（工程力学专业论文）泊松白噪声激励下几类非线性系统的响应与可靠性.pdf

摘要 本论文研究泊松白噪声激励下几类非线性系统的响应与可靠性。 第二章中，针对泊松白噪声激励的多自由度耗散的哈密顿系统，用摄动法 求解其对应的四阶广义f p k 方程，得到基于高斯白噪声激励情形精确解的近似 平稳解析解。通过与高斯白噪声激励下系统平稳响应的对比，证实了脉冲平均 到达率和系统弛豫时间的乘积对响应非高斯特性的决定性作用。 第三章中，研究了分别在泊松白噪声外激和参激下的两自由度弹性碰撞振 动系统，通过摄动法求解广义f p k 方程，并引入协调参数成功解决了由于模型 的接触刚度分段特性所导致的摄动解不连续问题，得到了平稳响应的近似概率 密度函数，并归纳了一些有意义的结论。捕捉了在有界噪声下振幅发生跳跃现 象 第四章中提出了一种脉冲型的随机生态捕食模型，引入泊松白噪声来刻画 环境的随机扰动，采用广义胞映射法进行全局分析，得到了物种的瞬态和稳态 人口分布规律，并通过可靠性分析求得了在外界扰动下物种从平衡分布到濒临 生态危机所历经时间的概率分布，特别考察了物种内竞争系数和泊松白噪声平 均到达率的作用。通过将提出的模型与传统的高斯模型的对比， 首次得到了许 多有意义的结论，这将有助于更深入地理解和发现自然界中的生态规律。 以上解析研究均通过与m o n t ec a r l o 模拟的对比得到了验证。 关键词：多自由度非线性系统，泊松白噪声，响应，可靠性 a b s t r a c t t h er e s p o n s ea n dr e l i a b i l i t yo fs e v e r a lc l a s s e so fn o n l i n e a rs y s t e m st op o i s s o n w h i t en o i s e sa r ei n v e s t i g a t e di nt h ep r e s e n td i s s e r t a t i o n i nc h a p t e r2 ，t h ea p p r o x i m a t es t a t i o n a r yp r o b a b i l i t yd e n s i t yf u n c t i o na n d m e a ns q u a r ev a l u ef o rt h er e s p o n s eo fm u l t i - d e g r e e - o f - f r e e d o md i s s i p a t e dh a m i l - t o n i a ns y s t e m st op o i s s o nw h i t en o i s e sa r eo b t a i n e db ys o l v i n gt h ef o u r t h - o r d e r g e n e r a l i z e df o k k e r - p l a n c k - k o l m o g o r o ve q u a t i o nu s i n gp e r t u r b a t i o na p p r o a c h i n c o m p a r i s o nw i t ht h eg a u s s i a ne x c i t a t i o nc a s e ，i ti ss h o w nt h a tt h en o n - g a u s s i a n b e h a v i o rd e p e n d so nt h ep r o d u c to ft h em e a na r r i v a lr a t eo ft h ei m p u l s e sa n d t h er e l a x a t i o nt i m eo ft h eo s c i l l a t o r i nc h a p t e r3 ，2 - d e g r e e - o f - f r e e d o me l a s t i cv i b r o - i m p a c ts y s t e m su n d e re x t e r - h a la n dp a r a m e t r i cp o i s s o nw h i t en o i s ee x c i t a t i o n s ，r e s p e c t i v e l y , a r ei n v e s t i g a t e d t h es o l u t i o no ft h eg e n e r a l i z e df p ke q u a t i o ni so b t a i n e dv i ap e r t u r b a t i o na p - p r o a c h ac o n f o r m i n gc o e f f i c i e n ti si n t r o d u c e dt oo v e r c o m et h ei n c o m p a t i b l e c h a r a c t e r i s t