（概率论与数理统计专业论文）马尔可夫化方法在时间序列和排队模型中的应用.pdf

博士学位论文 摘要 这篇学位论文由两部分内容组成。第一部分即第一章。在这一部分 中，构建了三个被名之为随机环境下的非线性时间序列的模型： 1 x 。+ 1 _ t ( x 。) + 。+ l ( z 。+ 1 ) ； 2 x 。+ 1 = t z ( x 。) + e 。+ 1 ( z 。+ 1 ) ； 3 x 。+ 1 = t z ( x 。，。+ 1 ( z 。+ 1 ) ) 。 二十世纪八十年代，作为一般非线性时间序列模型的推广，h t o n g 和 k s l i m 就已提出了一个与上述模型1 本质上相同的时间序列模型。但 是迄今为止，关于这一模型的迭代序列的极限行为的研究，尚未展开。模 型2 是一个全新的时间序列模型，它是模型1 的延伸；模型3 是模型1 和 模型2 的一般化。 上述三个模型与一般非线性时间序列模型的不同之处是，这三个新的 模型反映了对一个系统的干扰以及系统本身受环境突变影响的因素。因 而，它们能更好地拟合现实世界中诸多实际问题。这个不同之处在数学上 引起的后果是：一般非线性时间序列模型的迭代序列形成一个一般状态马 尔可夫链或多重马尔可夫链；而随机环境下的非线性时间序列模型1 ，2 和 3 的迭代序列，却无此良好的性质。对于前者，可以方便地应用一般状态 马可夫链的理论处理之。在现今有关非线性时间序列分析的文献中，大凡 涉及非线性时间序列的遍历性问题者，均采用如此的方法。而对后者，却 无法直接应用上述的方法。探讨随机环境下的非线性时间序列模型的极 限行为便是第一章的目的。在这一章的1 、2 和3 中，分别讨论了模 型1 ，模型2 和模型3 所确定的迭代序列的极限行为，给出了它们在某种 意义下收敛或以几何速率收敛的若干充分条件。 第二部分即第二章。在其中建立了四个排队模型，在迄今所深入研究 博士学位论文 过的排队模型中，对输入和服务过程限制最为宽松的所谓g i g i 排队系 统，可视为它们的特别情形。在排队理论中，关于g i g 1 排队系统的研 究，延续了几十年，直至上个世纪末，方得到了它的瞬时队长分布的积分表 示，在这个积分表示中，其被积项可以由一组柯尔莫洛夫偏微分方程递归 地确定。 第二章的目的，是要建立较g i g 1 排队系统更一般化的这四个排队 系统的瞬时队长分布的积分表示。在这一章的3 、4 、5 和6 中，分 别针对这四个排队模型，讨论了瞬时队长的分布，最终得到了以下的结果： 在这几个模型的到达间隔分布和服务时间分布均具有密度函数的条 件下，它们的瞬时队长分布可以表示为一个积分，该积分的被积项可以递 归地求取。这些结果与前述关于g i g 1 排队系统的瞬时队长分布的结果 是类似的。 此外，当到达间隔分布和服务时间分布不都有密度函数时，应用马尔 可夫骨架过程理论，亦可得到上述四个排队系统的瞬时队长分布的积分表 示。 在处理上述这两个内容截然不同的部分时，所使用的基本方法是一致 的。这一方法在本论文中被名之为“马尔可夫化”方法。即添加适当的补 充变量于一个非马尔可夫过程，可以得到一个新的过程，这个新过程是一 个马尔可夫过程，于是便可应用马尔可夫过程理论分析这个新过程，在一 定的条件下，从这个新过程的性质中，可以析取原来那个非马尔可夫过程 的性质。 博士学位论文 a b s t r a c t ，i l i sd i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ft w op a r t s t h ef i r s tp a r ti st h ef i r s tc h a p t e r ， i nw h i c ht h r e em o d e l so fn o n l i n e a rt i m es e r i e si nr a n d o me n v i r o n m e n ta r ee s t a b l i s h e d 1 x 。+ 1 = t ( x 。) + 。+ l ( z 。+ 1 ) ； 2 x 。+ 1 - t z ( x 。) + 。+ l ( z 。+ i ) ； 3 x 。+ 1 = t z ( x 。，。+ l ( z 。+ 1 ) ) i nt h e1 9 8 0 7 s f o rt h ep u r p o s eo fg e n e r a l i z i n gt h en o n l i n e a rt i m es e r i e s m o d e l h t o n ga n dk s l i mh a v ep u tf o r w a r d an o n l i n e a rt i m es e r i e sm o d e l s i m i l a rt ot h em o d e lla si n d i c a t e da b o v ei nn a t u r e h o w e v e r ，t i l ln o w ，t h er e s e a r c hh a sn o tb e e nu n d e rw a yo nt h el i m i tb e h a v m ro ft h ei t e r a t i v es e q u e n c eo f t h i sm o d e l m o d e l2i sab r a n d n e wt i m es e r i e sm o d e l ，w h i c hi se x t e n s i o no f m o