中考数学 第二十讲 矩形、菱形、正方形配套课件 北师大版.ppt

第二十讲矩形 菱形 正方形 1 了解 矩形 菱形 正方形的概念 以及它们与平行四边形之间的关系 2 理解 矩形 菱形 正方形的性质和判别的推导 以及它们之间的区别与联系 3 掌握 利用矩形 菱形 正方形的性质和判别进行计算和证明 一 矩形的判别和性质 直角 直角 相等 直 相等 ab 中心 轴 1 有一个内角是 的平行四边形 定义 2 有三个角是 的四边形 3 对角线 的平行四边形 除具有平行四边形的性质外 还有 1 四个角都是 角 2 对角线 3 面积s a b表示长和宽 4 既是 对称图形 又是 对称图形 即时应用 1 已知一个矩形的长为3cm 宽为2cm 则其对角线长为 2 如图 矩形abcd中 abc的平分线交ad于点e 若ab 6 de 4 则矩形abcd的周长为 32 3 如图 矩形abcd中 对角线ac bd相交于点o 若 aob 60 ac 12 则ab 6 1 有一组邻边 的平行四边形 定义 2 四条边都 的四边形 3 对角线互相 的平行四边形 除具有平行四边形的性质外 还有 1 四条边都 2 两条对角线互相 每一条对角线 一组对角 3 面积s l1 l2表示两条对角线的长 4 既是 对称图形 又是 对称图形 二 菱形的判别和性质 相等 相 等 垂 直 相等 垂直平分 平分 中心 轴 即时应用 1 在菱形abcd中 ab 5cm 则此菱形的周长为 2 菱形的两条对角线长分别为10cm和6cm 则其面积为 3 如图 在菱形abcd中 ac为对角线 若 bcd 100 则 bca 20cm 30cm2 50 除具有平行四边形 矩形 菱形的性质外 还具有 1 对角线与边夹角为 2 面积s a表示边长 3 面积s l表示正方形对角线的长 三 正方形的判别和性质 直角 相等 相等 直角 相等 垂直 45 a2 1 有一个角是 一组邻边 的平行四边形 2 一组邻边 的矩形 定义 3 一个角是 的菱形 4 对角线 且 的平行四边形 即时应用 1 正方形的边长为6cm 则正方形的对角线为 2 如图 正方形abcd中 点e为对角线bd上一点 且be bc 则 bce 67 5 矩形的性质和判别 例1 2012 六盘水中考 如图 已知e是 abcd中bc边的中点 连接ae并延长ae交dc的延长线于点f 1 求证 abe fce 2 连接ac bf 若 aec 2 abc 求证 四边形abfc为矩形 思路点拨 1 abcd的性质 bae cfe aeb fec be ce abe fce 2 aec 2 abc ae be af bc 矩形abfc 自主解答 1 e是bc的中点 be ce 四边形abcd是平行四边形 ab df bae cfe 在 abe与 fce中 abe fce aas 2 aec abe bae aec 2 abc abe bae ae be abe fce ae ef be ce ae ef be ce 且af bc 四边形abfc为矩形 对点训练 1 2011 绵阳中考 下列关于矩形的说法中正确的是 a 对角线相等的四边形是矩形 b 对角线互相平分的四边形是矩形 c 矩形的对角线互相垂直且平分 d 矩形的对角线相等且互相平分 解析 选d 矩形具有平行四边形的性质 所以矩形的对角线互相平分 根据矩形的性质 又知矩形的对角线相等 所以矩形的对角线相等且互相平分 2 2012 黔东南中考 如图 矩形abcd边ad沿折痕ae折叠 使点d落在bc上的f处 已知ab 6 abf的面积是24 则fc等于 a 1 b 2 c 3 d 4 解析 选b 由 abf的面积是24 可得bf ab 24 即bf 6 24 所以bf 8 所以由勾股定理可得由折叠可知ad af 10 因为四边形abcd为矩形 所以bc ad 10 所以cf bc bf 10 8 2 3 2011 佛山中考 在矩形abcd中 两条对角线ac bd相交于点o 若ab ob 4 则ad 解析 由于矩形abcd的两条对角线ac bd相交于点o 所以oa ob 而ab ob 4 所以 aob是等边三角形 所以在rt abd中 由勾股定理 得答案 4 2012 盐城中考 如图 在四边形abcd中 已知ab dc ab dc 在不添加任何辅助线的前提下 要想该四边形成为矩形 只需再加上的一个条件是 填上你认为正确的一个答案即可 解析 由题知四边形abcd为平行四边形 再根据有一角为90 的平行四边形为矩形可得结论 答案 a 90 或 a b或 a c 180 菱形的性质和判别 例2 2012 梅州中考 如图 已知 abc 按如下步骤作图 分别以a c为圆心 以大于ac的长为半径在ac两边作弧 交于两点m n 连接mn 分别交ab ac于点d o 过c作ce ab交mn于点e 连接ae cd 1 求证 四边形adce是菱形 2 当 acb 90 bc 6 adc的周长为18时 求四边形adce的面积 思路点拨 1 由作法知 mn为ac的垂直平分线 ao oc ce ab aod coe od oe 菱形adce 2 acb 90 od bc od为 abc的中位线 od 3 ao ad 9 ao 4 菱形面积 自主解答 1 由题意可知直线de是线段ac的垂直平分线 ac de 即 aod coe 90 且ao co 又 ce ab 1 2 aod coe od