i c so fp d fc a u s e db yp i e c e w i s ep r o p e r t yo ft h ec o n t a c tf o r c e t h e a p p r o x i m a t ep r o b a b i l i t yd e n s i t yf u n c t i o no fs t a t i o n a r yr e s p o n s ei so b t a i n e da n d s o m eu s e f u lc o n c l u s i o n sa r em a d e t h es t o c h a s t i cj u m pa n di t sb i f u r c a t i o no f v i b r o - i m p a c ts y s t e mt ob o u n d e dn o i s ea r eo b s e r v e d i nc h a p t e r4 ，as t o c h a s t i cl o t k a - v o l t e r r am o d e l ，as o - c a l l e dp u l s e - t y p em o d e l ， f o rt h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nt w os p e c i e sa n dt h e i rr a n d o mn a t u r a le n v i r o n m e n t i si n v e s t i g a t e d t h ee f f e c to fd i s c r e t er a n d o mf l u c t u a t i o n si sm o d e l e da sp o i s - s o nw h i t en o i s e t h eg e n e r a l i z e dc e l lm a p p i n gm e t h o di sa p p l i e dt oc a l c u l a t e t h ep r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n so ft h es p e c i e sp o p u l a t i o n sa tt h es t a t eo fs t a t i s t i c a l q u a s i - s t a t i o n a r y t h et i m ee v o l u t i o no ft h ep o p u l a t i o nd e n s i t i e si ss t u d i e da n d t h ep r o b a b i l i t yo ft h en e a re x t i n c t i o nt i m e ，f r o ma ni n i t i a ls t a t et oac r i t i c a ls t a t e ， i so b t a i n e d t h ee f f e c t so nt h ee c o s y s t e mb e h a v i o r so ft h ep r e ys e l f - c o m p e t i t i o n t e r ma n do ft h ep u l s em e a na r r i v a lr a t ea r ea l s od i s c u s s e d o u rr e s u l t si n d i c a t e t h a tt h ep r o p o s e dp u l s e - t y p em o d e ls h o w so b v i o u s l yd i s t i n g u i s h a b l ec h a r a c t e r - i s t i c sf r o mt h eg a u s s i a n t y p eo n e ，a n dm a yc o n f e ras i g n i f i c a n ta d v a n t a g ef o r 堡 泊松白噪声激励下几类非线性系统的响应与可靠性 m o d e l i n gt h ep r e y - p r e d a t o rs y s t e mu n d e rd i s c r e t ee n v i r o n m e n t a lf l u c t u a t i o n s t h ew o r kr e p o r t e dm a ym a k et h ep i c t u r em o r ec l e a r l yf o rp r e y - p r e d a t o rs y s t e m s u n d e rd i s c r e t ef l u c t u a t i o n s t h e v a l i d i t yo ft h ep r o p o