高中数学 1.3 第2课时利用导数研究函数的极值课件 新人教B版选修22.ppt

路漫漫其修远兮吾将上下而求索 人教b版 选修2 2 成才之路 数学 导数及其应用 第一章 1 3导数的应用第2课时利用导数研究函数的极值 第一章 苏轼 题西林壁 中的诗句 横看成岭侧成峰 远近高低各不同 描述的是庐山的高低起伏 错落有致 在群山之中 各个山峰的顶端 虽然不一定是群山的最高处 但它却是其附近的最高点 那么 在数学上 这种现象如何来刻画呢 1 知识与技能了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值 极小值 以及闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值 最小值 2 过程与方法通过本节的学习 掌握用导数求函数的极大值 极小值和闭区间上的最大值 最小值的方法 3 情感态度与价值观通过本节的学习 体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性 通过对函数的极值与最值的类比 体验知识间的联系 逐步提高科学地分析 解决问题的能力 本节重点 函数极值的概念与求法 函数在闭区间上最值的概念与求法 本节难点 函数极值的求法 函数最值的求法 1 已知函数y f x 设x0是定义域内任一点 如果对x0附近的所有点x 都有 则称函数f x 在点x0处取极大值 记作y极大 f x0 并把x0称为函数f x 的一个极大值点 如果在x0附近的所有点都有 则称函数f x 在点x0处取极小值 记作y极小 f x0 并把x0称为函数f x 的一个极小值点 极大值与极小值统称为 极大值点与极小值点统称为 f x f x0 f x f x0 极值 极值点 2 函数f x 在闭区间 a b 上的图象是一条连续不间断的曲线 则该函数在 a b 上一定能够取得最大值与最小值 函数的最值必在 取得 极值点或区间端点 求函数的极值 当x 2时 y有极小值 并且y极小值 f 2 10 而当x 2时 y有极大值 并且y极大值 f 2 22 说明 一般地 求函数y f x 的极值的步骤是 1 求函数y f x 的导数f x 2 解方程f x 0 得方程的根x0 可能不止一个 3 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极小值 求函数f x x3 3x2 9x 5的极值 解析 f x 3x2 6x 9 3 x2 2x 3 解方程x2 2x 3 0 得x1 1 x2 3 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 因此 当x 1时 f x 有极大值 且f 1 10 当x 3时 f x 有极小值 且f 3 22 含参数的极值问题 解析 f x 5ax4 3bx2 x2 5ax2 3b 由题意 f x 0应有根x 1 故5a 3b 于是f x 5ax2 x2 1 1 当a 0时 说明 紧扣导数与极值的关系对题目语言进行恰当合理的翻译 转化是解决这类问题的关键 已知函数f x x3 ax2 bx c 当x 1时 取得极大值7 当x 3时 取得极小值 求这个极小值及a b c的值 a 3 b 9 f x x3 3x2 9x c f 1 7 c 2 极小值f 3 33 3 32 9 3 2 25 极小值为 25 a 3 b 9 c 2 函数的最大值与最小值 含参数的最值问题 解析 显然a 0 f x 3ax2 12ax 3ax x 4 令f x 0 解得x1 0 x2 4 舍去 1 当a 0时 当x变化时 f x f x 的变化情况见下表 所以当x 0时 f x 取得最大值 所以b 3 又f 2 16a 3 f 1 7a 3 f 1 f 2 所以当x 2时 f x 取得最小值 16a 3 29 即a 2 2 当a 0时 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以当x 0时 f x 取得最小值 所以b 29 又f 2 16a 29 f 1 7a 29 f 2 f 1 所以当x 2时 f x 取得最大值 即 16a 29 3 即a 2 综上所述a 2 b 3或a 2 b 29 说明 本题综合运用求极值 最值的方法确定参数a b 注意对a的讨论和最大 最小值的确定 已知a是实数 函数f x x2 x a 1 若f 1 3 求a的值及曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 