高中数学 第四讲 数学归纳法课件 新人教A版选修45.ppt

第四讲用数学归纳法证明不等式一数学归纳法 1 数学归纳法的概念 一般地 当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时 可以用以下两个步骤 1 证明当 时命题成立 2 假设当 时命题成立 证明 时命题也成立 n n0 n k k n 且k n0 n k 1 在完成了这两个步骤后 就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立 这种证明方法称为数学归纳法 2 数学归纳法的步骤 1 数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1 提示 不一定 2 在用数学归纳法证明数学命题时 只有第一步或只有第二步可以吗 为什么 提示 不可以 这两个步骤缺一不可 只完成步骤 而缺少步骤 就作出判断可能得出不正确的结论 因为单靠步骤 无法递推下去 即n取n0以后的数时命题是否正确 我们无法判定 同样 只有步骤 而缺少步骤 时 也可能得出不正确的结论 缺少步骤 这个基础 假设就失去了成立的前提 步骤 也就没有意义了 3 用数学归纳法证明 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 n n 成立时 从n k到n k 1左边需增乘的代数式是 解析 n k时左边 k 1 k 2 k k 再将左边的式子中的n用 k 1 来代入 得出n k 1时左边 k 2 k 3 k k k k 1 k k 2 然后比较两式 得出需增乘答案 2 2k 1 1 数学归纳法与归纳法的关系归纳法是由一系列特殊事例得出一个结论的推理方法 它属于归纳推理 而数学归纳法是一种演绎推理方法 是一种证明命题的方法 2 应用数学归纳法的注意事项 1 数学归纳法的两个步骤缺一不可 第一步中验证n的初始值至关重要 它是递推的基础 但n的初始值不一定是1 而是n的取值范围内的最小值 2 第二步证明的关键是运用归纳假设 在使用归纳假设时 应分析p k 与p k 1 的差异与联系 利用拆 添 并 放 缩等手段 或从归纳假设出发 从p k 1 中分离出p k 再进行局部调整 类型一用数学归纳法证明等式 典型例题 1 用数学归纳法证明等式1 2 3 n2 时 当证明n k 1等式成立时 应在n k时的等式左端加上 共加了项 2 2013 成都高二检测 是否存在常数a b c 使得等式1 22 2 32 n n 1 2 an2 bn c 对一切正整数n成立 并证明你的结论 解题探究 1 在题1中 如何求出n k 1时等式左边比n k时等式左边多出的项 2 在题2中如何确定常数a b c 探究提示 1 首先写出n k时等式左边的项 然后写出n k 1时等式左边的项 对比两式 写出左端多出的项 并且说明共添加了几项 2 因为等式对于一切正整数n都成立 故当n 1 2 3时等式成立 代入等式先求解a b c 再进行证明 解析 1 当n k 1时 等式的左端为1 2 3 k 1 2 即增加了 k2 1 k2 2 k 1 2 所以应加上 k2 1 k2 2 k 1 2 观察上式可知共加上了 2k 1 项 或由 k 1 2 k2 1 1 2k 1可知 共加了 2k 1 项 答案 k2 1 k2 2 k 1 2 2k 1 2 假设存在a b c 使得题设的等式成立 则当n 1 2 3时也成立 代入得解得a 3 b 11 c 10 于是对n 1 2 3 下面等式成立 1 22 2 32 n n 1 2 3n2 11n 10 证明如下 令sn 1 22 2 32 n n 1 2 假设n k k 1 时 式成立 即那么当n k 1时 sk 1 sk k 1 k 2 2 这就是说 当n k 1时等式也成立 综上所述 当a 3 b 11 c 10时 题设的等式对一切正整数n都成立 拓展提升 应用数学归纳法时应注意的问题 1 第一步的验证 对于有些问题验证的并不是n 1 有时需验证n 2 n 3 甚至需要验证n 10 如证明 对足够大的正整数n 有2n n3 就需要验证n 10时不等式成立 2 n k 1时式子的项数 特别是寻找n k与n k 1的关系式之间的关系时 项数发生什么变化容易被弄错 因此对n k与n k 