d e l1 m o d e l3i st h eg e n e r a l i z a t i o no fm o d e l1a n dm o d e l2 n ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h et h r e em o d e l sa si n d i c a t e da b o v ea n dt h eg e n e r - a ln o n l i n e a rt i m es e r i e sm o d e l sl i e si nt h ef a c tt h a tt h et h r e en e wm o d e l sr e f l e c t t h ef a c t o r so ft h ei n t e r f e r e n c ei nas y s t e ma sw e l la st h es y s t e mi t s e l fi n f l u e n c e d b ys u d d e ne n v i r o n m e n tc h a n g e t h e r e f o r e ，t h et h r e en e w m o d e l sc a nb e t t e ri m i t a t em a n ys u b s t a r t t i a lp r o b l e m si nt h er e a lw o r l d 谭伤a ft h i sd i f f e r e n c ec a u s e s i nm a t h si st h a tt h ei t e r a t i v e s e q u e n c eo ft h e c o m m o nn o n l i n e a rt i m es e r i e s m o d e ld e v e l o p so n em a r k o vc h a i no ng e n e r a ls t a t e s p a c e o r m u l t i p l e m a r k o v c h a i n ，w h i l et h ei t e r a t i v es e q u e n c eo fn o n l i n e a rt i m es e r i e sm o d e l sl ，2 ，3i n r a n d o me n v i r o n m e n th a v en o tp o s s e s s e ds u c hb e t t e rn a t u r e t h ef o r m e rc a n e a s i l y b es e t t l e d b ya p p l y i n g t h e t h e o r y o fm a r k o vc h a i n so n g e n e r a l s t a t e s p a c e i nt h e c u r r e n td o c u m e n t sa b o u tn o n l i n e a rt i m es e r i e s a n a l y s i s ，s u c h 博士学位论文 m e t h o di sa d o p t e di nt h ep a p e r sw h i c hd e a lw i t ht h ee r g o d i c i t yo ft h en o n l i n e a r t i m es e r i e sw h i l es u c hm e t h o dc a n n o tb ea d o p t e dd i r e c t l y f o rt h en e wt h r e e m o d e l s t h ef i r s t c h a p t e rs e r v e st h ep u r p o s eo fs t u d y i n gt h e l i m i tb e h a v i o ro f t h ei t e r a t i v e s e q u e n c e o ft h en o n l i n e a rt i m e s e r i e si nr a n d o me n v i r o n m e n t 1 ，2a n d 3o ft h i sc h a p t e rd e a l sr e s p e c t i v 由w i t ht h el i m i tb e h a v i o ro f t h ei t e r a t i v e s e q u e n c ed e f i n e db ym o d e l s1 ，2 ，3 ，a n dp r o v i d e s o m es u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o rt h e i rc o n v e r g e n c e p a r tt w oi st h es e c o n dc h a p t e r ，i nw h i c hf o u rq u e u e i n gm o d e l sa r ee s t a b - l i s h e d i nt h eq u e u e i n gm o d e l ss t u d i e df u r t h e rs of a r ，t h el e a s tr e s