中考数学 第36课时 相似三角形课件 北师大版.ppt

第36课时相似三角形 相似三角形1 定义 三角对应 三边对应成 的两个三角形叫做相似三角形 对应边的比叫做 2 性质 1 相似三角形周长的比等于 2 相似三角形对应高的比 对应中线的比 对应角平分线的比都等于 3 相似三角形面积的比等于相似比的 相等 比例 相似比 相似比 平方 相似比 3 判定 1 平行于三角形的一边的直线和其他两边相交 所构成的三角形与原三角形相似 2 两角对应 的两个三角形相似 3 两组对应边的比 且夹角 的两个三角形相似 4 三组对应边的比 的两个三角形相似 相等 相等 相等 相等 核心点拨 1 相似三角形的性质 注意识别对应角相等 对应边之比等于相似比 2 相似三角形的判定 要熟练掌握判定方法 注意与全等的区别 即时检验 1 abc与 def的相似比为3 4 则 abc与 def的周长比为 2 已知 abc与 def相似且对应中线的比为2 3 则 abc与 def对应高的比为 3 4 2 3 相似三角形的判定 例1 6分 2011 来宾中考 如图 在 abc中 abc 80 bac 40 ab的垂直平分线分别与ac ab交于点d e 1 用圆规和直尺在图中作出ab的垂直平分线de 并连接bd 2 证明 abc bdc 规范解答 1 2分 2 de垂直平分ab da 3分 abd 4分 abc 80 cbd 5分 abc bdc 6分 db bac 40 40 自主归纳 相似三角形判定的两种思路1 条件中若有一对等角 可再找 相等或再找夹这对等角的 相等 2 条件中若有两边的比相等 可找 相等或计算第三边的比 一对等角 两对应边的比 夹角 对点训练 1 2012 荆门中考 下列4 4的正方形网格中 小正方形的边长均为1 三角形的顶点都在格点上 则与 abc相似的三角形所在的网格图形是 解析 选b abc的三边长分别为 选项b中的三边长分别为 2 4 由所以选项b中的三角形和 abc相似 2 2012 滨州中考 如图 锐角三角形abc的边ab ac上的高线ce和bf相交于点d 请写出图中的两对相似三角形 用相似符号连接 解析 1 在 bde和 cdf中 bde cdf bed cfd 90 bde cdf 2 在 abf和 ace中 a a afb aec 90 abf ace 答案 bde cdf abf ace 高手支招 直角三角形及斜边上的高的性质如图 条件 在rt abc中 acb 90 cd ab 结论 1 图中的三个三角形均相似 2 cd2 ad bd 3 ac2 ad ab 4 bc2 bd ab 3 2012 安顺中考 如图 1 2 添加一个条件 使得 ade acb 解析 由两角对应相等 两三角形相似可添加 d c或 e b 由两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似可添加答案 d c 答案不惟一 特别提醒 相似三角形判定的两点注意1 已知三边的长或在正方形网格中的长考虑 三组对应边的比相等的两个三角形相似 2 直角三角形相似的判定定理 1 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 2 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例 那么这两个直角三角形相似 相似三角形的性质 例2 2011 苏州中考 如图 已知 abc是面积为的等边三角形 abc ade ab 2ad bad 45 ac与de相交于点f 则 aef的面积等于 结果保留根号 思路点拨 自主解答 abc ade ab 2ad 即 ae 1 过点f作fm ae 垂足为m 设em x 在rt fem中 有 bad 45 daf 15 fam 45 在rt fam中 am 即解得 答案 规律总结 相似三角形性质的两类应用1 利用相似三角形对应角相等可以计算角的度数 2 利用相似三角形对应边成比例可以确立已知线段与未知线段间的等量关系 建立方程求出未知线段的长度或解决与比例式 等积式 有关的证明问题 对点训练 4 2011 怀化中考 如图所示 abc中 de bc ad 5 bd 10 ae 3 则ce的值为 a 9 b 6 c 3 d 4 解析 选b 因为de bc 所以 ade abc 所以所以ac 9 ce ac ae 9 3 6 5 2012 重庆中考 已知 abc def abc的周长为3 def的周长为1 则 abc与 def的面积之比为 解析 abc def abc的周长为3 def的周长为1 abc与 def的相似比是3 1 abc与 def的面积之比为9 1 答案 9 1 6 