1时关系式的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障 3 假设n k k n0且k n 时命题成立 利用这一假设证明n k 1时命题成立 这是应用数学归纳法证明问题的核心环节 因此在第二步的证明过程中一定要用上归纳假设 否则这样的证明就不再是数学归纳法了 另外在推导过程中要把步骤写完整 注意证明过程的严谨性 规范性 变式训练 2013 龙岩高二检测 求证 证明 1 当n 1时 左边 1 右边所以左边 右边 等式成立 2 假设当n k k 1 k n 时等式成立 即 则当n k 1时 这就是说 当n k 1时 等式也成立 由 1 2 可知 对任何x n 等式都成立 类型二利用数学归纳法证明整除问题 典型例题 1 用数学归纳法证明 n3 n 1 3 n 2 3 n n 能被9整除 要利用归纳法假设证n k 1时的情况 只需展开 a k 3 3b k 2 3c k 1 3d k 1 3 k 2 32 用数学归纳法证明42n 1 3n 2能被13整除 其中n n 解题探究 1 题1中 n k 1时原式等于什么 2 利用数学归纳法证明整除问题的一般思路是什么 探究提示 1 k 1 3 k 2 3 k 3 3 2 利用数学归纳法证明整除问题的一般思路是验证初始值是否能够整除 然后考虑假设成立 将n k 1代入待证式 结合假设整合分离出除数 总结结论即可 解析 1 选a 假设n k时 原式k3 k 1 3 k 2 3能被9整除 当n k 1时 原式为 k 1 3 k 2 3 k 3 3 为了能用上面的归纳假设 只需将 k 3 3展开 让其出现k3 且展开式中除k3以外的各项和也能被9整除 2 1 当n 1时 42 1 1 31 2 91能被13整除 2 假设当n k k 1 时 42k 1 3k 2能被13整除 则当n k 1时 42 k 1 1 3k 3 42k 1 42 3k 2 3 42k 1 3 42k 1 3 42k 1 13 3 42k 1 3k 2 因为42k 1 13能被13整除 42k 1 3k 2能被13整除 所以当n k 1时 命题成立 由 1 2 知 当n n 时 42n 1 3n 2能被13整除 拓展提升 用数学归纳法证明整除问题的关键点 1 用数学归纳法证明整除问题的关键是利用增项 减项 拆项 并项 因式分解等恒等变形的方法去凑假设 凑结论 从而利用归纳假设使问题获证 2 与n有关的整除问题一般都用数学归纳法证明 其中关键问题是从n k 1时的表达式中分解出n k时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式 变式训练 2013 青岛高二检测 用数学归纳法证明 5n 2n能被3整除 的第二步中 当n k 1时 为了使用归纳假设应将5k 1 2k 1变形为 解析 假设当n k k n k 1 时 5k 2k能被3整除 则n k 1时 5k 1 2k 1 5 5k 2k 3 2k 由假设知5k 2k能被3整除 又3 2k能被3整除 故5 5k 2k 3 2k能被3整除 答案 5 5k 2k 3 2k 类型三用数学归纳法证明几何问题 典型例题 1 在用数学归纳法证明凸多边形内角和定理时 第一步应验证 a n 1成立b n 2成立c n 3成立d n 4成立2 平面上有n n n n 2 条直线 其中任意两条直线不平行 任意三条直线不过同一点 求证 这n条直线共有个交点 解题探究 1 验证初始值是否成立时 初始值的选择应注意什么 2 题2中的初始值应该验证哪个值 探究提示 1 初始值验证选择要注意考虑题目中的特殊情况 如本题中的凸多边形内角和定理 最初赋值应该为3 2 题2中的初始值验证应该结合题目中的n 2 所以需要验证n 2 解析 1 选c 凸n边形的内角和为 n 2 最少边的凸n边形为三角形 所以应验证n 3时成立 2 1 当n 2时 因为符合条件时两直线只有1个交点 又所以当n 2时 命题成立 2 假设当n k k 2 且k n 时命题成立 就是该平面内满足题设的任何k条直线的交点个数为则当n k 1时 任取其中一条直线记为l 如图 剩下的k条直线为l1 l2 lk 由归纳假设知 它们之间的交点个数为由于l与这k条直线均相交且任意三条不过同一点 所以直线l与l1 l2 l3 lk的交点共有k个 所以所以当n k 1时命题成立 