t r i c t e ds o c a l l e dg i g 1q u e u ei nt h ei n p u ta n ds e r v i c ep r o c e s s e sc a nb er e g a r d e da ss p e c i a le x a m p l eo ft h ea b o v ef o u rm o d e l s i nq u e u e i n gt h e o r y ，t h er e s e a r c ho ng i g 1 q u e u e h a v eb e e nc o n t i n u e df o rd e c a d e so fy e a r s b yt h ee n do fl a s tc e n t u r y ，t h ei n t e g r a lr e p r e s e n t a t i o no fi t s t r a n s i e n td i s t r i b u t i o no ft h eq u e u el e n g t h h a sb e e no b t a i n e d i nt h i s i n t e g r a lr e p r e s e n t a t i o n ，t h ei n t e g r a t e dt e r mc a nb e d e t e r m i n e dr e c u r s i v e l yb yas y s t e mo fk o l m o g o r o vd i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h ep u r p o s eo ft h es e c o n dc h a p t e ri st oe s t a b l i s ht h ei n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o no ft h et r a n s i e n td i s t r i b u t i o no ft h eq u e u e l e n g t ho ft h e s ef o u rq u e u e i n g m o d e l sw h i c ha r em o r eg e n e r a lt h a ng i g 1 q u e u e i n gs y s t e m 3 ，4 ，5a n d 6o ft h i sc h a p t e rd e a lr e s p e c t i v e l yw i t ht h et r a n s i e n td i s t r i b u t i o no f t h eq u e u e l e n g t ho ft h e s ef o u rq u e u e i n gs y s t e m s s u c hr e s u l t sa r eo b t a i n e da sf o l l o w s ： u n d e rt h ec o n d i t i o no ft h ei n t e r a r r i v a lt i m e sd i s t r i b u t i o n sa n ds e r v i c et i m e s d i s t r i b u t i o n so ft h e s eq u e u e i n gm o d e l sw h i c hh a v ed e n s i t yf u n c t i o n ，t h e i rt r a n s i e n td i s t r i b u t i o no ft h eq u e u e l e n g t hc a n h er e p r e s e n t e da sa ni n t e g r a l ，a n dt h e i n t e g r a t e dt e r mo ft h i si n t e g r a l c a nb er e c u r s i v e l yo b t a i n e d t h e s er e s u l t sa r e s i m i l a rt ot h o s eo ft h et r a n s i e n td i s t r i b u t i o no f q u e u el e n g t h a b o u tg i g i q u e u e i n gs y s t e m a d d i t i o n a l l y ，p r o v i d e dt h a tn o ta l l i n t e r a r r i v a lt i m e sd i s t r i b u t i o na n ds e r 一 v 博士学位论文 v i c et i m e sd i s t r i b u t i o na r eo fd e n s i t yf u n c t i o n ，t h ei n t e g r a lr e p r e s e n t a t i o no ft h e t r a n s i e n td i s r i b u t i o no ft h eq u e u el e n g t ho ft h e s ef o u rq u e u e i n gs y s t e m sa si n d i c a t e da b o