2012 天门中考 如图 在 abc中 点d e分别是边ab ac的中点 df过ec的中点g并与bc的延长线交于点f be与df交于点o 若 ade的面积为s 则四边形bogc的面积 解析 点d e分别是边ab ac的中点 de bc abc ade abc的面积为4s 四边形bdec的面积为3s 点d是边ab的中点 bde的面积为s 点g是边ce的中点 deg fcg de fc bf 3de de bc doe fob ob 3oe dob的面积为 点g e分别是边ec ac的中点 ae 2eg deg的面积为 四边形bogc的面积 答案 技巧点拨 利用相似三角形周长的比等于相似比 面积的比等于相似比的平方 可解决三角形周长和面积问题 相似三角形的应用 例3 2011 陕西中考 一天 数学课外活动小组的同学们 带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的 圆锥形坑 的深度 来评估这些沙坑对河道的影响 如图是同学们选择 确保测量过程中无安全隐患 的测量对象 测量方案如下 先测出沙坑坑沿的圆周长34 54米 甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上 经过适当调整自己所处的位置 当他位于点b时恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上一点a看到坑底s点 甲同学的视线起点c与点a 点s三点共线 经测量 ab 1 2米 bc 1 6米 根据以上测量数据 求圆锥形坑的深度 圆锥的高 取3 14 结果精确到0 1米 思路点拨 取圆锥底面圆心o 连接os oa 由os bc可得出 soa cba 再由相似三角形的对应边成比例即可解答 自主解答 取圆锥底面圆心o 连接os oa 则 o abc 90 os bc aso acb soa cba oa 5 5 bc 1 6 ab 1 2 os 7 3 圆锥形坑的深度约为7 3米 规律方法 1 利用相似三角形的有关知识来解决实际问题是中考的热点之一 解决此类问题首先把实际问题转化为数学问题 利用相似三角形对应边的比相等或相似三角形的其他性质建立等量关系求解 2 利用三角形的相似 可以解决一些不能直接测量的物体的长度的问题 对点训练 7 2012 娄底中考 如图 在一场羽毛球比赛中 站在场内m处的运动员林丹把球从n点击到了对方内的b点 已知网高oa 1 52米 ob 4米 om 5米 则林丹起跳后击球点n离地面的距离nm 米 解析 oa mn 则 abo nbm 则则解得nm 3 42米 答案 3 42 8 2012 北京中考 如图 小明同学用自制的直角三角形纸板def测量树的高度ab 他调整自己的位置 设法使斜边df保持水平 并且边de与点b在同一直线上 已知纸板的两条直角边de 40cm ef 20cm 测得边df离地面的高度ac 1 5m cd 8m 则树高ab m 解析 由题意知 def与 dcb相似 则即解得bc 4 所以ab ac bc 5 5 m 答案 5 5 技巧点拨 相似三角形的应用1 测量测量不能到达的物高与河宽等 关键是构造相似三角形 测量相似三角形中的有关线段的长 2 与物理光学知识结合相似三角形与物理学科的光学知识结合起来考查光学中的反射定律和相似三角形的应用 在解题中关键是建立数学模型 找准对应元素 创新命题 相似三角形与函数 例 2011 盘锦中考 如图 在一个矩形空地abcd上修建一个矩形花坛ampq 要求点m在ab上 点q在ad上 点p在对角线bd上 若ab 6m ad 4m 设am的长为xm 矩形ampq的面积为s平方米 1 求s与x的函数关系式 2 当x为何值时 s有最大值 请求出最大值 思路点拨 1 由am的长为x米 利用相似关系即可转化出边长aq 从而建立函数关系式 要注意自变量的取值范围 2 利用 1 的结论 配方即可求解 自主解答 1 四边形ampq是矩形 pq am x pq ab pqd bad ab 6 ad 4 s aq am 0 x 6 2 又 s有最大值 当x 3时 s的最大值为6 答 当am的长为3米时 矩形ampq的面积最大 最大面积为6平方米 创新点拨 相似三角形与函数命题角度本题考查的是借助于相似的判定与性质 建立函数模型解决实际问题 这类应用题的目的在于考查学生转化能力 即时训练 2012 株洲中考 如图 在 abc中 c 90 bc 5米 ac 12米 m点在线段ca上 从c向a运动 速度为1米 秒 同时n点在线段ab上 从a向b运动 速度为2米 秒 运动时间为t秒 1 当t为何值时 amn anm 2 当t为何值时 amn的面积最大 并求出这个最