高中数学 1.1.2导数的应用第2课时课件 苏教版选修22.ppt

第2课时导数的应用 课标要求 1 了解导函数的概念 理解导数的几何意义 2 会求导函数 核心扫描 1 函数y f x 在点 x0 y0 处的导数与函数y f x 图象在点 x0 y0 处的切线的斜率间的关系 重点 2 导函数的概念 难点 自学导引1 导数的几何意义函数y f x 在点x0处的导数f x0 的几何意义是 曲线y f x 上在点p x0 f x0 处的切线的斜率 试一试 过曲线y f x 上的某一点作曲线的切线有且只有一条吗 提示不一定 可能多条也可能不存在 如y x 在点 0 0 处无切线 又在如图所示的曲线中 过点a可作两条切线 2 导函数的概念若f x 对于区间 a b 内任一点都可导 则f x 在也随着自变量x的变化而变化 因而也是自变量x的函数 该函数称为f x 的导函数 记作f x 各点的 导数 想一想 f x0 与f x 的区别是什么 提示f x 是函数f x 的导函数 简称导数 是对一个区间而言的 它是一个确定的函数 依赖于函数本身 而与x0 x无关 f x0 表示的是函数f x 在x x0处的导数 是对一个点而言的 它是一个确定的值 与给定的函数及x0的位置有关 而与 x无关 名师点睛1 利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤 1 求出函数y f x 在x0处的导数f x0 2 根据直线的点斜式方程 得切线方程为y y0 f x0 x x0 注意 1 若曲线y f x 在点p x0 f x0 处的导数f x0 不存在 就是切线与y轴平行 f x0 0 切线与x轴正向夹角为锐角 f x0 0 切线与x轴正向夹角为钝角 f x0 0 切线与x轴平行 2 若题中所给的点 x0 y0 不在曲线上 首先应设出切点坐标 然后根据导数的几何意义列出等式 求出切点坐标 进而可求出切线方程 2 正确理解 函数f x 在点x0处的导数 导函数 导数 三者之间的区别与联系 1 函数在一点处的导数 就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量的比 当自变量的改变量无限趋近于0时 比值无限趋近于一个常数 它是一个数值 不是变量 2 导函数也简称导数 所以 3 函数y f x 在点x0处的导数f x0 就是导函数f x 在点x x0处的函数值 即f x0 f x x x0 所以求函数在一点处的导数 一般是先求出函数的导函数 再计算这点的导函数值 题型一求过曲线上一点的切线方程 例1 已知曲线y 2x2上的点 1 2 求过该点的切线的直线方程 思路探索 求出f x 在x 1处的导数f 1 由导数的几何意义写出切线方程 解决这类题 求出函数y f x 在点x0处的导数就是曲线在该点处切线的斜率 再由直线方程的点斜式便可求出切线的方程 应注意 导数的几何意义中所说的点应在曲线上 否则在该点处的导数不是斜率 变式1 求曲线c y x2 x过点p 1 2 的切线方程 题型二求函数的导函数 例2 求函数y x2 3x的导函数 思路探索 利用导数的定义求函数的导函数 利用导数的定义求函数的导数是求函数的导数的基本方法 此方法还能加深对导数定义的理解 而求某一点处的导数时 一般是先求出导函数 再计算这点的导数值 题型三导数的应用 例3 14分 将原油精炼为汽油 柴油 塑胶等各种不同产品 需要对原油进行冷却和加热 如果在第xh时 原油的温度 单位 为f x x2 7x 15 0 x 8 计算第2h和第6h时 原油温度的瞬时变化率 并说明它们的意义 审题指导通过瞬时变化率与导数的关系求解 在第2h与第6h时 原油温度的瞬时变化率分别为 3与5 它说明在第2h附近 原油温度大约以3 h的速率下降 在第6h附近 原油温度大约以5 h的速率上升 一般地 f x0 反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况 14分 题后反思 解决此类问题的关键是理解瞬时变化率即为导数 导数即为瞬时变化率 变式3 菊花 烟花是最壮观的烟花之一 制造时通常期望它在达到最高时爆裂 如果烟花距地面的高度h m 与时间t s 之间的关系式为h t 4 9t2 14 7t 18 0 t 3 9 求烟花在t 2s时距地面的高度的瞬时变化率 并解释它的实际意义 误区警示求曲线切线方程时 没有判断定点是否在曲线上而出现错误 示例 已知曲线y 2x2 7 求曲线过点p 3 9 的切线方程 点p 3 9 不是切点 不在曲线上 故切线斜率不是在x 3处的导数 将p 3 9 及y0 2x 7代入上式 得9 2x 7 4x0 3 x0 解得x0 2或x0 4 所以切点为 2 1 或 4 25 从而所求切线方程为8x y 15 0或1