v ei so b t a i n e db ya p p l y i n gt h et h e o r yo fm a y k o vs k e l e t o np r o c e s s e s i nd e a l i n gw i t ht h et w os t r i k i n g l yd i f f e r e n t p a r t s a si n d i c a t e da b o v e ，t h e s i m i l a rm e t h o da y e a d o p t e d t h i sm e t h o d ，i nt h i sp a p e r ，i sc a l l e d ”m a r k o v n i z a t i o n ”，t h a ti s ，p r o p e rs u p p l e m e n t a r yv a r i a b l e s a r ea d d e dt oa nn o n m a r k o vp r o c e s s ，t h e nan e wp r o c e s sc a nb eo b t a i n e d ，w h i c hi sam a r k o vp r o - c e s 8 t h e r e f o r e ，t h i sn e wp r o c e s sc a nb ea n a l y z e db ya p p l y i n gt h et h e o r yo f m a r k o vp r e c e s s c e u n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s ，t h en a t u r eo ft h eo r i g i n a ln o n m a r k o vp r o c e s sc a nb ea b s t r a c t e df r o mt h en a t u r eo ft h i sn e wp r o c e s s 博士学位沦文 前言 以a a m a p k o b 的名字命名的随机过程马尔可夫过程，无疑是 最为重要的一类随机过程。从其诞生至今近百年，马尔可夫过程在理论与 应用两方面都得到了深入的发展。实际上，关于马尔可夫过程本身，已建 立了相当完善的理论体系。现实世界中的许多问题，一旦被抽象为一个形 成马尔可夫过程的模型，利用已有的理论，则常常得以解决。 然而，在纷繁复杂的现实世界中，存在的问题形形色色，甚至一些最为 常见的问题，也不能直接利用马氏过程描述它们。 鉴于马尔可夫过程的本质特性马氏性，即已知“现在”，“未来”与 “过去”无关，人们认识到，对于一个不具有马氏性质的随机过程( x 。) ，若能 将“过去”信息附加到“现在”，则“未来”便只依赖于这个已添加了“过去”信 息( 毛) 的“现在”了，即( x 。黾) 构成一个高维的马氏过程，从而，应用马氏过 程理论，可以了解( x 。，) 的性态，而( x 。) 的性质就隐藏在( x 。，邑) 的性态之 中。早在上世纪五十年代，d k e n d a l l 就已提出了这一思想。其后，许多学 者或是深入地讨论了这一方法，或是将这一方法应用于他们的研究领域。 但时至今日，在下述意义下，这一方法本文中称之为“马尔可夫化”方 法远未完善：对某一过程( x 。) ，可能需要补充大量“过去”的信息( 最) 于 “现在”，方可构成一马氏过程( x 。，黾) ，应用马氏过程理论，( x 。，毛) 的性态可 被确定，但是由于( x 。，。) 的形态极为复杂，从( x 。，聂) 出发确定( x 。) 的性态 十分困难，目前尚没有一般地解决此问题。 在这篇学位论文中，笔者将马尔可夫化方法应用于非线性时间序列分 析和排队理论两个领域，目的之一固然是为了探讨这两个领域中的若干具 体问题，另一方面，也是为深入地探讨马尔可夫化方法本身作初步的尝试。 原创性声明 本人申明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共 同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：丛日期：丝年丝月二日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅：学校可以公布学位论 文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文： 学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 日期：堕年竺月上日 博士学位论文 第一章随机环境下的非线性时间序列分析 最近二十多年中，对于非线性时间序列的研究日渐为人们所重视， 从而也得到了较快的发展产生这种现象的诸多原因中，非线性时间序 列的广阔应用背景应是最为重要的因素之一实际上，在经济、环境、生 物和气象等倍受人类关注的领域，非线性时间序列模型已显示出了其解 决实际问题的重大作用，而它本身能展现出的许多奇异现象，又与混沌、 分形和神经网络等领域有着紧密的联系 2 非线性时间序列的研究能够得到较快发展的一个更为直接的原因， 据笔者管见，在于应用了一般状态空间马尔可夫链的理论和方法这一 理论在研究非线性时间序列模型的平稳性、遍历性等方面起着极为重要 的作用 4 1 4 对此，给出一个概略的说明： 一个一般化的非线性时间序列模型是 x o + l = 妒( 五) + e 。