由 1 2 可知 命题对一切n n 且n 2都成立 互动探究 在题2中若把条件 n 2 删掉 其余不变 你能证明这n条直线把平面分成个部分吗 证明 1 当n 1时 一条直线把平面分成两部分 而所以命题成立 2 假设当n k k 1 时命题成立 即k条直线把平面分成个部分 则当n k 1时 即增加一条直线l 因为任何两条直线都相交 所以l与k条直线都相交 有k个交点 又因为任何三条直线不共点 所以这k个交点不同于k条直线的交点 且k个交点也互不相同 如此k个交点把直线l分成 k 1 段 每一段把它所在的平面区域分成两部分 故新增加了 k 1 个部分 因为所以当n k 1时 命题成立 由 1 2 可知 当n n 时 命题成立 拓展提升 数学归纳法证明几何问题的技巧 1 几何问题常常是先探索出满足条件的公式 然后加以证明 探索的方法是由特殊n 1 2 3 猜出一般结论 2 数学归纳法证明几何问题的关键在于分析清楚n k与n k 1时二者的差异 这时常常借助于图形的直观性 然后用数学式子予以描述 建立起f k 与f k 1 之间的递推关系 实在分析不出的情况下 将n k 1和n k分别代入所证的式子 然后作差 即可求出增加量 然后只需稍加说明即可 3 利用数学归纳法证明几何问题要注意利用数形结合寻找公式 还要注意结论要有必要的文字说明 规范解答 数学归纳法的应用 典例 条件分析 规范解答 1 当n 1时 左边 右边等式成立 2分 2 假设当n k k n k 1 时 等式成立 就是 4分 那么当n k 1时 这就是说 当n k 1时 等式也成立 10分根据 1 和 2 可知等式对任意n n 都成立 12分 失分警示 防范措施 用数学归纳法证明问题的关键 1 要有归纳基础 2 由n k到n k 1所增加的项数要正确 3 证明n k 1时要用归纳假设 即把n k时的命题作为必备条件使用上 否则不是数学归纳法 类题试解 已知点pn an bn 满足an 1 an bn 1 bn 1 n n 且点p1的坐标为 1 1 1 求过点p1 p2的直线l的方程 2 试用数学归纳法证明 对于n n 点pn都在 1 中的直线l上 解析 1 由题意得a1 1 b1 1 所以所以直线l的方程为即2x y 1 2 当n 1时 2a1 b1 2 1 1 1 成立 假设n k k 1且k n 时 2ak bk 1成立 则2ak 1 bk 1 2ak bk 1 bk 1所以当n k 1时 2ak 1 bk 1 1也成立 由 知 对于n n 都有2an bn 1 即点pn在 1 中的直线l上 1 用数学归纳法证明1 2 3 2n 1 n 1 2n 1 时 在验证n 1成立时 左边所得的代数式为 a 1b 1 3c 1 2 3d 1 2 3 4 解析 选c 当n 1时左边有2n 1 2 1 1 3 所以左边所得的代数式为1 2 3 2 某个命题与正整数n有关 若n k k n 时命题成立 则可推得当n k 1时该命题也成立 现已知n 5时 该命题不成立 那么可以推得 a n 6时该命题不成立b n 6时该命题成立c n 4时该命题不成立d n 4时该命题成立 解析 选c 因为 若n k k n 时命题成立 则当n k 1时 该命题也成立 故若n 4时命题成立 则n 5时命题也应成立 现已知n 5时 命题不成立 故n 4时 命题也不成立 3 用数学归纳法证明12 22 n 1 2 n2 n 1 2 22 12 时 由n k k 1 的假设到证明n k 1时 等式左边应添加的式子是 a k 1 2 2k2b k 1 2 k2c k 1 2d k 1 2 k 1 2 1 解析 选b 本题易被题干误导而错选a 当n k k 1 时 左边为12 22 k 1 2 k2 k 1 2 22 12 当n k 1时 左边为12 22 k2 k 1 2 k2 k 1 2 22 12 分析等式变化规律可知左边实际增加的是 k 1 2 k2 4 下列代数式 其中k n 能被9整除的是 a 6 6 7kb 2 7k 1c 2 2 7k 1 d 3 2 7k 解析 选d 1 当k 1时 显然只有3 2 7k 能被9整除 2 假设当k n n n n 1 时 命题成立 即3 2 7n 能被9整除 那么k n 1时 3 2 7n 1 21 2 7n 36也能被9整除 这就是说 k n 1时 命题也成立 由 1 2 可