在的直线的倾斜角为 解析 直线ab平行于y轴 则 c的平分线所在的直线平行于x轴 倾斜角为0 由图可知 ac bc所在的直线均与 c的平分线所在的直线成30 角 所以它们的倾斜角分别为30 150 答案 0 30 150 类型二直线的斜率 典型例题 1 已知直线的倾斜角 求直线的斜率 1 0 2 60 3 90 2 求过下列两点的直线的斜率k及倾斜角 1 p1 2 0 p2 5 3 2 p1 2 3 p2 2 8 3 p1 5 2 p2 2 2 解题探究 1 已知直线的倾斜角为 如何求直线的斜率 2 已知两点的坐标 如何求经过两点的直线的斜率 探究提示 1 k tan 90 2 直线经过两点p1 x1 y1 p2 x2 y2 x1 x2 其斜率 解析 1 1 因为tan0 0 所以倾斜角为0 的直线斜率为0 2 因为tan60 所以倾斜角为60 的直线斜率为 3 因为tan90 不存在 所以倾斜角为90 的直线斜率不存在 2 1 k 即tan 1 所以 135 2 斜率不存在 90 3 k 互动探究 若将题2 2 中的两点改为p1 m 3 p2 m2 8 如何求直线p1p2的斜率 解析 当m m2 即m 1或0时 直线的斜率不存在 当m 1且m 0时 直线的斜率k 拓展提升 求过两点的直线的斜率及倾斜角的方法 1 已知两点坐标求直线的斜率时 首先应检验其横坐标是否相等 若相等 其斜率不存在 若不相等 可用公式来求 2 0 k 0 0 0 90 180 k 0 90 斜率不存在 若求 的具体值 可用公式k tan 求解 变式训练 判断经过下列两点的直线的斜率是否存在 若存在 求出其斜率 1 a 2 3 b 1 3 2 c 2 5 d 2 0 解析 1 存在 kab 2 不存在 因为两点的横坐标相等 此时直线cd垂直于x轴 倾斜角为90 故过这两点的直线的斜率不存在 类型三直线的倾斜角与斜率的综合应用 典型例题 1 若三点a 2 3 b 3 2 c m 共线 则m的值为 2 已知直线l过点p 1 2 且与以a 2 3 b 3 0 为端点的线段相交 求直线l的斜率的取值范围 解题探究 1 当三点共线时 任意两点的连线的斜率 斜率存在时 有怎样的关系 2 题2中求范围可用什么方法 探究提示 1 当三点共线时 任意两点的斜率 斜率存在时 应相等 2 可利用数形结合法 过点p和线段端点的直线的斜率为边界值 解析 1 kab kac 答案 2 如图所示 直线l绕着p点 从pa旋转到pb时 与线段ab相交 又因为pa的斜率kpa 5 pb的斜率kpb 所以直线l的斜率的取值范围是 5 拓展提升 1 用斜率公式解决三点共线问题 2 直线斜率在平面几何中的运用解决几何图形中直线的倾斜角与斜率的综合问题时 要善于利用几何图形的几何性质 注意倾斜角是几何图形中的夹角还是其邻补角 也可以利用经过两点的直线的斜率公式 先求斜率 再求倾斜角 变式训练 如图 菱形obcd的顶点o与坐标原点重合 一边在x轴的正半轴上 已知 bod 60 求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率 解题指南 利用菱形的基本性质 对边平行且相等 对角线平分一组内对角 两条对角线互相垂直等 先求倾斜角 再求斜率 解析 因为od bc bod 60 所以直线od bc的倾斜角都是60 斜率都是tan60 因为dc ob 所以直线dc ob的倾斜角都是0 斜率也都为0 由菱形的性质知 cob 30 obd 60 所以直线oc的倾斜角为30 斜率koc tan30 直线bd的倾斜角为 dbx 180 60 120 斜率kbd tan120 易错误区 求直线的倾斜角时忽略斜率不存在的情况致错 典例 经过a m 3 b 1 2 两点的直线的倾斜角 的范围是 其中m 1 解析 当m 1时 直线与x轴垂直 此时斜率不存在 倾斜角为90 当m 1时 直线的斜率为k 因为m 1 所以k 0 故直线的倾斜角的取值范围为0 90 综上可知 直线的倾斜角 的取值范围是0 90 答案 0 90 误区警示 防范措施 1 公式的熟练应用首先记准公式的表达形式 如过两点的直线的斜率公式 其分子与分母分别对应的两纵坐标的差与两横坐标的差 同时要注意应用此公式的条件 2 特殊情况的处理首先明确公式中的特殊情况 要不重不漏 如本例中当m 1时 直线与x轴垂直 此时斜率不存在 并不说明直线的倾斜角不存在 此时倾斜角为90 类题试解 直线l过点m 2 m n m 4 两点 则直线l的斜率为 解析 当m 2时 直线斜率不存在 当m 2时 k 答案 不存在或 1 过点a 2 1 和b m 3 的直线的斜率为1 则m的值为 a 3b 4c 5d 6 解析 选b 由斜率公式可得 解得m 4 2 若直线l经过第二 四象限 则直线l的倾斜角 的范围是 a 0 90 b 90 180 c 90 180 d 0 180 解析 选c 作出l的大致图象如图 由图象易知 应选c 3 如图 直线l1 l2 l3的斜率分别为k1 k2 k3 则必有 a k1k3 故k1 k3 k2 4 已知a 2 3 b 1 4 则直线ab的斜率是 解析 kab 答案 5 已知m a b n a c b c 则直线mn的倾斜角是 解析