+ 1 ，x o r “( 1 ) 其中妒是r “到置“的可测映射， e 。 为白噪声序列；通常还假定。= 0 及ei e 。j o ，n e l l 墨 为v - 不可约的 n = l 定义1 2 2 设a l ，一，a 。为口。中一组互不相交的集合，称为马尔 可夫链 以f 的一组长度为d 的循环集，如果 p ( x ，a j ) = l ，工a j l ( j = 2 ，d ) ； p ( x ，a 1 ) = 1 ，x a d 定义1 2 3 设 x 。 为马尔可夫链，a l 一，a 。是它的循环集，且满 足如下两个条件： ( i ) 存在( r “，b 。) 上的非平凡测度y ，使得v ( a ；) 0 ，i = 1 ，d ， 且 d y ( r “u a i ) = 0 ； ( i i ) ! c l l 果ai 一，a 。t 为 五 的另一组循环集，则有d id 当d = 1 时， 五 称为非周期马尔可夫链；当d 1 时， x 。 称为周 期马尔可夫链，周期为d 博土学位沦文 定义1 2 4 设 x 。 是一个以( 足“，曰。) 为状态空间的马尔可夫链， 只( x ，a ) ，j r “，a b 。，是它的扎步转移概率一个非空集合c 曰。称为( 关于 盖。 的) 小集( s m a l ls e t ) ，如果存在一个正整数k ，正常数 b 和概率测度y ，使得v ae b 。，工c ，有 p ( 卫，a ) b v ( a ) 定义1 2 5 ( i ) 马尔可夫链 x 。 称为遍历的，如果存在一概率测 度丌，使得vz r “，有 l i r a i ip 。( z ，) 一丌( - ) | | ，= 0 ( i i ) 女l l 果还存在常数0 o ，都存在整数n ，使得v 工b ， 只( 工，b ) 0 ，p o + ，( 工，b ) 0 引理1 2 2 设 瓦 是v - 不可约的非周期马尔可夫链，对于c b 。，v ( c ) o ，如果存在a b 。，y ( 4 ) 0 ，以及正整数z ，使得v b c a ，且矿( 曰) 0 ，都有 艇p 。( x ，曰) 0 则c 是一个小集 ”1 引理i 2 3 设 五 是不可约、非周期的马尔可夫链，如果存在一 个非负可测函数g ，一个子集c 和常数c 0 ，c ： 0 ，使得 ( i ) e f g ( 以) iz l = 工 g ( 上) 一c l ，v 工芒c ； ( i i ) e g ( x 。) ix 。一l = 工 c 2 ，vx c ， 博士学位论文 则 x ，。 为遍历的 引理1 2 4设 x ，。1 为不可约、非周期的马尔可夫链，如果存在一 个非负可测函数g ，一个小集c 和常数c ， 0 ，c ： 0 ，0 p 1 ，使得 ( i ) e g ( 瓦) i 瓦一，= x m ( x ) 一c ，vz 芒c ； ( i i ) e g ( x 。) lx 。一。= 工 c ：，v z c 则 x 。 为几何遍历的 引理1 2 5设 以 为不可约、非周期的马尔可夫链， 置 为遍历 ( 或几何遍历) 的，当且仅当存在一个正整数f 1 ，使得 x z ，n 0 为遍 历( 或几何遍历) 的 以上诸定义及引理均引自 2 关于一般状态马尔可夫链的相关知 识，可参阅 3 令层= 1 ，2 ，e 是一个有限集合，f 记e 的所有子集生成的盯代 数， z ( ) ，t 0 表示一个定义在( n ，彰p ，) 上的不可约、非周期的齐次 马尔可夫链，它的状态空间为( 曰，) ； e 。( 1 ) f ， e 。( e ) 是e 个独立 同分布的随机向量序列，其中每一个都是定义在( n ，只p ，) 上，以( r “， 曰。) 为状态空间的设z 。= z ( 乃) ，vr t o ；且 e 。( 五) = ：e 。( i ) 1 1 i ( z 。) ， i = l ( z ) = ：正( x ) i i i i ( z 。) ，茹r “； f ；l 这里，正( - ) ( i = 1 ，e ) 是r “到r “的b o r e l 可测映射 定义1 2 6 设 f 以+ ，= 垂( 五) + 川( 磊+ 。) i x 。r 4 7 其中西：r “一只“是一个b o r e l 可测映射，它在足“中的每一个有界集上 是有界的； z 。 ， e 。( 1 ) ， e 。( e ) 相互独立且满足：vi 居和n 0 ，z 。和e 川( i ) 均与 以，k n 独立；e e 。( i ) = 0 ，ef6 。( i ) i 0 ， z 川和e 。( i ) 都与 x k ，k n 独立，。( i ) = 0 ，el 。( i ) i ，则( 6 ) 定义的时间序列模型被称为随机环境中的非线性时间序列模型( 2 ) ，简 记其为r e n l t s ( 2 ) 定义1 2 8 设m 维向量随机序列 墨 服从r e n l t s ( 1 ) ( 或服从 r e n n s ( 2 ) ) ，f 是一概率分布 ( i ) 若当蜀一f 时，vn 1 ，以f ，则称f 为模型( 5 ) ( 或( 6 ) ) 的 不变概率分布； ( i i ) 若x 。，且f 为( 5 ) ( 或( 6 ) ) 的不变概率分布，则称从出发 由( 5 ) ( 或( 6 ) ) 产生的迭代序列 x 。，n 0 为( 5 ) ( 或( 6 ) ) 的平稳解 定义1 2 9设模型( 5 ) ( 或( 6 ) ) 有唯一的不变概率分布f ，且对任 何初始状态x 。