高中数学 3.2.2 复数代数形式的乘除运算课件 新人教A版选修22 .ppt

3 2 2复数代数形式的乘除运算 1 复数代数形式的乘法法则设z1 a bi z2 c di a b c d r 则z1 z2 a bi c di ac bd ad bc i 2 复数乘法的运算律对任意复数z1 z2 z3 c 有 z2 z1 z1z2 z1z3 3 共轭复数已知z1 a bi z2 c di a b c d r 则 1 z1 z2互为共轭复数的充要条件是 2 z1 z2互为共轭虚数的充要条件是 复数代数形式的除法法则 a bi c di c di 0 a c且b d a c且b d 0 1 判一判 正确的打 错误的打 1 两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件 2 若z1 z2 c 且z12 z22 0 则z1 z2 0 3 两个共轭虚数的差为纯虚数 解析 1 错误 举反例 如复数2和2i 它们的模相等 但不是共轭复数 2 错误 例如z1 1 z2 i 显然z12 z22 0 但z1 z2 0 3 正确 设两个共轭虚数分别为z1 a bi a bi a b r b 0 差z1 2bi b 0 为纯虚数 答案 1 2 3 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 复数 2 复数z 2 i i在复平面内对应的点位于第 象限 3 复数2 的共轭复数是 解析 1 答案 2 z 2 i i 2i i2 1 2i 故复数z 2 i i在复平面内对应的点为 1 2 位于第一象限 答案 一 3 因为2 2 i 所以其共轭复数为2 i 答案 2 i 要点探究 知识点1复数代数形式的乘除运算1 复数的乘法 1 类比多项式运算 复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似 可仿多项式乘法进行 但结果要将实部 虚部分开 i2换成 1 2 运算律 多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立 乘法公式也适用 3 常用结论 a bi 2 a2 2abi b2 a b r a bi a bi a2 b2 a b r 1 i 2 2i 2 对复数除法的两点说明 1 实数化 在进行复数除法运算时 通常先把 a bi c di 写成商的形式 即 a bi c di 分子 分母同乘以分母的共轭复数c di 化简后即得结果 这个过程实际上就是把分母实数化 这与根式除法的分母 有理化 很类似 2 代数式 注意最后结果要将实部 虚部分开 知识拓展 复数乘法的推广复数的乘法可以推广到若干个因式连乘 且满足乘法的交换律 结合律 分配律 微思考 1 a r z c a2 a 2与z2 z 2都成立吗 提示 a2 a 2成立 z2 z 2不一定成立 例如z i z2 1 z 2 1 z2 z 2 2 z2 z 2成立的条件是什么 提示 当且仅当z r时 z2 z 2成立 即时练 若复数z 1 i i为虚数单位 则 1 z z a 1 3ib 3 3ic 3 id 3 解析 选a 因为z 1 i 所以 1 z z 2 i 1 i 1 3i 知识点2共轭复数1 共轭复数的注意点 1 结构特点 实部相等 虚部互为相反数 2 几何意义 在复平面内两个共轭复数的对应点关于实轴对称 2 共轭复数的性质 1 实数的共轭复数是它本身 即z r 2 相关结论 微思考 1 若z 0且z 0 则z是否为纯虚数 提示 是纯虚数 因为z 0 又实数的共轭是它本身 则由z 0且z 0知z不是实数 设z1 a bi a bi a b r 和z1 2a 0 故z为纯虚数 利用这个性质 可证明一个复数为纯虚数 2 复数共轭的共轭是否为复数本身 提示 根据复数的概念 复数共轭的共轭是复数本身 即时练 若则复数等于 a 2 ib 2 ic 2 id 2 i 解析 选d 由故 2 i 题型示范 类型一复数代数形式的乘法运算 典例1 1 已知x y r i为虚数单位 且xi y 1 i 则 1 i x y的值为 a 2b 2ic 4d 2i 2 已知复数 i为虚数单位 复数z2的虚部为2 且z1 z2是实数 求z2 解题探究 1 如何求解x y 2 z1的代数形式如何 z1 z2的虚部是多少 探究提示 1 利用复数相等 2 的虚部为0 自主解答 1 选d 由xi y 1 i 得x 1 y 1 所以 1 i x y 1 i 2 2i 2 设z2 a 2i a r 则z1 z2 2 i a 2i 2a 2 4 a i 因为z1z2 r 所以a 4 所以z2 4 2i 方法技巧 复数的乘法运算法则的应用 1 复数的乘法运算可以把i看作字母 类比多项式的乘法进行 