s e da p p r o a c h e si sc o n f i r m e db yu s i n gt h er e s u l t 湛 o b t a i n e df r o mm o n t ec a r l os i m u l a t i o n s k e y w o r d s ：m u l t i - d e g r e e - o f - f r e e d o mn o n - l i n e a rs y s t e m ，p o i s s o nw h i t en o i s e ， r e s p o n s e ，r e l i a b i l i t y 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得滥姿盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 禹签字眺2 唠年历月2 俨日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解逝姿盘鲎有关保留、使用学位论文的规定，有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本 人授权逝婆盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) t 、，1 学位做作者签名：关岛导师签名：缮易锹l 签字日期：沙孑年幺月矿日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： e m a i l 地址： 签字日期：力乃睁t 月2 f 日 电话： 邮编： 1 1 研究意义 第一章绪论 在自然、工程及社会中广泛存在着非线性随机动力学现象。在物理、化学、 生物学中，由于随机激励与非线性的相互作用，随机激励对动力学系统演化往 往起着决定性作用。随机激励是多样的，按照概率密度分布规律，可划分为高 斯随机激励和非高斯随机激励；其中高斯随机激励研究得较多，数学理论较为 成熟，应用范围也较为广泛。在相当长时间里，在随机振动与可靠性研究中，常 假设系统所受随机激励服从高斯分布，一方面是因为许多随机激励确实接近于 高斯分布，另一方面则为了简化线性与非线性系统的随机响应预测与可靠性估 计。随着生产的发展和研究的深入，工程师们发现在很多情况下，基于高斯假 设的随机模型得到的分析结论与实际情况差距较大，甚至与客观现实发生了严 重的偏离。用高斯假设预测线性与非线性系统的随机响应，特射是可靠性是不 可接受的。因此，非高斯随机激励下线性与非线性系统的响应预测与可靠性估 计的研究具有十分重要的科学价值与广阔的应用前景，并日益成为一个充满挑 战的前沿基础研究领域。 进行本研究是顺应国际基础科研发展新趋势，近2 0 年来，非高斯随机激励 日益成为国际上的研究热点。1 9 9 9 年1 月4 日8 日在印度马德拉斯( m a d r a s ) 印 度工学院内召开的国际理论与应用力学联合会关于非线性与随机结构动力学讨 论会( i u t a ms y m p o s i u mo i ln o n l i n e a r i t y s t o c h a s t i cs t r u c t u r a ld y n a m i c s ) 上，与会的十几国的权威、专家们达成共识：非高斯激励和多自由度系统是非 线性随机结构动力学在二十一世纪的重点发展方向。最近几年国际非线性随机 动力学研究实践证明，正有愈来愈多的科研机构和工作者不断加入该研究领域， 不论是论著的数量还是引用次数均大幅增长，其中主要的贡献来自欧美、日本 的科学家们。 进行本研究同时也是基于应用领域的迫切需求。其工程背景是显而易见的， 一大类随机振源本质上是非高斯的。比较典型的有两类激励，一是离散的随机 脉冲列，例如与涡旋有关的突风，飞机尾翼所受下洗载荷，由强地震或冲击波 引起的地面运动加速度，作用在船舶龙骨或海洋平台等离岸结构上的浪击载荷， 2泊松白噪声激励下几类非线性系统的响应与可靠性 运动车辆对高速公路桥梁的交通载荷，地面或轨道凹凸不平对运动车辆的作用， 工程机械包括挖掘机、轧碎机等所受的冲击载荷，等等；第二类重要的非高斯 随机激励是单个或多个有界噪声( 具有随机频率与相位的谐和函数) ，它是地面 湍流、两相流中的团状流动及空间无序的运动参激等的模型；此外，非高斯随 机激励还有谐和与高斯自噪声的组合激励，与速度平方成比例的水动与气动载 荷，等等。 非高斯随机激励的非线性随机动力学不仅能指导工程应用，也有希望在经 济、金融、物理、生物、化工等领域找到用武之地。例如，非高斯模型已日益 成为经济和金融领域的研究热点。金融市场的发展、新兴市场的崛起对传统的 高斯分布模型提出了质疑与挑战，股票市场中固有的跳跃现象( 随着我国计划 中的股指期货的推出，这一现象将更得到显著的体现) 【l l ，金融资产收益率 的渐近分布中存在的显著区别于高斯分布的非对称性与高峰度现象( 肥尾现 象f a t l s ) 等 2 】，都使非高斯随机过程模型成为模拟金融市场和更一般经济 系统的必由之路，应运而生的诸如利率d a s 跳跃模型【3 l j 期权定价的跳跃扩散 的m e r l ；o n 模型 4 1 等，均是前瞻而有效的尝试。 