oe 四边形adce是菱形 2 当 acb 90 时 od bc 又ao co od bc 又 bc 6 od 3 又 adc的周长为18 ad ao 9 即ad 9 ao 可得ao 4 s四边形adce ac de 24 对点训练 5 2012 威海中考 如图 在 abcd中 ae cf分别是 bad和 bcd的平分线 添加一个条件 仍无法判断四边形aecf为菱形的是 a ae af b ef ac c b 60 d ac是 eaf的平分线 解析 选c 由题意易证四边形aecf是平行四边形 再由菱形的判定方法知a b选项都可判定四边形aecf是菱形 而d选项中ac是 eaf的平分线易证ae af 故也能判定四边形aecf是菱形 c选项不能判断四边形aecf是菱形 6 2011 益阳中考 如图 小聪在作线段ab的垂直平分线时 他是这样操作的 分别以a和b为圆心 大于ab的长为半径画弧 两弧相交于c d 则直线cd即为所求 根据他的作图方法可知四边形adbc一定是 a 矩形 b 菱形 c 正方形 d 等腰梯形 解析 选b 由小聪的作法知ac ad bd bc 根据四条边都相等的四边形是菱形可知四边形adbc一定是菱形 7 2011 聊城中考 已知一个菱形的周长是20cm 两条对角线的比是4 3 则这个菱形的面积是 a 12cm2 b 24cm2 c 48cm2 d 96cm2 解析 选b 因为菱形的周长为20cm 所以其边长为5cm 设其对角线分别为4xcm和3xcm 根据题意得 2x 2 x 2 52 解得x 2 取正值 因此对角线的长分别是8cm和6cm 所以其面积为24cm2 8 2011 龙岩中考 如图 菱形abcd周长为8cm bad 60 则ac cm 解析 根据题意可得 ac bd且ac与bd相互平分 即ao oc ac 在rt aod中 dao bad 30 ad 2cm 故ao cm 所以ac 2ao cm 答案 高手支招 关于菱形的计算问题 经常放在菱形被对角线分割成的等腰三角形或直角三角形中解决 而在由两条对角线的一半和菱形的边长所构成的直角三角形中利用勾股定理求解更是计算菱形中的有关线段长度的常用方法 正方形的性质和判别 例3 2011 肇庆中考 如图 在正方形abcd中 e为对角线ac上一点 连接eb ed 1 求证 bec dec 2 延长be交ad于点f 若 deb 140 求 afe的度数 思路点拨 1 正方形的性质 边相等 角相等 全等 2 bec dec dec的度数 aef的度数正方形的对角线平分角 adc的度数 afe的度数 自主解答 1 四边形abcd是正方形 cd cb ac是正方形的对角线 dca bca 又ce ce bec dec 2 deb 140 由 bec dec可得 dec bec 140 2 70 aef bec 70 又 ac是正方形的对角线 dab 90 dac bac 90 2 45 在 aef中 afe 180 70 45 65 对点训练 9 2011 泰安中考 如图 边长为6的大正方形中有两个小正方形 若两个小正方形的面积分别为s1 s2 则s1 s2的值为 a 16 b 17 c 18 d 19 解析 选b 大正方形的边长为6 所以面积为s1的正方形的边长为3 故s1 9 设面积为s2的正方形边长为x 则有解得因此s2 8 故s1 s2 17 10 2010 孝感中考 已知正方形abcd 以cd为边作等边 cde 则 aed的度数是 解析 如图1 当点e在正方形abcd外时 在 ade中 ad de ade 90 60 150 所以 aed 180 150 15 如图2 当点e在正方形abcd内时 在 ade中 ad de ade 90 60 30 所以 aed 180 30 75 答案 15 或75 11 2012 黄冈中考 如图 在正方形abcd中 对角线ac bd相交于点o e f分别在od oc上 且de cf 连接df ae ae的延长线交df于点m 求证 am df 证明 在正方形abcd中 ao do oc ac bd aoe dof 90 oae aeo 90 又 de cf oe of aoe dof aeo dfo oae dfo 90 amf 90 am df 创新命题 特殊图形中面积的探索题目 例 2011 鸡西中考 如图 abc是边长为1的等边三角形 取bc边中点e 作ed ab ef ac 得到四边形edaf 它的面积记作s1 取be中点e1 作e1d1 fb e1f1 ef 得到四边形e1d1ff1 它的面积记作s2 照此规律作下去 则s2011 解题导引 首先计算出 abc的面积 进而计算出s1 s2 s3 然后根据得出的结果 找出其中的变化规律 从而确定s2011的值 规范解答 先求出 abc的面积是 则s1的面积是 bef的面积是则s2的面积是 1 继续求出s3的面积是 2 就可以看出规律了 sn n 1 由此规律 s2011 2010 答案 2010 名师点评 通过对特殊图形中面积的探索试题的分析和总结 我们可以得到以下该类型题目的创新点拨和解题启示 1 2012 安徽中考 为增加绿化面积 某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖 更换后 图中阴影部分为植草区域 设正八边形与其内部小正方形的边长都为a 则阴影部分的面积为