注意要把i2化为 1 进行最后结果的化简 2 对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法 用乘法公式更简便 例如 平方差公式 完全平方公式等 变式训练 2014 豫南九校高二检测 定义一种运算如下 复数 i是虚数单位 对应的复数是 解析 选a 由题意 得 警示误区 注意分析新定义的运算规则中字母的顺序 补偿训练 投掷两颗骰子 得到其向上的点数分别为m和n 则复数 m ni n mi 为实数的概率为 解析 因为 m ni n mi 2mn n2 m2 i为实数 所以n2 m2 故m n 则由列举法得出投掷结果共有36种可能 相同点数的有6种 则概率为答案 类型二复数代数形式的除法运算 典例2 1 如图 在复平面内 复数z1 z2对应的向量分别是则复数对应的点位于 a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 2 计算 解题探究 1 复数z1 z2的代数形式为什么 2 观察式子的特征 应如何计算 探究提示 1 由复数的几何意义知 z1 2 i z2 i 2 第一个式子分子复杂 第二个式子分母复杂 可先化简再运算 自主解答 1 选b 由复数的几何意义知 z1 2 i z2 i 所以对应的点在第二象限 方法技巧 复数除法运算法则的应用复数除法一般先写成分式形式 再把分母实数化 即分子 分母同乘以分母的共轭复数 若分母为纯虚数 则只需同乘以i 变式训练 2014 湖北高考 i为虚数单位 a 1b 1c id i 解析 选b 补偿训练 已知复数z 1 i 则 a 2ib 2ic 2d 2 解析 选b 将z 1 i代入得 类型三共轭复数 典例3 1 2013 山东高考 复数z满足 z 3 2 i 5 i为虚数单位 则z的共轭复数为 a 2 ib 2 ic 5 id 5 i 2 已知复数z的共轭复数为且求z 解题探究 1 如何依据题中等式计算z 3的表达式 2 复数z的代数表达式如何 如何求复数z的实部与虚部 探究提示 1 2 复数z的代数表达式为a bi a b r 可用复数相等的方法建立a b的方程组 求解a b 自主解答 1 选d 因为 z 3 2 i 5 所以所以 2 设z a bi a b r 则又所以a2 b2 3i a bi 所以a2 b2 3b 3ai 1 3i 所以所以所以z 1 或z 1 3i 方法技巧 化复为实当已知条件出现复数等式时 常设出复数的代数形式 利用相等复数的充要条件转化为实数问题求解 变式训练 2014 陕西高考 已知复数z 2 i 则z 的值为 a 5b c 3d 解题指南 求出复数z的共轭复数 代入表达式求解即可 解析 选a 由已知得 2 i 则z 2 i 2 i 22 i2 5 故a正确 补偿训练 复数的共轭复数对应的点位于 a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 解析 选a 因为所以其共轭复数为对应的点为故选a 拓展类型 复数的正整数指数幂的应用 备选例题 1 2014 滨州高二检测 复数的共轭复数在复平面内对应的点在 a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 2 设 i是虚数单位 求z 2z2 3z3 4z4 5z5 6z6 解析 1 选c 所以其对应的点在第三象限 2 设s z 2z2 3z3 4z4 5z5 6z6 zs z2 2z3 3z4 4z5 5z6 6z7 两式相减得 1 z s z z2 z3 z4 z5 z6 6z7 所以因为故z6 1 所以 方法技巧 复数的正整数指数幂的应用 1 求和公式 等差 等比数列的求和公式在复数集c中仍适用 i的周期性要记熟 即in in 1 in 2 in 3 0 n n 2 熟记结论 记住以下结果 可提高运算速度 i4n 3 i i4n 2 1 i4n 1 i i4n 1 n n 规范解答 复数的计算 典例 12分 已知z2 8 6i 求 审题 抓信息 找思路 解题 明步骤 得高分 点题 警误区 促提升失分点1 不化简而求值若不进行 处与其后的变形化简 而直接求出z的值后代入 则会使运算变得非常烦琐 进而出现错误而不得分 失分点2 漏解在 处方程组的解应为两组 求解时需注意不要漏掉一组解而使本例的最终结果漏解 否则最多得6分 失分点3 化代数式在 处 对于复数运算的最终结果 要把它化为z a bi a b r 的形式 这是复数运算的基本要求 悟题 提措施 导方向1 差异分析的意识在解题时 要善于分析条件与结论之间的差异 通过差异分析构建二者之间的联系 努力促使二者向统一的方向转化 往往能够使问题获得简捷的解决 如本例的条件为z2 8 6i 这就要根据这个条件求出z 然后再求解 2 化繁为