生态系统是近年来的热门研究领域，其中l o t k a - v o l t e r r a 捕食模型自上世 纪二十年代提出以来，就一直凭借其简洁实用性而葆有旺盛的生命力。近百年 来，各国学者对其进行了持续地深入地研究，并通过对原始模型的不断改进， 丰富了其生态学内涵，揭示了物理学现象。该模型是一对耦合的常微分方程组； 过去，自然环境对物种生存的影响通常以高斯白噪声的形式体现在模型中。然 而，这一传统模型仅刻画了连续的随机扰动，对于自然界中普遍存在的宏观时 间尺度上的离散事件的扰动( 如环境污染、自然灾害、降雨等) 对生态系统的影 响，则不能有效地描述。因此，客观上要求将非高斯随机激励引入该模型，从而 使其更真实的模拟客观现实。 总之，系统深入地研究非高斯随机激励下多自由度非线性系统的响应预测 与可靠性估计是大势所趋，既是机遇，也是挑战。 1 2 国内外发展概况 在非线性系统对非高斯随机脉冲列的响应领域，近二十年来进行了大量 研究，其中尤以美国、意大利、英国、丹麦、波兰、德国等国学者的成果值得 称道。d ip a o l a 研究了过滤泊松脉冲激励下的线性系统【5 】他与f a l s o n e 将高 第一章绪论 3 斯白噪声激励情形的i t 6 微分规则推广至泊松白噪声激励情形f 6 1 和q 平稳列 维( l d v y ) 白噪声激励情形【7 l ，他和p i r r o t t a 重新推导了泊松白噪声激励下随 机微分方程的s t r a t o n o v i c h 修正项和广义f o k k e r - p l a n c k 方程f 8 f ，并与v a s t a 利 用特征函数得到了列维白噪声激励的单自由度非线性系统响应f 9 l 。v a s t a 得 到了简支梁在轴向和横向泊松白噪声激励下的近似响应概率密度函数【1 0 1 。 r o b e r t s 最先提出用摄动法求解f o k k e r - p l a n c k 方程并应用于线性系统【1 1 】， c a i 和l i n 将该方法改进并推广到单自由度非线性系统f 1 2 l ，并发展了用已知 一阶概率密度函数和谱密度生成非高斯平稳随机过程的方法f 1 3 l 。p r i m a k ， l y a n d r e s 和k o n t o r o v i c h 提出一种办法来构建基于给定概率密度函数和相关函 数的复合非高斯随机过程【1 4 ，z s 。f r i e d r i c h 等通过叠加不同方差的高斯分布给 出了广义k r a m e r s - f o k k e r - p l a n c k 方程的精确解f 1 6 ，1 7 。t y h k o w s k i ，m a r o w s k i 和g r i g o r i u 等人将等效线性化法应用于泊松白噪声f 1 8 ，1 9 】和列维自噪声【2 0 l 激励的单自由度非线性系统。1 w a n k i e w i c z ，n i e l s e n 和k 6 y l u 嚏l u 等【2 l l 发展了 随机脉冲激励的非线性系统的矩方程截断近似法f 2 2 l 、p e t e r o v - g a l e r k i n 法f 2 3 和胞映射法【2 4 ，2 5 1 。g r i g o r i u 提出了一种求解响应特征函数所满足的偏微分方 程的方法 2 6 1 。朱位秋等指出这些方法的有效性依赖于脉冲的平均到达率和系 统的维数f 2 7 1 。尽管已经取得较大进展，但由于非高斯本征而无法回避的数学 困难，目前仅得到一些极为特殊情况下的一维系统的精确平稳解f 2 8 ，2 9 】，对二 维以上情形一般只能考虑近似解。 在非线性系统对有界噪声的响应与可靠性研究方面，c a i 等用数字模拟 法研究了单自由度系统的响应与可靠性【3 0 】。戎海武等用多尺度法研究了单、 双自由度系统的响应【3 1 】。朱位秋与合作者发展了有界噪声激励下拟可积哈密 顿( h a m i l t o n ) 系统的随机平均法 3 2 ，3 3 1 ，研究了杜芬振子在有界噪声激励下 的随机跳跃及其分岔 3 4 1 ，研究了杜芬振子、单摆及单摆与谐振子在有界噪声 激励下的同、异宿分岔与混沌 3 s - 3 z ，研究了有界噪声激励的强非线性振子的 最优反馈控制3 8 。 由上可知，即便对非高斯激励模型进行了相当的简化，迄今研究仍基本上 局限于对线性系统或单自由度非线性系统的响应预测。诸如多自由度非线性系 统对随机脉冲列的响应预测，非线性系统对随机脉冲列的稳定性、可靠性，多 自由度非线性系统对有界噪声激励的稳定性、可靠性等都是亟待解决的难题。 4泊松白噪声激励下几类非线性系统的响应与可靠性 1 3 泊松白噪声 一类重要而典型的非高斯噪声是在时间上离散分布的随机脉冲激励，而作 为与之相应的常用的物理模型，泊松白噪声刻画了在随机时刻到达的幅值满足 特定分布的脉冲列，相较高斯白噪声，提供了对离散的事件型扰动的更贴近真 实的描述，因而近年来在工程、物理、生物、金融、经济等领域得到了日益广泛 采纳和研究。 