高中数学（自主初探+核心归纳+案例展示）第二章 2.1.1 平面课件 新人教A版必修2.ppt

第二章点 直线 平面之间的位置关系2 1空间点 直线 平面之间的位置关系2 1 1平面 一 平面1 平面的概念 1 几何里的平面是从呈平面形的物体中抽象出来的 2 几何里的平面是 的 无限延展 2 平面的画法 1 水平放置的平面 45 2倍 2 一个平面被另一个平面遮挡 虚线 3 平面的表示方法 1 用希腊字母表示 如平面 平面 平面 2 用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示 如平面abcd 3 用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示 如平面ac 平面bd 思考 任何一个平面可以将空间分为几部分 提示 任何一个平面都可以将空间分为两部分 二 点 直线 平面之间的位置关系及其表示方法1 直线在平面内的概念如果直线l上的 都在平面 内 就说直线l在平面 内 或者说平面 经过直线l 所有点 2 点 直线 平面之间位置关系的表示方法 a l a l a a l l l m a l 思考 若a a a 是否可以推出a 提示 根据直线在平面内的定义可知 若a a a 则a 三 平面的基本性质 两点 此平面内 不在一条直线上 有且只有 公共直线 l l 且p l 判断 正确的打 错误的打 1 若点a 直线a 点a 平面 则a 2 如果两个平面有三个不共线的公共点 那么这两个平面就重合为一个平面 3 如果平面 与平面 相交 那么它们只有有限个公共点 4 两个平面的交线可能是一条线段 提示 1 错误 有可能a a 2 正确 由公理2可知 此说法正确 3 错误 如果平面 与平面 相交 那么它们有无限个公共点 4 错误 由公理3知 两个平面的交线是一条直线 答案 1 2 3 4 知识点拨 1 平面与平面图形的区别与联系 2 平面几何和立体几何中辅助线画法的区别 1 在平面几何中 凡是后引入的辅助线我们都画成虚线 2 在立体几何中 凡是被平面遮挡的线都画成虚线 凡是不被遮挡的线都画成实线 无论是题中原有的 还是后引入的辅助线 3 相交平面的画法 1 画两条相交的直线 表示两个平面的平行四边形相交的两条边 如图 中的ef mn 2 画两个相交平面的交线 如图 中的ab 3 通过端点e f m n分别画出与ab平行且相等的线段ec fd mp nq 连接cd和pq 可以得到表示平面的平行四边形efdc和mnqp 如图 4 把被平面遮住的部分画成虚线 或者不画 如图 4 符号语言的理解和应用 1 点 直线 平面的表示一般来说 用大写字母a b c 表示空间中的点 用小写字母a b c 表示直线 用希腊字母 表示平面 2 点 直线 平面之间关系的表示 基本原则通常借助集合中的符号语言来表示 点为元素 直线与平面都是点构成的集合 几何中的很多符号规定都是源于将图形视为点集 表示方法点与直线之间的关系 点与平面之间的关系用符号 表示 直线与平面之间的关系用 表示 注意事项为方便起见 个别地方的用法与集合符号略有不同 例如 直线a与平面 相交于点a 记作a a 而不记作a a 这里的a即是一个点 又可以理解为只含一个元素 点 的集合 5 公理1 公理2 公理3的意义和作用 1 公理1说明了平面与曲面的本质区别 通过直线的 直 来刻画平面的 平 通过直线的 无限延伸 来描述平面的 无限延展性 它既是判断直线在平面内 又是检验平面的方法 2 公理2是空间里确定一个平面位置的方法与途径 而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件 这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决 是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法 3 公理3揭示了两个平面相交的主要特征 提供了确定两个平面交线的方法 6 公理2的深入探究 1 不在同一条直线上的三点 的含义 经过一点 两点和在同一条直线上的三点可能有无数个平面 任意给不在同一条直线上的四个点 不一定有一个平面同时过这四个点 2 有且只有一个 的含义这里 有 是说图形存在 只有一个 是说图形惟一 公理2强调的是存在和惟一两个方面 类型一文字语言 图形语言和符号语言的转化 典型例题 1 下列四个选项中的图形表示两个相交平面 其中画法正确的是 