求f x 在区间 0 2 上的最大值 利用函数最值处理不等式问题 分析 解答本题首先由x 1 x 2是f x 0的两根 求出a b的值 再求出f x 在 0 3 上的最大值 f x f x max 从而解出c的值 2 若对于任意的x 0 3 都有f x 9 所以c的取值范围是 1 9 说明 1 不等式恒成立问题与函数最值有密切的关系 解决有关不等式恒成立问题 通常转化为最值问题来解 c f x 恒成立 c f x max c f x 恒成立 c f x min 2 高次函数或非基本初等函数的最值问题 通常采用导数法解决 例5中 2 改为 若对任意的x 0 3 都有f x c2成立 求c的取值范围 如何解答 解析 由例题可知f x 2x3 9x2 12x 8c 若对任意的x 0 3 都有f x c2成立 只需f x 在x 0 3 上的最小值大于c2即可 又当x 1或x 2时 f x 0 辨析 根据极值的定义 函数先减后增为极小值 函数先增后减为极大值 此题未验证x 1两侧函数的单调性 正解 由错解得当a 1 b 3时 f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0 所以f x 在r上为增函数 无极值 故舍去 当a 2 b 9时 f x 3x2 12x 9 3 x 1 x 3 当x 3 1 时 f x 为减函数 当x 1 时 f x 为增函数 所以f x 在x 1处取得极小值 因此a 2 b 9 1 根据极值的定义 取得极值的点称为极值点 极值点是指自变量的值 极值指的是函数值 要注意以下几点 1 极值是一个局部概念 由定义知极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小 2 极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值 如图所示 x1是极大值点 x4是极小值点 而f x4 f x1 3 函数的极值点一定出现在区间的内部 区间的端点不能成为极值点 2 函数极值的判定 设函数f x 在x0处连续 判别f x0 是极大 小 值的方法是 1 如果在x0两侧f x 符号相同 则x0不是f x 的极值点 2 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极大值 3 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极小值 4 如果f x 在f x 0的根x x0的左右侧符号不变 则f x0 不是极值 例如函数f x x3 如图 有f 0 0 但x 0不是极值点 这就是说 f x 0的根不一定是函数的极值点 3 求解步骤 1 求导数f x 2 求方程f x 0的全部实根 3 考察在每个根x0附近 从左到右 导函数f x 的符号如何变化 如果f x 的符号由正变负 则f x0 是极大值 如果由负变正 则f x0 是极小值 注意 导数为0的点不一定是极值点 对于可导函数 导数为0的点是为极值点的必要不充分条件 4 一般地 在闭区间 a b 上连续的函数f x 在 a b 上必有最大值和最小值 此性质从以下两个方面加以说明 5 极值与最值的区别与联系 1 函数的极值表示函数在一点附近的情况 是在局部对函数值的比较 函数的最值是函数在整个定义域上的情况 是对函数在整个定义域上的函数值的比较 2 函数的极值不一定是最值 需对极值和区间端点的函数值进行比较 或者考察函数在区间内的单调性 3 函数f x 在一个闭区间上的最大值或最小值只能各有一个 而极大值或极小值可能多于一个 也可能没有 如常数函数无极大值 也无极小值 6 求f x 在区间 a b 内的最大值和最小值的步骤 第1步 求f x 在开区间 a b 内所有使f x 0的点 第2步 计算函数f x 在区间 a b 内使f x 0的所有点和端点的函数值 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 说明 求函数的最值与求函数的极值不同的是 在求可导函数的最值时 不需对各导数为0的点讨论其是极大值还是极小值 只需将导数为零的点和端点的函数值进行比较即可 可利用函数的单调性求f x 在区间上的最值 若f x 在 a b 上单调增加 则f x 的最大值为f b 最小值为f a 若f x 在 a b 上单调减少 则f a 为函数的最大值 f b 为函数的最小值 7 极值点与导数为0的点的关系 1