在介绍泊松自噪声( p o i s s o nw h i t en o i s e ) 之前，先引入泊松计数过 程( p o i s s o nc o u n t i n gp r o c e s s ) 、过滤泊松过程( f i l t e r e dp o i s s o np r o c e s s ) 、复 合泊松过程( c o m p o u n dp o i s s o np r o c e s s ) 【3 9 l 。 1 3 1 泊松计数过程 令 ( t ) ，t o ) 为强度a ( t ) 0 的非时齐泊松计数过程，其在时间区间 ( 0 ，t ) 内发生n 次泊松事件的概率为： p ( ( 力：n ) ：【星三罢兰堕e 一片 c 曲幽，n 二。，1 ，2 ， ( 1 1 ) 同时，n ( t ) 在不重叠的时间区间上的增量是独立的，即若t s 让 t ，则 ( t ) 一( s ) 与心) 一n ( v ) 是相互独立随机变量。 如果x ( t ) = a 为常数，则 ( t ) ，t o ) 是时齐过程，其增量过程不仅独立， 而且平稳，有 p ( ( 亡) ：他) ：g 芋e 一沁， n ：o ，1 ，2 ， ( 1 2 ) 对足够小时间间隔a t ，满足a a t 1 ，则在( t ，t + a t ) 内无泊松事件到达 的概率为e x p ( - a a t ) ，可近似为l a a t 。因此有p ( n ( a t ) 0 ) = a a t 。事实 上，由式( 1 2 ) 可知，在时间区间( t ，t + a t ) 内发生k 1 次泊松事件的概率是 ( a a t ) 七阶，故略去高阶小量，有近似关系p ( n ( a t ) = 1 ) 竺a a t 。 泊松计数过程有一些重要的性质，它们是下一节中数值模拟泊松白噪声的 理论依据。 首先，令t 为连续泊松事件之间的时间间隔，对时齐泊松计数过程 ( t ) ，t 0 ) ，t 满足参数为a 的指数分布，p ( t t ) = p ( n ( t ) = 0 ) = 第一章 绪论 5 唧( 一a t ) 。据此可通过生成均值为1 a 的指数分布随机数序列样本作为泊松事 件的发生时刻序列。 其二，无序的泊松事件的联合条件概率密度函数为： ， n ，t 如嗝刊： 娶n s d ( zn s k n ( 1 3 ) l1 矿， 入= c o n s t a n t 可见它们相互独立，对时齐泊松计数过程而言，它们还是均匀分布的。 1 3 2 过滤泊松过程 过滤泊松过程常被用来模拟保险公司的理赔、河床上的石块的迁移、布朗 运动、星系的分布、排队系统、计数器对辐射粒子的计数、系统的损伤增长、风 载荷、地震、交通载荷和非高斯自噪声等【4 呲3 l 。它刻画了在泊松时刻到达的 具有随机大小幅值和随机( 或确定) 形函数的脉冲，如下式： 即，博鼍 2 v ( t ) = 0 ( 1 4 ) 2 v ( t ) 0 式中， ( t ) ，t o 是强度为入( 亡) 的非时齐泊松计数过程； k ) 为独立均一分 布随机变量，代表脉冲的幅值； 亿) 是随机泊松事件发生的时刻；钮( t ，- r , 3 ，) 是 形函数，可以看成系统受到r 时刻到达的大小为箩的脉冲之后，在时刻t 的响 应，形函数取不同的形式，将衍生出多种特殊过程，例如q 平稳过程和下面将 介绍的复合泊松过程。过滤泊松过程x ( t ) 可视为传递函数为协的滤波器，受到 住 时刻到达的随机脉冲列【k 激励，在时刻亡的响应。其特征函数为： 锹( “钍) = e 支p z e 细( 1 缸钮( t ，q ，k ) ) 一1 1 入 ) 如) 式中纠】是数学期望算符。累积量函数为： 州归f e m ，q ，y ) 】r ) 如 ( 1 5 ) ( 1 6 ) 6泊松自噪声激励下几类非线性系统的响应与可靠性 1 3 3 复合泊松过程 在式( 1 4 ) 中，若形函数埘是h e a v i s i d e 阶跃函数： ， 叫c t ，l 们= u 一丁，= ：三： c 1 7 ) 且 ( ) ，t o ) 是时齐的，则x ( t ) 成为复合泊松过程c ( t ) - f 0 ，n ( t ) = 0 以d = 1 篓堋t 一之) 邯) 。 o 名 其，阶累积量为： ，霉 x r ) = e 阱】【矽 一q ) j r a ( 口如h = e 【w 】a ( q ) d q = 她e 阱j ( 1 9 ) 0j 0 最后一个等号当0 ) 为时齐时成立。 复合泊松过程是独立增量过程，其增量d c 如) = c ( t j + d t ) 一c ( t j ) 的相关 函数为 。 r ( r ) d c ( t 1 ) ，配( t 2 ) ，d c ( t r ) l = a e 【w 】6 ( t 2 一t 1 ) 6 似一t 1 ) 出1 d r 2 出r ( 1 1 0 ) 由随机过程的相关函数和矩之间的关系，并略去高于疵阶次的小量，有如 下关系式 e 【( t i c ( t ) ) 7 】= 入e 旷l 疵( 1 1 1 ) 1 3 4 泊松白噪声过程 泊松白噪声则是随机脉冲列的数学模型，随机脉冲常见于地震地面加速度、 车辆载荷、风浪载荷、机械冲击等实际现象中。