2 如图 用符号表示下列图形中点 直线 平面之间的位置关系 解题探究 1 画两个相交平面时 要注意什么问题 2 用符号表示图形中点 直线 平面之间的位置关系 可先后从哪几个方面考虑 探究提示 1 画两个相交平面时 要注意被遮挡的部分用虚线画出 2 可以先后从平面与平面 直线与平面 点与平面和点与直线四个方面考虑 解析 1 选d a错误 因为两平面的交线没画出 且被遮挡的部分未用虚线画出 b c都错误 因为被遮挡的部分未用虚线画出 d正确 2 1 l m n l n p 2 a b c a o 拓展提升 1 三种语言表示的优缺点 1 文字语言表达严谨清楚 便于揭示所述问题的本质 缺点是复杂冗长 2 图形语言一目了然 清晰直观 缺点是需要较强的空间想象能力 3 符号语言 便于书面表示 缺点是直观性差 2 三种语言的转换方法 1 用文字语言 符号语言表示一个图形时 首先仔细观察图形有几个平面 几条直线且相互之间的位置关系如何 试着用文字语言表示 再用符号语言表示 2 根据符号语言或文字语言画相应的图形时 要注意实线和虚线的区别 变式训练 根据下列条件画出图形 平面 平面 mn abc的三个顶点满足条件a mn b b mn c c mn 解析 不惟一 举例如下 类型二公理1和公理2的应用 典型例题 1 若a 平面 b 平面 c 直线ab 则 a c b c c ab d ab c2 已知a b c d是两两相交且不共点的四条直线 求证 a b c d共面 解题探究 1 直线满足什么条件 就能判断此直线在某平面内 2 四条直线两两相交且不共点 是否可以有三条直线共点 证明多条直线共面的基本方法是什么 探究提示 1 由公理1知 只要说明直线上有两个点在平面内 就可判断该直线在平面内 2 1 四条直线两两相交且不共点 可以有三条直线共点 也可以无三条直线共点 2 证明多条直线共面 可先证明部分直线确定平面 再证明其余直线也在此平面内 解析 1 选a 因为a 平面 b 平面 所以ab 又因为c 直线ab 所以c 2 1 无三线共点情况 如图 设a d m b d n c d p a b q a c r b c s 因为a d m 所以a d可确定一个平面 因为n d q a 所以n q 所以nq 即b 同理c 所以a b c d共面 2 有三线共点的情况 如图 设b c d三线相交于点k 与a分别交于n p m 且k a 因为k a 所以k和a确定一个平面 设为 因为n a a 所以n 所以nk 即b 同理c d 所以a b c d共面 由 1 2 知a b c d共面 互动探究 若将题2改为三条直线 且已知直线a b 直线l与a b都相交 交点分别为a b 证明直线a b l共面 证明 拓展提升 1 确定平面的方法和意义 1 确定平面的方法 不共线的三点 可以确定一个平面 即公理2 直线和直线外一点 可以确定一个平面 两条相交直线 可以确定一个平面 两条平行直线 可以确定一个平面 2 确定平面的意义实现空间问题向平面问题的转化 2 解决点线共面问题的基本方法 变式训练 下列说法中正确的个数是 若点a b c d共面 点a b c e共面 则a b c d e共面 若四点不共面 则这四点中任意三点都不共线 首尾依次相接的四条线段必共面 a 0b 1c 2d 3 解析 选b 不正确 从条件看出 两平面有三个公共点a b c 若a b c共线 则结论不一定正确 正确 不正确 四边形中三点可确定一个平面 而第四个点不一定在此平面内 如图 因此 这四条线段不一定在同一平面内 类型三点共线或线共点的问题 典型例题 1 如图 已知d e是 abc的边ac bc上的点 平面 经过d e两点 若直线ab与平面 的交点是p 则点p与直线de的位置关系是 2 如图所示 已知四面体a bcd中 e f分别是ab ad的中点 g h分别是bc cd上的点 且求证 直线eg fh ac相交于同一点 解题探究 1 平面 与平面abc有哪些公共点 2 怎样才能说明三线共点 探究提示 1 平面 与平面abc的公共点有d e p 2 可说明其中两条线的交点在第三条直线上 解析 1 因为p ab ab 平面abc 所以p 平面abc 又p 平面abc 平面 de 所以p 直线de 答案 p 直线de 2 因为e f分别是ab ad的中点 所以ef bd且所以gh bd且gh bd 所以ef gh且ef gh 所以四边形efhg是梯形 其两腰所在直线必相交 设两腰eg fh的延长线相交于一点p 因为eg 