= j ，由( 5 ) ( 或( 6 ) ) 迭代产生的以的概率分布记为f ：如 果 l i r al | e fl l ，= 0 则称模型( 5 ) ( 或( 6 ) ) 为伴随遍历的进一步，如果还存在常数p ：0 p 1 ，使得 l i m p ”i | e 一，忆= o 则称模型( 5 ) ( 或( 6 ) ) 为伴随几何遍历的 定义1 2 1 0 在r e n l t s ( 1 ) 和r e n l t s ( 2 ) 中，称序列 ( x 。，z 。) 为模型的导出序列 从下一节开始，我们仍将以一般状态马尔可夫链的理论为基本工 具，探讨模型( 5 ) 和( 6 ) 的迭代序列的极限行为 博士学位论文 3r e n l t s ( 1 ) 的伴随遍历性质 引理1 3 1 模型( 5 ) 的导出序列 ( x 。，z 。) 是一个定义在( 9 2 ，巧 p ，) 上，以( r “e ，b 。xf ) 为状态空间的齐次马尔可夫链 证明 va j b 。f ，( z ，i ) 及( z ，i ) ( 0 五 n ) er “ xe ， p ，( 以+ l a ，z 。+ l = jix 。= z ，邑= i ，也= z i ，z = i ，0 七 0 蕴含。a ( a i ) 0 ，a b 。，ie e 我们将就( 5 ) 的如下两种情形展开讨论： c a s e l v i 曰， 。( i ) 是i i d m 维随机向量序列，且有处处为 正的下半连续的密度函数： c a s e 2 ( 5 ) 中，中( 工) = ( ( x ) ，石l 一，戈) 7 ，膏= ( z l ，) 7e r “；e 。( i ) = ( ：( i ) ，0 ，o ) 7 ，i e 其中，“表示向量或矩阵的转置 运算；h ( x ) 是r “到r 1 的b o r e l 可测函数，且在足“中的有界子集上有界； v ie e ， ：( i ) 是i i d ，且有下半连续的密度函数n ( ) ：v te r 1 ， ，。( t ) 0 引理1 3 2 设 ( x 。，乙) 是( 5 ) 的导出序列，则它的n 步转移函数 有下之形式： 在c a s e l 中， p ( ( z ，i ) ，a i j l ) = p d ( j ，一西( z ) ) p 。( 咖) ； 并且，vn 2 ， p h ( ( x ，i ) ，a - ) 2 乳眠以一jp ”酬如m ( 机r f 五。( j 。一，一函( j ，。一z ) ) 。( d y 。一。) ( y 。一西( j ，。一。) ) 户。( 咖。) ( 8 ) 二4 矗 在c a s e 2 中，令a = ，a k ，a k b l ，k = 1 ，m ；厶( ) 表示a i 的示性 函数；有 p ( ( 工，i ) ，以= p f ：， 。( ) j 。( ) ，- 一 ( z ) ) 毋- 对l ：2 1 m 一1 ， p 气( 工，i ) ，a i j l ) = 秘：小融i t , p t d 。，j 。r k , ( y j 州圳 博上学位论文 j d ( ( 卫，i ) ，a j ) 2 善。p 儿小。( 叫圳m 叫m - 1 ) ) r k 一。( y 2 一 ( ，3 ，1 ，m 2 ) ) 0 ( ) ，一 ( y 2 ，- 一，y 。，z t ) ) g y m - a y ，； p “( ( j ，j ) ，ax ， ) 2q 爱印吖h 叫圳 j 。“：( 一 ( + ，z l i 一，z 。) ) 飞( 一。一 ( ，x l i _ ，。一：) ) _ ( y 2 一h ( y 3 ，+ - ，x 1 ) ) 0 ( ，l 一 ( y 2 ，+ 。) ) 机咖1 ； 当2 l m 一1 时， p “( ( 工，i ) ，a j 1 ) 2 小爱。? 叱。一p “q 。_ ( + z 一 ( j ) ) _ ( + - 一 ( 。，y m + ， 扎一1 ) 慨+ f 印，善。胁小h ( 叫，1o t ，+ 一l t 6j ，+ l ，# l ，一，m 一) ) r k 。( ，。一口+ 一 ( ，+ 2 ，+ l ，x 。， “i ) ) r a y l h ( 扎，y m + i ) ) 咖。咖l ； p “( ( 卫，i ) ，a 2 小番。p - 。”匕h 刈圳幽m t 刈扎， x m - 1 ) ) _ ( y m + - 一 ( h 一，y ：。，x 。) ) 咖：。饥+ ，乏卜。 r k m + i ( 一h ( y z 一m 川 _ 。( h 一口一 ( h 一，y 2 m - q ) ) 飞。( y 2 一 ( ，h + 2 ) ) 0 ( y i 一 ( y 2 ，+ 。) ) 咖。d v ，： v 7 , 2 ， p ”+ 1 ( ( z ，i ) ，ax j t ) n * yn ； h 虮 一 嘞 ” k “ 一 卜” 一 t “ ， h ” x ， n ， y 一 一 一 嘞儿 2 “ 0 博士学位论文 vn 2 澈虬h “( y 一h ( j ) ) 咖。+ 。善， ： “ m 州y 。r i ：+ 。( y 。一 ( y 。一。+ l ，。，y ，。+ l ，x l ，一，x 。一q 一 n 。( y ( 。i ) 。+ l 一 ( ( y ( ) 。+ 2 ，y 。+ 。) ) 毗。 ，x i ) ) ) ) 。毋( 。一1 ) 。+ 驰饥。+ 卜一一蜥k 嘶一川) 7 b ，+ 。( yc 。一2 ) 。+ l 一 ( ，( 。一2 ) 。+ 2 ，y ( n - 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