一般直观地认为，当随机脉冲的 持续时间比系统松弛时间短得多，且脉冲到达时间组成一个平均到达率为常数 的泊松过程，则脉冲列成为泊松白噪声。 从数学上看，泊松白噪声是一种平稳白噪声。平稳白噪声是在二阶矩意义 上定义的具有常数功率谱密度和d i r a c6 协方差函数【4 l ，4 2 ，4 4 ，4 5 】的随机过 程。通常可以将其定义为如下形式导数： o ( t ) = 杀l c t ) ( 1 1 2 ) 第一章绪论 7 式中l ( t ) 是平稳正交增量过程，它在均方意义上是不可导的，仅在广义随机过 程理论的框架下成立【4 6 ，4 7 】。当l ( t ) 取如式( 1 8 ) 的复合泊松过程时，f ( t ) 成 为泊松白噪声： f0 ，( t ) = 0 “力。1 n c t ) 圳h ) ，邢) 。 o j 3 式中6 是d i r a c 艿函数。 泊松白噪声是一种6 相关过程。所谓6 相关过程，是非高斯白噪声模型，其 任意n 2 阶累积量函数形如： x n ( t 1 ，t r ) = k ( t 1 ) 6 ( 亡2 一t 1 ) 6 ( t n t 1 )( 1 1 4 ) 式中k ( t 1 ) 是累积量的强度，对平稳过程，它不随时间变化( t 1 ) = 辞。6 相关 过程有无穷阶矩。 泊松白噪声的r 阶累积量函数为： x r ( t ) = e y 1 r 1 陋o q ) l r a ( q ) d a = x ( t ) e y 】= 入e 【玎】： ( 1 1 5 ) 最后一个等号由于n ( t ) 为时齐，故成立。由( 1 1 4 ) 和( 1 1 5 ) 可得如下关系【4 7 - 辟( 芒) = a ( t ) e 【埒】 ( 1 1 6 ) 其相关函数为【4 8 1 r 0 - ) 陈( t 1 ) ，专( t 2 ) ，( 0 ) l = 糟【w 】6 ( t 2 一t x ) 占( 0 一t 1 ) ；( 1 1 7 ) 考虑极限情况，泊松白噪声强度a e y 2 】为常数的前提下，当平均到达率入 趋于无穷大，此时，( 1 1 5 ) 中高于二阶的累计量都是高阶小量，趋于零，此时泊 松白噪声趋于高斯白噪声，这一点也可通过对特征函数的分析得到证明f 3 9 】。 在本文中，我们仅考虑泊松白噪声强度a e 旷2 1 为常数的情况。 1 4m o n t ec a r l o 数值模拟 m o n t ec a r l o 方法，也称为计算机数值模拟方法，作为一种通用而有效的 统计实验计算法，得到广泛采用。 8 泊松白噪声激励下几类非线性系统的响应与可靠性 这一方法源于1 7 7 7 年法国蒲丰( b u f f o n ) 提出的用投针实验的方法求圆周 率万，即蒲丰投针问题。第二次世界大战时美国著名的“曼哈顿计划 中应用 了这一随机模拟方法，该计划的主要参与人之一、被誉为“计算机之父”的数 学家冯诺伊曼( j o h nv o nn e u m a n n ) 用驰名世界的赌城一一摩纳哥的m o n t e c a r l o 来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。 这一方法的基本思想是，为了求解数学、物理、工程技术以及生产管理等 方面的问题，首先建立一个概率模型或过程的观察或抽样试验来计算所求参数 的统计特征，最后给出所求解的近似值。而解的精确度可用估计值的标准误差 来表示。 m o n t ec a r l o 方法可以解决各种类型的问题，但总的来说，视其是否涉及 随机过程的性态和结果，用m o n t ec a r l o 方法处理的问题可以分为两类：第一 类是确定性的数学问题，计算多重积分、求逆矩阵、解线性代数方程组、解积分 方程、解某些偏微分方程边值阀题和计算微分算子的特征值等都属于这一类； 第二类是随机性问题，一般采用直接模拟方法，即根据实际物理情况的概率法 则，用电子计算机进行抽样试验，本文用到的就属这一类。 1 4 1 高斯白噪声的m o n t ec a r l o 模拟 数值模拟的高斯白噪声只能是具有一定上截止频率的限带白噪声，但只要 在比系统带宽宽得多的频带上具有平坦的谱密度，就可满意地把它当作理想白 噪声【4 6 1 。 多数计算机语言都提供了随机函数，调用它就可以产生【0 ，1 】之间均匀分布 的独立随机数u ( o ，1 ) ，由u ( 0 ，1 ) 产生标准正态分布随机数u ( 0 ，1 ) 9 用下式变换 厶+ 12 、- 2l nt k + 1c o s2 z t k + 2 乳+ 22 、一2i n 仉+ 1s i n2 z r k + 2 ( 1 1 8 ) 七= l ，2 ， 式中啦一v ( 0 ，1 ) ，靠一( 0 ，1 ) 。 一种简单而有效的模拟高斯白噪声过程的方法是由独立的单位正态随机序 列靠连接而成： 靠= 、2 d t 靠， 七= 1 ，2 ， ( 1 1 9 ) 式中2 d 为高斯白噪声的激励强度。