平面abc fh 平面acd 所以p 平面abc p 平面acd 又因为平面abc 平面acd ac 所以p ac 故直线eg fh ac相交于同一点 拓展提升 1 证明三点共线的方法 1 首先找出两个平面 然后证明这三点都是这两个平面的公共点 根据公理3可知 这些点都在两个平面的交线上 2 选择其中两点确定一条直线 然后证明另一点也在此直线上 2 证明三线共点的步骤 1 首先说明两条直线共面且交于一点 2 说明这个点在另两个平面上 并且这两个平面相交 3 得到交线也过此点 从而得到三线共点 变式训练 在长方体abcd a1b1c1d1中 o1是a1c1与b1d1的交点 长方体体对角线a1c交截面ab1d1于点p 求证 o1 p a三点在同一条直线上 解题指南 先确定平面ab1d1与平面aa1c1c的交线ao1 再用公理3证明点p在直线ao1上 证明 因为o1 平面ab1d1 o1 平面aa1c1c a 平面ab1d1 a 平面aa1c1c 所以平面ab1d1 平面aa1c1c ao1 又因为a1c 平面ab1d1 p 所以p 直线a1c p 平面ab1d1 所以p 平面aa1c1c 所以p 直线ao1 即o1 p a三点在同一条直线上 平面分割空间的个数 典型例题 1 两个平面可以把空间分成部分 2 三个平面可以把空间分成几部分 并画出相应图形 解析 1 当两平面没有公共点时 两个平面把空间分成3部分 当两平面有公共点时 两个平面把空间分成4部分 综上知 两个平面把空间分成3或4个部分 答案 3或4个 2 因为两个平面把空间分成3或4个部分 所以再用第三个平面截 有可能把空间分成4 6 7或8个部分 情况如下 拓展提升 平面分空间为几部分的思考方法 1 切入点 如何对平面的位置情况进行分类 2 思考点 平面平行的情况有几种 平面相交的情况有几种 3 基本思路 由一个平面开始 逐个增加平面的个数进行分析 易错误区 共面问题的判定中忽略特殊情况致误 典例 2013 太原高一检测 下列说法中正确的是 a 空间不同的三点确定一个平面b 空间两两相交的三条直线确定一个平面c 空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形d 和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内 解析 选d a错误 空间中共线的三点不能确定一个平面 b错误 空间两两相交的三条直线交于同一点时 无法保证确定一个平面 如图 1 过正方体一个顶点的三个面的交线交于一点即两两相交 c错误 空间中四个点不一定共面 有三个角为直角的四边形可能是空间图形 如图 1 空间四边形abcd1 d正确 如图 2 因为a b 所以a b可以确定一个平面 则a b 即l 因为b c 所以b c可以确定一个平面 则b c 即l 又b b 且l b b 由 过两条相交直线有且只有一个平面 推出 与 重合 推出a b c l共面 误区警示 防范措施 1 强化对公理条件的理解应用公理1 2 3证明或判断问题时 要特别注意公理的条件 如本例a选项中 不共线 与 共线 一字之差 结果完全不同 2 分析点 线 面之间的位置关系要全面对题目条件叙述的点 线 面之间的位置关系要全面考虑 如本例b选项中 三条直线两两相交有多种情况 3 利用常见几何模型举反例借助正方体 三棱锥 三棱柱等几何体举反例 可以很容易判断一些说法是否正确 如本例c选项中可借助正方体举空间四边形的例子 4 注意用重合法证明共面问题先证明有关的点 线确定平面 再证明其余元素确定平面 最后证明平面 重合 如本例d选项的做法 类题试解 下列判断中 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一条直线和一点确定一个平面 三角形和梯形一定是平面图形 三条互相平行的直线一定共面 其中正确的是 解析 错误 两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形 不一定是平行四边形 错误 当点在直线上时 无法确定一个平面 正确 三角形和梯形一定是平面图形 错误 三条互相平行的直线不一定共面 例如 三棱柱的三个侧棱 答案 1 给出下列说法 1 书桌面是平面 2 8个平面重叠起来 要比6个平面重叠起来厚 3 有一个平面的长是50m 宽是20m 4 平面是绝对平 无厚度 可以无限延展的抽象的数学概念 其中正确的有 a 1个b 2个c 3个d 4个 解析