由于正态随机数的独立性，当a t 很小时， 所构成的过程的相关时间很短，从而具有很高的上截止频率。 第一章绪论 9 k l 气- 2气d气f t + l气+ 2 i 1 _ j k 缸 气2气d气f t “ i - j at厶l厶l ( 1 ) d i r a c6 脉冲模型( b ) 矩形脉冲模型 图1 1 ：两种常用脉冲模型。 1 4 2 泊松白噪声的m o n t ec a r l o 模拟 泊松白噪声的生成包括两个要素，即脉冲到达时刻组成的泊松序列 死) 和 脉冲的幅值序列 r d 。若时齐泊松计数过程的平均到达率为入，如1 3 1 节所 述， 死) 序列的相邻脉冲之间的时间间隔序列满足均值为i l a 的指数分布，即： 住= 一i n u ( 1 2 0 ) 式中缸是【0 ，1 】均匀分布的随机变量。而脉冲幅值序列 k ) 的模拟，比较常用 的有两种模型，其一是如图1 1 ( a ) 所示的d i r a c6 模型【6 l ，另一是如图1 1 ( b ) 所 示的矩形脉冲模型。前者更契合物理实际，后者则便于编程，本文m o n t ec a r l o 模拟均采用d i r a c6 模型。 通过对运动方程的数值积分可得到系统响应。需要注意的是，为了使数值 模拟的结果满足s t r a t o n o v i c h 白噪声的定义，需遵循如下要点。对运动微分方 程： 毒( t ) = f ( t ，z ( t ) )( 1 2 1 ) 如果在积分时间步长t i = t 一t i - 1 内存在一个强度为磙的d i r a e6 脉冲( 如图 1 1 ( a ) 所示) ，则采用二阶龙格一库塔法( r u n g e - k u t t am e t h o d ) 的一种常用积 分格式一中点公式： z ( 如) = x ( t i 一。) + 屯，( t t 一1 + 去屯z ( t t - d + 三屯，( t 一，z ( t t 一。) ) ) ( 1 2 2 ) 1 0 泊松白噪声激励下几类非线性系统的响应与可靠性 以保证与s t r a t o n o v i c h 物理白噪声的表述相符( 事实上，对非线性系统，这只是 一种近似，同时要求积分步长氐趋于零) 。而其他没有脉冲到达的时间步则采 用经典四阶龙格一库塔法。 为保证模拟的泊松白噪声的谱密度尽量接近常数从而逼近真实白噪声，积 分步长必须远小于系统的弛豫时间，同时，d i r a c 引球冲的持续时间也应该尽可 能短，然而，减小积分步长，在提高模拟精度的同时，随之而来的是计算代价的 提高，因而需要在二者之间取得平衡。 本文中的所有m o n t ec a r l o 模拟，时间步长均为无量纲化后的时间尺度，其 中高斯白噪声的步长采用o 0 1 ，而泊松白噪声的脉冲持续时间为0 0 0 0 1 ，积分 步长分为大小两级，分别为o 0 l 和0 0 0 0 1 ，没有脉冲发生的积分步采用大步长， 当判断有脉冲到达时，则将该积分步细分为1 0 0 个小步长积分步，从而在保证精 度的同时尽量提高计算效率，实践表明，脉冲越稀疏，两级步长法的计算优势越 显著。 1 5拟不可积哈密顿系统精确平稳解 本文中，将多自由度非线性随机动力学系统表示成随机激励的耗散的哈密 顿系统，其中哈密顿系统的性质对整个系统的解的泛函形式与性质起着关键性 作用。本节仅介绍与本文后续部分有关的部分内容f 4 9 l 。 1 5 1 哈密顿方程 一个系统，若其运动可用一组哈密顿( 正则) 方程描述，就称它为哈密顿系 统。哈密顿方程通常由拉格朗日( l a g r a n g e ) 方程经勒让德( l e g e n d r e ) 变换导 得。考虑一个礼自由度理想、完整、有势的动力学系统，有如下拉格朗日方程： 鬲d 鬲o l 一鬟：o ，墓：1 ，2 ，n ( 1 2 3 ) 夏丽一瓦。u 忙上，z ，n 5 j 式中依和口t 分别表示广义位移( 坐标) 与广义速度，三盏l ( q ，白，t ) 表示l a g r a n g e 函 数，q = q l q 2 g n 】t ，鱼= 1 如甄】t 。该方程之解在几何上为n 维位形空间 中的轨线，通过该空间中任一点，可有无穷多条轨线，因而在理论研究中很不方 便。为便于研究，我们将拉格朗日方程化为以广义位移与广义动量为基本变量 的哈密顿方程。 第一章绪论 1 1 广义动量由拉格朗日函数l 生成的勒让德变换定义： 鼽：芸，t _ 1 2 ，n ( 1 2 4 ) 鼽2 丽忙l z n ) 若式( 1 2 4 ) 非奇异，则其逆变换也是勒让德变换，( 1 2 4 ) 的逆变换的生成函数为 ( 鼽承一二) 蟊。纯= h ( q ，p ，t )( 1 2 5 ) 式中p = h 纯l t ，而逆变换为 蠡：芸，江1 2 ，n 。2 6 ) ( 1 2 6 啦2 面忙l ，2 n 正逆变换的生成函数三与日之间有如下关系式： 筹= 一瓦o l ，2 ，n ( 1 2 7 ) 由( 1 2 3 ) 、( 1 2 4 ) 及( 1 2 7 ) 可得 a ：一芸，i - 1 2 ，n ( 1 2 8 ) ：鼽2 一瓦，。2 ，n 【1 2 8 j 组合( 1 2 6 ) 与( 1 2 8 ) 就得到以广义位移吼和广义动量a 为基本变量的哈密顿 方程： 磊=警，=一瓦8h，i-1,2,-,npl ( 1 柳 吼2 面2 一瓦， ( 1 2 9 ) 该方程与拉格朗日方程等价。吼，p i 称为正则变量，f h 它们组成的状态空间称为 系统的相空间，h ( q ，p ，t ) 称为哈密顿函数。 1 5 2随矶激励趵耗散田嗡蓄顿糸统 以l ( q ，矗) 表示拉格朗日函数，由非保守系统的哈密顿原理可得非保守系统 的拉格朗日运动方程为 而d 鬲o l 一要：晟，江1 ，2 ，n ( 1 3 0 一) 面瓦一面2 以 忙l z ，n j 再用1 5 1 节所述勒让德菱换，可得如下非保守系统的h 舭i l i l t o n 方程 q l ：罢，a ：一豢+ 只，t = 1 ，2 ，n ( 。1 3 1 ) 2 雨，a2 一面+ ，：2 2 1 2 ， n ) 1 2泊松白噪声激励下几类非线性系统的响应与可靠性 式中h = h ( q ，p ) 由l ( q ，鱼) 按( 1 2 5 ) 得到， 只= 尻( q ，p ，t ) = 瓦( q ，4 ，z ) l 电。p ( 1 3 2 ) 为非保守广义力，包括耗散力碍，激励力耳及控制力耳，即 。只= 碍- i - 耳+ 耳( 1 3 3 ) 本文中，设耗散力形为 掣= 一( q ，p ) a h 却j( 1 3 4 ) 当勺为常数时，砰为线性阻尼力，当为q ，p 函数时，砰为拟线性阻尼力。 激励力形为 耳= 厶( q ，p 溉( t )( 1 3 5 ) 式中靠( t ) 为随机过程，可以是白噪声、宽带过程或窄带过程，也可包括周期或 谐和力；可以是高斯的，也可以是非高斯的；可以是平稳的，也可以是非平稳 的。当允为常数时，相应的激励五七& ( ) 称为外激或加性激励，当 七依赖于 q ，p 时，相应的激励称为参激或乘性激励。 由于本文不涉及控制力，令t = 0 ，并考虑到( 1 3 3 ) ( 1 3 5 ) ，( 1 3 1 ) 变成 咕筹 。 庶一差叫q ，p ) 筹地( q p ) 鲫) ( 1 3 6 ) i ，歹= 1 ，2 ，n ；k = 1 ，2 ，m 式中改用大写字母q ，p 表示广义位移和广义动量，乃因它们现在是随机过程。 式( 1 3 6 ) 描述的系统称为随机激励的耗散的哈密顿系统。 1 5 3 高斯白噪声激励下耗散的哈密顿系统的精确平稳解 考虑高斯白噪声激励下佗自由度耗散的哈密顿系统，式( 1 3 6 ) 中& ( t ) 为高 斯白噪声，均值为零，相关函数为 e 瞎七( t ) 6 + r ) 】= 2 d k t 6 ( r )( 1 3 7 ) 第一章绪论 1 3 其伊藤( i t s ) 随机微分方程为 蛔= 兰班 识_ ( - 0 1 - 筹 吲q p ) 筹+ 知鬻) d r + a 诸( q , p ) d b k ( t ) q 。8 式中h = h ( p ，q ) 为未扰哈密顿系统的哈密顿函数，( 1 2 ) 蠹纸蠹a 弓= 现力z 姒七嵋为w o n g - z a k a i 修正项，它们是q ，p 的函数。显然，当氖不 依赖于p 时，w o n g - z a k a i 修正项为零，本文的算例均属此类，故以下仅论 述w o n g - z a k a i 修正项为零的情形。与( 1 3 8 ) 相应的f p k 方程为 害= 0 o h 力+ 石0 【面o h p ) + 景( 勺筹p ) + 三磊( 啪) ( 1 3 9 ) 式中p = p ( q ，p ，t l q o ，p o ，亡o ) 为转移概率密度或p = p ( q ，p ，t ) 为无条件概率密 度，= ( a o t ) 巧= 2 ( f d t c ) , j = 2 d u a 七f j l 。f p k 方程( 1 3 9 ) 是2 n 维的，而扩散 矩阵是死xn 维的，因此，f p k 方程是退化的抛物型偏微分方程。 f p k 方程( 1 3 9 ) 的初始条件为 p = p ( q ，p ，t l q o ，p o ，t o ) = 6 ( q q o ) 5 ( p p o ) ，t = t o( 1 4 0 ) 或。 p ( q ，p ，t ) = p ( q o ，p o ) ，t = t o( 1 4 1 ) f p k 方程( 1 3 9 ) 盼边界条件可为反射、吸收、无穷等情况。例如对反射边 界条件，即要求无穷远处边界上的概率流矢量为零 慝oh三筹峨驴渊iqt+ipl-001_0 b i ( 等+ 勺筹) p + 2 锄、巧力= 。 ( 1 4 2 ( 1 4 3 ) 对高斯白噪声激励下非线性耗散哈密顿系统，除了少数一维情形，一般得 不到相应f p k 方程的精确瞬态解，但有可能得到它的精确平稳解。 1 4 泊松白噪声激励下几类非线性系统的响应与可靠性 当( 1 3 6 ) 中不含周期或谐和激励时，i t 6 随机微分方程( 1 3 8 ) 的漂移与扩散 系数不显含时间t 。假定它们对q ，弓是连续的，那么， q tp 1 r 将是一个矢 量时齐扩散过程。当由随机激励输入系统的能量与由阻尼耗